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专题07 圆中的重要模型之辅助线八大模型
在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助
线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专
题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。
.........................................................................................................................................1
模型来源.............................................................................................................................................................1
真题现模型.........................................................................................................................................................2
提炼模型.............................................................................................................................................................4
模型运用.............................................................................................................................................................5
模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形）...............................................................错误: 引用源未找到
模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题）....................................................错误: 引用源未找到
模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角）....................................................错误: 引用源未找到
模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形）.....................................错误: 引用源未找到
模型5、遇90°的圆周角连直径................................................................................错误: 引用源未找到
模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直）............................................................错误: 引用源未找到
模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角）........................................................错误: 引用源未找到
模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点）............................................错误: 引用源未找到
................................................................................................................错误: 引用源未找到
圆中的辅助线模型源于圆的定义、圆的有关性质（如：垂径定理、圆周角与圆心角定理等）、直线与
圆的位置关系（如：切线的性质与判定定理）等。圆中的辅助线模型是对圆相关性质定理的升华，可以有助于学生更全面的认识这些性质定理。
（2025·江苏连云港·中考真题）如图， 是 的内接三角形， ．若 的半径为2，则劣
弧 的长为 ．
【答案】
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵ ， ，∴ ，∴劣弧 ，故答案为： ．
（2025·江苏无锡·二模）如图，圆 是 的外接圆， 是直径，若 ，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如下图所示，连接 ， 是 的直径， ，和 所对的弧为 ， ，
在 中， ， ．故选：B．
（2025·广东广州·二模）如图，若 的半径为 ，圆心 到 的距离为 ，则 （ ） ．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：过 作 于 ， ，
的半径为 ，圆心 到 的距离为 ， ， ，
， ．故选C．
（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点 在 上，点 在 外，线段 与 交于点 ，过点 作
的切线交直线 于点 ，且 ．
(1)判断直线 与 的位置关系，并说明理由；(2)若 ， ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)直线 与 相切，理由见解析；(2) ．【详解】（1）解：直线 与 相切，理由，如图，连接 ， ，
∵直线 与 相切，∴ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ 是 半径，∴直线 与 相切；
（2）解：由（ ）得 ， ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。
1证明：连AO、BO ∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90°
又∵OE=OE，OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL） ∴AE=EB，∴A^D=B^D A^C=C^B
应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：
，（r=OA，d=OE，a=AB，），在 ， ， 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量。）圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即：∠A= ∠BOC。
2
推论 ：同弧或等弧所对圆周角相等，即：∠A=∠D；
推论1：半圆（直径）所对的圆周角是 ，即：∠C=90°。
2 90°
3）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
A
A
A
O D
c b
F
O
l B a C
M B B B E C
4）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
5）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切
线的夹角。如上图，若PA、PB是O的切线，点A、B为切点，则：①PA=PB；②∠APO=∠BPO；③PO是
AB的垂直平分线
6）切线长定理：1）与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线
的交点，叫作三角形的内心。
7）内切圆：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，
叫作三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。
直角三角形内切圆的半径与三边的关系：设 、 、 分别为 中 、 、 的对边，面积为 ，
周长为 ，则内切圆半径为 。特别地，若 ，则 。
模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形）
已知AB是⊙O的一条弦，连接OA、OB，则∠A＝∠B。O
A B
在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径
构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个
端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题。
例1（2025··陕西一模）如图，已知△ABC是圆O的内接三角形，AB＝AC，∠ACB＝65°，点C是弧BD的中
点，连接CD，则∠ACD的度数是
【答案】15°
【解析】如图，连接AO，BO，CO，DO，
∵AB＝AC，∠ACB＝65°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴∠BAC＝50°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝130°，∠BOC＝2∠BAC＝100°，
∵点C是弧BD的中点，∴ ，∴∠BOC＝∠COD＝100°，∴∠AOD＝30°，
∵∠AOD＝2∠ACD，∴∠ACD＝15°．
例2（2025·广东东莞·模拟预测）如图， 为 的外接圆，半径 ，垂足为点E，
，则 的长为（ ）A． B． C．10 D．8
【答案】D
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ 为等腰直角三角形，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，故选：D．
例3（2025·湖南长沙·一模）如图，已知 是等边 的外接圆，连接 并延长交 于点 ，交
于点 ．若 ，则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接 ，∵ 为等边三角形，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，由勾股定理得： ，
∴ ，∴ ，故选：C．
在 中， ， ．故选：B．
模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题）
已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。
在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过
弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半
径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心
距。
例1（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在 中， ，点 是边 上一点，以 为直径的
交 于点 ，将 沿 翻折恰好经过圆心 ，若 ， ，则 的半径为（ ）A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【详解】解：连接 ，作半径 于 ，
，由题意知： 垂直平分 ， ，
， ， 是圆的直径， ，
， ， ， ，
， ， ，
， ， 的半径长为 ．故选：C．
例2（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，某房屋建筑的棚顶为圆弧形，若该圆弧形棚顶在地面的跨度 长
为 米，该圆弧的半径 长为12米，则该屋顶弧 的弧长为 米．（结果保留 ）
【答案】
【详解】解：过点O作 于点C，交 于点D，∵ ，∴ 米，在 中， ，
∴ ，∴ ，∴该屋顶弧 的弧长为 （米），故答案为： ．
例3（2025·河南南阳·二模）如图，正方形 内接于 ，点E为 上一点，连接 ，若
， ，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【详解】连接 ，则 ，
正方形 内接于 ， ， ， ，
， ，
， ， ，
是等边三角形， ，作 于点I，则 ， ，
，∴ ＝ ，
阴影
故答案为：模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角）
如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB= ∠AOB。
例1（2025·浙江·三模）如图， 是 的内切圆，分别切 ， ， 于点D，E，F，
，P是 上一点，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接 、 ，
∵ 与 、 分别相切于点D，E，∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，故选：D．
例2（2025·河南商丘·三模）如图， 是 的外接圆， ，已知 的半径 的长为 ，
则 的长为（ ）A． B．6 C． D．3
【答案】C
【详解】解：连接 ，则 ，
∵ ，∴ ，∴ 是等边三角形，∴ ．故选：C．
例3（2025·吉林·模拟预测）如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点A放在半径为4的圆形铁丝上，
三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点B，C，则图中 的长为 ．（结果保留π）
【答案】
【详解】解：连接 、 ，∵ ，∴ ，∴ 的长为 ．故答案为： ．
模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形）
如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。
如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的
圆周角的构造。
例1（2025·宁夏银川·模拟预测）如图，四边形 内接于 ， 是 的直径， ，点
E在 上，则 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接 ，
∵四边形 内接于 ， ，∴ ，
∵ 是 的直径，∴ ，∴ ，
由圆周角定理得： ，故答案为： ．
例2（2025·山西·模拟预测）如图，在 中， ，以 为直径的 ，交 于E点，交
于D点．若 ，则劣弧 的长为 ．【答案】
【详解】解：连接 ，∵ 是 的直径，∴ ，即 ．
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ 的半径为1，∴劣弧 的长 ．即劣弧 的长为 ，故答案为： ．
例3（2025·宁夏·模拟预测）如图， 是 的弦，半径 于点C， 为直径， ，
则线段 的长为 ．
【答案】
【详解】解：连接 ，如图所示：， ， ．设 的半径 ， ．
在 中，由勾股定理得： ，解得： ． ．
， ， ． 是直径， ．
点 分别是 的中点， 是 的中位线． ．
在 中， ．故答案为： ．
模型5、遇90°的圆周角连直径
如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。
A
C
B
O
遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直
径。
例2（2022·四川凉山·统考中考真题）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部
件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（ ）
A． 米2 B． 米2 C． 米2 D． 米2【答案】C
【详解】解：如图，连接 ，
， 是 的直径， 米，
又 ， ， （米），
则扇形部件的面积为 （米2），故选：C．
例3（24-25·陕西渭南·九年级校考期中）如图，正方形 内接于 ， ，则阴影部分的面积为
．（结果保留 ）
【答案】
【详解】解：连接 如图所示：
∵四边形 为正方形，∴ ，∴ 为圆的直径，∵ ,∴ ，∴ ，
阴影部分的面积为： ．故答案为： ．
模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直）
如图，已知直线AB连与圆O相切于点C，连接OC，则OC⊥AB。
O
A C B
已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的
有关性质解题。
例1（2025·浙江杭州·三模）如图，在 中， 是直径， 是弦， ．过点D作 的切线，
与 的延长线相交于点E．若 ，则 等于 ．
【答案】
【详解】解：连接 ， 过点D作 的切线， ，
是直径， 是弦， ， ， ，
， ， ，故答案为： ．
例2（2025·宁夏·模拟预测）如图, 与 相切于点A 与弦 相交于点C ，若
，则 的长为 ．【答案】4
【详解】解：连接 ，如图，∵ 与☉O相切于点A，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ．∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．设 ，则 ，
∵ ，∴ ，解得 ，即 的长为4．
例3（2025·河南南阳·二模）如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子 分别与空竹 相
切于点C，D，且 ，连接左右两个绳柄A，B， 经过圆心O，分别交 于点M，N，经测量
，则图中阴影部分的周长为 ．
【答案】
【详解】解：连接 、 ，∵绳子 分别与空竹 相切于点C，D，∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴弧 的长度 ，
∴图中阴影部分的周长 弧 的长 ．
故答案为： ．
例4（24-25·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，如图， 、 分别切 于点 、 ，点 为优弧
上一点，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接 ，∵ 、 分别切 于点 、 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，故选：C．模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角）
证明直线AB是⊙O的切线.
O
A C B
遇到证明某一直线是圆的切线时：
（1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再
证 明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是
⊙O的切线．
（2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直
线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线
AB是⊙O的切线．
例1（2025·河南郑州·三模）如图，在 中， ．
（1）实践与操作：点O在线段 上，以O为圆心作 , 恰好过A，C两点，并与线段 交于另一
点D，小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示，请你用尺规作图：作出点O与点D,并
补全 .
（2）推理与计算：在（1）的条件下，若
①求证：直线 是 的切线；②若 则 半径的长度为 。
【答案】（1）见解析（2）①见解析②
【详解】解：（1）点 ，点 和 即为所求作；（2）①如图，连接 ，由图可知， ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴直线 是 的切线；
②假设 的半径为 ，则 ，
由①得 ，由勾股定理得， ，
即 ，解得 ，∴ 半径的长度为 ，故答案为： ．
例2（2025·安徽池州·二模）如图，在 中，点A是弧 的中点，以 、 为邻边作平行四边形
，延长 交 于点E，连接 ． (1)求证： 是 的切线；(2)若 ， ，求
的半径．
【答案】(1)证明见详解(2)
【详解】（1）证明：如图：连接 交 于点 ，∵A是 的中点，∴ ，∴ ，∴ ，
∵四边形 是平行四边形，∴ ，∴ ，
∵ 是 的半径，∴ 是 的切线．
（2）解：如图：连接 ，
∵四边形 是平行四边形，∴ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
在 中， ，设 的半径为 ，则 ，
在 中， ，∴ ，解得： ，∴ 的半径为 ．
例3（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图． ， 与 相切于点 、连接 ， 与
相交于点 ，过点 作 ，垂足为 ，交 于点 ，连接 交 于点 ．
(1)求证： 是 的切线．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）方法一：证明：过点 作 于点 ， ， ，
与 相切于点 ， ， ，
， ， ， ，
为 的半径， 为 的半径， ， 是 的切线；方法二：证明：过点 作 于点 ， 与 相切于点 ， ，
， 是 的平分线， ，
为 的半径， 为 的半径， ， 是 的切线；
模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点）
当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。
利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。
例1（2020·青海·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ，则 的内切圆半
径 ．
【答案】
【详解】解：在 中， ， ， ，根据勾股定理，得 ，
如下图，设 的内切圆与三条边的切点分别为 、 、 ，连接 、 、 ，
∴ ， ， ，可得四边形 为矩形，
根据切线长定理，得 ，∴矩形 是正方形，∴ ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，解得 ，
则 的内切圆半径 ．故答案为： ．
例2（2023年攀枝花中考数学真题）已知 的周长为 ，其内切圆的面积为 ，则 的面积为
（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【详解】解：如图，设内切圆 与 相切于点 ，点 ，点 ，连接 ， ， ， ， ，
，
切 于 ， ， ， ，同理： ，
，
，
， ，故选A
例3（2023·广东广州·统考中考真题）如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E，
F，若 的半径为r， ，则 的值和 的大小分别为（ ）
A．2r， B．0， C．2r， D．0，
【答案】D
【详解】解：如图，连接 ．∵ 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E，F，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ．故选：D．
1．（2025江苏中考一模）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，若∠ADC＝125°，则∠BAC的
度数是（ ）A．25° B．35° C．45° D．55°
【答案】B
【解析】连接OC，如下图所示：∵∠ADC＝125°对应优弧^ABC，∴∠AOC＝360°﹣2×125°＝110°，
而△AOC为等腰三角形，∴∠BAC+∠OCA＝180°﹣110°＝70°，
∴∠BAC＝35°，故A、C、D错误，故选：B．
2．（24-25·辽宁九年级期末）如图，在半径为5的⊙O中， 、 是互相垂直的两条弦，垂足为 ，且
，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【详解】解：作 于 ， 于 ，连接 ， ，
∵ 于 ， ，∴ ， ，
∴ ，同理可得： ，∵弦 、 互相垂直，∴ ，
∵ 于 ， 于 ，∴ ，∴四边形 是矩形，
∵ ，∴四边形 是正方形，∴ ，故选：C．
3．（24-25·哈尔滨市九年级期中）如图，在 中， ， ， ，以点 为圆
心， 为半径的圆与 相交于点 ，则 的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【详解】解：过C点作CH⊥AB于H点，如下图所示：
∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴△ABC、△CBH均为30°、60°、90°直角三角形，其三边之比为 ，
Rt ABC中， ，Rt BCH中， ，
△ △
由垂径定理可知： ，∴ ，故选：C．
4．（2023·四川巴中·统考中考真题）如图， 是 的外接圆，若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图所示，连接 ，∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ．故选：D．
5．（24-25·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100o，则∠α度数为（
）
A．160o B．120o C．100o D．80o
【答案】A
【详解】解：如图，在⊙O取点 ，连接
四边形 为⊙O的内接四边形，
．故选A
6．（24-25·河北·九年级校考阶段练习）如图，已知 的直径 ，则 的长为（
）A．5cm B．5 cm C．5 cm D．6cm
【答案】B
【详解】连接 ，由圆周角定理得， ，
∵ ，∴ ，∴ ，∵ ， ∴ ，故选：B．
7．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图所示， 是 的直径，弦 交 于点E，连接 ，
若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图所示，连接 ，∵ ，∴ ，
∵ 是 的直径，∴ ，∴ ，故选D．8．（24-25·山东·九年级专题练习）如图， 为 的直径，C为 上一点，过点C作 的切线交
的延长线于点D，连接 ，若 ，则 的长度为（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】D
【详解】解：如图，连接 ，∵ 为 的切线，∴ ，
∵ ，∴ ， ，∴ ，
由圆周角定理得： ，∴ ，∴ ，故选：D．
10．（24-25·广东深圳·九年级校考周测）如图， ， 切 于 ， 两点， 切 于点 ，交
， 于 ， ．若 的半径为1， 的周长等于 ，则线段 的长是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【详解】解：连接 ，∵ ， 切 于 ， 两点， 切 于点 ，
∴ ， ，∵ 的周长等于 ，∴ ，∴
，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ 为等边三角形，∴ ，故选：A．
10．（24-25·江苏沭阳初三月考）如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．
若 的度数为35°，则 的度数是_____．
【答案】105°．
【解析】解：连接OD、OE，
∵ 的度数为35°，∴∠AOD=35°，∵CD=CO，∴∠ODC=∠AOD=35°，
∵OD=OE，∴∠ODC=∠E=35°，∴∠DOE=180°-∠ODC-∠E=180°-35°-35°=110°，
∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=110°-35°=75°，∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-75°=105°，
∴ 的度数是105°．故答案为105°．11．（2025·湖南二模）如图，在 中，点C为弧AB的中点，OC交弦AB于D，如果 ，
，那么OD的长为___．
【答案】3
【解析】连接OA，∵C为弧AB的中点，∴AB⊥OC，∵AB=8cm，∴ OA=5，
在Rt AOD中，∵ 即 解得:OD=3.
△
12．（2023年浙江省衢州市中考数学真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽
是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与 边相切，则此餐盘的半径等于
cm．
【答案】10
【详解】由题意得： ， ，
如图，连接 ，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，则 ，餐盘与 边相切， 点 为切点， 四边形 是矩形，
， ， ， 四边形 是矩形， ，
， ， ，
设餐盘的半径为 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，解得： ， 餐盘的半径为 ，故答案为：10．
13．（24-25黑龙江九年级期末）⊙ 的半径为5cm，AB、CD是⊙ 的两条弦， ， ，
．则 和 之间的距离为_______．
【答案】1cm或7cm．
【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1
∵AB＝8cm，CD＝6cm，∴AE＝4cm，CF＝3cm，∵OA＝OC＝5cm，∴EO＝3cm，OF＝4cm，∴EF＝4−3＝
1cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，∵AB＝8cm，CD＝6cm，∴AE＝4cm，CF＝3cm，
∵OA＝OC＝5cm，∴EO＝3cm，OF＝4cm，∴EF＝OF＋OE＝7cm．
∴AB与CD之间的距离为1cm或7cm．故填1cm或7cm．
14．（24-25广东广州·九年级校考开学考试）如图，在 中，弦 的长为10，圆周角 ，则
这个圆的直径 为 ．【答案】
【详解】连接 ，∵ ，∴ ，
∵直径 ，∴ ，∵ ，∴ ．故答案为： ．
15．（24-25江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图， 和 分别是半圆 的直径和弦，且
，点 是 上的点， 交 于点 ，垂足为点 ，且 ： ： ，若 ，则
．
【答案】8
【详解】解：连接 ，设 ， ． 是直径， ，
， ， ，
在 中， ， ，， ， ，故答案为： ．
16．（24-25福建·九年级校考阶段练习）如图， 的弦 ，点E为垂足， ， ，且
则 的半径为 ．
【答案】
【详解】解：过点O作 于点M， 于点N，连接 ，
∵ ， ， ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴四边形 是矩形，
∵ ，∴ ，∴四边形 是正方形，∴ ，
在 中， ，故答案为： ．
17．（24-25秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图， 的内切 与 ， ， 分别相切于点
， ， ，且 ， 的周长为 ，则 的长为 ．【答案】
【详解】解：连接 ，∵ 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，
∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ．故答案为： ．
18．（2024·湖北·中考真题） 中， ，点 在 上，以 为半径的圆交 于点 ，
交 于点 ．且 ．
(1)求证： 是 的切线．(2)连接 交 于点 ，若 ，求弧 的长．
【答案】(1)见解析(2)弧 的长为 ．
【详解】（1）证明：连接 ，在 和 中， ，∴ ，∴ ，
∵ 为 的半径，∴ 是 的切线；
（2）解：∵ ，∴ ，设 的半径为 ，
在 中， ，即 ，解得 ，
∴ ， ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴弧 的长为 ．
19．（2023年四川省攀枝花市中考数学真题）如图， 为 的直径，如果圆上的点 恰使 ，
求证：直线 与 相切．
【答案】见详解
【详解】证明：如图，连接 ， ， ，
为 的直径， ， ，
， ，即 ， ，
是 的半径， 直线 与 相切．20．（24-25·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图， 是 的外接圆， 是 的直径，
．
(1)求证： 是 的切线；(2)若 ，垂足为 交 于点 ；求证： 是等腰三角形．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【详解】（1）证明：连接 ，
， ， 为圆 的直径， ， ，
又 ， ， ，
又 点 在圆 上， 是 的切线；
（2）证明： ， ，
， ， ，
又 ， ， 是等腰三角形．
21．（24-25·北京海淀·九年级校考阶段练习）如图， 为 的直径， 交 于点 ， 为
上一点，延长 交 于点 ，延长 至 ，使 ，连接 ．(1)求证： 为 的切线；(2)若 且 ，求 的半径．
【答案】(1)见解析(2)3
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
， ， ， ，
， ， ，即 ， ，
是半径， 为 的切线；
（2）解：设 的半径 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得， ， ，
解得 ，或 （舍去）， 的半径为3．
22．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）圆O中，弧 弧 ，连接 交弦 于点C．
(1)如图1，求证： ；(2)如图2，点E在圆O上，连接 ，若 ，求
证： ；(3)如图3，在（2）的条件下，过A作 ，垂足为 交 于点，求 的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ ， ， ．
（2）证明：连接 ， ， ， ，
， ， ，
∵ ， ．
（3）解：过O作 于 于M，连接 ，
又 ，
，设 ，则 ，
，
， 中，由勾股定理得 ，
，∴四边形 是矩形， ，
中，由勾股定理得 ，
， ，，
， 在 中，由勾股定理得
