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专题 07 垂径定理、圆心角、圆周角
利用垂径定理求值
1．（23-24九年级上·北京·期末）如图， 的半径为10，弦AB的长为 ， ，交AB于点 ，交
于点 ，则 ．
2．（23-24九年级上·山东滨州·期末）如图，弦 垂直于 的直径 ，垂足为H，且 ，
，则 的长为 ．3．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在 中， ，C为 的中点，且C到 的距离为
3，则圆的半径为 ．
4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）在半径为2的 中，弦 ，弦 ，且 ，则
与 之间的距离为 ．
5．（24-25九年级上·全国·期末）如图， 是 的直径，弦 交 于点P，
，则 的长为 ．
利用弧、弦、圆心角的关系求解
1．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）如图， 是 的直径， ， ，则
．2．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，已知 、 是 的直径， ， ，则
3．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，在 中，圆心角 是 的中点，作 ，
与 交于 ，则图中与 相等的线段有 条．
4．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，点A是半圆上的一个三等分点，点 是 的中点， 是直
径 上一动点， 的半径是2，则 的最小值为 ．利用圆周角定理求角
1．（23-24九年级下·新疆阿克苏·期末）如图，点A，B，C在 上， ，则 的度数为
．
2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，C，D是 上直径AB两侧的两点，设 ，则
．
3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线 与 相切于点 ，直线 与 相交于点 ，连
接 ．若 ，则 ．
4．（22-23九年级上·云南红河·期末）如图， 的半径为4，弦 长为 ，C是 上一点（不同于
A，B），则 的度数是 ．半圆（直径）所对的圆周角是直角
1．（23-24九年级下·江苏常州·期末）如图，在 中， 为直径， 为圆上一点， 的角平分线与
交于点 ，若 ， ．
2．（23-24九年级上·湖北随州·期末）如图， 是 的直径，弦 ，若 ，则
．
3．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，点 ， ， ， 在 上， 是 的直径， ，
则 的度数是 ．
4．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，将一个半圆形量角器放置在矩形 上， 刻度线的两端
点 ， 分别在边 ， 上滑动， ，点 在半圆 上，且在 （或 ）刻度处．（1）若点 在靠近点 处，连接 ，则 ；
（2）当点 与点 的距离最大时， ．
90°的圆周角所对的弦是直径
1．（23-24九年级上·北京石景山·期末）如图， 是正方形 内一点，满足 ，连接 ，若
，则 长的最小值为 ．
2．（23-24九年级上·江苏·期末）如图，在正方形 中， ，点 是对角形 上的一个动点，且
不与端点 重合，连接 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ．则 的最小值是 ．
3．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，点 为等边 的边 上的一个动点， ，过点
作 于点 ， 交边AB于点 ，当过 ， ， 三点的圆面积最小时，则 ．已知圆内接四边形求角度
1．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）如图，四边形 内接于 ，点E在 的延长线上．若
，则 的度数是 ．
2．（23-24九年级上·吉林·期末）如图， 的内接四边形 ，E为 延长线上一点．若 ，
则 的度数为 ．
3．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，四边形 是 的内接四边形， 是 的直径，连接
，若 ， ，则 °.4．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，四边形 是 的内接四边形， 平分 ，连接
， ．
垂径定理解决实际问题
1．（23-24九年级上·山东济宁·期末）圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，
而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为 的圆，如图所示，若
水面宽 ，求水的最大深度．（精确到0.1）
2．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的
问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一
圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．如图，用锯去锯这木材，锯口深 寸，锯道长 尺（1
尺 寸）．这根圆柱形木材的直径是多少寸？3．（23-24九年级上·福建莆田·期末）如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、
完美的美好寓意、
(1)在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)已知拱门高 （优弧 中点到 的距离）， ， ，求拱门
的圆弧半径．
4．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以 为直
径的半圆 ，若 ， 为水面截线， ， 为桌面截线， ．
(1)请在图1中画出线段 ，用其长度表示水面的最大高度（不要求尺规作图，不说理由），并直接写出
的长；
(2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了 ，求此时水面截线减少了多少．
利用弧、弦、圆心角的关系求证
1．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图， 是 的弦， 是弧 的中点．(1)连接 ，求证： 垂直平分 ；
(2)若 ， ，求 的半径．
2．（23-24九年级上·重庆綦江·期末）如图所示， 是圆O的一条弦， 是圆O直径 ， 垂足
为 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ， ，求圆O的半径长．
3．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在 中，分别以A，B为圆心， ， 为半径在
的外侧构造扇形 ，扇形 ，且点E，C，D在同一条直线上， 为 ， 为 ．
(1)求 的度数．
(2)若 ， ，求点A，B到直线 的距离的和．
4．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，在 中，弦 是直径，点 ， 是 上的两点，连接
， ，且满足 ．(1)若 的度数为 ，求 的度数．
(2)求证： ．
(3)连接 ，若 ， ，求 的长．
5．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图1， ， 是 的弦，且 ，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)如图2，连接 ，若 ， ， ，求 的半径．
利用半圆（直径）所对的圆周角是直角求解答题
1．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期末）如图， 是 的内接三角形， 为 的直径， 平分
，交 于点 ，连接 ，点 在弦 上，且 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．2．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形 是半圆 的内接四边形， 是直径， ．
(1)设 的半径为r，用含r的代数式表示线段 ．
(2)若 ，求 的半径．
3．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，圆内接四边形 的对角线 ， 交于点 ， 平
分 ， ．
(1)求 的大小；
(2)过点 作 交 的延长线于点 ．若 ， ，求圆的半径．
4．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）【初识模型】（1）如图1， 、 是 的两条弦， ，
连接 、 ．
求证： ；
【模型应用】（2）如图2，在（1）的条件下，过 作 交 于点 ，垂足为 ．若 ，
，求 的半径；
【拓展提升】（3）如图3，已知 的半径为 ，弦 与 相交于点 ，若 ， ，
求 的长．利用90°的圆周角所对的弦是直径求解答题
1．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形 内接于 ，分别延长 ， ，使它们相交
于点E， ，且 ．
(1)求证： ．
(2)若 ，点C为 的中点，求 的半径．
2．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图1， ， 是 直径， ， 与 交于点F．
(1)求证： ；
(2)如图2，点G在 上，且 ．
①求证： ；
②若 ， ，求 的长．
3．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）在 中， ， ， 为平面内的一点．(1)如图1，当点 在边 上时， ，且 ，求 的长；
(2)如图2，当点 在 的外部，且满足 ，求证： ；
(3)如图3， ，当 、 分别为 、 的中点时，把 绕点 顺时针旋转，设旋转角为
，直线 与 的交点为 ，连接 ，直接写出旋转中 面积的最大值．
利用圆内接四边形求解答题
1．（22-23九年级上·广西河池·期末）已知四边形 内接于 ， ．
(1)如图1，连接 ，若 的半径为6， ，求 的长；
(2)如图2，连接 ，若 ， ，对角线 平分 ，求 的长．
2．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如图，四边形 的四个顶点都在 上， 平分 ，连
接 ， ．
(1)求证： ；(2)若 ， ，求 的半径．
3．（23-24九年级上·天津宁河·期末）已知 内接于 ， ， ，D是 上的点．
(1)如图①，求 和 的大小；
(2)如图②， ，垂足为E，求 的大小．
4．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图 ， 内接于 ， ，点
是 上的动点（不与点 ， ， 重合），连接 ， ， ．
(1)当点 在 上时（不与点 ， 重合），求 的度数；（用含 的式子表示）
(2)如图 ，当点 在 上时，过点 作 于点 ．
①请探究线段 ， 和 之间的数量关系，并证明；
②若 ，则 ________；
(3)若 ，在点 运动过程中， ，过点 作 于点 ，求 的长．
