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专题07.三角形中的特殊模型-平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型
角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各
大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全
等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
平分平行（射影）构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型）
模型1、平分平行（射影）构等腰
1）角平分线加平行线必出等腰三角形．
模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线
及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总
结）。
平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。
图1 图2 图3
条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。
条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。
条件：如图3，在 中， 平分 ， 平分 ，过点O作 的平行线与 ， 分别
相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。
2）角平分线加射影模型必出等腰三角形．
C
E
×
×
F
○ ×
B D A→ ○ 图4
条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。
例1．（2023春·海南·八年级统考期末）如图，直线 ，点C、A分别 、 上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交 、 于点D、E；分别以D、E为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点F；作射
线 交 于点B．若 ，则 的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
例2．（2022秋·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点
E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝11，则线段MN的长为 ．
例3．（2023·重庆·八年级期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点
G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC= ．
例4.（2023.成都市青羊区八年级期中）如图，在 中， ， 于点D， 的平
分线BE交AD于F，交AC于E，若 ， ，则 _____________．
例5．（2023.山东八年级期末）如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作
EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.
(2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与
BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过
O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.
模型2、角平行线第二定理（内角平分线定理和外角平分线定理）模型
1）内角平分线定理
A
C
B
D
图1 图2 图3
条件：如图1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线。 结论：
2）外角平分线定理
条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论： ．
3）奔驰模型
条件：如图3， 的三边 、 、 的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将 分
为三个三角形。结论： =c：a：b。
例1．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）如图，在 中， ， ， ， 是
的平分线，设 和 的面积分别是 ， ，则 ．
例2．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考期中）如图， 的三边 、 、 的长分别为 、、 ，其三条角平分线将 分成三个三角形，则 （ ）
A． B． C． D．
例3．（2022秋·河南南阳·八年级校考期末）我们已经学习过角平分线性质定理，即：角平分线上的点到
角两边的距离相等．如图，已知 的角平分线BD交边AC于点D．
(1)求证： = (2)求证： = ；(3)如果BC=4，AB=6，AC=5，那么CD=______．
例4、△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，求证： ．
例5.（2022秋·北京·八年级校考期中）在 中，D是 边上的点（不与点B、C重合），连接 ．(1)如图1，当点D是 边的中点时， _____；
(2)如图2，当 平分 时，若 ， ，求 的值（用含m、n的式子表示）；
(3)如图3， 平分 ，延长 到E．使得 ，连接 ，若 ，求
的值．
课后专项训练
1．（2023春·山东淄博·九年级校考期中）如图， 中， ，点I为 各内角平分线的交
点，过I点作 的垂线，垂足为H，若 ， ， ，那么 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（2022秋·山东聊城·八年级校联考期中）如图，在 中， ， ， 是
的平分线，设 和 的面积分别是 ， ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
3．（2023秋·云南楚雄·八年级统考期末）如图， 的三边 、 、 的长分别是8，10，14，其
三条角平分线交于点O，将 分为三个三角形，则 等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·广东广州·八年级校考阶段练习）如图， 是 的角平分线， 、 分别是 和
的高，下列说法中正确的有（ ）个.
1） 垂直平分 ；2） ；3） ；4）四边形 的面积是 面积的一半
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023春·湖南岳阳·八年级统考期末）如图， 是 的角平分线， 相交于点
于 ， ，下列四个结论：① ；② ；③若 的周长为
，则 ；④若 ，则 ．其中正确的结论有（ ）个．A． B． C． D．
6．（2023春·山东·七年级专题练习）如图， 中， 与 的平分线交于点 ，过点 作
交 于点 ，交 于点 ，那么下列结论：
① 和 都是等腰三角形；② ；③ ；④若 ，则 ．
其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023·广东·八年级期中）如图，已知 ， 平分 ， ，则 （ ）
A．105° B．120° C．130° D．150°
8．（2023秋·四川南充·八年级校考期末）如图， 内角 和外角 的平分线交于点 ，
交 于点 ，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，有以下结论；①
；② ；③若 ，则 ；④ ；⑤
．其中正确的结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在 中，已知 和 的平分线相交于点F，过点
F作 ，交 于D，交 于E，若 ，则 的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．（2022秋·江苏宿迁·八年级校考期末）如图，在 中， ，垂足为D，
平分 ，交 于点E，交 于点F．若 ，则 的长为（ ）
A． B．3 C． D．
11．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，
AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，则下列结论成△立的是（ ）
A．EC＝EF B．FE＝FC C．CE＝CF D．CE＝CF＝EF
12．（2023·成都市·八年级期中）如图，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC，交AB 于E，∠A=60º， ∠BDC=95º，则∠BED的度数是（ ）
A．35° B．70° C．110° D．130°
13．（2023春·陕西咸阳·八年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）如图，在 中， ，
点 为 的边 上一点，点 分别在边 上，连接 ，若 ，则
的度数为 ．
14．（2023秋·安徽滁州·八年级统考期末） 中，D是 边上的点（不与点B，C重合），连接 ．
（1）如图1，当 平分 时，若 ， ，则 ；
（2）如图2， 平分 ，延长 到E，使得 ，连接 ，如果 ， ，
，则 .
15．（2022秋·天津·八年级校考期中）如图，在 中， 是 的平分线，延长 至E，使
，若 ， 的面积为9，则 的面积是 ．16．（2022秋·湖北荆门·八年级统考期末）如图，在 中， 于点D，G是 延长线上一点，
平分 ，且 ，E是 上一点，连接 并延长交 于点F．
(1)求证： ；(2)猜想并证明：当E在 何处时， ．
17．（2023·浙江八年级课时练习）如图，已知 、 的平分线相交于点 ， 过点 且
．
（1）若 ， ，求 的度数；
（2）若 ， ，求 、 的度数．
18．（2023广东江门八年级月考）（1）如图1，已知，在 中， ， 平分 ，
平分 ，过点 作 ，分别交 、 于 、 两点，则图中共有________个等腰三角
形： 与 、 之间的数量关系是________， 的周长是________．
（2）如图2，若将（1）中“ 中， ”改为“若 为不等边三角形， ，
”其余条件不变，则图中共有________个等腰三角形； 与 、 之间的数量关系是什么？证
明你的结论，并求出 的周长．（3）已知：如图3， 在 外， ，且 平分 ， 平分 的外角 ，过点
作 ，分别交 、 于 、 两点，则 与 、 之间又有何数量关系呢？写出结论并
证明．
19.（2023·吉林·八年级校考期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．【定理证明】结合图①，“角平分线的性质定理”证明过程中．运用了 与 全等，全等最直接
的依据是
【定理感知】如果教材中的已知条件不变，如图①，当 ， 时，则 面积为 ．
【定理应用】如图②，在 中， 平分 交 于点D．求证：
【拓展应用】如图③，在 中， ， ， ，将 先沿 的平分线 折
叠，再剪掉重叠部分（即四边形 ），再将余下部分沿 的平分线 折叠，再剪掉重叠部分，
直接写出剩余的 的面积为 ．
20．（2022秋·福建厦门·八年级厦门市湖里中学校考期中）如图， 为 的角平分线．
（1）如图1，若 于点 ，交 于点 ， ， ．则 ________；
（2）如图2，若 ， ， 的面积是10，求 的面积；
（3）如图3，若 ， ， ，请直接写出 的长（用含 ， 的式子表示）
