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3.4 圆周角和圆心角的关系
第 1 课时 圆周角和圆心角的关系
1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；(重点)
2．能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算．(难点)
一、情境导入
在下图中，当球员在B, D, E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角
∠ABC, ∠ADC，∠AEC.这三个角的大小有什么关系？
二、合作探究
探究点：圆周角定理及其推论
【类型一】 利用圆周角定理求角的度数
如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是
50°，则∠C的度数是( )
A．25° B．30° C．40° D．50°
解析：∵OA∥DE，∠D＝50°，∴∠AOD＝50°.∵∠C＝∠AOD，∴∠C＝×50°＝25°.故选A.
方法总结：解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理．
【类型二】 利用圆周角定理的推论求角的度数
如图，在⊙O中，AB＝AC，∠A＝30°，则∠B＝( )
A．150° B．75°
C．60° D．15°
解析：因为AB＝AC，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B＝∠C，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＋2∠B＝180°，又因为∠A＝30°，所以30°＋2∠B＝180°，解得∠B
＝75°.故选B.
方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．
注意方程思想的应用．
【类型三】 圆周角定理与垂径定理的综合
如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，E在
⊙O上．
(1)∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；
(2)若AC＝，CD＝1，求⊙O的半径．
解析：(1)由OD⊥AB，根据垂径定理的推论可求得AD＝BD，再由圆周角定理及其推
论求∠DEB的度数；(2)首先设⊙O的半径为x，然后由勾股定理得到方程解答．
解：(1)∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴AD＝BD，∴∠DEB＝∠AOD＝×52°＝
26°；
(2)设⊙O的半径为x，则OC＝OD－CD＝x－1.∵OC2＋AC2＝OA2，∴(x－1)2＋()2＝
x2，解得x＝4，∴⊙O的半径为4.
方法总结：本题综合考查了圆周角定理及其推论、垂径定理以及勾股定理．注意掌握
数形结合思想与方程思想的应用．
【类型四】 圆周角定理的推论与圆心角、弧、弦之间的关系的综合
如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D在弧AB上，连接CD交AB于点E，
点B是CD的中点，求证：∠B＝∠BEC.
解析：由点B是CD的中点，得∠BCE＝∠BAC，即可得∠BEC＝∠ACB，然后由等腰三
角形的性质，证得结论．
证明：∵B是CD的中点，∴BC＝BD，∴∠BCE＝∠BAC.∵∠BEC＝180°－∠B－
∠BCE，∠ACB＝180°－∠BAC－∠B，∴∠BEC＝∠ACB.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠BEC.
方法总结：此题考查了圆周角定理的推论以及等腰三角形的性质．解答时一定要结合
图形．
【类型五】 圆周角定理的推论与三角形知识的综合
如图，A、P、B、C是⊙O上四点，且∠APC＝∠CPB＝60°.连接AB、BC、AC.(1)试判断△ABC的形状，并给予证明；
(2)求证：CP＝BP＋AP.
解析：(1)利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝
60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；(2)在PC上截取PD＝AP，则
△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP＝CD，即可证得．
(1)解：△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是BC所对的
圆周角，∠ABC与∠APC是AC所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC.又
∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；
(2)证明：在PC上截取PD＝AP，连接AD.又∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形，
∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°.又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，
∴∠ADC＝∠APB.在△APB和△ADC中，∴△APB≌△ADC(AAS)，∴BP＝CD.又∵PD＝
AP，∴CP＝BP＋AP.
方法总结：本题考查了圆周角定理的理论以及三角形的全等的判定与性质，正确作出
辅助线是解决问题的关键．
【类型六】 圆周角定理的推论 与相似三角形的综合
如图，点E是BC的中点，点A在⊙O上，AE交BC于D.求证：BE2＝AE·DE.
解析：点 E 是BC的中点，根据圆周角定理的推论可得∠BAE＝∠CBE，可证得
△BDE∽△ABE，然后由相似三角形的对应边成比例得结论．
证明：∵点E是BC的中点，即BE＝CE，∴∠BAE＝∠CBE.∵∠E＝∠E(公共角)，
∴△BDE∽△ABE，∴BE∶AE＝DE∶BE，∴BE2＝AE·DE.
方法总结：圆周角定理的推论是和角有关系的定理，所以在圆中，解决相似三角形的
问题常常考虑此定理．
三、板书设计
圆周角和圆心角的关系
1．圆周角的概念
2．圆周角定理
3．圆周角定理的推论
本节课的重点是圆周角与圆心角的关系，难点是应用所学知识灵活解题．在本节课的教学
中，学生对圆周角的概念和“同弧所对的圆周角相等”这一性质较容易掌握，理解起来问
题也不大，而对圆周角与圆心角的关系理解起来则相对困难，因此在教学过程中要着重引
导学生对这一知识的探索与理解．还有些学生在应用知识解决问题的过程中往往会忽略同弧的问题，在教学过程中要对此予以足够的强调，借助多媒体加以突出.
