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专题 16.6 二次根式全章五类必考压轴题
【人教版】
1．已知x、y为实数，且y=√x−2023+√2023−x+1，则x+ y的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
2．已知 ，则 的值为（ ）．
√x−11−|7−x|+√(x−9) 2=3 y−2 2x−18 y2
A．22 B．20 C．18 D．16
3．已知﹣1＜a＜0，化简√ 1 2 √ 1 2 的结果为___．
(a+ ) −4+ (a− ) +4
a a
4．若实数a，b，c满足关系式√a−199+√199−a=√2a+b−c+√b−6，则c＝______．
5．已知整数x，y满足x√y+ y√x−√2022x−√2022y+√2022xy=2022，则√x−y−7的最小值为
_____．
6．已知实数 ， ， 满足等式 ，求
x y m √3x+5 y−3−m +(2x+3 y−m) 2= √x+ y−2− √2−x−y √m+4
的值.
1．若 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 ，则 （ ）（其中 表
A= 1+ + + 1+ + + 1+ + +⋯+ 1+ + [A]= [A]
12 22 22 32 32 42 20212 20222
示不超过A的最大整数）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
2．已知
T =
√
1+
1
+
1
=
√9
=
3，
T =
√
1+
1
+
1
=
√49
=
7，
T =
√
1+
1
+
1
=
√ (13) 2
=
13，…
1 12 22 4 2 2 22 32 36 6 3 32 42 12 12√ 1 1 ，其中 为正整数．设 ，则 值是（ ）
T = 1+ + n S =T +T +T +⋯+T S
n n2 (n+1) 2 n 1 2 3 n 2022
2022 2022 1 1
A．2022 B．2023 C．2022 D．2023
2023 2023 2023 2022
3．将一组数据√3，√6，3，2√3，√15，…，3√10，按下面的方法进行排列：√3，√6，3，2√3，√15
；
3√2，√21，2√6，3√3，√30；
⋯；
若2√3的位置记为(1，4)，2√6的位置记为(2，3)，则这组数中√87的位置记为（ ）
A．(6，4) B．(5，3) C．(5，2) D．(6，5)
4．观察下列各式：
√ 1 1 1 …………①
1+ + =1+
12 22 1×2
√ 1 1 1 …………②
1+ + =1+
22 32 2×3
√ 1 1 1 …………③
1+ + =1+
32 42 3×4
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
(1)发现规律√ 1 1 ___________（ 为正整数）；
1+ + = n
n2 (n+1)) 2
(2)计算√ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 ___________；
1+ + + 1+ + + 1+ + +⋅⋅⋅+ 1+ + =
12 22 22 32 32 42 20222 20232
(3)如果√ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 1，那么 ___________．
1+ + + 1+ + + 1+ + +⋅⋅⋅+ 1+ + =n− n=
12 22 22 32 32 42 (n−1) 2 n2 5
1 1 1 1 1 1 1 1
5．观察下面的式子：S=1+ + ，S=1+ + ，S=1+ + …S=1+ +
1 12 22 2 22 32 3 32 42 n n2 (n+1) 2
（1）计算： = ， = ；猜想 = （用n的代数式表示）；
√S √S √S
1 3 n（2）计算：S= （用n的代数式表示）．
√S +√S +√S +…+√S
1 2 3 n
1．材料：如何将双重二次根式 ， ， 化简呢？如能找到两个数 ，
√a±2√b(a>0 b>0 a±2√b>0) m
，使得 ，即 ，且使 ，即 ，那么
n(m>0,n>0) (√m) 2+(√n) 2=a m+n=a √m⋅√n=√b m⋅n=b
，双重二次根式得以化简．
a±2√b=(√m) 2+(√n) 2 ±2√m⋅√n=(√m±√n) 2 ∴√a±2√b=|√m±√n|
例如化简：√3±2√2，
因为3=1+2且2=1×2，
，
∴3±2√2=(√1) 2+(√2) 2 ±2√1×√2∴√3±2√2=|1±√2|
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成√a±2√b的形式，且能找到m，n(m>0,n>0)使得m+n=a
，且m⋅n=b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
(1)填空：√5±2√6=___________，√12±2√35=___________；
(2)化简：√9±6√2；
(3)计算：√3−√5+√2±√3．
2．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
，善于思考的小明进行了以下探索：
3+2√2=(1+√2) 2
若设 （其中 、 、 、 均为整数），则有 ，
a+b√2=(m+n√2) 2=m2+2n2+2mn√2 a b m n a=m2+2n2
b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b√2的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解
决下列问题：
(1)若 ，当 、 、 、 均为整数时，用含 、 的式子分别表示 、 ，得：
a+b√7=(m+n√7) 2 a b m n m n a b a=______，b=______；
(2)若 ，且 、 、 均为正整数，求 的值；
a+6√3=(m+n√3) 2 a m n a
(3)化简下列格式：
①√5+2√6
②√7−2√10
③ ．
√4−√10+2√5+√4+√10+2√5
3．小明在做二次根式的化简时，遇到了比较复杂的二次根式√5−2√6，通过资料的查询，他得到了该二
次根式的化简过程如下
√5−2√6=√2−2×√2×√3+3
＝
√(√2) 2 −2×√2×√3+(√3) 2
＝
√(√2−√3) 2
=|√2−√3|
=√3−√2
(1)结合以上化简过程，请你动手尝试化简√4−2√3．
(2)善于动脑的小明继续探究：当a，b，m，n为正整数时，若 ，则
a+2√b= (√m+√n) 2
，所以 ，若 ，且a，m，n为正整数，
a+2√b=(m+n)+2√mn a=m+n,b=mn a+2√17= (√m+√n) 2
m>n；求a，m，n的值．
4．阅读材料：
材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根
号,如：
√ (√1) 2+(√2) 2 −2×√1×√2=√ (√1−√2) 2=|√1−√2|=√2−1
材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式,
利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常 用到．如：
x2+2√2x+3=x2+2·√2·x+(√2) 2+1=(x+√2) 2+1
∵ ，∴ ，即
(x+√2) 2 ≥0 (x+√2) 2+1≥1 x2+2√2x+3≥1
∴x2+2√2x+3的最小值为1
阅读上述材料解决下面问题：
（1）√4−2√3= ，√5+2√6= ；
（2）求x2+4√3x+11的最值；
1
（3）已知 x=√3−√13−4√3 ，求− (4+2√3)x2y2+(√3+1)xy−5的最值．
4
5．阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如： ，善于思考的康康进行了以下探索：
3+2√2=(1+√2) 2
设 （其中 、 、m、n均为正整数），
a+b√2=(m+n√2) 2 a b
则有a+b√2=m2+2n2+2mn√2（有理数和无理数分别对应相等），
∴a=m2+2n2，b=2mn，这样康康就找到了一种把式子a+b√2化为平方式的方法．
请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含 、 的式子分别表示a、b，得：
a+b√3=(c+d√3) 2 c d a=
________，b=________；
(2)若 ，且 、 均为正整数，试化简： ；
7−4√3=(e−f √3) 2 e f 7−4√3
(3)化简： ．
√7+√21−√80
2x−√xy+3 y
1．已知√x(√x−√y)=3√y(5√y−√x)，求 ．
x+√xy−6 y1 1
2．已知x= ，y= ．
√10−3 √10+3
（1）求x2+2xy+ y2的值．
（2）求√(x2−4x+4) √(y2+2y+1)值．
−
x(x−2) y(y+1)
√3−1 √3+1
3．已知a= ，b=
√3+1 √3−1
（1）求a2−ab+b2的值；
（2）若a的小数部分为m，b的小数部分为n，求(m+n)(m－n)的值．
√3−1 √3+1 1 1 y x
4．已知x= ，y= ，m= − ，n= + ．
2 2 x y x y
（1）求m,n的值；
（2）若√a−√b=n+2，√ab=m，求√a+√b的值．
√m+2√n−8
5．正数m,n满足m+4√mn−2√m−4√n+4n=3，求 的值.
√m+2√n+2002
2 √5 1
1．在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如 ， ， 的式子，其实我们还可以将其进一步
√5 3 √2+1
化简：
2 2×√5 2√5
= = ；①
√5 √5×√5 5
√5 √5×3 √15
= = ；②
3 3×3 31 1×(√2−1) √2−1 ；③
= = =√2−1
√2+1 (√2+1)(√2−1) (√2) 2 −12
1
对于以上这种化简的步骤叫做分母有理化， 还可以用以下的方法化简；
√2+1
1 2−1 (√2) 2 −12 (√2+1)(√2−1) ；④
= = = =√2−1
√2+1 √2+1 √2+1 √2+1
2
(1)请参照方法④化简： ；
√7+√5
(2)化简： 5 √3；
+
√6 2
1 1 1 1
(3)化简： + + ⋅⋅⋅+ .（n为正整数）
√3+1 √5+√3 √7+√5 √2n+1+√2n−1
2．阅读材料，回答问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因
式．例如：因为 ， ，所以 与 ， 与 互为有理化因式．进行
√a×√a=a (√2+1)(√2−1)=1 √a √a √2+1 √2−1
二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
√3+2
(1)√3−2的有理化因式是________；化简： =________；
√3−2
1 1 1 1
(2)化简： + + +⋯⋯+
√3+1 √5+√3 √7+√5 √289+√287
(3)拓展应用：已知，a=√2020−√2019，b=√2021−√2020，c=√2022−√2021，
试比较a，b，c的大小，并说明理由．
3．先阅读下面的材料，再解答问题．
因为 ，
(√a+√b)(√a−√b)=(√a) 2 −(√b) 2=a−b
所以 ．
a−b=(√a+√b)(√a−√b)特别地， ，
(√14+√13)(√14−√13)=1
1
所以 =√14+√13．
√14−√13
当然，也可以利用14−13=1，得1=14−13，
2 2
所以 1 14−13 (√14) −(√13) ，
=
√14−√13 √14−√13 √14−√13
(√14+√13)(√14−√13)，
=
√14−√13
=√14+√13，
这种变形也是将分母有理化．
利用上述的思路方法，计算：
(1)( 1 1 1 ) ；
+ +…+ (√2023+1)
√2+1 √3+√2 √2023+√2022
3 6 2
(2) − − ．
4−√13 √13−√7 3+√7
4．【材料阅读】
2
材料一：在进行二次根式化简与运算时，有时会遇到形如 的式子，可以通过分母有理化进行化简或
√3+1
2
计算．如化简： ．具体方法如下：
√3+1
方法一： 2 2(√3−1) ．
= =√3−1
√3+1 (√3+1)(√3−1)
方法二： 2 3−1 (√3) 2 −12 (√3−1)(√3+1) ．
= = = =√3−1
√3+1 √3+1 √3+1 √3+1
b c b+c b+c b c
材料二：我们在学习分式时知道，对于公式 + = 可以逆用．即： = + ．
a a a a a a
【问题解决】3
（1）化简： =______；
√10−√7
（2）计算：( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 )；
− + − +⋅⋅⋅+ −
√2+1 √3+√2 √3+√2 √4+√3 √100+√99 √101+√100
1 1 1 1
（3）计算： + + +⋅⋅⋅+ ．
2+√2 3√2+2√3 4√3+3√4 21√20+20√21
5．阅读下列材料，然后回答问题：
1
在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方法将其化简：
√3+√2
方法1： 1 (√3−√2) √3−√2 （以上化简的步骤叫分母有理化）；
= = =√3−√2
√3+√2 (√3+√2)(√3−√2) 3−2
方法2： 1 3−2 (√3) 2 −(√2) 2 (√3+√2)(√3−√2) ．
= = = =√3−√2
√3+√2 √3+√2 √3+√2 √3+√2
请选用适当的方法，解答如下问题：
2 2 2 2
（1）化简： + + +⋅⋅⋅+ ．
√3+1 √5+√3 √7+√5 √2019+√2021
1 1 1
（2）若a= ，b= ，c= ，请你根据以上方法直接写出a，b，c的大小关系．
√5−√4 √6−√5 √7−√6
√m+1−√m √m+1+√m
（3）已知m为正整数，a= ，b= ，且a2+b2+1968ab+2=2020，求
√m+1+√m √m+1−√m
m3+3m2−m−6的值．
6．我们将 、 称为一对“对偶式”，因为
(√a+√b) (√a−√b) (√a+√b)(√a−√b)=(√a) 2 −(√b) 2 =a−b
，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将(√a+√b)和(√a−√b)中的“√❑”去掉.于是二次根式除
法可以这样解：如 1 √3 √3，2+√2 (2+√2) 2 ．像这样，通过分子，分
= = = =3+ 2√2
√3 √3×√3 3 2−√2 (2+√2)×(2−√2)
母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
1 1
（1）比较大小 ________ （用“>”、“<”或“=”填空）；
√7−2 √6−√3
√5+2 √5−2
（2）已知x= ，y= ，求x2+ y2的值；
√5−2 √5+2
2 2 2 2
（3）计算： + + +……+
3+√3 5√3+3√5 7√5+5√7 99√97+97√99
