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专题16.6 二次根式的乘除（分层练习）
一、单选题
1．（2022下·浙江杭州·八年级翠苑中学校考期中）以下各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021上·八年级课时练习）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·广东茂名·八年级统考期中）已知 ， ，则 （ ）
A．35.12 B．351.2 C．111.08 D．1110.8
4．（2023下·辽宁大连·八年级统考期中） 的倒数是（ ）
A． B． C．－6 D．
5．（2020下·山东·八年级校考阶段练习）下列各式计算正确的是（ ）
A． + = B．2+ =2
C．3 - =2 D． = -
6．（2023上·河北衡水·八年级校联考阶段练习）若 是最简二次根式，则a的值可能是（ ）
A． B． C．2 D．
7．（2019·山东聊城·校联考一模）已知二次根式 与 化成最简二次根式后，被开方式相同，
若a是正整数，则a的最小值为（ ）A．23 B．21 C．15 D．5
8．（2023上·河北承德·八年级校考期末）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）下列各式的计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023下·河北保定·八年级校考期中）在解决如下问题“已知 ， ，用含 ， 的代
数式表示 ”时，甲、乙两个同学分别给出不同解法：
甲： ．
乙： 因为 ，所以 ．
对于这两种解法，正确的是（ ）
A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对
11．（2022下·河北廊坊·八年级统考阶段练习）若 ，则化简 （ ）
A．m B．-m C．n D．-n
12．（2022下·广东汕头·八年级广东省汕头市聿怀初级中学校考阶段练习）观察数据并寻找规律： ，
， ， ， ……，则第2021个数是（ ）
A． B． C． D．13．（2023下·江苏·八年级专题练习）计算 （ ）的结果是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022下·福建龙岩·八年级统考期中）在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠
铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被
毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数 称为黄金分割数．设 ， ，
记 ， ， ，…， ，则
的值为（ ）
A． B． C．100 D．5050
15．（2023上·浙江金华·八年级统考阶段练习）如图， 中， ， 的平分线 与
边 的垂直平分线 相交于 ， 交 的延长线于 ， 于 ，下列结论：①
；② ；③ 平分 ；④ ；正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
二、填空题
16．（2019·湖南益阳·统考一模）把 化成最简二次根式为 ．
17．（2018下·八年级单元测试）已知最简二次根式 与 的被开方数相同，其中 ，则
.18．（2023上·广东揭阳·八年级惠来县第一中学校考期末）计算： ．
19．（2023下·云南楚雄·八年级统考期中）方程 的解为 ．
20．（2022下·山东青岛·八年级统考期中）计算： ．
21．（2023上·广东茂名·八年级统考期中）若单项式 与 是同类项，则 的值为
．
22．（2015·广西柳州·统考二模）若二次根式 是最简二次根式，则最小的正整数a=
23．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期中）若 ，那么代数式
的值为 ．
24．（2024下·全国·八年级假期作业）已知一个三角形的面积为 ，一条边长为 ，则这条
边上的高为 cm．
25．（2023下·安徽滁州·八年级校联考期中）计算： ．
26．（2023上·海南海口·九年级海口市第十四中学校考阶段练习）计算： ．
27．（2023下·湖北襄阳·八年级校考阶段练习）计算 的结果为 ．
28．（2022上·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）化简：
．
29．（2023·湖北咸宁·统考一模）人们把 叫做黄金分割数．五角星是常见的图案，如图，在五角星中存在黄金分割数， ，若 ，则 ．
30．（2021·湖北黄冈·统考中考真题）人们把 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选
法中的 法就应用了黄金分割数．设 ， ，则 ，记 ，
，…， ．则 ．
三、解答题
31．（2022下·八年级课时练习）计算：
（1） ． （2） ．
32．（2022上·陕西榆林·八年级校考期中）计算：
（1） （2）
33．（2021上·河北保定·八年级校考期末）计算：
利用平方差公式可以进行简便计算：
例如：请你参考上述算法，运用平方差公式简便计算：
34．（2022上·福建漳州·八年级福建省长泰县第一中学校考期末）计算：
（1） ． （2） ．
35．（2022下·广东中山·八年级统考期中）请阅读下列材料：
问题：已知 ，求代数式 的值．小敏的做法是：根据 得 ，∴
，得 ．把 作为整体代入得 ．即：把已知条件适当变形，
再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知 ，求代数式 的值；
（2）已知 ，求代数式 的值．
36．（2023上·辽宁沈阳·八年级校联考阶段练习）观察下列等式：
第1个等式： ，第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）第6个等式：______；
（2）计算： ；
（3）写出你猜想的第n个等式，并证明其正确性（用含n的式子表示）；
（4）若 符合上述规律，请直接写出代数式 的值．参考答案：
1．A
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因
数或因式判断即可．
解：A选项， 是最简二次根式，故该选项符合题意；
B选项， ，故该选项不符合题意；
C选项， ，故该选项不符合题意；
D选项， ，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
2．A
【分析】化简二次根式，将被开方的数字等价于一个能够被开方出来是整数的数与另一个数相乘，从
而达到化简目的， 再根据二次根式的乘法进行计算即可；
解： ．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了二次根式的基本性质，①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算
术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
3．A
【分析】本题主要考查算术平方根的知识，根据 计算得出结论即可．
解：∵ ，
∴ ，
故选：A．4．D
【分析】根据倒数的定义以及分母有理化即可求解．
解：∵ 倒数是 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了倒数的定义以及分母有理化，掌握倒数的定义以及分母有理化是解题的关键．
5．C
【分析】根据同类二次根式的混合运算，逐一验证即可．
解：A． + 不能合并，故此选项错误；
B．2+ 不能合并，故此选项错误；
C．3 - =2 ，计算正确，故此选项正确；
D． = ，故此选项错误；
故选：C．
【点拨】本题考查了同类二次根式的混合运算，掌握同类二次根式的运算是解题的关键，注意结果化
成最简形式．
6．C
【分析】本题考查了最简二次根式的定义、二次根式有意义的条件，掌握最简二次根式的概念是解题
的关键．
解：A． 无意义，故该选项不符合题意；
B． ，故该选项不符合题意；
C． 是最简二次根式，故该选项符合题意；
D． ，故该选项不符合题意．
故选：C．7．D
【分析】由 ，且与 是同类二次根式知23﹣a＝2n2，分别取n＝1、2、3即可得答案．
解：∵ ，且与 是同类二次根式，
∴23﹣a＝2时，a＝21；
23﹣a＝8时，a＝15；
23﹣a＝18时，a＝5；
23﹣a＝32时，a＝﹣9（不符合题意，舍）；
∴符合条件的正整数a的值为5、15、21．
∴a的最小值为5．
故选D．
【点拨】本题主要考查最简二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念．
8．B
【分析】本题考查的是算术平方根的含义，积与商的算术平方根的含义，熟记运算法则是解本题的关
键；根据算术平方根以及积与商的算术平方根的含义逐一化简即可得到答案．
解： ，故A不符合题意；
，运算正确，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选B
9．D
【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的性质化简和二次根式除法依次计算各项后即可
解答，熟练掌握二次根式的化简和二次根式除法运算法则是解题的关键．
解： 、 ，此选项计算错误，不符合题意；、 ，此选项计算错误，不符合题意；
、 ，此选项计算错误，不符合题意；
、 ，此选项计算正确，符合题意；
故选： ．
10．C
【分析】仔细阅读两同学的解题过程，然后判断．
解：甲： ，
∴甲正确；
乙： ，
∵ ，
∴ ．
∴乙正确；
综上所述，甲、乙均对．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握仔细阅读题目，灵活解题．
11．B
【分析】先由已知条件得到m、n的符号，再根据二次根式的乘除法则化简计算即可．
解：由已知条件可得：
m<0，n<0，
∴原式=
==
=|m|
=-m，
故选：B．
【点拨】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的乘除法是解题关键．
12．A
【分析】根据给出的数列可以看出第奇数个数为正，第偶数个数为负，第n个数的绝对值是 ，即
可确定第n个数为 ，据此即可求得．
解：观察这列数： ，
，
，
，
，
……，
根据规律可知，第n个数为 ，
∴第2021个数是 ，
故选：A．
【点拨】本题主要考查数字的变化规律，归纳总结出数字的变化规律是解题的关键．
13．A
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，正确化简二次根式是解题
关键．
直接利用二次根式的混合运算法则，计算化简即可．解：
，
故选：A．
14．C
【分析】先计算 ， ， 的值，找出规律，然后求解即可．
解： ， ，
，
，
，，
，
，
，
故选：C
【点拨】本题考查的分式的规律计算以及二次根式的乘法，正确掌握异分母分式的加减计算法则及运
算规律是解题的关键．
15．D
【分析】由角平分线的性质可知①正确；由题意可知 ，故此可知 ，，从而可证明②正确；若 平分 ，则 ，与 矛盾，可得③错误；连
接 、 ，然后证明 ，从而得到 ， ，从而证明④．
解：∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∴①正确；
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
同理： ，
∴ ，
∴②正确；
∵ ，
∴若 平分 ，则 ，与 矛盾，
∴③错误；
如图所示：连接 、 ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ 中， ， 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴④正确；
综上可知，正确的有①②④，
故选D．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，含30度角
的直角三角形的性质，勾股定理等，有一定难度，能够综合运用上述知识点是解题的关键．
16．
【分析】根据题意先化成分数，再根据二次根式的性质进行化简即可得出答案．
解： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查最简二次根式的定义，注意掌握最简二次根式必须满足两个条件即被开方数不含分
母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
17．3
【分析】确定 与 的被开方数，列出等式求解.
解：由题意得 ，解得 ，故答案为3.
【点拨】本题考查了二次根式的概念，明确最简二次根式的被开方数是解题的关键.
18．
【分析】本题考查二次根式的乘法，根据 计算，再利用二次根式的性质化简
即可．解： ，
故答案为： ．
19．
【分析】化系数为1，即可求解．
解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
20．
【分析】根据 ， ，再把分母化为最简二次根式，即可．
解：
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式乘法，除法的运用．
21．
【分析】本题主要考查了同类项，最简二次根式，根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母
的指数也相同即可求解．解：∵单项式 与 是同类项，，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
22．2
解：因为a为正整数，当a=1时, =
不是最简二次根式，当a=2时， =
是最简二次根式，所以二次根式 是最简二次根式，
则最小的正整数a为2
故答案为：2．
【点拨】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否
同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
23．8
【分析】本题主要考查了求代数式的值，首先将已知条 转化为 ，然后整
体代入代数式进行计算即可得出答案，熟练掌握求代数式值的方法于技巧，理解整体思想在解决问题中的
应用是关键．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
．故答案为：8．
24．
【解析】略
25．
【分析】根据平方差公式，二次根式的混合运算计算法则，即可解答．
解： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了平方差公式，二次根式的混合计算，想到利用平方差公司进行简便计算是解题的
关键．
26．
【分析】利用二次根式的乘法法则计算即可．
解：
．
【点拨】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
27． / /
【分析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再算除法即可．
解：
．
故答案为 ．【点拨】本题考查了二次根式的化简与除法，掌握相关法则和公式是解题的关键．
28．
【分析】根据二次根式的混合运算法则化简求解即可．
解：
．
故答案：
【点拨】此题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则．
29． /
【分析】根据 ，依次求出 即可解答．
解：根据 ，可得 ， ，
，
，
，
，
．
故答案为： ．【点拨】本题考查了二次根式的乘法法则，熟练运用法则计算是解题的关键．
30．10
【分析】先根据 求出 （ 为正整数）的值，从而可得 的值，再求
和即可得．
解： ，
（ 为正整数），
，
，
，
，
则 ，
故答案为：10．
【点拨】本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键．
31．（1） ；（2）
【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的除法运算法则计算即可．
解：（1）
；
（2）．
【点拨】本题主要考查了二次根式的乘除运算，掌握二次根式的乘法和除法运算法则是解答本题的关
键．
32．（1） ；（2）
【分析】（1）先利用绝对值的意义，立方根的定义进行化简，再利用实数的运算法则即可得出结论；
（2）先根据零指数幂性质，二次根式的乘除运算法则进行计算，再计算加减即可．
（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ．
【点拨】此题考查了实数的混合运算法则，掌握绝对值的化简，立方根的定义是解题的关键．
33．
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，把第一个括号内提 ，然后利用平方差公式计算．
解：
．
34．（1） ；（2）
【分析】本题考查二次根式的混合运算，
（1）根据二次根式的性质、二次根式的乘法和除法运算法则、零指数公式将原式化简，再进行加减
运算即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式将原式化简，再进行加减运算即得出答案；
掌握相应的运算法则、性质和公式是解题的关键．（1）解：
；
（2）解：
．
35．（1） ；（2）
【分析】（1）本题主要考查了完全平方公式的应用、整体思想等知识点，根据完全平方公式求出
，然后代入计算即可；掌握整体思想是解题的关键；
（2）本题主要考查了二次根式的乘法、完全平方公式等知识点根据二次根式的乘法法则、完全平方
公式计算可得 ， ，然后整体代入计算即可；灵活运用相关运算法则是解题的关键．
（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
36．（1） ；（2） ；（3） ，证明见分析；（4） 的
值为2或30
【分析】（1）结合题目所给等式即可求得答案；
（2）结合所给等式利用二次根式的乘法法则计算即可；
（3）结合所给等式猜想第n个等式，然后进行证明即可；
（4）将原式变形后根据所得规律求得a，b的值，将其代入 中计算即可．
（1）解：由题干中所给等式可得第6个等式为： ，
故答案为： ；
（2）解：原式
；
（3）解：第n个等式为： ，证明如下：
；（4）解： ，
即 ，
符合所得规律，
，
解得： 或 ， ，
那么 或 ，
即 的值为2或30．
【点拨】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等
式，并证明猜想的正确性．
