文档内容
第五章 二元一次方程组
5.1 认识二元一次方程组
第一环节：情境引入
内容：
（一）情境1
实物投影，并呈现问题：在一望无际的呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小
马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还
累，这么大的个，才比我多驮2个.”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，
我的包裹就是你的2倍！”，小马天真而不信地说：“真的？！”同学们，你们
能否用数学知识帮助小马解决问题呢？
请每个学习小组讨论（讨论2分钟，然后发言）.教师注意引导学生设两个未
知数，从而得出二元一次方程.
这个问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮x个
包裹，小马驮y个包裹，老牛的包裹数比小马多2个，由此得方程 ，若老
牛从小马背上拿来 1 个包裹，这时老牛的包裹是小马的 2 倍， 得方程：
.
（二）情境2
实物投影，并呈现问题：昨天，有8个人去红山公园玩，他们买门票共花了34
元.每张成人票5元，每张儿童票3元.那么他们到底去了几个成人、几个儿童呢？
同学们，你们能否用所学的方程知识解决呢？
仍请每个学习小组讨论（讨论2分钟，然后发言），老师注意引导学生分析其
中有几个未知量，如果分别设未知数，将得到什么样的关系式？
这个问题由于涉及到有几个成年人和几个儿童两个未知数，我们设他们中有
x个成年人，有y个儿童，在题目的条件中，我们可以找到的等量关系为：成人人
数＋儿童人数＝8，成人票款＋儿童票款＝34.由此我们可以得到方程 和
第 1 页 共 5 页.
在这个问题中，可能会有学生认为用一元一次方程也可以解答，我们要肯定
学生的做法，并将学生的答案保留下来，放到第二节二元一次方程组解法的学习
中去，让学生更有学习的好奇心与积极性.同时告诉学生在某些有两个等量关系
的实际问题中，列二元一次方程组比列一元一次方程更快捷、清楚.
目的：通过现实情景再现，让学生体会到方程是刻画现实世界的有效数学模
型，培养学生良好的数学应用意识.
设计效果：学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，列出关注两个未知
数的方程，为后续关于二元一次方程的讨论提供了素材，同时，有趣的情境，也激
发了学生学习的兴趣.
第二环节：新课讲解，练习提高
内容：
（一）二元一次方程概念的概括
提请学生思考：上面所列方程有几个未知数？所含未知数的项的次数是多少
从而归纳出二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数
都是1的方程.教师对概念进行解析，要求学生注意：这个定义有两个要求：
①含有两个未知数；
②所含未知数的项的最高次数是一次.
再呈现一些关于二元一次方程概念的辨析题，进行巩固练习：
1.下列方程有哪些是二元一次方程：
（1） ，（2） ，（3） ，
（4） ，（5） ，（6） .
2.如果方程 是二元一次方程，那么m＝ ，n＝ .
（二）二元一次方程组概念的概括
师提请学生思考：上面的方程 中的x含义相同吗？
y呢？（两个方程中x的表示老牛驮的包裹数，y表示小马的包裹数，x、y的含义
第 2 页 共 5 页分别相同.）由于x、y的含义分别相同，因而必同时满足 和
我们把这两个方程用大括号联立起来，写成 ，从而得出二元一次方
程组的概念：像这样共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程.如：
注意：在方程组中的各方程中的同一个字母必须表示同一个对象.
再呈现一些辨析题，让学生进行巩固练习：
判断下列方程组是否是二元一次方程组：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（三）因承上面的情境，得出有关方程的解的概念
1. 适合方程 吗？ 呢？ 呢？你还能
找到其他x,y值适合 方程吗？
2. 适合方程 吗？ 呢？
3.你能找到一组值x,y同时适合方程 和 吗？各小组合作
完成，各同学分别代入验算，教师巡回参与小组活动，并帮助找到3题的结论.
由学生回答上面3个问题，老师作出结论：
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解.
如x=6, y=2是方程x+ y =8的一个解，记作 ；同样， 也
是方程 的一个解，同时 又是方程 的一个解.
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
例如， 就是二元一次方程组 的解.
然后，同样呈现一些辨析性练习：（投影）
1.下列四组数值中，哪些是二元一次方程 的解？
第 3 页 共 5 页（A） （B） （C） （D）
2.二元一次方程 的解有：
……
3.二元一次方程组 的解是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4.以 为解的二元一次方程组是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
5.二元一次方程 的正整数解为 .
6.如果 是 的解，那么m＝ ，n＝ .
7.写出一个以 为解的二元一次方程组为 . （答案不唯
一）
目的：通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩
固新知识.
设计效果：通过本环节的讲解与训练，让学生对利用新知识解决一些简单问
题有更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系
才能更好地处理一些新问题.
第三环节：课堂小结
内容：
1.含有两未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一
次方程.
2.二元一次方程的解是一个互相关联的两个数值，它有无数个解.
3.含有两个未知数的两个二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程
组，它的解是两个方程的公共解，是一组确定的值.
目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点
进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.
设计效果：本环节虽然用时不多，却是必不可少的教学环节，对学生回顾与整
理本节课的知识效果明显.
第 4 页 共 5 页第四环节：布置作业
习题5.1
教学设计反思
1.本节课充分体现了从问题情景中抽象数学问题、使用各种数学语言表达问
题、建立数学关系式、获得合理的解答、理解并掌握相应的数学知识与技能的有
意义的这一变化学习过程.在教学中力求体现“问题情景——建立数学模型——
解释、应用与拓展”的模式，使学生在自主探索和合作交流的过程中建立二元一
次方程的数学模型，学会逐步掌握基本的数学知识和方法，形成良好的数学思维
习惯和应用意识，提高自己解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，增进学好数
学的信心，获得对数学较全面的体验和理解.
2.通过情境引入，让同学们体会到了生活中的数学无处不在，激发了学生强
烈的求知欲望，学生的反应非常积极踊跃，丰富了学生们的情感与态度.充分利用
小组合作交流，让同学们自己找出方程中的等量关系，启发同学们自己说出各个
定义的理解.在同学们合作做题的时候，老师进一步强调小组合作交流、合理分配
时间会取得更好的效果.教学过程各环节紧紧相扣，整个教学过程逻辑思维清晰，
问题与问题之间衔接紧密，每一步都为下一步做了很好的铺垫.
3.这个案例主要针对中等生而设计，教师可根据学生学习能力再进行设计上
的侧重.比如，学生学习能力较强，可在实际问题中抽象二元一次方程组的模型环
节、课后的拓展环节增加适当的深层次的内容，以满足学生的学习需要.
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