文档内容
第 02 讲 常用逻辑用语
目录
01 模拟基础练...............................................................................................................................................................2
题型一：充分条件与必要条件的判断........................................................................................................................2
题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围........................................................................................................3
题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假........................................................................................................5
题型四：根据命题的真假求参数的取值范围............................................................................................................6
题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定........................................................................................................7
02 重难创新练...............................................................................................................................................................8
03 真题实战练.............................................................................................................................................................16题型一：充分条件与必要条件的判断
1．（2024·北京房山·一模）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由 可得： ，
解得： ，
所以“ ”能推出“ ”，
但“ ”推不出“ ”，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数 为虚数单位 的共轭复数为 ，则“ 为纯
虚数”的充分必要条件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
由 为纯虚数，即 且 ，
即 且 .
故选：D.
3．（2024·四川·模拟预测）“ ”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 等价于 ，即 ，因为 可以推出 ，而 不能推出 ，所以 是 的必要不充分条件，其它选
项均不满足；
所以“ ”的一个必要不充分条件是 ．
故选：B．
4．若x， ，则“ ”的一个必要不充分条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A： ，是“ ”的必要不充分条件，故A正确；
B： ，是“ ”的既不充分也不必要条件，故B错误；
C： ，是“ ”的既不充分也不必要条件，故C错误；
D： ，是“ ”的充分不必要条件，故D错误；
故选：A
5．（2024·全国·模拟预测）已知向量 ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当 时，可得 ，可得 ，
则 ，所以 ，所以充分性成立；
由向量 ，可得 ，
当 时，因为 ，所以 ，
即 ，解得 或 ，所以必要性不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：A．
题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围
6．若 是不等式 成立的一个必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】 ，
因为 是 成立的必要不充分条件，
所以 .
故选：B.
7．（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知命题 ：函数 在 内有零点，则命题 成立的一
个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 在 上单调递增，由函数 在 内有零点，
得 ，解得 ，即命题 成立的充要条件是 ，
显然 成立，不等式 、 、 都不一定成立，
而 成立，不等式 恒成立，反之，当 时， 不一定成立，
所以命题 成立的一个必要不充分条件是 .
故选：D
8．已知 ， （a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是
.
【答案】
【解析】因为q的一个充分不必要条件是p，
所以 是 的一个真子集，
则 ，即实数a的取值范围是 .
故答案为： .
9．（2024·高三·河南南阳·期中）已知 ：“ ”， ：“ ”，若 是 的必要不充分条件，
则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】对于 ，由 可解得 ，
对于 ，由 可解得 ，
因为 是 的必要不充分条件，所以 解得 ．
故 的取值范围为： .故答案为： .
题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假
10．（2024·陕西咸阳·模拟预测）下列命题中，真命题是（ ）
A．“ ”是“ ”的必要条件
B．
C．
D． 的充要条件是
【答案】B
【解析】对于A，当 时，满足 ，但不满足 ，故“ ”不是“ ”的
必要条件，故错误；
对于B，根据指数函数的性质可得，对于 ，即 ，故正确；
对于C，当 时， ，故错误；
对于D，当 时，满足 ，但 不成立，故错误.
故选：B.
11．给出下列命题
① ；② ；③ ；④ ．
其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①中，由不等式 恒成立，所以命题 为真命题；
②中，当 时，此时 ，所以命题 为假命题；
③中，当 时，此时 成立，所以命题 为真命题；
④中，由 ，可得 ，所以命题 为真命题．
故选：C.
12．下列命题中是真命题的为（ ）
A． ，使 B． ，
C． ， D． ，使
【答案】B【解析】对于A，由 ，得 ，所以不存在自然数使 成立，所以A错误，
对于B，因为 时， ，所以 ，所以B正确，
对于C，当 时， ，所以C错误，
对于D，由 ，得 ，所以D错误，
故选：B
13．（2024·河北·模拟预测）命题 ： ， ，命题 ： ， ，则
（ ）
A． 真 真 B． 假 假 C． 假 真 D． 真 假
【答案】D
【解析】对于命题 ：令 ，则 开口向上，对称轴为 ，
且 ，则 ，
所以 ， ，即命题 为真命题；
对于命题 ：因为 ，
所以方程 无解，即命题 为假命题；
故选：D.
题型四：根据命题的真假求参数的取值范围
14．（2024·陕西宝鸡·一模）命题“任意 ， ”为假命题，则实数a的取值范围是
．
【答案】
【解析】若命题“任意 ， ”为真命题，则 ，
设 ， ， ，当 时，等号成立，
由对勾函数的性质可知，当 时，函数单调递减，当 单调递增，
， ，所以 ，
即 ，
所以命题“任意 ， ”为假命题，则 的取值范围为 .故答案为：
15．若命题“ ”为假命题，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】命题“ ”的否定为：“ ”
命题“ ”为假命题等价于命题“ ”为真命题；
当 时， ，成立；
当 时，结合一元二次函数的图象可得： ，解得 ，
综上，实数m的取值范围是 .
故答案为： .
16．已知命题 ， ，若命题 是假命题，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意可知，命题 的否定为“ ， ”为真命题；
即不等式 对 恒成立，
所以 ，解得 ；
可得 的取值范围为 .
故选：C
题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定
17．命题“ ，使 ”的否定是（ ）
A． ，使 B．不存在 ，使
C． ，使 D． ，使
【答案】D
【解析】命题“ ，使 ”的否定是 ，使 .
故选：D.
18．（2024·全国·模拟预测）命题“ ，函数 在 上单调递增”的否定为（ ）
A． ，函数 在 上单调递减
B． ，函数 在 上不单调递增C． ，函数 在 上单调递减
D． ，函数 在 上不单调递增
【答案】B
【解析】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“ ，函数 在 上单调递增”的否定为“ ，函数 在 上
不单调递增”．
故选：B．
19．命题 的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】命题 的否定为： .
故选：A.
20．命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】命题“ ， ”的否定是“ ， ”．
故选：C．
1．（2024·陕西西安·模拟预测）设函数 ，命题“ ， ”是假命题，
则实数a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为命题“ ， ”是假命题，所以 ， 恒成立，则 ，对 恒成立，
令 ，则二次函数的对称轴为直线 ，
要使得 ， 恒成立，则 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 .
故选：A.
2．（2024·青海·模拟预测）记数列 的前n项积为 ，设甲： 为等比数列，乙： 为等比数列，
则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】若 为等比数列，设其公比为 ，则 ， ，
于是 ， ，当 时， 不是常数，
此时数列 不是等比数列，则甲不是乙的充分条件；
若 为等比数列，令首项为 ，公比为 ，则 ， ，
于是当 时， ，而 ，
当 时， 不是等比数列，即甲不是乙的必要条件，
所以甲是乙的既不充分也不必要条件.
故选：D
3．（2024·四川·模拟预测）已知命题“ ”为真命题，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】因为命题“ ”为真命题，所以 ．
令 与 在 上均为增函数，
故 为增函数，当 时， 有最小值 ，即 ，
故选：A．
4．（2024·北京顺义·二模）若函数 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题意可知： 的定义域为 ，且 ，
若 ，则 ，可知 ，
若 ，同理可得 ，所以 为奇函数，
作出函数 的图象，如图所示，
由图象可知 在 上单调递增，
若 ，等价于 ，等价于 ，等价于 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
5．（2024·上海崇明·二模）已知函数 的定义域为 ．
命题 ：若当 时，都有 ，则函数 是D上的奇函数．
命题 ：若当 时，都有 ，则函数 是D上的增函数．
下列说法正确的是（ ）
A．p、q都是真命题 B．p是真命题，q是假命题
C．p是假命题，q是真命题 D．p、q都是假命题【答案】C
【解析】对于命题 ，令函数 ，
则 ，此时 ，当函数 不是奇函数，
所以命题 为假命题，
对于命题 ，当 时，都有 ，即 ，不可能 ，
即当 时，可得 ，满足增函数的定义，所以命题 为真命题.
故选：C.
6．（2024·北京丰台·一模）已知函数 ，则“ ”是“ 是偶函数，
且 是奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为 ，则 ，
，
若 是奇函数，则 ，解得 ，
若 是偶函数，则 ，解得 ，
所以若 是偶函数且 是奇函数，则 ，
所以由 推得出 是偶函数，且 是奇函数，故充分性成立；
由 是偶函数，且 是奇函数推不出 ，故必要性不成立，
所以“ ”是“ 是偶函数，且 是奇函数”的充分不必要条件.
故选：A
7．（2024·四川凉山·二模）已知命题“ ， ”是假命题，则m的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】命题“ ， ”是假命题，
则“ ， ”是真命题，
所以 有解，
所以 ，
又 ，
因为 ，所以 ，
即 .
故选：B.
8．（2024·全国·模拟预测）命题 ，命题 ：函数 在 上单
调，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】设 ，则 可化为 ．
充分性：当 时，函数 在 上单调递减， 在 上单调递减，且 ，所
以 在 上单调递增，因此充分性成立．
必要性：当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递减，且 ，所以
在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增， 在 上单调递减，且 在 上恒
成立，所以 ，则 ，此时函数 在 上单调递减．
综上可知，当函数 在 上单调时， 或 ，因此必要性不
成立．所以 是 的充分不必要条件．
故选：A．
9．（多选题）（2024·广东梅州·一模）已知直线 ， 和平面 ， ，且 ，则下列条件中， 是
的充分不必要条件的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】BCD
【解析】A：若 ， ，则直线 ， 可能平行或异面，所以 不能推出 ，故A错误；B：若 ，则直线m垂直于平面 的每一条直线，又 ，所以 成立，
但若 成立，根据线面垂直的判定，还需在平面 找一条与n相交的直线，且m不在平面 内，故
q不能推出p，故B正确；
C：若 ，且 ，由面面平行的性质可知， 成立；反之，由线面平行的判定可知当
，不能推出 ，故C正确；
D：若 ，且 ，由面面垂直的判定定理可知 成立；反之，若 ，且 ，则
直线n与平面 可能成任意角度，故D正确.
故选：BCD.
10．（多选题）（2024·云南楚雄·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】BC
【解析】对A，当 时， 无意义，故A错误；
对B，易得 ， ，则 ，可得 ，故B正确；
对C，当 时， 成立，故C正确；
对D， ，可得 ，故D错误.
故选：BC
11．（多选题）（2024·高三·江苏盐城·期中）在 中，若 ，则（ ）
A．对任意的 ，都有
B．对任意的 ，都有
C．存在 ，使 成立
D．存在 ，使 成立
【答案】AD
【解析】在 中，当 时， ，取 ，则 ， ，
， ，则 ，B错，D对；
显然 ，即 ，则 ，令 ， ， ，
因此函数 在 上单调递减，则 ，即 ，从而 ，A对，
C错.
故选：AD
12．（2024·上海普陀·二模）设等比数列 的公比为 ，则“ ， ， 成等差数列”
的一个充分非必要条件是 .
【答案】 （或 ,答案不唯一）
【解析】 ， ， 成等差数列，
则 ，即 ，解得 或 ，
故“ ， ， 成等差数列”的一个充分非必要条件是 （或 ．
故答案为： （或 ,答案不唯一）
13．（2024·全国·模拟预测）“函数 的图象关于 中心对称”是“ ”的 条件．
【答案】充分必要
【解析】函数 图象的对称中心为 ，
所以由“函数y=tanx的图象关于(x,0)中心对称”等价于“ ”．
0
因为 等价于 ，即 ．
所以“函数 的图象关于 中心对称”是“ ”的是充分必要条件．
故答案为：充分必要
14．（2024·上海长宁·一模）若“存在 ，使得 ”是假命题，则实数 的取值范围
.
【答案】
【解析】由题意可得：“任意 ，使得 ”是真命题，
注意到 ，整理得 ，
原题意等价于“任意 ，使得 ”是真命题，
因为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围 .
故答案为： .
15．若“ ”是“ ”的一个充分条件，则 的一个可能取值是 .（写出一个符合要
求的答案即可）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】由 可得 ，则 ，
所以 ，解得 .
因为“ ”是“ ”的一个充分条件，
所以 的一个可能取值为 （答案不唯一， 均满足题意）．
故答案为： （答案不唯一， 均满足题意）.
16．（2024·安徽·模拟预测）已知集合 ，集合 ，全集为 .
(1)若 ，求 ；
(2)若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
【解析】（1）由题知：当 时，
，
又
，
或 .
（2）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则 ，
，
①当 时，集合 ，满足题意；
②当 时，集合 ，
，则 ，又 时， 符合 ，可得 ；
③当 时，集合 ，
，则 ，又 时， 符合 ，
可得 .
综上，实数 的取值范围为 .
17．（2024·上海普陀·一模）设函数 的表达式为 .
(1)求证：“ ”是“函数 为偶函数”的充要条件；
(2)若 ，且 ，求实数 的取值范围.
【解析】（1）函数 的定义域为R， 不恒为0，
函数 为偶函数
，
所以“ ”是“函数 为偶函数”的充要条件.
（2）当 时， ，求导得 ，函数 在R上单调递增，
当 时， ，即函数 在 单调递增，又 是偶函数，
因此 ，
即 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 或 .
1．（2022年新高考北京数学高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数.
若 为单调递增数列，则 ，
若 ，则当 时， ；若 ，则 ，
由 可得 ，取 ，则当 时， ，
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列.
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
故选：C.
2．（2024年天津高考数学真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据立方的性质和指数函数的性质， 和 都当且仅当 ，所以二者互为充要条件.
故选：C.
3．（2024年北京高考数学真题）设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的
（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为 ，可得 ，即 ，
可知 等价于 ，若 或 ，可得 ，即 ，可知必要性成立；
若 ，即 ，无法得出 或 ，
例如 ，满足 ，但 且 ，可知充分性不成立；
综上所述，“ ”是“ 且 ”的必要不充分条件.
故选：B.
4．（2022年新高考天津数学高考真题）“ 为整数”是“ 为整数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】由 为整数能推出 为整数，故“ 为整数”是“ 为整数”的充分条件，
由 , 为整数不能推出 为整数，故“ 为整数”是“ 为整数”的不必要条件，
综上所述，“ 为整数”是“ 为整数”的充分不必要条件，
故选：A.
5．（2022年新高考浙江数学高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件
【答案】A
【解析】因为 可得：
当 时， ，充分性成立；
当 时， ，必要性不成立；
所以当 ， 是 的充分不必要条件.
故选：A.
6．（2022年新高考北京数学高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是
“存在正整数 ，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数.
若 为单调递增数列，则 ，
若 ，则当 时， ；若 ，则 ，
由 可得 ，取 ，则当 时， ，所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列.
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
故选：C.
7．（2021年天津高考数学试题）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意，若 ，则 ，故充分性成立；
若 ，则 或 ，推不出 ，故必要性不成立；
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
8．（2021年北京市高考数学试题）已知 是定义在上 的函数，那么“函数 在 上单调递
增”是“函数 在 上的最大值为 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件
【答案】A
【解析】若函数 在 上单调递增，则 在 上的最大值为 ，
若 在 上的最大值为 ，
比如 ，
但 在 为减函数，在 为增函数，
故 在 上的最大值为 推不出 在 上单调递增，
故“函数 在 上单调递增”是“ 在 上的最大值为 ”的充分不必要条件，
故选：A.
9．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】由题，当数列为 时，满足 ，
但是 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若 是递增数列，则必有 成立，若 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则
成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
10．（2020年山东省高考数学真题）下列命题为真命题的是（ ）
A． 且 B． 或
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】A项：因为 ，所以 且 是假命题，A错误；
B项：根据 、 易知B错误；
C项：由余弦函数性质易知 ，C错误；
D项： 恒大于等于 ，D正确，
故选：D.
11．（2020年山东省高考数学真题）已知 ，若集合 ， ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当 时，集合 ， ，可得 ，满足充分性，
若 ，则 或 ，不满足必要性，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A.
12．（2020年北京市高考数学试卷）已知 ，则“存在 使得 ”是“
”的（ ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】(1)当存在 使得 时，
若 为偶数，则 ；
若 为奇数，则 ；
(2)当 时， 或 ， ，即 或
，
亦即存在 使得 ．
所以，“存在 使得 ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
13．（2020年浙江省高考数学试卷）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平
面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】依题意 是空间不过同一点的三条直线，
当 在同一平面时，可能 ，故不能得出 两两相交.
当 两两相交时，设 ，根据公理 可知 确定一个平面 ，而
，根据公理 可知，直线 即 ，所以 在同一平面.
综上所述，“ 在同一平面”是“ 两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
14．（2021年天津高考数学试题）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意，若 ，则 ，故充分性成立；
若 ，则 或 ，推不出 ，故必要性不成立；
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
