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专题16.11 二次根式的加减（分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024上·河北石家庄·八年级校考期末）若最简二次根式 可以与 合并，则 的值可以是
（ ）
A．5 B．4 C．2 D．1
2．（2024上·河北石家庄·八年级校考期末）已知 ， ，则 与 的关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·河南新乡·九年级统考阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023上·河北邢台·八年级金华中学校联考阶段练习）如图，数轴上 ， ， ， 四点所表示的
数与 的结果最接近的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
5．（2023上·辽宁朝阳·七年级校考期中）若 的整数部分为x，小数部分为y，则
的值是（ ）
A． B．3 C． D．－3
6．（2022上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）若 ，则式子 的值为（ ）
A． B． C． D．47．（2023·湖北武汉·模拟预测）若三个实数 ， ， 满足 ，且 ，则有：
，则 的值（ ）
A． B． C．2023 D．
8．（2020上·河北石家庄·八年级统考期末） 、 、 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期末）若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
10．（2023上·重庆·八年级四川外国语大学附属外国语学校校考期中）定义一种新运算：
，例如：当 时， 则下列说法正确的有（ ）
个
① ；
②当 时，则 ；
③当 时，则 ．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2022下·甘肃武威·八年级校考期中）若最简二次根式 和 能合并，则
＝ ．
12．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）计算： ．
13．（2020上·上海浦东新·八年级校考阶段练习）分母有理化： ．
14．（2023下·辽宁抚顺·八年级统考期末）计算 的结果是 ．
15．（2023下·江西南昌·八年级统考期中）已知 ，则 的值是 ．
16．（2022上·八年级单元测试）若 ，则 ．
17．（2022下·湖南衡阳·九年级统考自主招生）满足不等式 的整数m的个数是
．
18．（2023下·江苏无锡·八年级校考阶段练习）最简二次根式 与
是同类二次根式，则 为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023下·浙江湖州·八年级统考阶段练习）已知二次根式 ，（1）如果该二次根式 ，求a的值；
（2）已知 为最简二次根式，且与 能够合并．
①求a的值；
②求 ．
20．（8分）（2023上·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）计算：
（1） ； （2） ．
21．（10分）（2023上·河南郑州·八年级校考期中）计算
（1） （2）
22．（10分）（2023上·湖北武汉·八年级期末）设 ， ，求 值.23．（10分）（2023上·陕西西安·八年级西安市第三中学校考期中）已知 ，求 的
值．小明是这样分析与解答的：
∴ ，
∴ ．
∴ ，即 ．
∴ ，
∴ ．
青你根据小明的分析过程，解决下列问题：
（1）化简： _________；
（2）计算： ；
（3）若 ，求 的值．
24．（12分）（2023上·山西长治·九年级长治市第六中学校校考期中）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
双层二次根式的化简
二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就
是根号内又带根号的式子、它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．
例如：要化简 ，可以先思考 （根据1）．
．通过计算，我还发现设
（其中m，n，a，b都为正整数），则有．∴ ， __________．
这样，我就找到了一种把部分 化简的方法．
任务：
（1）文中的“根据1”是__________， __________．
（2）根据上面的思路，化简： ．
（3）已知 ，其中a，x，y均为正整数，求a的值．参考答案：
1．C
【分析】本题考查合并同类二次根式，涉及同类二次根式、最简二次根式、合并同类二次根式等知识，
由题意，将 化为最简二次根式 ，从而得到 ，解方程即可得到答案，熟记最简二次根式及
同类二次根式的定义是解决问题的关键．
解： ， 是最简二次根式，且 可以与 合并，
，解得 ，
故选：C．
2．D
【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及分母有理化、二次根式加减乘除混合运算等知识，熟练掌
握分母有理化，根据选项运用二次根式加减乘除混合运算逐个验证是解决问题的关键．
解： ，
A、 ，该选项错误，不符合题意；
B、 ，该选项错误，不符合题意；
C、 ，该选项错误，不符合题意；
D、 ，该选项正确，符合题意；
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了二次根式的减法运算，二次根式的乘法、除法运算．熟练掌握二次根式的减法运
算，二次根式的乘法、除法运算是解题的关键．
根据二次根式的减法运算，二次根式的乘法、除法运算方对各选项进行判断即可．
解： ，A错误，故不符合要求；，B错误，故不符合要求；
，C错误，故不符合要求；
，D正确，故符合要求；
故选：D．
4．B
【分析】本题主要考查了二次根式的计算和估算无理数的大小，先将原式化简得到 ，再估算出
的取值范围，进而可得出结论．
解：
∵
∴
∴与点B最接近，
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了二次根式的运算，正确确定 的整数部分x与小数部分y的值是关键．首先
根据 的整数部分，确定 的整数部分x的值，则y即可确定，然后代入所求解析式计算即可求解．
解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，∴ 的整数部分为 ，小数部分为 ，
∴
．
故选：B．
6．A
【分析】先利用分母有理化求得 的值，得到 的值，据此求解即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，掌握分母有理化的法则是解题的关键．
7．B
【分析】结合所给的条件，把所求的式子进行化简，再求值即可．
解： 三个实数 ， ， 满足 ，且 ，．
故选：B．
【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，数字的变化规律，分式的加减法，解答的关键是理解清
楚所给的条件．
8．D
【分析】根据作差法，分别比较 与 ， 与 的大小，即可得到答案.
解：∵（ ）-（ ）=3-2 =3- = - >0，
∴ ，
∵（ ）-（ ）= - = - = >0，
∴ ，
∴ ，
故选D.
【点拨】本题主要考查比较二次根式的大小，掌握作差法比较大小，是解题的关键.
9．A
【分析】本题考查了分母有理化，读懂题意，利用平方差公式进行分母有理化，是解答本题的关键．
根据题意，将 展开，然后利用平方差公式进行分母有理化，化简整理，最终得到答
案．
解：根据题意得：
，．
故选： ．
10．C
【分析】此题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．①把
分别代入求出 与 的值,代入原式检验即可；②根据 的值，求出 的值，代入计算求出
的值，即可作出判断；③把各项代入已知等式，相加减求出 与 的
值，代入原式计算得到结果，判断即可．
解：① ，说法正确；
②∵ ，
∴ ，
解得： 或或 ，说法错误；
③
得： ，即 ，
得： 即
则 ，说法正确．
说法正确的为①③，有 个
故选: C.
11．5
【分析】先根据二次根式和同类二次根式的定义得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y
的值，然后代值计算即可．
解：∵最简二次根式 和 能合并，
∴最简二次根式 和 是同类二次根式，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：5．
【点拨】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，解二元一次方程组，正确得到 是解题的关键．
12．
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算等知识点，先根据二次根式的性质化
简、然后再根据二次根式的加减运算法则计算即可；正确运用二次根式的性质化简各二次根式成为解题的
关键．
解：
．
故答案为 ．
13．
【分析】根据原式 ，计算求解即可．
解：原式
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次根式的加减．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运．
14．【分析】先根据二次根式的乘方法则计算，然后再合并同类项即可解答．
解：
．
故答案为: ．
【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，灵活运用其运算法则是解答本题的关键．
15．11
【分析】根据 ，可以得到 ，然后将所求式子变形，再将 整体代入变形
后的式子计算即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴
，
故答案为：11．
【点拨】本题考查利用完全平方公式求值，二次根式的运算，完全平方公式的应用是解题的关键．
16．0
【分析】根据二次根式的非负性求得a、b的值，再代入代数式进行计算即可．
解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，
故答案为：0．
【点拨】本题考查二次根式的非负性、代数式求值，熟练掌握二次根式非负性是解题的关键．
17．7
【分析】先将前后二次根式化为最简二次根式，再进行估值，根据估值确定m的个数．
解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵
