文档内容
专题11 全等三角形模型之角平分线模型
角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各
类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全
等模型作相应的总结，需学生反复掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因
为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几
何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每
一个题型，做到活学活用！
....................................................................................................................................................2
模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）.............................................................................................2
模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）...........................................................................................25
模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）...................................................................37
..................................................................................................................................................61模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）
角平分线垂两边是指过角的平分线上一点向角的两边作垂线。角平分线垂两边模型，可以充分利用角平分
线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。
图1 图2 图3
条件：如图1， 为 的角平分线， 于点A， 于点B.
结论： 、 ≌ .
证明：∵ 为 的角平分线， ， ，
∴ ，∠CBO=∠CAO=90°，∵ ，∴ ≌ （HL）
常见模型1（直角三角形型）
条件：如图2，在 中， ， 为 的角平分线，过点D作 .
结论： 、 ≌ .（当 是等腰直角三角形时，还有 .）
证明：∵ ， 为 的角平分线， ，
∴ ，∠AED=∠ACD=90°，∵ ，∴ ≌ （HL）
常见模型2（邻等对补型）
条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。
结论：① ；② ；③ .证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB，
∴ ，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴ ≌ （HL），∴ ，
∠CAD=∠CBE；
∵ ，∴ ，∴ ，
同图1中的证法易得： ≌ （HL），∴ ，
∴ ，
例1．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图， 是 的角平分线， ，垂足为
F， ， 和 的面积分别为60和38，则 的面积为 ．
例2．（23-24七年级下·山东·期末）如图，在 中， 和 的角平分线 ， 相交于点
， 于点 ，连接 ． 下列结论： 平分 ； ； 若
，则 ； 若 的周长为 ， ， 则 其中正确的是 ．
（请填写序号）
例3．（2023·福建南平·八年级统考期中）如图所示， ， 是 的中点， 平分 ．（1）求证： 是 的平分线；（2）若 ，求 的长．
例4．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）【教材呈现】下图是教材第125页的部分内容．
我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如下图所示， 是 的平分线，
P是 上任一点，作 ， ，垂足分别为点D和点E，将 沿 对折，我们发现
与 完全重合，由此即有：
角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等．
已知：如下图所示， 是 的平分线，P是 上任一点，作 ， ，垂足分别为点
D和点E．
求证： ．
分析：图中有两个直角三角形 和 ，只要证明这两个三角形全等，便可证得 ．
(1)请根据教材内容，结合上图，写出定理的证明过程．
(2)【应用】如图1，在 中， ， 平分 ， 于点E，点F在 上，
，若 ，则 的长为______．
(3)【拓展】如图2，在 中， 平分 交 于点D， 于点E．若 ，
， ， ，则 的面积为______．模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）
角平分线垂中间模型是可以看作是等腰三角形“三线合一”的逆用，也可以得到两个全等的直角三
角形，进而得到对应边、对应角相等，这个模型巧妙的把三线合一和角平分线联系在一起。
但同学们也需要注意，在解答题中使用时不能利用角平分线+中线得高线，也不能利用角平分线+高
线得中线。一定要通过证明全等来得到结论。（因为正确的结论有很多，但只有作为定理的才可以在证明
中直接使用哦！）
图1 图2 图3
条件：如图1， 为 的角平分线， ，
结论：△AOC≌△BOC， 是等腰三角形， 是三线合一等。
证明：∵ 为 的角平分线，∴∠COA=∠COB，
∵ ，∠BCO=∠ACO=90°，∵ ，∴△AOC≌△BOC（ASA），
∴ ，∴ 是等腰三角形，∵ ，∴ 是三线合一。
条件：如图2， 为 的角平分线， ，延长BA，CE交于点F.
结论：△BEC≌△BEF， 是等腰三角形、BE是三线合一等。证明：同图1的证法，
例1．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，已知 的面积为32， 平分 ，且 于
点P，则 的面积是（ ）
A．12 B．16 C．24 D．18
例2．（2024·湖北黄冈·八年级校考期中）如图， 中， 是 的角平分线，
；若 的最大值为 ，则 长为 ．
例3．（2024·广东·九年级期中）如图，在 中， ， ，
（1）如图1, 平分 交 于点 ， 为 上一点，连接 交 于点 ．
（i）若 ，求证： 垂直平分 ；（ii）若 ,求证： ．（2）如图2， 平分
交 于点 ， ，垂足 在 的延长线上，试判断线段 和 的数量关系，并说明理
由．
（3） 如图3， 为 上一点， ， ，垂足为 ， 与 交于点 ，写出线段
和 的数量关系．（不要求写出过程）模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）
角平分线构造轴对称模型是利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到
对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
图1 图2
条件：如图1， 为 的角平分线，A为任意一点，在 上截取 ，连结 .
结论： ≌ ，CB=CA。
证明：∵ 为 的角平分线，∴∠COA=∠COB，
∵ ， ，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。
条件：如图2，BE、CE分别为 和 的平分线， ，在 上截取 ，连结
。 结论： ≌ ， ≌ ，AB+CD=BC。
证明：∵BE为 的平分线，∴∠ABE=∠FBE= ，∵ ， ，∴ ≌ （SAS），∴∠AEB=∠FEB，
∵ ，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为 的平分线，∴∠FCE=∠DCE= ，
∴∠EBC+∠BCE= + =90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°，
∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴ ≌ ，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。
例1．（2023秋·山东·八年级专题练习）如图，在 中， ， 和 的平分线 、
相交于点 ， 交 于点 ， 交 于点 ，若已知 周长为 ， ， ，
则 长为（ ）
A． B． C． D．4
例2．（23-24八年级下·四川绵阳·开学考试）在四边形 中， 是钝角， ，
对角线 平分 ．
(1)如图1，求证： ；(2)如图2，若 ，求 的度数；
(3)如图3，当 时，请判断 、 与 之间的数量关系？并加以证明．例3．（2023·山东烟台·九年级期末）已知在 中，满足 ，
(1)【问题解决】如图1，当 ， 为 的角平分线时，在 上取一点 使得 ，连接
，求证： ．(2)【问题拓展】如图2，当 ， 为 的角平分线时，在 上
取一点 使得 ，连接 ，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由．
(3)【猜想证明】如图3，当 为 的外角平分线时，在 的延长线上取一点 使得 ，连接
，线段 、 、 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
例4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全
等三角形问题．
如图①，在四边形 中，点 是 边的中点， 平分 ， ，证明： ．
讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思
广议，提出了一个截长法：如图②，在 上截取 ，连接CF，先证明 ，再证明
，即有 ，即 ．解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明
，理由如下：如图②，在 上取一点 ，使 ，连接CF．
∵ 平分 ，∴ ，
在 和 中，
∴ （ ）∴ ， ．
（1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧．
拓展探究：已知：如图③，在 中， ， 、 分别为 上的点，且 交于点 ．
若 为 的角平分线．（2） ；（3）证明： ．
（4）如图④，在 中， ，延长 的边 到点 ，AD平分 交 延长线于点
，若 ， ，则 ．1．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图， 的外角 的平分线 与内角 的平分线
交与点P，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，在 中， ， 是 的平分线，若
， ，则 的长是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2023·河北保定·八年级校考阶段练习）如图，已知 、 的角平分线 、 相交于点 ，
， ，垂足分别为 、 ．现有四个结论：
① 平分 ； ② ；③ ；④ ．
其中结论正确的是（填写结论的编号）（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④4．（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在等腰直角△ABC中， ＝90°，AB＝AC，BD平分
交AC于点D，DE⊥BC于点E，下面结论：①AB＝EB；②AD＝DC；③ ；④AD＝
EC，正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023·浙江宁波·八年级校考期中）如图，△ABC的面积为16，∠PBC与∠PAB互余，AP⊥BP，则
△PBC的面积 ．
6．（2023·广东清远·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， 是 的平分
线，过点 作 ，交 的延长线于点 若 ，则 的长为 .
7．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在直角 中， ， 与 的角平分
线 相交于点 ，连接 ，则 ；若 的面积为12， 的面积记为 ，
的面积记为 ，用含 的代数式表示 ．
8．（2023·山东·七年级专题练习）如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝
28°，求∠ABE的大小．9．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，在四边形 中， 平分 ， ， 求
证： ．
10．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图，在直角 中， ，点D、F分别在边
CB和 上， ，垂足为E，且 ， ．
(1)求证：AD平分 ；(2)当 时，求 的度数．
11．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）在 中， 、 分别是 、 的平分线，
、 相交于点F．
(1)①如图（1），当 ， ，则 ；②如图（2），如果不是直角， 时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说
明理由．(2)如图（3），在②的条件下，请猜想 与 的数量关系，并证明你的猜想．
12．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在 中， 是角平分线，E，F分别为 上
的点，且 ． 与 有何数量关系？请说明理由．
13．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与
射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；
（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC
于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．14．（2023·河北·九年级专题练习）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线
OA于点F，射线CE交射线OB于点G．
（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；
（2）如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．
15．（23-24八年级上·黑龙江黑河·期末）已知点 为 平分线上一点， 于 ， 于
，点 ， 分别是射线 ， 上的点，且 ．
(1)如图①，当点 在线段 上，点 在线段 上时，易证得 ；（要证明）
(2)如图②，当点 在线段 上，点 在线段 的延长线上时，（1）中结论是否还成立？如果成立，
请你证明，如果不成立，请说明理由；(3)在（2）的条件下，直接写出线段 ， 与 之间的数量关
系______；(4)如图③，当点 在线段 的延长线上，点 在线段 上时，若 ，且，求四边形 的面积．
16．（2023·安徽黄山·九年级期中）如图，在 中， ， ， 是 边上一动点，
于 ．（1）如图（1），若 平分 时，①求 的度数；
②延长 交 的延长线于点 ，补全图形，探究 与 的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图（2），过点 作 于点 ，猜想线段 ， ， 之间的数量关系，并证明你的猜想．
17．（2023·河南信阳·八年级统考期末）情景观察：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，
CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F．
①写出图1中所有的全等三角形 ；②线段AF与线段CE的数量关系是 ，并写出证明过程．
问题探究：如图2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC
交于点E．
求证：AE=2CD．18．（2024·辽宁辽阳·模拟预测）【问题初探】（1）在数学活动课上，姜老师给出如下问题：如图1，
平分 ， 为 上一点， 为 上一点，连接线段 ， ，若 ．求
证： ．
①如图2，小文同学从已知一边一角构造全等进行转化的视角给出如下思路：在 上截取 ，连
接 ，易证 ，将线段 与 的数量关系转化为 与 的数量关系．
②如图3，小雅同学也是从已知一边一角构造全等的视角进行解题给出了另一种思路，过 点向 的
两边分别作垂线，垂足分别为点 ， ，易证 ，得到 ，接下来只需证
，可得 ．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】（2）姜老师发现之前两名同学都采用了一边一角构造全等的视角，为了更好的感悟这种视
角，姜老师将共顶点的两个相等的角，变成了不共顶点的两个相等的角提出了如下问题，请你解答．如图
4，在 中， ， 平分 交 与点 ，在线段 上有一点 ，连接 交 于点 ，
若 ．求证： ．
【学以致用】（3）如图5，在 中， ， ，垂足为点 ，在 的延长线上取一点 ，
使 ，在线段 上截取 ，点 在线段 上，连接 ，使 ，若
， ， ，求 的面积．19．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【知识再现】如图1， 已知等腰 中， ， 平分
，D点在 上．则 与 的位置关系是 ， ，当 ， 时， ．
【知识应用】如图2， 在 中， ， 平分 交 于E， ，且
求 的周长．
【知识拓展】如图3， 中， ， ， 是 的角平分线，求 的值．
20．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角
形的珺琟点．
(1)如图1，在 中， ， 为 的珺琟点，求 的角度；
(2)如图2， 为 的珺琟点，延长 交 于点 ，已知 ， ，求 的值；
(3)如图3， 为 的珺琟点，连接 、 ， 为边 上一点，连接 并延长交 于点 ，若
，求证： ．
