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专题 13.15 等腰三角形八大几何模型与九类题型（模型梳理与题型
分类讲解）
第一部分【模型归纳与题型目录】
模型1:角平分线+平行线→等腰三角形
模型2:角平分线+垂线→等腰三角形
模型3:三角形一个外角等于其中一个内角2倍 等腰三角形模型4:直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形
模型5:等边三角形中含定角问题
模型6:等边三角形中含“手拉手”模型7:倍半角+角平分线→等腰三角形
模型8:倍长中线构造等腰三角形
题型目录
【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形..................................3
【题型2】角平分线+垂线（中线）→等腰三角形............................5
【题型3】三角形一个外角等于其中一个内角2倍 等腰三角形..............8
【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形.............11
【题型5】等边三角形中含定角问题......................................14
【题型6】等边三角形中含“手拉手”....................................16
【题型7】倍半角+角平分线→等腰三角形.................................19
【题型8】倍长中线构造等腰三角形......................................23
【题型9】拓展延伸....................................................26
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形
【例1】（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在 中， 平分 ， 于点 ，
交 于点 ，若 ，则 ．【答案】4
【分析】根据角平分线的定义可得 ，再根据两直线平行，内错角相等可得 ，
然后求出 ，根据等角对等边可得 ，然后根据等角的余角相等求出 ，
根据等角对等边可得 ，从而得到 ．
解： 是 的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，以及等角的余角相等
的性质，熟记性质并准确识图，准确找出图中相等的角是解题的关键．
【变式1】（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在 中， 平分 ， ．若 ，
，则 等于（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义和等腰三角形的性质以及三角形外角的性质等知
识，根据角平分线定义求出 根据平行线的性质得出 ，由
得出 ，由三角形外角性质得出 ，从而得出 ．
解：∵ 平分 ，且 ，
∴
∴
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ,
∴ ，
∴
故选：C．
【变式2】（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，在 中， 的平分线交 于点 ，
平分 ，且 交 于点 ，若 ，则 cm．
【答案】10
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义、平行线的性质，根据角平分线的定义
和平行线的性质可证 和 是等腰三角形，从而可得 ， ，然后利
用线段的和差关系进行计算，即可解答．
解： 平分 ， 平分 ，， ，
，
， ，
， ，
， ，
，
故答案为：10．
【题型2】角平分线+垂线→等腰三角形
【例2】（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在 中， 平分 ， ，垂足
为 ， ，若 ，则 的长为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】该题主要考查了等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定；延长
长于点 ，根据 平分 ， ，证明 证出 再证明 ，
即可求解；
解：延长 长于点 ，
则 ，
平分 ，
，，
，
，
，
，
故选：D．
【变式1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D为 内一点， 平分 ，
，垂足为 ，交 于点 ， ， ， ，则 的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，先证 ，
推出 ，根据等腰三角形“三线合一”可得 ，根据 ，可得 ，
通过等量代换即可求解．
解： 平分 ，
，
，
，
又 ，
，，
又 ，
，
， ，
，
，
，
，
故选C．
【变式2】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图， 平分 且 于E， ，
若 ， 的周长为20，则 的长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查角平分线定义，等腰三角形判定，全等三角形判定及性质，解二元一次方程组．根据
题意设 ，再证明 为等腰三角形，利用题干线段周长数据列出二元一次方程组即可得
到本题答案．
解：设 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
∴ ，∵ ， 的周长为20，
∴ ，解得： ，
∴ ，
故答案为：8．
【题型3】三角形一个外角等于其中一个内角2倍 等腰三角形
【例3】（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在 中， ， ．在 上取一点
C，延长 到点 ，使 ，连结 ；在 上取一点D，延长 到点 ，使 ，
连结 ；……，按此操作进行下去，在以点 为顶角顶点的等腰三角形的底角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意知， ， ， ，……均为等腰三角形，
∴由三角形内角和定理，三角形外角的性质可得， ， ，
，
， ， ，然后作答即可．
解：由题意知， ， ， ，……均为等腰三角形，
∴由三角形内角和定理，三角形外角的性质可得， ， ，，
， ， ，
故选：D．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．解题的关键在
于明确角度之间的数量关系．
【变式1】（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在 中， ， ， ，
则 的大小为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设 ，则
，根据等边对等角得出
．然后在 中，利用三角形内角和
定理列出方程 ，解方程即可求出 的大小．
解：设 ， ，则 ， ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
在 中，∵ ，
∴ ＝180°，
解得 ，
∴ ．
故答案为： ．
【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ， ， 平分交 于点 ， 交 于点 ， 交 于点 ，则图中等腰三角形共有
（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的
性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论．
解：∵ ， ，
∴ 为等腰三角形， ，
∵
∴ ，
∴ ， 为等腰三角形，
∵BD平分 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 为等腰三角形， 为等腰三角形，
同理可得： 为等腰三角形， 为等腰三角形， 为等腰三角形．
综上所述：共有七个等腰三角形．
故选C．
【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形
【例4】（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在 中， ， ，高 与
角平分线 相交于点 ．
(1)求证： 是等边三角形；
(2)若 ，求 的长度．【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，对顶角相等，等边三角形的判定和性质．
（1）根据直角三角形两个锐角互余可得 ，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分
成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线求出 ，根据直角三角形两个锐角互余
可得 ， ，结合对顶角相等得出 ，即可证明；
（2）根据直角三角形两个锐角互余可得 ，根据等角对等边可得 ，根据等边三角形
的三条边相等可得 ，根据根据直角三角形中 所对的边是斜边的一半求得 ，即
可求解．
解：（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知 是等边三角形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，故 ．
【变式1】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在 中， ， 是 边上的高，
是 的角平分线， 与 交于点F，求证： 是等腰三角形．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形来那个锐角互余，三角形外角性质，角平分线的定
义等知识，首先根据直角三角形两锐角互余求得 ，然后根据三角形外角的性质求得
，根据等角对等边求得 ，从而求得 是等腰三角形．
证明： 在 中， ，
，
是边 上的高，
，
，
是 的角平分线，
，
，即 ，
，
是等腰三角形．
【变式2】（22-23八年级下·湖南永州·期末）如图， 中， 的平分
线 交 于点 ， 平分 ．给出下列结论：① ；② ；③
；④ ；⑤ ．正确结论有（ ）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质．根据同角的余角相等求出 ，再根据等角的余角相等可以求出 ；根据等腰三角形三线合
一的性质求出 ．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ （对顶角相等），
∴ ，故②正确；
假设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴只有 时 ，故③错误；
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ 平分 ，
∴ ，故④正确．
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ,故⑤正确．
综上所述，正确的结论是①②④⑤．
故选：C．
【题型5】等边三角形中含定角问题
【例5】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，等边 中， ， 和 相交于 ，
垂足为 ，求 的度数．【答案】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外
角的性质，先根据 定理得出 ，故可得出 ，再由三角形外角的性质得到，
，再根据 可知 ，根据直角三角形的性质即可得出结论．
解： 是等边三角形，
， ，
在 与 中，
，
，
，
∴ ，
，
，
．
【变式1】（23-24八年级下·河南郑州·期末）已知：如图，点D，E 分别是等边三角形 的两边
上的点，且 .
(1)求证： ； (2)求 的度数.【答案】(1)见解析(2)
【分析】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，证明 是
解题的关键.
（1）根据等边三角形的性质和已知 即可证明 ；
（2）根据全等三角形的性质得到 ．利用三角形内角和定理进行解答即可.
解：（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ．
（2）∵
∴ ．
∴ ．
【变式2】（2024·浙江杭州·二模）如图， 是等边三角形，D，E分别是 ， 边上的点，且
，连接 ， 相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
① ；② ；
A．① B．② C．①② D．都错
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形
解决问题．由“ ”可证 ，根据全等三角形的性质可得 ，由三角形外
角的性质可求 ．
解： 是等边三角形，
， ，
在 和 中，，
，
，
，
故①②正确，符合题意；
故选：C
【题型6】等边三角形中含“手拉手”
【例6】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，A、C、B三点共线， 与 都是等
边三角形， 相交于点P，且分别与 交于点M，N．
(1)求证： (2)求 的度数
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定方法，关键是根据等边三角形的性质解答．
（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）根据三角形的内角和相等，对顶角相等，即可求解；
解：（1）证明： 与 都是等边三角形，
，
,
,
在 和 中
，（2）解： ，
，
在 和 中，
，
又 ，
【变式1】（2024·重庆南岸·模拟预测）如图， 都是等边三角形，将 绕点 旋转，
使得点 在同一直线上，连接 ．若 ，则 的长是 ．
【答案】3
【分析】根据等边三角形的性质， ,解答即可．
本题考查了等边三角形性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判
定和性质是解题的关键．
解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
， ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
答案为：3．
【变式2】（23-24八年级上·福建南平·期末）如图， 和 都是等边三角形，点E，F分别在
边 和 上，且 ，若 的周长最小时，则 的大小是 ．
【答案】30°/30度
【分析】本题考查了等边三角形的性质以及垂线段最短，全等三角形的性质与判定：先通过等边三角形
的性质证明 ，得 ，因为 ，所以 是等边三角形，则当 时，
的周长最小，此时 ，即可作答．
解：∵ 和 都是等边三角形，且 ，
∴ ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
则 的周长 ，
∴当 时， 有最小值，
∵等边三角形的三线合一，
∴ ．
故答案为：30°．
【题型7】倍半角→等腰三角形【例7】（22-23八年级上·北京·期中）如图，在 中， ， 为 上一个动点．
(1)已知 ，求证： ．
下面是两位同学分享的思路：
小快同学：从求证目标出发，倍长 到 ，即 ，又 ，则只需证 ．
小乐同学：从已知条件角的关系出发，发现若将 关于直线 对称得到 ，则可证 为
等腰三角形．
请你选择一种思路，完成证明
(2)已知 ， ，请直接写出 的大小（用含 式子表示）．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）延长 到 ，使 ，连接 ．证得等腰 ，然后利用等腰三角形的性质和三
角形内角和定理求解即可；
（2）延长 到E，使 ，连接CE，证得等腰 和等腰 ，然后利用等三角形的性质与
三角形外角的性质、三角形内角和定理即可求解．
解：（1）证明：延长 到 ，使 ，连接 ．
∵ ，
∴ 为线段 的中垂线，
∴ ，
∴ ．
在 中， ．
又 ，∴ ．
在 中， ，
∴ ．
∴
∴ ．
即 ．
（2）解：延长 到E，使 ，连接CE，
∵ ，
∴ 为线段 的中垂线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，
通过作辅助线构造等腰三角形是解题的关键．【变式】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图， 中， ， 分别为 的
高，角平分线，下列四个结论：
① ；② ；③ ；④ ．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，正
确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
在 上取一点F，使得 ，连接 ，根据全等三角形的判定和性质得出
，再由三角形外角的性质及等量代换即可判断③；在DB上截取
，利用全等三角形的判定和性质及等量代换可判断②③；设 ，则 ，分别表示出
各个角即可判断④．
解：如图所示，在 上取一点F，使得 ，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
如图在DB上截取 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确，
∵ ，
∴ ，故②错误；
设 ，则 ，
∴ ， ，
∵ 为 的角平分线，
∴ ，∴ ，
∴ ，故④正确；
故答案为：①③④．
【题型8】倍长中线构造等腰三角形模型
【例8】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，AD是 的中线， 是AD上一点， 交 于
，若 ， ， ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质,延长AD到 使得 ，连接
，证明 ，根据全等三角形的性质可得到 ，等量代换得到
，再由已知条件即可解决问题；
解：如图，延长AD到 使得 ，连接 ，
∵AD是 的中线，
∴ ，
在 与 中，，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
又∵
∴
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
故选：D．
【变式】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在 中，D是 的中点，E是 上一点，
， 的延长线交 于点F，若 ， ，则求 的度数为 ．
【答案】 /32度
【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的
关键．延长 到 G 使 ，连接 ，通过 ，根据全等三角形的性质得到
， ，等量代换得到 ，由等腰三角形的性质得到 ，即可得到
，进而利用三角形内角和解答即可．
解：如图，延长 到G使 ，连接 ，在 与 中，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：
第三部分【拓展延伸】
【题型9】拓展延伸
【例1】（23-24八年级上·北京·期末）如图， 中， 分别平分 和 ，过点 作
交 于点 ，交 于点 ，那么下列结论：
① ；
② 为等腰三角形；
③ 的周长等于 的周长；④ ．其中正确的是
【答案】①②④
【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、
三角形的三边关系等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键．
①根据角平分线的定义、平行线的性质，借助于等量代换可求出 ；
②同理可得②的结论；③用特殊值法，当 为等边三角形时，连接 ，根据等边三角形的性质，角
平分线定义和等腰三角形的判定便可得出 ，
进而得 ，便可得出： 的周长不等于 的周长；
④利用两次三角形的内角和定理，以及角平分线的定义，进行等量代换，可求的 和 之间的
关系式．
解：①∵ 是 的角平分线，
∴ ，
又 ，
，
，故①正确；
②同理 ，
，
为等腰三角形，故②正确；
③假设 为等边三角形，则 ，如图，连接 ，
∵ ，，
的周长 ，
∵F是 的平分线的交点，
∴第三条平分线必过其点，即 平分 ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
，
，
即 的周长 的周长，故③错误；
④在 中， （1），
在 中， ，
即 （2），
得 ，故④正确；
故答案为：①②④
【例2】（23-24八年级上·上海普陀·期末）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平
分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系．
如图1，已知在 中，BD是 的角平分线， 是 的中线， ，垂足为点F．
（1）根据图1，写出 中小普同学所发现的结论，并给出证明；
【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内
角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究：
（2）在如图1中，“线垂”三角形 是否可以是直角三角形？如果可以，求 的度数；如果不
可以，请说明理由；
（3）已知线段 ，是否存在一点P，使得以 为一边的“线垂”三角形PMN为等腰三角形？如果存
在，请在图2中用直尺和圆规做出 为“分角”的“线垂”等腰三角形 （不写作法，仅保留作
图痕迹，在图中清楚地标注出点P），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关
的真命题；如果不存在，请说明理由．【答案】（1） ，证明见解析；（2） ；（3）见解析
【模型】综合模型
【分析】本题考查垂直平分线性质及画法，角平分线性质，中线定义
（1）利用角平分线性质及垂直的定义得到 ，即 为等腰三角形，再根据中线定义即
可得到本题答案；
（2）根据（1）中结论即角平分线性质即可得到本题答案；
（3）画出线段 的垂直平分线找出点 ，根据垂直平分线性质写出真命题即可．
解：（1）解： ，证明如下：
∵BD是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵AE是 的中线，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：可以，证明如下：
当 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵BD是 的角平分线，
∴ ，
∴ ；（3）解：存在，
∵根据题意描述，点 在线段 的垂直平分线上，作图如下：
真命题：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
