文档内容
专题 03 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型
目录
A题型建模・专项突破
题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型..........................................................................................1
题型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型...........................................................................4
题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型..........................................................................................8
题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型................................................................................12
B综合攻坚・能力跃升
题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型
1．如图，在三角形 中， 平分 平分 ，其角平分线相
交于D，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，理解三角形内角和定理是解题的关键．根据角
平分线的定义以及三角形内角和定理即可求得．
【详解】解： ， ， 平分 ， 平分 ，
，
．
故选：C．
2.如图1，在 中， 是 的角平分线；
(1)填写下面的表格．
的度数的度数
(2)试猜想 与 之间存在一个怎样的数量关系，并证明你的猜想；
【答案】(1)见解析
(2) ，证明见解析
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形内角和问题：
（1）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，得到 ，逐一进行计算即可；
（2）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 时， ；
时， ；
时， ；
填表如下：
的度数
的度
数
（2） ，证明如下：
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
3.模型认识：我们学过三角形的内角和等于 ，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，
接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动．
如图①，在 中， 、 分别是 和 的角平分线．
解决问题：(1)若 ， ，则 ______；（直接写出答案）
(2)若 ，求出 的度数；
拓展延伸：(3)如图②，在四边形 中， 、 分别是 和 的角平分线，直接写出
与 的数量关系．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数；
（2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数；
（3）根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠BPC与∠A+∠D的数量关系．
【详解】（1）解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠ABC=40°，∠ACB=80°，
∴∠PBC= ∠ABC= ×40°=20°，∠PCB= ∠ACB= ×80°=40°．
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-20°-40°=120°； 故答案为：120°；
（2）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB．
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°- （180°-∠BAC）=90°+ ∠BAC，
∵∠BAC=100°， ∴∠BPC=90°+ ∠BAC=90°+ ×100°=140°；
（3）∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线， ∴∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠DCB．
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°- （360°-∠A-∠D）= （∠A+∠D）．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个
解答思路求解是解题的关键．题型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型
4．如图，点D为 边 的延长线上一点，若 ， ， 的角平分线与
的角平分线交于点M，则 度．
【答案】30
【分析】本题考查了三角形的外角定理，与角平分线有关的计算．解题的关键是掌握三角形的一个外角等
于与它不相邻的两个内角之和，以及角平分线的定义．
先根据 ， ，求出 ，进而得出
，最后根据三角形的外角定理即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：30．
5．如图、在四边形 中、 平分 ，且与四边形 的外角 的角平分线交于点 ，
若 ，求 的度数．
【答案】
【分析】本题考查三角形外角的定义和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等，延长 交于
点 ，先根据 计算出 的度数，根据三角形外角的性质可得，根据角平分线的定义可得 ，
进而可得 ．
【详解】解∶如图，延长 交于点 ．
，
．
．
，
又 平分 平分 ，
，
．
6．他阅读下面的材料，并解决问题
(1)在 中， ，图1， 是两内角平分线的夹角：图2， 是内角和外角角平分线的夹角；
图3， 是两外角平分线的夹角，请直接写出 的度数．
如图1， 如图2， ； 如图3， ；如图4， 和 的三等分线相交于点 ，则
．
(2)如图5所示，在 中， 的三等分线 、 和 的平分线 相交于点 和点 ，
， 度，求 的度数．【答案】(1) ； ； ； 或
(2)
【分析】（1）如图1，由角平分线的定义得出 ， ，再结合三角形的内
角和定理得出 ，计算即可得解；如图2，由角平分线的定义得出
， ，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解；如图3，由角平分
线的定义得出 ， ，由邻补角结合三角形内角和定理求出
，从而得出 ，再由三角形内角和定理计算即可得解；分两种情
况：当 ， 时，当 ， 时，结合三角形内
角和定理，分别计算即可得解；
（2）由题意得出 ， ， ， ，由三角
形外角的定义及性质得出 ，从而得出 ，再由三角形内角和
定理得出 ，即可得出 ，最后再由三角形内角和定
理计算即可得解．
【详解】（1）解：如图1：
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴
；如图2：
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
如图3，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ 和 的三等分线相交于点 ，
∴当 ， 时，
，
∴ ；
当 ， 时，
，∴ ；
故 和 的三等分线相交于点 ，则 或 ；
（2）解：∵ 的三等分线 、 和 的平分线 相交于点 和点 ，
∴ ， ， ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义、邻补角等知识点，
熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型
7．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，在 中， 和 的角平分线交于点O，
和 的角平分线交于点D， 和 的角平分线交于点E，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线定义、三角形外角的应用等知识点，熟知三角形的外角性质是解答此题的关
键．
根据角平分线的定义有 、 得 ，根据外角的性质
进而完成解答．
【详解】解： 平分 ， 平分 的外角，
∴ 、 ，，
∴ ，
∵ ，
．
故选：C．
8．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图①，在 中， 与 的平分线相交于点 ．
(1)如果 ，求 的度数；
(2)如图②，作 外角 ， 的角平分线交于点 ，探索 、 之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查与角平分线有关的三角形内角和问题，利用数形结合的思想是解题关键．
（1）由三角形内角和定理可求出 ，再根据角平分线的定义可得出 ，
，从而可求出 ，最后再次利用三角形内角和定理即可求出 ；
（2）由三角形内角和定理和角平分线定义可求出 ，再根据角平分
线的定义得出 ，从而可求出
，最后再次利用三角形内角和定理即可求出
．由此可得 ．
【详解】（1）解： 在 中， ，
；
平分 平分 ；
；；
；
（2） 平分 平分 ；
设 ；
；
得： ；
平分 平分 ；
设 ；
， ，
，
；
；
；
；
，
、 之间的数量关系为 ．
9．如图①，在 中， 与 的平分线相交于点P．
(1)若 ，则 的度数是 ；
(2)如图②，作 外角 ， 的角平分线交于点Q，试探索 ， 之间的数量关系；
(3)如图③，延长线段 ， 交于点E，在 中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出
的度数是 ．【答案】(1)
(2) ，理由见解析
(3) 或 或 或
【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角平分线定义．
（1）根据角平分线定义及三角形内角和定理得 ，则
，再根据 可得 的度数；
（2）由三角形的外角定理及三角形三角形内角和定理得 ，再由角平分线定义得
，由此得 ， 之间的数量关系；
（3）先求出 ，根据 得 ，然后分四种情况讨论如下：①当
时，②当 时，③当 时，④当 时，分别列方程计算即可．
【详解】（1）解：在 中， ，
与 的平分线相交于点 ，
， ，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）解： ， 之间的数量关系是： ，理由如下：
， ， ，
，
点 是 和 的角平分线的交点，
，
，
，故 ， 之间的数量关系是： ；
（3）解： 平分 ， 平分 ， ，
， ，
，
即 ，
，
由（2）可知： ，
，
，
如果在 中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么有以下四种情况：
①当 时，则 ，
，
此时 ，
②当 时，则 ，
，则 ，
此时 ，
③当 时，则 ，
，
此时 ，
④当 时，则 ，
，
，
此时 ，
综上所述， 的度数是 或 或 或 ，
故答案为： 或 或 或 ．
题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型
10．如图， 是 的角平分线，E为边 上一点，过点E作 交 的延长线于点F．若
，则 的大小为 度．【答案】13
【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理及外角的性质，先利用三角形内角和定理求出
，再根据角平分线的定义求出 ，进而求出 ，由
即可解答．
【详解】解： ，
，
是 的角平分线，
，
，
，
，
，
，
故答案为：13．
11．如图 ， ， 分别是 的角平分线和高．
（1）若 ， ，则 的度数为 ．
（2）如图 ， 平分 ，点 是 延长线上一点，过点 作 于点 ，则 与 ，
的数量关系是 ．
【答案】 ； ．
【分析】（ ）先根据三角形的内角和定理得到 的度数，再利用角平分线的定义求出 的度数，
根据三角形外角的性质求出 ，再根据直角三角形两锐角互余进行求解即可；
（ ）根据三角形内角和先得到 ，再根据角平分线的定义得到，再根据内角和定理以及对顶角的性质求出 ，继而利用直角
三角形两锐角互余即可证得结论；
本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义等，准确识图，灵活运用相关知
识是解题的关键．
【详解】（ ）∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（ ）∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12．如图，在 中， ， 是 的角平分线，P为线段 上的一个动点， 交
直线 于点E．
(1)若 ， ，求 的度数；(2)爱动脑的慧慧发现，当P点在线段 上运动时，若 是锐角，则 ，请聪明的你说
说结论成立的理由．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，掌握三角形的内角和定
理是解题的关键．
（1）根据三角形的内角和定理得到 ，然后根据角平分线的定义得到 ，可得
，然后利用直角三角形的两锐角互余解题；
（2）根据角平分线和三角形的内角和得到证明 ，再证明
，然后再利用直角三角形的两锐角互余解题即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵AD平分 ，
∴ ，
∵ 是△ABD的外角
∴ ，
∵
∴
∴ ；
（2）证明：∵AD平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是△ABD的外角，
∴ ，
，∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
即 ．
一、单选题
1．（24-25八年级上·青海果洛·期末）如图，点O在 内，且点O是 两个角平分线的交点．若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，解一元一次方程．
设 ，则 ，再根据 分别平分 和 得
，则 ，即可求解．
【详解】解：设 ，则 ，
∵ 平分 和 ，
∴ ，
∴ ，
解之得： ，
故选：A．
2．（24-25八年级上·湖北十堰·期中）如图， 、 是 的外角角平分线，若 ，则 的
大小为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查角平分线以及三角形内角和的运用，首先根据三角形内角和与 得出
，然后根据角平分线的性质得出 和 的外角和，进而得出 ，即可
得解．
【详解】
、 是 的外角角平分线
（ ）
故选：D．
3．如图，在 中， ， 与 的角平分线交于 ， 与 的角平分线交于
点 ，依此类推， 与 的角平分线交于点 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，解题的关键是找出规律：
先根据内角和定理求出 ，根据角平分线即可得到半角和，再结合内角和定理即可求出中间
角的关系，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，
∵ 与 的角平分线交于 ，∴ ，
同理可得，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
4．（22-23七年级下·福建漳州·期末）如图，在 中， 是角平分线， 是边 上的
高，延长 与外角 的平分线交于点 ．以下四个结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由三角形的角平分线的含义可判断①，由三角形的高的含义可判断②，证明 ，
， ， ，可判断③，由 ，
，可得 ，从而可判断④，从而可得答案．
【详解】解：∵ 是 角平分线，
∴ ，故①符合题意；
∵ 是边 上的高，
∴ ，故②符合题意；
∵ 是 角平分线， 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③不符合题意；
∵ ， ，
∴
，故④符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线与高的含义，三角形的外角的性质，
灵活运用三角形的外角的性质解决问题是关键．
二、填空题
5．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图， ， 分别是 的角平分线和高，若 ，
，则 ．
【答案】 /10度
【分析】此题考查了三角形内角和定理，在 中，由 与 的度数求出 的度数，根据
为角平分线求出 的度数，由 即可求出 的度数．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ 是 的高，
∴ ，
则 ，
故答案为： ．
6．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图， 、 的角平分线相交于点P，若 ，
，则 的度数为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，延长 交 于点 ，设 ，利
用三角形外角的性质表示出 的度数，结合角平分线的等腰得到 度数，根据
列出等式，即可求出 ．
【详解】解：延长 交 于点 ，设 交于F，
设 ，
平分 ，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
7．如图，已知 的内角 ，分别作内角 与外角 的平分线，两条角平分线交于点 ；
作 和 的平分线交于点 ；以此类推得到点 ，则 的大小为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查三角形的外角性质，规律型：图形的变化类，应用三角形的外角性质，由特殊情况总结出一般规律，即可得到答案．
【详解】解：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
同理： ，
∴ ．
故答案为： ．
8．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）已知，如图1，在 ， 、 的角平分线交于点
O，则 ．如图2，在 中， 、 的两条三等分角线分
别对应交于 、 ，则 ， ．
根据以上阅读理解，你能猜想（n等分时，内部有 个点）（用n的代数式表示）
； ．
【答案】
【分析】本题考查了与角平分线有关的计算等知识．根据三角形内角和得求出 ，
， ， ，问题得解．
【详解】解：，
，
，
……，
∴
．
故答案为： ； ．
三、解答题
9．（23-24七年级下·江苏扬州·期中） 中， ， 是高， 是三角形的角平分线．
(1)当 ， 时，求 的度数；
(2)根据第（1）问得到的启示， 与 之间有怎样的等量关系，并说明理由．
【答案】(1) ；(2) ，理由见解析．
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理：
（1）由三角形内角和定理求得 ，根据角平分线的定义求得 ，进而根据角的和差关系
即可得到答案；
（2）由三角形内角和定理求得 ，根据角平分线的定义求得 ，进而根据角的和差关系
即可得到结论．
【详解】（1）解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ 是高， 是三角形 的角平分线．，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
在 中， ，
∵ 是 的高，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴
．
即 ．
10．如图，在 中， 是 的角平分线，点 在边 上，且不与点 重合， 与 交于
点 ．
(1)若 是 的高，且 ，则 的度数为 ；
(2)若 是 的角平分线， ，求 的度数．
【答案】(1)(2)
【分析】（ ）由三角形角平分线的定义得 ，由三角形高的定义得 ，进而
根据三角形外角性质即可求解；
（ ）由三角形内角和定理得 ，进而由三角形角平分线的定义得
，最后根据三角形内角和定理即可求解．
本题考查了三角形的角平分线，三角形的高，三角形的外角性质和内角和定理，掌握以上知识点是解题的
关键．
【详解】（1）解：∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ 是 的高，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 、 是 的角平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
11．（24-25七年级下·河南南阳·期末）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的角的探究片段，完成
所提出的问题．
探究1：如图1，在 中，O是 与 的平分线 和 的交点，通过分析发现
，理由如下：
∵ 和 分别是 和 的角平分线
∴ ，
∴ ；
又∵ ，
∴ ① ；
∴ ② ．
请完成探究1的填空， _______， _________；探究2：如图2中，O是 与外角 的平分线 和 的交点，试分析 与 有怎样的
关系？请说明理由．
探究3：如图3中，O是外角 与外角 的平分线 和 的交点，则 与 有怎样的
关系（只写结论，不需证明）？
结论：___________________．
【答案】探究1：① ；② ；探究2结论： ，理由见解析；探究3：
，理由见解析
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，熟练掌握相关知识点，是解题
的关键：
探究1：根据步骤，三角形的内角和定理，进行作答即可；
探究2：根据角平分线的定义，三角形的外角的性质，进行推导即可；
探究3：根据角平分线的定义，三角形的内角和定理进行推导即可．
【详解】解：
探究1：∵ 和 分别是 和 的角平分线
∴ ，
∴ ；
又∵ ，
∴ ；
∴ ．
探究2结论： ，
理由如下：
∵ 和 分别是 和 的角平分线，
∴ ，又∵ 是 的一外角，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的一外角，
∴ ；
探究3： ．
∵ ，，O是外角 与外角 的平分线 和 的交点，
∴ ，
∴ ，
，
．
12．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）【结论发现】（1）如图1，在 中， ，点E是
的内角 平分线与外角 平分线的交点，求 的度数；
（2）如图2，在 中， ，延长 至点E，延长 至点D，已知 的角平分线与
的角平分线交于点P， 的角平分线与 的角平分线反向延长线交于点F，求 的度数；
【拓展延伸】（3）如图3， 是四边形 的内角 的角平分线， 是四边形 的外角
的角平分线，形成如图所示形状，已知 ， ，求 的度数．【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）设 ，由角平分线定义得 ，
由三角形外角定理得 ，则 ，
据此得 ，因此当 时可得 的度数；
（2）先求出 ，进而得 ，再由（1）可知 ，据此可得 的度数；
（3）延长 交于 ，延长 交于 ，先求出
，再根据 得 ，
则 ，由此可得 的度数．
【详解】解：（1）设 ，
∵ 平分 平分 ，
，
，
，
整理得： ，
∴当 时， ；
（2）∵ 和 是邻补角，
，
∵ 平分 平分 ，
，
，
即 ，
，由（1）可知 ，
；
（3）延长 交于 ，延长 交于 ，如下图所示：
，
，
，
即 ，
同理： ，
，
，
由（1）可知： ，
．
【点睛】此题主要考查了角平分线定义，邻补角定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，准确识
图，理解角平分线定义，邻补角定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理是解决问题的关
键．
13．（24-25七年级下·吉林·期中）如图1， 中， 的角平分线和 的角平分线交于点D
(1)若 ，则 _________．
(2)从上述计算中，我们能发现： _________________（用含 的代数式表示）；
(3)如图2， 中， 的角平分线和 的角平分线交于点 ，请用含 的代数式表示 ，并说明理由．
(4)如图3， 的角平分线和 的角平分线交于点 ，如此继续下去，可得 ， ，…， ，请
写出 与 的数量关系为_________________．（直接写出结果即可）．
【答案】(1)
(2)
(3) ，理由如下：
(4)
【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练
掌握其性质定理．
（1）利用 求出 ，再利用角平分线的性质求出 ，即可求解；
（2）结合（1）的过程得 ，即可作答．
（3）利用三角形的外角性质得出 ， ，从而可得
， ，再利用角平分线的性质，即可证明；
（4）与（3）同理先求出 ，则得 ，再观察规律，得即可求解．
【详解】（1）解：∵ 的角平分线和 的角平分线交于点D，
∴
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
（2）解：由（2）得出 ，
故答案为： ．
（3）解：依题意， ， ，
， ，
∵ 的角平分线和 的角平分线交于点 ，， ，
，
；
（4）解：依题意， ， ，，
∴ ， ，
∵ 的角平分线和 的角平分线交于点 ，
， ，
，
由（3）可知：
，
，
同理得
，
以此类推，得 ，
故答案为： ．
14．综合与探究
【问题发现】
在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题．
（1）数学课代表发现在图1中，若 与 的平分线交于点P，则 与 之间存在一定的
数量关系，下面是不完整的探究过程，请补充完整．
， 分别是 和 的平分线，
， ．
，
，……
【问题探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，作 的外角 ， 的平分线交于点Q，试说明
．
【问题拓展】
（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段 ， 交于点E，在 中．
①请说明 与 之间的数量关系．
②当 与 两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出 的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）① ，② 或
【分析】本题考查了角平分线的定义．三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角的和是解题的关键．
（1）先根据角平分线的性质得出 ， ，在有三角形内角和定理得出
，利用等量代换即可得出结论；
（2）先根据角平分线的性质得出 ， ，再由三角形的外角的性质即可得出
结论；
（3）①先根据角平分线的性质得 ， ，
，再根据三角形的内角和定理得出 根据 ，即可得出结论；②延长 至点
F，根据角平分线的定理得出 ，然后分、和 两种情况讨论即可得出结论；
【详解】[问题发现]
（1） ， 分别是 和 的平分线，
， ，
，
，，
，
；
[问题探究]
（2） ， 分别是 ， 的平分线，
， ，
， ，
， ，
，
，
，
由（1）知 ，
，
[问题拓展]
（3）① 是 的平分线， 是 的平分线，
， ，
，
，
，
由（2）知 ，
；
②延长 至点F，是 的外角 的平分线，
是 的外角 的平分线，
，
是 的平分线，
，
即 ，
，
即 ，，
，
在 中 ， 与 都是锐角，
当 时，
，
，
，
，
当 时
，
，
，
，
综上所述， 的度数为 或 ．
15．（24-25八年级上·江西上饶·期中）问题情境：
如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”， 叫
“规角”．
【探究发现】
（1）观察“规形图”，试探究规角 与 之间的数量关系，并说明理由；【解决问题】
（2）请你利用以上结论，解决下列问题：
（i）如图②，在 中， 的平分线交于点P，若 ，则 度，若 ，则
度（用含 的式子表示）；
（ii）如图③， 平分 平分 ，若 的度数 ．
【延伸探究】
（3）如图④，在 中， 的平分线与 的外角 的平分线交于点P，过点C作
于点H，若 ，求 的度数；
【拓展应用】
（4）如图⑤，在 中， ，点I为 三条内角平分线交点，连接 ．延长
，与 的外角 的角平分线交于点P，与 交于点Q．在 中，如果有一个角是另一个
角的2倍，直接写出 的度数为 ．
【答案】（1） ，理由见解析
（2）（i） ， ；（ii）
（3）
（4） 或
【分析】本题考查三角形外角的性质、角平分线线的定义及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角
和内角的关系．
（1）连接 并延长至点F，根据外角的性质，可得 ，再求解
即可；
（2）（i）在 中， ，可得 ，再由角平分线的定义可得 ，可得出
，在 中， ，可得
，再求解即可；当 时，按照同样的方法求解即可；
（ii）先求出 ，再由角平分线的定义可得
，再求解即可；
（3）先求得 ， 再由外角的性质可得 ，即：
，得出 ，即可得到 ，在 中，
，再求解即可；
（4）分为 ， ， ， ，这四种情况
求解即可．
【详解】解：（1）如图①，连接 并延长至点F，
根据外角的性质，可得 ，
又∵ ， ，
∴ ；
（2）（i）在 中， ，
∴ ，
∵ 的角平分线交于点P，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
，
，，
在 中， ，
∴ ，
∵ 的角平分线交于点P，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
，
，
，
故答案为： ， ；
（ii）由（1），可得 ，
，
∴ ，
又∵ 平分 平分 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）如图④，
∵ 是 的外角， ，
∴ ，
即 ，∵ 是 的外角，
∴ ，
即： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
（4）如图⑤，由前面结论易得
；
在 中有一个角是另一个角的2倍，
∴① ，
∴
∴ ；
② ，
∴ ，
，
∴ ；
③
∴
∴ ；
④ ，不存在
∴在 中有一个角是另一个角的2倍时， 为 或 ．
故答案为： 或 ．
16．（24-25七年级下·河南南阳·期末）直线 与 相互垂直，垂足为点 ，点A在射线 上运动，点
在射线 上运动，点A、点 均不与点 重合．(1)如图①， 平分 平分 ，若 ，求 的度数；
(2)如图②， 平分 平分 的反向延长线交 于点 ；
①若 ，则 度（直接写出结果，不需说理）
②点A、 在运动的过程中，若 ，试求 的度数．
(3)如图③，已知点 在 的延长线上， 的角平分线 、 的角平分线 与 的角平分
线所在的直线分别相交于点 、 ，在 中，如果某一个角是 的4倍，请直接写出 的度
数．
【答案】(1)
(2)①45；②
(3) 或
【分析】本题主要三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角、角的和差等知识，掌握分类讨论
的思想思是解题的关键．
（1）先求出 ，再根据 求解即可；
（2）①根据 ，只要求出 即可．②由已知条件和角平分线的定义可得
，再根据 计算即可．
（3）首先证明 ，再分 、 、 、
四种情形分别进行计算即可．
【详解】（1）解：如图①：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 平分 ，
∴ ，
∴ ．（2）解：如图②：
①∵ ，
∵ 平分 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
②∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴点A、B在运动的过程中， ．
（3）解：如图③：
∵ 的角平分线 、 的角平分线 与 的角平分线所在的直线分别相交于点D、F，
∴ ，∴ ，
∴ ，
①当 时，即 ，
∴ ．
②当 时，即 ，
∴ （不合题意舍弃）．
③当 时，
∵ ，即 ，
∴ ．
④当 时， ，
∴ （不合题意舍弃）．
综上所述，当 或 时，在△ADF中，有一个角的度数是另一个角的4倍．
