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专题16.10 二次根式的加减（分层练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期中）下列各数中，无理数是（ ）
A．3.14 B． C． D．
2．（2023上·海南·九年级期末）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·辽宁辽阳·八年级统考期末）下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023上·重庆·九年级校考期中）估计 的值应在（ ）
A． 和 之间 B． 和 之间 C． 和 之间 D． 和 之间
5．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021上·八年级校考单元测试）2 、 、15三个数的大小关系是（ ）
A．2 ＜15＜ B． ＜15＜2
C．2 ＜ ＜15 D． ＜2 ＜15
7．（2022上·河北石家庄·八年级校联考期末）口中的数是2的为（ ）
A． B．C． D．
8．（2023下·广东梅州·八年级统考期中）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
9．（2023上·河南新乡·九年级校考阶段练习）若最简二次根式 与 是同类二次根式，
则x的值是（ ）
A． B．5 C． 或5 D．2或
10．（2024下·全国·八年级假期作业）对于任意的正数 ，定义运算 ： ，
计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校联考期末）计算 ．
12．（2023上·辽宁沈阳·八年级校考期中）若最简二次根式 与 能合并，则 ．
13．（2022上·广东深圳·八年级统考期末） ．
14．（2023上·河北衡水·八年级校联考阶段练习）已知 是实数，且满足 ．
（1） ；
（2） ．
15．（2023上·山东泰安·九年级校考期末）根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是 时，则输出的y值等于 ．
16．（2023上·四川达州·八年级校联考期中）如果 ，那么 ．
17．（2023上·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）比较大小： ．
（填“ ”、“ ”或“ ”）
18．（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，正方形 和 的边长分别为
，点 、 分别在边 、 上，若 ， ，则图中阴影部分图形的面积的和为
．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023下·江苏连云港·八年级统考期末）已知 是最简二次根式，且与 可以合
并．
（1）求x的值； （2）求 与 的乘积．
20．（8分）（2024上·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期末）计算：
（1） （2）21．（10分）（2023上·吉林长春·八年级吉林省第二实验学校校考期末）计算：
（1） （2）
22．（10分）（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）已知 ， ，求下列代数
式的值.
（1） ； （2） .
23．（10分）（2023上·山东菏泽·八年级校考阶段练习）小明在解决问题：已知 ，求
的值，他是这样分析与解答的：
∵ ．
∴ ．
∴ ，即 ．
∴ ，∴ ．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： ______；（2）计算： ；
（3）若 ，求 的值．
24．（12分）（2022下·福建厦门·八年级校考期中）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些
含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ，善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中a、b、m、n均为整数），则有 ．
∴ ．这样小明就找到了一种把部分 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）取一组符合条件的正整数a、b、m、n，填空：______＋______＝（______＋______）2；
（2）若 ，且a、b、m、n均为正整数，求a的值．
参考答案：
1．D
【分析】此题主要考查了无理数的定义、立方根的定义和分母有理化，其中初中范围内学习的无理数
有：π， 等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），等有这样规律的数．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分
数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：A、3.14是有限小数，不符合题意；
B、 是分数，不符合题意；
C、 ，是整数，不符合题意；D、 ，是无理数．
故选：D．
2．B
【分析】本题主要考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的
二次根式．根据同类二次根式的定义进行解答即可．
解：∵ ， ， ， ，
∴上述二次根式中， 与 是同类二次根式．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了二次根式的运算，根据合并同类二次根式的法则、二次根式的性质、二次根式的
除法法则，计算即可判定，掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键．
解： 、 与 不能合并，错误，不合题意；
、 与 不能合并，错误，不合题意；
、 ，错误，不合题意；
、 ，正确，符合题意；
故选： ．
4．B
【分析】本题考查数的估值，二次根式的化简．根据题意可知 ，再给 估
值，继而得到本题答案．
解：解:∵∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是介于 和 之间的数，
∴ 是介于 和 之间的数，
故选：B．
5．A
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，根据二次根式的性质、合并同类二次根式的法则对各个
选项进行计算，判断即可．
解：A、 ，本选项符合题意；
B、 ，本选项不符合题意；
C、 与 不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意；
D、 ，本选项不符合题意；
故选：A．
6．A
【分析】将 分别化成 ，再进行比较即可．
解： 且
即
故选：A．
【点拨】本题考查了实数的比较大小，比较被开方数，是常用的比较实数大小的方法．7．A
【分析】本题考查了分式的混合运算，二次根式的混合运算．根据分式的混合运算可判断A、B选项；
利用二次根式的混合运算可判断C、D选项．
解：A、 ，本选项符合题意；
B、 ，本选项不符合题意；
C、 ，本选项不符合题意；
D、 ，本选项不符合题意；
故选：A．
8．A
【分析】先求出大、小正方形的边长，进而求出整个图形面积，最后根据阴影部分的面积=大矩形面
积-两个正方形面积，本题得以解决．
解：由题意可知，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，
∴图中阴影部分的面积为： ，
故选：A．
【点拨】本题考查算术平方根，二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边
长，利用数形结合的思想解答．
9．B
【分析】本题考查了同类二次根式的概念，最简二次根式的被开方数相同的二次根式是同类二次根式，
根据被开方数相等列式解方程即可．
解：根据题意得， ，
整理得， ，
解得 ， ，
当 时， ，二次根式 不是最简二次根式，不符合题意，舍去；
当 时， ，二次根式 是最简二次根式，符合题意；．
故选：B．
10．C
【解析】略
11．
【分析】本题主要考查二次根式的加减法，先将式中的二次根式化为最简二次根式，再合并即可得到
结果．
解： ，
故答案为： ．
12．2
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最
简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．根据最简二次根式 与
能合并，可知 与 是同类二次根式，据此求解即可．
解：∵最简二次根式 与 能合并，
∴ 与 是同类二次根式，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2．
13．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．将分母有理化即
可求解．
解： ．故答案为： ．
14． /
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的加减，熟练掌握二次根式的被开方数大于等
于零、二次根式的加减的运算法则是解此题的关键．
（1）根据二次根式有意义的条件得出 ， ，从而得出 ，即可得解；
（2）将 代入式子，求出 的值，再将 的值代入计算即可．
解：（1）由题意得： ， ，
解得： ，
故答案为： ；
（2）由（1）得： ，
，
，
故答案为： ．
15．
【分析】此题是一道程序题，做题时要按照程序一步一步做，主要考查代数式求值，是一道常考的题
型．
由题意输入 然后平方得 ，然后再 小于0，乘以 ，可得y的值．
解：当 时， ，
．
故答案为： ．
16．
【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先求出 ，再
由 得出答案．解： ，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
17．
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的大小比较．分别求出 ， ，即可求
解．
解：
，
∵ ，
∴ ．
故答案为：
18．
【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景，利用图形和 、 还有 之间的关系，求
出x，y，用面积公式计算即可．解题的关键是正确掌握 、 还有 之间的关系．解：∵正方形 和 的边长分别为 ，且 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解方程组得 ，
∵四边形 和四边形 是正方形，
∴ ，
则 ，
故答案为： ．
19．（1）9；（2）5．
【分析】（1）根据最简根式和同类二次根式的定义可得 ，解方程即可得到答案；
（2）根据（1）所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可．
（1）解： 是最简二次根式，且与 可以合并，
∵
，
∴解得 ；
（2）解：当 时， ．【点拨】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，二次根式的乘法等等，熟知二次根式
的相关知识是解题的关键．
20．（1） ；（2）
【分析】本题考查二次根式的混合运算、完全平方公式，熟记运算顺序及运算法则是解题的关键．
（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
（3）先利用全平方公式计算，再计算二次根式的乘法，然后合并即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
21．（1） ；（2）
【分析】本题考查了二次根式的混合计算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问
题的关键．
（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
（2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
解：（1）原式
．
（2）原式
．
22．（1） ；（2）49【分析】本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算．
（1）根据平方差公式将原式整理成 ，再根据二次根式的运算法则计算即可求解；
（2）根据完全平方公式将原式整理成 ，再根据二次根式的运算法则计算即可求解．
（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
则 ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
则 ．
23．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）根据小明的解答总结出规律即可；
（2）结合（1）进行分母有理化，再合并同类项即可得结果；
（3）根据小明的解答，先将分母有理化，再根据整体代入法代入，即可得出答案．
（1）解：由题意得 ，
故答案为： ．
（2）解：
．（3）解：由题意得 ，
∴ ．
∴ ，即 ．
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了分母有理化的应用，代数式求值，二次根式的运算，能求出 的值和正确变形是
解此题的关键．
24．（1）28， ，4， ；（2）7或13
【分析】（1）设 ，根据完全平方公式求出 ，得出 ，
，再求出答案即可；
（2）根据完全平方公式求出 ，求出 ， ，求出 ，
根据 、 为正整数得出 ， 或 ， ，再求出 即可．
（1）解：设 ，
，
， ，
取 ， ，则 ， ，
则 ，
故答案为：28， ，4， ；
（2） ，
，
， ，，
、 都为正整数，
， 或 ， ，
当 ， 时， ；
当 ， 时， ，
所以 的值是7或13．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算和完全平方公式，能根据完全平方公式展开是解此题的关
键．
