文档内容
第 2 课时 平行投影与正投影
1.知道平行投影和正投影的含义，能够确定物体在太阳光下的影子；（重点）
2.了解不同时刻物体在太阳光下形成的影子的大小和方向是不同的，理解在同一时刻，
物体的影子与它们的高度成比例；（重点）
3.会利用平行投影的性质进行相关计算.（难点）
一、情景导入
太阳光下的影子是我们司空见惯的，物体在太阳光下形成的影子与在灯光下形成的影
子有什么不同呢？
二、合作探究
探究点一：平行投影
【类型一】 平行投影的认识
下列物体的影子中，不正确的是（ ）
解析：太阳光线是平行的，故影长与物体高度成比例，所以A项正确；太阳光线画得不平
行，故B项错误；因为物体在光源两侧，故影子方向不同，因而C项正确；因灯光是发散的，
故影子与物体高度不成比例且物体在光源同侧，影子方向相同，D项正确.故选B.
方法总结：（1）平行投影的光源是太阳，平行投影的光线是平行的；而中心投影的光源是
点光源，中心投影的光线是相交的（. 2）同一时刻，太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；
灯光下的影子长度与物体高度不一定成比例（. 3）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一
方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.
【类型二】 平行投影的作图
如图，在某一时刻垂直于地面的物体AB在阳光下的投影是BC，请你画出此时同
样垂直于地面的物体DE在阳光下的投影，并指出这一时刻是在上午、中午还是下午？
第 1 页 共 3 页解：如图，连接AC，过点D作DF∥AC，过点E作EF∥BC交DF于点F，则EF就是DE
的投影.由BC是北偏西方向，判断这一时刻是上午.
方法总结：（1）画物体的平行投影的方法：先根据物体的投影确定光线，然后利用两个物
体的顶端和各自影子的末端的连线是一组平行线，过物体顶端作平行线与地面相交，从而确
定其影子.（2）物体在阳光下的不同时刻，不仅影子的大小在变，而且影子的方向也在改变，
就我们生活的北半球而言，上午的影子的方向是由西向北变化，影子越来越短，下午的影子
方向由北向东变化，影子越来越长.
【类型三】 平行投影的有关计算
如图，小王身高1.7m，他想测量一栋大楼的高度，他沿着阳光下的楼影BA由B向
A走去，当他走到点C时，他的影子顶端正好与大楼的影子顶端重合，测得AC＝19.2m，BC＝
0.8m，则大楼的高度为 m.
解析：设大楼的高为xm，楼和人均与地面垂直，由平行投影的特点可得到两三角形相似.
由相似三角形的性质，得＝，即＝.解得x＝42.5.
方法总结：本题也可用同一时刻，太阳光下不同物体的高度与影长成正比，即＝来解答.
一位同学想利用树影测树高，已知在某一时刻直立于地面的长1.5m的竹竿的影长
为3m，但当他马上测量树影时，发现树的影子有一部分落在墙上（如图①）.经测量，留在墙
上的影高CD＝1.2m，地面部分影长BD＝5.4m，求树高AB.
解：方法一：过点D作DE∥AC交AB于点E，如图①.
∵四边形AEDC为平行四边形，
∴AE＝CD＝1.2m.
∵＝，∴EB＝2.7m，
∴AB＝AE＋EB＝3.9m.
方法二：延长AC交BD的延长线于点E，如图②.
∵CD＝1.2m，＝，∴DE＝2.4m.
∴BE＝BD＋DE＝7.8m.
∵＝，∴AB＝3.9m.
∴树高AB为3.9m.
第 2 页 共 3 页方法总结：解决这类问题较为常见的方法有两种，一是画出树影在墙脚对应的树高；二
是透过墙，补全树在平地上的影长.
探究点二：正投影
观察如图所示的物体，若投影的方向如箭头所示，图中物体的正投影是下列选项
中的（ ）
解析：我们观察图中的两个立体图形，分别按照所示投影线考虑它的正投影，得到圆柱
的正投影是长
方形，其中短边等于圆柱底面的直径，长边等于圆柱的高；正方体的正投影是与它一个
面全等的正方形.因此本题画出的图形应是它们的组合，且长方形在正方形的左边.故答案为
C.
方法总结：本题是正投影性质的简单应用，通过观察和画图可以加深对正投影的理解，
同时也可以发展我们的空间想象能力.本题还可以用实物进行实验，通过实验验证结果的正
确性.
三、板书设计
本节课研究平行投影，让学生体会影子与生活的息息相关，激发学生学习的动机与兴趣，树
立正确的数学观.本课时密切联系实际，涉及地理、物理等知识，体现了数学与各学科内容间
的联系.让学生积极参加数学活动，认识数学与人类的密切联系及对人类历史发展的作用，激
发学生探究与创造，加强学生的合作与交流.
第 3 页 共 3 页
