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专题15 等腰三角形中综合问题的探究（原卷版）
类型一 等腰三角形、角平分线与平行线的知二推三模型
1．（2022秋•汉寿县期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交
AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；
1
③△ADE的周长等于边AB与AC的和；④BF＝CF；⑤∠BFC＝90°+ ∠A．其中一定正确的是（
2
）
A．①②⑤ B．①②③④ C．①②④ D．①②③⑤
2．（2023秋•南宫市期末）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，EF∥AB交AC
于点F．求证：△FEC是等腰三角形．
3．（2020秋•播州区期末）已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC．
（1）如图1，如果点E是边AC的中点，AC＝8，求DE的长；
（2）如图2，若DE平分∠ADC，∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝9，求DF的长．类型二 等腰三角形与轴对称或垂直平分线的综合
4．（2023秋•惠东县期末）如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称
点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．
（1）求证：CD＝CB；
（2）若∠ACN＝ ，求∠BDC的大小（用含 的式子表示）；
（3）请判断线段αPB，PC与PE三者之间的数α量关系，并证明你的结论．
5．（2023春•凤城市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于
点E．
（1）若∠ABE＝50°，求∠EBC的度数；
（2）若△ABC的周长为43cm，BC的长为11cm，求△BCE的周长类型三 等腰三角形与翻折或旋转变换的综合
6．如图，等腰△ABC中，CA＝CB＝4，∠ACB＝120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将
△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ．
（1）证明：CP＝CQ；
（2）求∠PCQ的度数；
（3）当点D是AB中点时，请直接写出△PDQ是何种三角形．
7．（2023•昌平区二模）在等边△ABC中，点D是AB中点，点E是线段BC上一点，连接DE，∠DEB＝
（30°≤ ＜60°），将射线DA绕点D顺时针旋转 ，得到射线DQ，点F是射线DQ上一点，且DF＝
αDE，连接αFE，FC． α
（1）补全图形；
（2）求∠EDF度数；
（3）用等式表示FE，FC的数量关系，并证明．8．（2022春•绥棱县校级期末）将两个等边三角形（每个内角都等于 60°）如图1叠放在一起，现将
△CDE绕点C顺时针旋转，旋转角为a（旋转角0°＜a＜360°），请探究下列问题：
（1）如图2，当旋转角满足0°＜a≤60°时，请写出∠BCD与∠ACE的关系，并说明理由；
（2）如图3，当旋转角满足60°＜a≤120°时，请写出∠BCE与∠ACD的关系，并说明理由；
（3）当DE∥BC时请直接写出旋转角的度数．
类型四 平面直角坐标系背景下的等腰三角形
9．（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A点坐标为（0，
1），点B为y轴上位于A点上方的一个动点，以BP为边向BP的右侧作等边△PBC，连接CA，并延长
CA交x轴于点E．
（1）求证：OB＝AC；
（2）当点B在运动时，AE的长度是否发生变化？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得△AEQ为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐
标；若不存在，请说明理由．10．（2022秋•河北区期末）如图，△AOB是等边三角形，以直线OA为x轴建立平面直角坐标系，若B
（a，b），且 a，b满足 ，点 D为y轴上一动点，以为 AD边作等边三角形
❑√a+5+(b−5❑√3) 2=0
ADC，CB的延长线交y轴于点E．
（1）如图1，求A点的坐标；
（2）如图2，点D在y轴正半轴上，点C在第二象限，CE的延长线交x轴于点M，当D点在y轴正半
轴上运动时，M点的坐标是否发生变化？若不变，求M点的坐标；若变化，说明理由．11．（2021春•花都区期末）“长度”和“角度”是几何学研究的核心问题．相交线与平行线的学习，让
我们对“角度转化”有了深刻的体会．某数学兴趣小组受此启发，试图沟通“角度”与“长度”间的关
系．在研究过程中他们发现了一条关于三角形的重要结论﹣﹣“等角对等边”，即：如果一个三角形有
两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
如图，在△EBD中，若∠B＝∠D，则ED＝EB．
以此为基础，该兴趣小组邀请你加入研究，继续解决如下新问题：
在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），已知（a+3）2+❑√b−3=0，点C为x轴上方的一点．
（1）如图1，已知点D（﹣2，2），BC上有一点E（1，2）．
则①DE与x轴的位置关系为 ；
②求BE的长度；
（2）如图2，AH、BH分别平分∠CAB、∠CBA，过H点作AB的平行线，分别交AC、BC于点F、G．
若F（m，n），G（m+4，n），求四边形ABGF的周长；
（3）当点C为x轴上方的一动点（不在y轴上）时，连接CA、CB．若∠CAB邻补角的角平分线和
∠CBA的角平分线交于点P，过点P作AB的平行线，分别交直线AC、直线BC于点M、N．随着点C
移动，图形状及点P、M、N的位置也跟着变化，但线段MN、AM和BN之间却总是存在着确定的数量
关系，请直接写出这三条线段之间的数量关系 ．
