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1．3 正方形的性质与判定
第 1 课时 正方形的性质
1．了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理；(重点)
2．会利用正方形的性质进行相关的计算和证明．(难点)
一、情景导入
如图(1)所示，把可以活动的矩形框架ABCD的BC边平行移动，使矩形的邻边AD，DC
相等，观察这时矩形ABCD的形状．
如图(2)所示，把可以活动的菱形框架ABCD的∠A变为直角，观察这时菱形ABCD的
形状．
图(1)中图形的变化可判断矩形ABCD→特殊的四边形是什么四边形？图(2)中图形变化
可判断菱形ABCD→特殊的四边形是什么四边形？经过观察，你发现既是矩形又是菱形的图
形是什么四边形？
引入正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．
注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即：有一组邻边相等的矩形是正方形或
有一个角是直角的菱形是正方形．
二、合作探究
探究点一：正方形的性质
如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的
周长与面积．
第 1 页 共 4 页解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
AD＝＝＝.
∴正方形的周长为4AD＝4＝8，面积为AD2＝()2＝8.
方法总结：结合勾股定理，充分利用正方形的四边相等、四角相等、对角线相等且互相垂
直平分的性质，是解决与正方形有关的题目的关键．
探究点二：正方形的性质的应用
【类型一】 利用正方形的性质求角度
四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，求∠BEC的大小．
解析：等边△ADE可以在正方形的内部，也可以在正方形的外部，因此本题分两种情况．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.
∴∠AEB＝15°.
同理可得∠DEC＝15°.
∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，
∴∠AEB＝75°.
同理可得∠DEC＝75°.
∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.
综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.
易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情
况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．
【类型二】 利用正方形的性质求线段长
如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE
的长．
解析：线段BE是Rt△ABE的一边，但由于AE未知，不能直接用勾股定理求BE，由条件
可证△ABE≌△AFE，问题转化为求EF的长，结合已知条件易获解．
第 2 页 共 4 页解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.
∵EF⊥AC，
∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴EF＝FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.
∴FC＝BE.
在Rt△ABC中，
AC＝＝＝(cm)，
∴FC＝AC－AF＝－1(cm)，
∴BE＝－1(cm)．
方法总结：正方形被对角线分成4个等腰直角三角形，因此在正方形中解决问题时常用
到等腰三角形的性质与直角三角形的性质．
【类型三】 利用正方形的性质证明线段相等
如图，已知过正方形ABCD的对角线BD上一点P，作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于
点F，求证：AP＝EF.
解析：由PE⊥BC，PF⊥CD知四边形PECF为矩形，故有EF＝PC，这时只需说明AP＝
CP，由正方形对角线互相垂直平分可知AP＝CP.
证明：连接AC，PC，如图．
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD垂直平分AC，
∴AP＝CP.
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，∴AP＝EF.
方法总结：(1)在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等；(2)无论是正方形
还是矩形，经常连接对角线，这样可以使分散的条件集中．
三、板书设计
正方形
第 3 页 共 4 页经历正方形有关性质的探索过程，把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节
课内容．在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法．培养合情推
理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值．
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