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专题15 等腰三角形中综合问题的探究
类型一 等腰三角形、角平分线与平行线的知二推三模型
1．（2022秋•汉寿县期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交
AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；
1
③△ADE的周长等于边AB与AC的和；④BF＝CF；⑤∠BFC＝90°+ ∠A．其中一定正确的是（
2
）
A．①②⑤ B．①②③④ C．①②④ D．①②③⑤
【思路引领】①根据平行线性质和角平分线定义可以得DE∥BC，从而得到△BDF和△CEF都是等腰
三角形；②同①有DF＝DB，FE＝EC，所以DE＝DF+EF＝BD+CE；③由②得：△ADE的周长为：
AD+DE+AE＝AB+BD+CE+AE＝AB+AC；④因为∠ABC不一定等于∠ACB，所以∠FBC不一定等于
∠FCB，所以BF与CF不一定相等；⑤由角平分线定义和三角形内角和定理可以得解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠FBC＝∠DBF，∠FCE＝∠FCB，
∴∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，
∴DF＝DB，FE＝EC，
即△BDF和△CEF都是等腰三角形；故①正确；
∴DE＝DF+EF＝BD+CE，故②正确；
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AB+BD+CE+AE＝AB+AC，故③正确；
∵∠ABC不一定等于∠ACB，
∴∠FBC不一定等于∠FCB，
∴BF与CF不一定相等，故④错误；1 1
由题意知，∠FBC= ∠ABC，∠FCB= ∠ACB，
2 2
∴
1 1 1 1
∠BFC=180°−(∠FBC+∠FCB)=180°− (∠ABC+∠ACB)=180°− (180°−∠A)=180°−90°+ ∠A=90°+ ∠A
2 2 2 2
故⑤正确，
故选：D．
【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质及三角形的内角和
定理；题目利用了两直线平行，内错角相等及等角对等边来判定等腰三角形；等量代换的利用是解答本
题的关键．
2．（2023秋•南宫市期末）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，EF∥AB交AC
于点F．求证：△FEC是等腰三角形．
【思路引领】利用平行线以及角平分线的定义证明∠2＝∠3，再根据等角的余角相等证明∠4＝∠5即
可解决问题；
【解答】证明：如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵EF∥AB，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∵CE⊥AD 于点 E，
∴∠AEC＝90°，∴∠3+∠4＝90°，
∴∠2+∠5＝90°，
∴∠4＝∠5，
∴FE＝FC，
∴△FEC是等腰三角形．
【总结提升】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知
识，属于中考常考题型．
3．（2020秋•播州区期末）已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC．
（1）如图1，如果点E是边AC的中点，AC＝8，求DE的长；
（2）如图2，若DE平分∠ADC，∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝9，求DF的长．
【思路引领】（1）根据角平分线定义得到∠BCD＝∠ACD，由于DE∥BC，根据平行线性质得∠EDC
＝∠BCD，则∠EDC＝∠ACD，然后根据等腰三角形的判定得ED＝EC，由点E是边AC的中点，AC＝
8，得EC＝4，所以DE＝4；
（2）作DG⊥BC于点G，易求GB、GF的长，再根据在直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边
的一半即可求出DF的长．
【解答】解：（1）∵DC平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴ED＝EC，
∵点E是边AC的中点，AC＝8，
1
∴EC= AC＝4，
2
∴DE＝4；（2）∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠CDE＝∠BCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC．
如图2，作DG⊥BC于点G，
∵DB＝DC，DG⊥BC，
1 1
∴GB= BC= ×9＝4.5，
2 2
∵∠ABC＝30°，BF＝DF，
∴∠BDF＝∠B＝30°，
∴∠DFG＝∠B+∠BDF＝60°，
∴∠FDG＝30°，
∴BF＝DF＝2FG，
∴GF＝1.5，
∴DF＝2FG＝3．
【总结提升】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质以及在直角三角形中 30°的锐角所对
的直角边是斜边的一半的性质，熟记各种几何图形的性质是解题的关键．
类型二 等腰三角形与轴对称或垂直平分线的综合
4．（2023秋•惠东县期末）如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称
点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．
（1）求证：CD＝CB；
（2）若∠ACN＝ ，求∠BDC的大小（用含 的式子表示）；
（3）请判断线段αPB，PC与PE三者之间的数α量关系，并证明你的结论．【思路引领】（1）根据对称性和等边三角形的性质可得结论；
（2）根据对称得：CN是AD的垂直平分线，则CA＝CD，根据等腰三角形的性质和等边三角形可得结
论；
（3）作辅助线，在PB上截取PF使PF＝PC，如图，连接CF．先证明△CPF是等边三角形，再证明
△BFC≌△DPC，则BF＝PD＝2PE．根据线段的和可得结论．
【解答】（1）证明：∵点A与点D关于CN对称，
∴CN是AD的垂直平分线，
∴CA＝CD，
∵等边△ABC，
∴CA＝CB，
∴CD＝CB；
（2）解：∵CN是AD的垂直平分线，CA＝CD．
∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠ACN＝ ，
∴∠ACD＝α2∠ACN＝2 ．
∵CB＝CD，∠ACB＝6α0°．
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝60°+2 ．
1 α
∴∠BDC＝∠DBC= （180°﹣∠BCD）＝60°﹣ ．
2
α
（3）结论：PB＝PC+2PE．
证明：在PB上截取PF使PF＝PC，如图，连接CF．
设∠ACN＝ ，
∵CA＝CD，α∠ACD＝2 ，
∴∠CDA＝∠CAD＝90°α﹣ ．
∵∠BDC＝60°﹣ ， α
∴∠PDE＝∠CDAα﹣∠BDC＝30°，
∴PD＝2PE．∵∠CPF＝∠DPE＝90°﹣∠PDE＝60°．
∴△CPF是等边三角形．
∴∠CPF＝∠CFP＝60°．
∴∠BFC＝∠DPC＝120°．
∴在△BFC和△DPC中，
{∠CFB=∠CPD
)
∠CBF=∠CDP
CB=CD
∴△BFC≌△DPC（AAS）．
∴BF＝PD＝2PE．
∴PB＝PF+BF＝PC+2PE．
【总结提升】此题是三角形综合题，主要考查了对称的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的性质，
三角形全等的性质和判定，第三问作出辅助线构建等边三角形是解本题的关键．
5．（2023春•凤城市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于
点E．
（1）若∠ABE＝50°，求∠EBC的度数；
（2）若△ABC的周长为43cm，BC的长为11cm，求△BCE的周长
【思路引领】（1）由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得出 AE＝BE，则可求得
∠ABE的度数，又由AB＝AC，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC的度数，继而求
得答案；
（2）求出AC和BC的值，再根据线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，求出△BCE的周长＝AC+BC，
代入求出即可．【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB
∴∠A＝∠ABE＝50°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
而∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
1
∴∠ABC= ×（180°﹣50°）＝65°，
2
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝65°﹣50°＝15°；
（2）∵△ABC的周长为43cm，BC＝11cm
∴AB＝AC＝16cm，
又∵DE垂直平分AB
∴EA＝EB，
∴△BCE的周长为：BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝16+11＝27cm．
【总结提升】此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质，能求出AE＝BE是解此题的关键，
此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
类型三 等腰三角形与翻折或旋转变换的综合
6．如图，等腰△ABC中，CA＝CB＝4，∠ACB＝120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将
△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ．
（1）证明：CP＝CQ；
（2）求∠PCQ的度数；
（3）当点D是AB中点时，请直接写出△PDQ是何种三角形．
【思路引领】（1）由折叠直接得到结论；
（2）由折叠的性质求出∠ACP+∠BCQ＝120°，再用周角的意义求出∠PCQ＝120°；
（3）先判断出△APD是等边三角形，△BDQ是等边三角形，再求出∠PDQ＝60°，即可．【解答】解：（1）∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴CP＝CD＝CQ；
（2）∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴∠ACP＝∠ACD，∠BCQ＝∠BCD，
∴∠ACP+∠BCQ＝∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝120°，
∴∠PCQ＝360°﹣（∠ACP+BCQ+∠ACB）＝360°﹣（120°+120°）＝120°；
（3）△PDQ是等边三角形．
理由：∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，
∴AD＝AP，∠DAC＝∠PAC，
∵∠DAC＝30°，
∴∠APD＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴PD＝AD，∠ADP＝60°，
同理：△BDQ是等边三角形，
∴DQ＝BD，∠BDQ＝60°，
∴∠PDQ＝60°，
∵当点D在AB的中点，
∴AD＝BD，
∴PD＝DQ，
∴△DPQ是等边三角形
【总结提升】此题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，
解本题的关键是判断出∠PCQ＝120°是个定值．
7．（2023•昌平区二模）在等边△ABC中，点D是AB中点，点E是线段BC上一点，连接DE，∠DEB＝
（30°≤ ＜60°），将射线DA绕点D顺时针旋转 ，得到射线DQ，点F是射线DQ上一点，且DF＝
αDE，连接αFE，FC． α
（1）补全图形；
（2）求∠EDF度数；
（3）用等式表示FE，FC的数量关系，并证明．【思路引领】（1）根据题意可直接画出图形，
（2）利用旋转的性质和三角形内角和定理解答，
（3）添加辅助线得到△CEG，进而△CEG为等边三角形，可得线段相等，再证明△BDE≌△ADG即可
得出FE＝FC．
【解答】解：
（1）
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°．
∵射线DA绕点D顺时针旋转 ，得到射线DQ，
∴∠ADF＝ ． α
∴∠BDF＝α180°﹣ ．
∵∠DEB＝ ， α
∴∠BDE＝α180°﹣∠B﹣∠DEB＝180°﹣60°﹣ ＝120°﹣ ．
∴∠EDF＝∠BDF﹣∠BDE＝180°﹣ ﹣（120α°﹣ ）＝6α0°．
（3）FE＝FC， α α
证明如下：在CA上截取CG，使CG＝CE，
连接EG，连接DG，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AC＝BC．
∴△EGC是等边三角形．
∴∠GEC＝60°，GE＝EC．
∵∠EDF＝60°，DE＝DF，
∴△DEF是等边三角形．
∴∠DEF＝60°，DE＝EF．
∴∠DEF+∠FEG＝∠GEC+∠FEG．
∠DEG＝∠FEC．
∴△DEG≌△FEC（SAS）．
∴DG＝FC．
∵AC﹣GC＝BC﹣EC，
∴AG＝BE．
∵点D是AB的中点，
∴AD＝DB．
∵∠A＝∠B，
∴△BDE≌△ADG（SAS），
∴DE＝DG，
∴FE＝FC．
【总结提升】此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、三角形相似、旋转的特征，
本题有一定难度．
8．（2022春•绥棱县校级期末）将两个等边三角形（每个内角都等于 60°）如图1叠放在一起，现将
△CDE绕点C顺时针旋转，旋转角为a（旋转角0°＜a＜360°），请探究下列问题：
（1）如图2，当旋转角满足0°＜a≤60°时，请写出∠BCD与∠ACE的关系，并说明理由；
（2）如图3，当旋转角满足60°＜a≤120°时，请写出∠BCE与∠ACD的关系，并说明理由；
（3）当DE∥BC时请直接写出旋转角的度数．【思路引领】（1）根据旋转的性质或等边三角形的定义可得结论：∠BCD＝∠ACE；
（2）根据角的和与差可得结论：∠BCE﹣∠ACD＝120°；
（3）在旋转角0°＜a＜360°时，正确画图可得结论．
【解答】解：（1）如图2，∠BCD＝∠ACE，理由如下：
∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE；
（2）如图3，∠BCE﹣∠ACD＝120°，理由如下：
由旋转得：∠BCD＝∠ACE，
∴∠BCE﹣∠ACD＝∠ACB+∠ACD+∠DCE﹣∠ACD＝∠ACB+∠DCE＝120°；
（3）如图4，当DE∥BC时， ＝60°；
α
如图5，当DE∥BC时， ＝180°+60°＝240°；
α综上，当DE∥BC时旋转角的度数为60°或240°．
【总结提升】本题考查的是旋转变换的性质，等边三角形的性质，平行线的性质，掌握旋转变换的性质是
解题的关键．
类型四 平面直角坐标系背景下的等腰三角形
9．（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A点坐标为（0，
1），点B为y轴上位于A点上方的一个动点，以BP为边向BP的右侧作等边△PBC，连接CA，并延长
CA交x轴于点E．
（1）求证：OB＝AC；
（2）当点B在运动时，AE的长度是否发生变化？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得△AEQ为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐
标；若不存在，请说明理由．
【思路引领】（1）根据等边三角形性质得出OP＝AP，BP＝PC，∠APO＝∠CPB＝60°，求出∠OPB＝
∠APC，证出△PBO≌△PCA，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）∠EAO＝60゜，求出∠AEO＝30゜，得出AE＝2AO，求出即可；
（3）①当AQ＝AE＝2时，△AEQ为等腰三角形，点Q在y轴的正半轴上，求得OQ＝AE+AO＝3，②
当AQ＝AE＝2时，△AEQ为等腰三角形，点Q在y轴的负半轴上，求得OQ＝AQ﹣AO＝1，③当EQ
＝AE＝2时，△AEQ为等腰三角形，x轴是AQ的垂直平分线，求得OQ＝AO＝1，即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵△BPC和△AOP是等边三角形，∴OP＝AP，BP＝PC，∠APO＝∠CPB＝60°，
∴∠APO+∠APB＝∠BPC+∠APB，
即∠OPB＝∠APC，
在△PBO和△PCA中，
{
OP=PA
)
∠OPB=∠APC ，
PB=PC
∴△PBO≌△PCA （SAS），
∴OB＝AC．
（2）解：当B点运动时，AE的长度不发生变化，
理由是：∵∠EAO＝∠BAC＝60゜，∠AOE＝90°，
∴∠AEO＝30゜，
∴AE＝2AO＝2，
即当B点运动时，AE的长度不发生变化．
（3）解：存在，
∵AE＝2AO＝2，
∴①当AQ＝AE＝2时，△AEQ为等腰三角形，点Q在y轴的正半轴上，
∴OQ＝AE+AO＝3，
∴Q（0，3），
②当AQ＝AE＝2时，△AEQ为等腰三角形，点Q在y轴的负半轴上，
∴OQ＝AQ﹣AO＝1，
∴Q（0，﹣1），
③当EQ＝AE＝2时，△AEQ为等腰三角形，x轴是AQ的垂直平分线，
∴OQ＝AO＝1，
∴Q（0，﹣1）．
综上所述：在y轴上存在点Q，使得△AEQ为等腰三角形，Q（0，3），（0，﹣1）．【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定，坐标与图
形的性质，熟练正确坐标与图形的性质是解题的关键．
10．（2022秋•河北区期末）如图，△AOB是等边三角形，以直线OA为x轴建立平面直角坐标系，若B
（a，b），且 a，b满足 ，点 D为y轴上一动点，以为 AD边作等边三角形
❑√a+5+(b−5❑√3) 2=0
ADC，CB的延长线交y轴于点E．
（1）如图1，求A点的坐标；
（2）如图2，点D在y轴正半轴上，点C在第二象限，CE的延长线交x轴于点M，当D点在y轴正半
轴上运动时，M点的坐标是否发生变化？若不变，求M点的坐标；若变化，说明理由．
【思路引领】（1）如图1中，作BF⊥AO于F．理由非负数的性质求出点B坐标即可解决问题；
（2）点M的坐标不发生变化．只要证明△OAD≌△BAC，推出∠AOD＝∠CBA＝90°，在Rt△ABM中，
解直角三角形即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，作BF⊥AO于F．∵❑√a+5+（b﹣5❑√3）2＝0，
∴a＝﹣5，b＝5❑√3，
∴B（﹣5，5❑√3），
∵BA＝BO，BF⊥OA，
∴FA＝FO＝5，
∴OA＝10，
∴A（﹣10，0）．
（2）点M的坐标不发生变化，M（10，0），
理由：如图2中，
∵△ABO，△ADC都是等边三角形，
∴∠OAB＝∠DAC，OA＝OB，AD＝AC，
∴∠OAD＝∠BAC，
∴△OAD≌△BAC（SAS），
∴∠AOD＝∠CBA＝90°，
在Rt△ABM中，∠ABM＝90°，AB＝OA＝10，∠BAM＝60°，
∴AM＝2AB＝20，
∴OM＝AM﹣OA＝10，
∴M（10，0）．
【总结提升】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质直角三角形 30度角性质等知识，
解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
11．（2021春•花都区期末）“长度”和“角度”是几何学研究的核心问题．相交线与平行线的学习，让
我们对“角度转化”有了深刻的体会．某数学兴趣小组受此启发，试图沟通“角度”与“长度”间的关
系．在研究过程中他们发现了一条关于三角形的重要结论﹣﹣“等角对等边”，即：如果一个三角形有
两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．如图，在△EBD中，若∠B＝∠D，则ED＝EB．
以此为基础，该兴趣小组邀请你加入研究，继续解决如下新问题：
在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），已知（a+3）2+❑√b−3=0，点C为x轴上方的一点．
（1）如图1，已知点D（﹣2，2），BC上有一点E（1，2）．
则①DE与x轴的位置关系为 平行 ；
②求BE的长度；
（2）如图2，AH、BH分别平分∠CAB、∠CBA，过H点作AB的平行线，分别交AC、BC于点F、G．
若F（m，n），G（m+4，n），求四边形ABGF的周长；
（3）当点C为x轴上方的一动点（不在y轴上）时，连接CA、CB．若∠CAB邻补角的角平分线和
∠CBA的角平分线交于点P，过点P作AB的平行线，分别交直线AC、直线BC于点M、N．随着点C
移动，图形状及点P、M、N的位置也跟着变化，但线段MN、AM和BN之间却总是存在着确定的数量
关系，请直接写出这三条线段之间的数量关系 BN ＝ AM + MN ．
【思路引领】（1）①由两点的纵坐标相同，可得DE∥BA；②由平行线的性质和角平分线的性质可得
∠EDB＝∠EBD，即可求DE＝BE＝3；
（2）利用非负性可求a＝﹣3，b＝3，可得AB＝6，由平行线的性质和角平分线的性质可得∠FAH＝
∠FHA，∠GHB＝∠GBH，可证AF＝FH，BG＝HG，可求解；
（3）由平行线的性质和角平分线的性质可得∠NPA＝∠PAC，∠NPB＝∠PBN，可证PM＝AM，BN＝
PN，由线段的和差关系可得结论．【解答】解：（1）①∵点D（﹣2，2），点E（1，2），
∴DE∥AB，DE＝3，
故答案为平行；
②∵（a+3）2+❑√b−3=0，
∴a＝﹣3，b＝3，
∴点A（﹣3，0），B（3，0），
∵E（1，2），
∴BE 2 ；
=❑√22+22= ❑√2
（2）∵点A（﹣3，0），B（3，0），
∴AB＝6，
∵F（m，n），G（m+4，n），
∴FG＝4，FG∥AB，
∴∠FHA＝∠HAB，∠GHB＝∠ABH，
∵AH、BH分别平分∠CAB、∠CBA，
∴∠FAH＝∠HAB，∠GBH＝∠ABH，
∴∠FAH＝∠FHA，∠GHB＝∠GBH，
∴AF＝FH，BG＝HG，
∴四边形ABGF的周长＝AB+AF+FH+HG+BG＝AB+2FG＝14；
（3）点C在第一象限时，BN＝AM+MN，理由如下，
如图3，
∵PA平分∠CAE，PB平分∠ABC，
∴∠PAE＝∠PAC，∠PBA＝∠PBC，
∵PN∥AB，
∴∠NPB＝∠PBA，∠NPA＝∠PAE，
∴∠NPA＝∠PAC，∠NPB＝∠PBN，∴PM＝AM，BN＝PN，
∵PN＝PM+MN，
∴BN＝AM+MN．
当点C在第一象限，AM＝BN+MN，同理可证．
【总结提升】本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，非负性，平行线的性
质，掌握等角对等边是解题的关键．
