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专题16.7 二次根式的乘除（直通中考）
一、单选题
1．（2021·四川绵阳·统考中考真题）计算 的结果是（ ）
A．6 B． C． D．
2．（2021·湖南益阳·统考中考真题）将 化为最简二次根式，其结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·山东济宁·中考真题）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·浙江杭州·统考中考真题） × ＝（ ）
A． B． C． D．3
5．（2019·四川广安·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·湖南湘西·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·河北·统考中考真题）若 ，则 （ ）A．2 B．4 C． D．
8．（2023·湖南·统考中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有 ．该运算法则成
立的条件是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·广西桂林·统考中考真题）化简 的结果是（ ）
A．2 B．3 C．2 D．2
11．（2023·四川巴中·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023·重庆·统考中考真题）估计 的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间
C．6和7之间 D．7和8之间
13．（2021·上海·统考中考真题）下列实数中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
14．（2010·湖北十堰·中考真题）下列各式中，运算正确的是（ ）A． B． C． D．
15．（2019·四川达州·统考中考真题）下列判断正确的是（ ）
A． B．若 ，则
C． D．3a可以表示边长为a的等边三角形的周长
二、填空题
16．（2023·山西阳泉·统考一模）计算 ．
17．（2023·湖南益阳·统考中考真题）计算： ．
18．（2022·天津·统考中考真题）计算 的结果等于 ．
19．（2020·辽宁营口·中考真题）（3 + ）（3 ﹣ ）＝ ．
20．（2019·安徽·统考中考真题）计算 的结果是 .
21．（2022·安徽·校联考一模）计算 的结果是 ．
22．（2010·江苏南京·中考真题）计算： ．
23．（2018·湖南郴州·统考中考真题）计算： = ．
24．（2015·江苏南京·统考中考真题）计算 的结果是 ．
25．（2012·广西北海·中考真题） ＝ ．26．（2023·山东潍坊·统考中考真题）从 、 ， 中任意选择两个数，分别填在算式
里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
27．（2017·青海西宁·中考真题）计算： ．
28．（2021·青海·统考中考真题）观察下列各等式：① ；② ；③
…根据以上规律，请写出第5个等式： ．
29．（2021·湖北黄冈·统考中考真题）人们把 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选
法中的 法就应用了黄金分割数．设 ， ，则 ，记 ，
，…， ．则 ．
30．（2011·广东珠海·中考真题）将 按右侧方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向
右第n个数，则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是 ．
三、解答题31．（2022·浙江湖州·统考中考真题）计算： ．
32．（2019·河北衡水·九年级衡水市第二中学阶段练习）计算：
33．（2023·山东淄博·统考中考真题）
先化简，再求值： ，其中 ， ．
34．（2023·湖南益阳·统考中考真题）
计算： ．
35．（2022·四川雅安·统考中考真题）（1）计算：（ ）2+|﹣4|﹣（ ）﹣1；
（2）化简：（1+ ）÷ ，并在﹣2，0，2中选择一个合适的a值代入求值．36．（2019·浙江嘉兴·统考中考真题）小明解答“先化简，再求值： ，其中 ．”
的过程如图．
请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．参考答案：
1．D
【分析】由题意化简为最简二次根式后依据二次根式的乘法运算法则进行运算即可得出答案.
解：
故选：D.
【点拨】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键.
2．D
【分析】根据二次根式的化简方法即可得．
解：原式 ，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简方法是解题关键．
3．A
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
解：A、 是最简二次根式，故选项正确；
B、 = ，不是最简二次根式，故选项错误；
C、 ，不是最简二次根式，故选项错误；
D、 ，不是最简二次根式，故选项错误；
故选：A【点拨】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
4．B
【分析】利用二次根式的乘法运算法则进行运算即可．
解： × ＝ ，
故答案为B．
【点拨】本题考查了二次根式的乘法运算法则，灵活应用运算法则是解答本题的关键．
5．D
【分析】根据合并同类项和二次根式混合运算的法则，即可解答．
解：A、 不是同类项不能合并；故A错误；
B、 故B错误；
C、 ，故C错误；
D、 ，故D正确；
故选D．
【点拨】本题考查了合并同类项和二次根式混合运算的法则，熟记法则是解题的关键．
6．A
【分析】根据二次根式的性质、积的乘方、合并同类项法则、完全平方公式进行化简计算即可．
解：解∶A． ，原计算正确，符合题意；
B． ，原计算错误，不符合题意；
C．3与 不是同类二次根式，不可以合并，原计算错误，不符合题意；
D． ，原计算错误，不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查了二次根式的性质、积的乘方、合并同类项法则、完全平方公式，掌握相关性质与
法则是解题的关键．
7．A【分析】把 代入计算即可求解．
解：∵ ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键．
8．D
【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果．
解：根据二次根式有意义的条件，得 ，
，
故选：D．
【点拨】二次根式有意义的条件，及解不等式组，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是
本题的关键．
9．D
【分析】分别根据二次根式乘法法则，完全平方公式，异分母分式加减法法则以及分式除法法则计算
出各项结果后，再进行判断即可．
解：A. ，故此计算错误，不符合题意；
B. ，故此计算错误，不符合题意；
C. ，故此计算错误，不符合题意；
D. ，计算正确，符合题意，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了二次根式乘法，完全平方公式，异分母分式加减法以及分式除法，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
10．A
【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为2 ．
解： ＝2 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简．
11．B
【分析】根据合并同类项，二次根式的乘法，完全平方公式，化简绝对值的法则，依次判断即可解答．
解： 不是同类项，无法合并，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
当 时， ；当 时， ，故D错误，
故选：B．
【点拨】本题考查了合并同类项，二次根式的乘法，完全平方公式，化简绝对值，熟知相关计算法则
是解题的关键．
12．A
【分析】先计算二次根式的乘法，再根据无理数的估算即可得．
解： ，
，
，即 ，
，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．
13．C【分析】先化简二次根式，再根据有理数的定义选择即可
解：
A、 ∵ 是无理数，故 是无理数
B、 ∵ 是无理数，故 是无理数
C、 为有理数
D、 ∵ 是无理数，故 是无理数
故选：C
【点拨】本题考查二次根式的化简、无理数的定义、有理数的定义、熟练掌握有理数的定义是关键
14．D
解：熟悉幂运算的性质：同底数的幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
二次根式的加减的实质是合并同类二次根式；二次根式相乘除，等于它们的被开方数相乘除．
解答：解：A、（x4）3=x12，故此选项错误；
B、a8÷a4=a4，故此选项错误；
C、因为3 和5 不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；
D、根据二次根式的除法法则，故此选项正确．
故选D．
15．D
【分析】根据实数的大小比较法则、二次根式的乘除法法则、列代数式的一般步骤判断即可．
解：A、 ，
，本选项错误；
B、若 ，则 或 或 ，本选项错误；
C、当 时， ，本选项错误；D、3a可以表示边长为a的等边三角形的周长，本选项正确；
故选D．
【点拨】考查的是二次根式的乘除法、实数的大小比较、列代数式，掌握二次根式的乘除法法则、实
数的大小比较法则是解题的关键．
16．6
【分析】利用二次根式的乘法法则进行求解即可．
解： ．
故答案为：6．
【点拨】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质是解题的关键．
17．
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
解： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次根式的乘法．二次根式的乘法法则 ．
18．18
【分析】根据平方差公式即可求解．
解： ，
故答案为：18．
【点拨】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的展开式是解题的关键．
19．12
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
解：原式＝（3 ）2﹣（ ）2
＝18﹣6
＝12．
故答案为：12．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．
20．3
【分析】根据二次根式的除法计算即可.解： ，
故答案为3．
【点拨】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握运算法则是解题关键.
21．3
【分析】直接利用二次根式的乘法法则计算得出答案．
解：原式＝
＝
＝3．
故答案为：3．
【点拨】此题主要考查了二次根式的乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．
22．
【分析】根据二次根式的乘法进行求解即可．
解： ；
故答案为：
【点拨】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
23．3
【分析】原式利用平方计算即可得到结果．
解：
=3，
故答案为3．
【点拨】本题考查了二次根式的平方，熟练掌握二次根式的计算方法是解本题的关键．
24．5．
解： .
故答案为5.
25．2解： ．
故答案为：2
26． （或 或 ，写出一种结果即可）
【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得．
解：①选择 和 ，
则
．
②选择 和 ，
则
．
③选择 和 ，
则
．
故答案为： （或 或 ，写出一种结果即可）．【点拨】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
27．16﹣8
解：试题分析：原式=4﹣8 +12=16﹣8
考点：二次根式的混合运算．
28．
【分析】根据左边根号外的因数与根号内的分子相同，根号内的分母为分子平方与1的差，右边根号
内为左边根号外与根号内两数之和，即可找到其中规律，从而写出第n个等式，再将n=6代入即可求出答
案．
解：猜想第n个为：
（n为大于等于2的自然数）；
理由如下：
∵n≥2，
∴
添项得：
，
提取公因式得：
分解分子得：
；
即：
；第5个式子，即n=6，代入得：
，
故填： ．
【点拨】本题考查二次根式的计算，需要通过观察分析和寻求规律、归纳和论证的抽象思维能力，得
出一般性的结论；解答此题的关键是仔细观察、细致分析，局部找规律，整体找关系．
29．10
【分析】先根据 求出 （ 为正整数）的值，从而可得 的值，再求
和即可得．
解： ，
（ 为正整数），
，
，
，
，
则 ，
故答案为：10．
【点拨】本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键．
30．
【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…
第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每
四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．解：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是： ，
（15，7）表示第15排从左向右第7个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，
第15排是奇数排，最中间的也就是这排的第8个数是1，那么第7个就是： ，
．
故答案为2 ．
【点拨】本题主要考查了数字的变化规律，解题的关键是准确找到变化规律，利用规律求解．
31．0
【分析】先算乘方，再算乘法和减法，即可．
解：
【点拨】本题考查实数的混合运算，关键是掌握 ．
32．3．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
解：原式＝ ．
【点拨】本题考查实数的运算，熟练运用运算法则是解题的关键．
33． ；
【分析】直接利用整式的混合运算法则化简进而合并得出答案．
解：原式
,
当 时,
原式 ．
【点拨】此题主要考查了整式的混合运算二次根式的运算，正确合并同类项是解题关键．34．
【分析】先化简绝对值，计算二次根式的乘方运算，有理数的乘法运算，再合并即可．
解：
．
【点拨】本题考查的是化简绝对值，二次根式的乘方运算，实数的混合运算，掌握实数的混合运算的
运算法则是解本题的关键．
35．（1）5；（2） 当 时，分式的值为1．
【分析】（1）先计算二次根式的乘方运算，求解绝对值，负整数指数幂的运算，再合并即可；
（2）先计算括号内的分式的加法运算，同步把除法转化为乘法运算，再约分可得化简后的结果，再
结合分式有意义的条件可得 从而可得分式的值．
解：（1）（ ）2+|﹣4|﹣（ ）﹣1
（2）（1+ ）÷
且
当 时，原式
【点拨】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的乘法运算，分式的化简求值，负整数指数幂的含
义，掌握以上基础运算是解本题的关键．36．步骤①、②有误, .
【分析】异分母分式的的加减应通分，而不是去分母，据此可找出小明错误的步骤；然后按照异分母
分式的运算法则计算即可.
解：步骤①、②有误.
原式： .
当 时，原式 .
【点拨】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分
式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减.分式运算的结果要化为最简分式或者整式.也考查了
二次根式的除法.
