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专题02 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型
角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各
大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的非全等
类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
.........................................................................................................................................1
模型来源.............................................................................................................................................................1
真题现模型.........................................................................................................................................................2
提炼模型.............................................................................................................................................................4
模型运用.............................................................................................................................................................6
模型1.平分平行（射影）构等腰模型..................................................................................................................6
模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型...........................................................9
.......................................................................................................................................13
1842年斯坦纳-雷米欧司定理的纯几何证明完成，该定理证明过程中大量涉及角平分线与平行线的构
造技巧，间接催生了"角平分线+平行线→等腰三角形"这一辅助线作法的明确化和模型化。
随着几何教育的发展，教育研究者将实践中高频出现的解题模式进行总结归类。“平分平行构等腰”
（或“角平分线+平行线→等腰”）因其简洁性与普适性，被提炼为标准化模型，作为角平分线非全等类
模型的核心之一，与“射影构等腰”（角平分线+垂直→等腰）并列，纳入专题教学体系。
这一模型并非由单一学者独创，而是几何学基本原理（尤其是角平分线和平行线性质）在解决经典问
题（如斯坦纳-雷米欧司定理）中自然衍生的方法结晶。其现代形式的明确化与命名，是19世纪定理证明
方法与20世纪后教学经验提炼共同作用的结果。（2024·湖南长沙·二模）如图，在 中， 和 的平分线交于点 ，过点 作 交
于 ，交 于 ，若 ，则线段 的长为 ．
（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在 中， ，点D在 边上，连接 ，
的平分线分别交 ， 于点E，F．(1)尺规作图：求作 的高线 ；（要求：保留作图痕
迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可画出草图后解答（2）题）；(2)若 ，求证：
．
（2024·上海浦东新·三模）爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面
还有一个有趣的结论：(1)【问题发现】如图1所示，若 是 的角平分线，可得到结论：
．
小李的解法如下：过点D作 于点E， 于点F，过点A作 于点G，
∵ 是 的角平分线，且 ， ，∴．
∵ ， ，∴ ；
(2)【类比探究】如图2所示，若 是 的外角平分线， 与 的延长线交于点D．求证：
；1）角平分线加平行线必出等腰三角形．
图1 图2 图3
条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。
证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1，
∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。
条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。
证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC，
∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。
条件：如图3，在 中， 平分 ， 平分 ，过点O作 的平行线与 ， 分别
相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。
证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC，
∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。
2）角平分线加射影模型必出等腰三角形．C
E
×
×
F
○ ×
B D A→ ○
图4
条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。
证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°，
∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°，
∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。
3）内角平分线定理
条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。结论：
证明：作 ，作DH AB垂足分别为F，H.
∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则 = =
（2）作BE CA垂足为E，则 = = ∴ =
4）外角平分线定理
图2 图3
条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。结论： ．证明：如图2，过C作 ．交BA的延长线于E，
∵ ，∴ ，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴ ．
5）奔驰模型（面积）
条件：如图3， 的三边 、 、 的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将 分
为三个三角形。结论： =c：a：b。
证明：过点 作 于点 ，作 于点 ，作 于点 ．
由题意知： ， ， 是 的三条角平分线， ， 于，
，
的三边 、 、 长分别为a，b，c，
．
模型1.平分平行（射影）构等腰模型
例1（2025·江苏苏州·二模）如图， ， 平分 ．以下结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
例2（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，在 中， 和 的平分线交于点E，过点 作
交 于M，交 于N，若 ， ，则线段 的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
例3（24-25八年级·绵阳市·假期作业）如图，在 中， ， 于点D， 的平
分线 交 于F，交 于E，若 ， ，则 ．例4（24-25九年级上·山东滨州·期中）已知如图（ ）， 中， ， 、 的平分线相交于
点 ，过点 作 交 于 ．
(1) 与 间有怎样的关系？写出你的猜想．（不用证明）
(2)若 ，第①问中 与 间的关系还存在吗？若不存在，请说明理由，若存在，请写出证
明过程．(3)若 中， ， 的平分线与三角形外角 的平分线 交于 ，过 点作
交 于 ，交 于 ．如图（ ）， 与 间的关系如何？为什么？
例5（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）（1）如图1， ， 平分 ，则 的形状
是三角形；（2）如图2， 平分 ， ， ，则 ．
（3）如图3，有 中， 是角平分线， 交 于点D．若 ，则 ．
（4）如图4，在 中， 与 的平分线交于点F，过点F作 ，分别交 ， 于
点D，E．若 ，则 的周长为．
（5）如图，在 中， cm， 分别是 和 的平分线，且 ，
则 的周长是．模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型
例1（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图， 的三边 、 、 长分别是 、 、 ，其三
条角平分线将 分为三个三角形，则 等于（ ）
A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7
例2（24-25·河南南阳·八年级校考期末）我们已经学习过角平分线性质定理，即：角平分线上的点到角两
边的距离相等．如图，已知 的角平分线BD交边AC于点D．
(1)求证： = (2)求证： = ；(3)如果BC=4，AB=6，AC=5，那么CD=______．例3（24-25·北京·八年级校考期中）在 中，D是 边上的点（不与点B、C重合），连接 ．
(1)如图1，当点D是 边的中点时， _____；
(2)如图2，当 平分 时，若 ， ，求 的值（用含m、n的式子表示）；
(3)如图3， 平分 ，延长 到E．使得 ，连接 ，若 ，求
的值．
例4（24-25九年级上·重庆九龙坡·期末）三角形角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得两条
线段与这个角的两边对应成比例．
如图1， 中， 是角平分线，则 ．小石同学学习了这个定理以后探究：三角形的外角平
分线分对边所得两条线段与这个角的两边的关系，下面是他的探究过程，请按要求完成．
已知：如图2，已知 及其外角 ． 的角平分线交 的延长线于点F．求证： ．(1)尺规作图：在图2中作 的平分线交 的延长线于点F，在射线 上截取 ，连接
（不写作法保留作图痕迹）
(2)证明：
是 的角平分线， ______①
， ； ______② ， ___③
是 的角平分线 ______ ④ ； ，
结合以上探究可知：三角形的一个外角的角平分线外分对边所成两条线段，这两条线段和夹相应的内角的
两边______ ⑤．
1．（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，点A，B和点C，D分别在一把点尺的两边上，连接 ，
平分 ，测得 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
2．（2025·湖北武汉·三模）如图，在 中，以顶点 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 ，交
于点 ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 内部交于一点 ，过
点 作射线 交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ．若 ， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在 中， 和 的平分线交于点
E，过点E作 交 于M，交 于N，若 ，则线段 的长为（ ）
A．9 B．18 C．4.5 D．以上都不对
4．（24-25八年级上·天津南开·期中）如图，在 中， ， 和 的平分线分别交
于点 ， ，若 ， ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
5．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图， 的三边 ， ， 的长分别为12，27，30，其三
条角平分线将 分成三个三角形，则 （ ）．
A． B． C． D．
6．（24-25河南安阳八年级期末）如图，点 是 的 ， 的平分线的交点， 交
于点 ， 交 于点 ，若 的周长为 ，那么 的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25·浙江八年级专题练习）如图， 的角平分线 、 、 交于点 ，若
，则下列结论中正确的是（ ）A． B． C． D． 三条高的比为
8.（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，
EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4+2
9．（24-25山西八年级期中）如图在 中， 的角平分线 交 于 ，若 ， ，
则平行四边形 的周长为（）
A． B． C． D．
10．（2025·湖北武汉·三模）如图，在 中，以顶点 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 ，交
于点 ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 内部交于一点 ，过
点 作射线 交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ．若 ， ，则
的度数为（ ）A． B． C． D．
11．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在 中， 的角平分线和 相邻的外角平分
线 交于点 ，过点 作 交 于 ，交 于 ，若 ，且 ，则 长为
．
12.（24-25.江苏八年级期中）如图，已知：在 中， ， 于D， 的角平分
线交AD与F，交AB于E， 交AB于G． ， ，则 __________，
__________．
13．24-25·江苏扬州·七年级校考期末）如图，在 中， 是 的中点， 是 上的一点，且
， 与 相交于点 ，若 的面积为1，则 的面积为 ．
14．（24-25·湖南益阳·八年级统考期末）如图， ， 是 的角平分线， ， 相交于点
于F， ，下列四个结论：① ；② ；③若 的周长为m， ，则
④若 ，则 其中正确的结论是 （填写序号）．
15．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图1，在 中， 是 的角平分线．
(1)若 ， ， ，可得到结论： __________；
(2)若 ， ， ，可得到结论： __________；
(3)图2中， ， ， ，若 是 的外角平分线，与 的延长线交于点E，可得到
结论： __________．
16．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在 中， ， 和 的平分线分别交 于
点 、 ，若 ， ， ，求 ．17．（22-23九年级上·山西运城·期中）阅读与思考请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．
下面是小宇同学运用面积的思想对“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的
对应线段成比例．”进行了证明．
如图，在 中，D，E是边 ，且 ．求证： ．
证明：如图，分别连接 ．设点E到 的距离为 ，点D到 的距离为 ，
， …
任务：(1)请补全以上证明过程．(2)应用以上结论解答问题：如图，在 中， ， ，
求证： ．
18．（2025·山西临汾·二模）阅读与思考在学习完角平分线的相关辅助线后，老师让学生探究角平分线分
线段成比例定理，以下是小宇同学的探究过程：
角平分线分线段成比例定理内容：三角形内角平分线分对边所得两条线段与这个角的两边对应成比
例，如图1．若 为 的角平分线，则 ．
下面是小宇对这个定理的证明过程．
证明：如图2，过点C作 ，交 的延长线于点E．则 ，且 （依据
1），
又 平分 ， （依据2）， ．
任务：(1)填空：材料中的依据1是_______，依据2是_______；
(2)你有不同的思考方法吗？请写出你的证明过程；
(3)如图3，在 中， 平分 交 于点D， ，则 的长为_______．
19．（24-25八年级上·河南漯河·期中）如图①， 中， ， 的平分线交于 点，过
点作 交 于 ．
(1)图①中有几个等腰三角形？猜想： 与 之间有怎样的关系．
(2)如图②，若 ，其他条件不变，在第（ ）问中 与 间的关系还存在吗？
(3)如图③，若 中 的平分线 与 平分线 交于 ，过 点作 ，交 于 ，
交 于 ，这时 与 关系又如何？请直接写出结果．20．（2025·河北石家庄·模拟预测）阅读材料：
角平分线分线段成比例定理：如图1，在 中， 平分 ，则 ．
下面是这个定理的部分证明过程：
证明：如图2，过点C作 ，交 的延长线于点E．……
解决问题：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余过程；
(2)如图3，在 中， 是角平分线， ， ， ，求 的长．
