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专题 17 立体几何外接球与内切球必刷 100 题
任务一:善良模式(基础)1-30题
一、单选题
1．已知正四棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，且正四棱锥 的底面面积为6，侧面积
为 ，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥 为鳖臑， 平面
， ， ， ，若三棱锥 的所有顶点都在球 上，则球 的半径为（
）
A． B． C． D．
3．已知 是以 为斜边的直角三角形， 为平面 外一点，且平面 平面 ， ，
， ，则三棱锥 外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．三棱锥 中， ， ， 的面积为 ，则此三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào）．已知在鳖臑
中， 平面 ， ，则该鳖臑的外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．
6．已知三棱锥 中， ， ， 的中点为E，DE的中点恰好为点A
在平面BCD上的射影，则该三棱锥外接球半径的平方为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，把两个完全相同的直三角尺 ， 斜边重合，沿其斜边 折叠形成一个120°的二面角，其
中 ，且 ，则空间四边形 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知直三棱柱的各棱长都相等，三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为28π，则该
三棱柱的体积为（ ）
A．6 B．18 C．12 D．16
9．已知边长为2的等边三角形 ， 为 的中点，以 为折痕进行折叠，使折后的 ，则
过 ， ， ， 四点的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．10．已知正四面体 的表面积为 ，且 、 、 ， 四点都在球 的球面上，则球 的体积为（
）
A． B． C． D．
11．在四棱锥 中，底面是边长为 的正方形，且 ，则四棱锥外接球的表面
积为（ ）
A． B． C． D．
12．三棱锥D-ABC中，AB=DC=3，AC=DB=2，AC⊥CD， AB⊥DB.则三棱锥D-ABC外接球的表面积是（
）.
A． B． C． D．
13．已知一个圆锥的母线长为 ，侧面展开图是圆心角为 的扇形，则该圆锥的外接球的体积为（
）
A． B． C． D．
14．已知三棱柱 的 个顶点全部在球 的表面上， ， ，三棱柱的侧面积为 ，则球 表面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
15．三棱锥 的顶点均在一个半径为4的球面上， 为等边三角形且其边长为6，则三棱锥
体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
16．已知 ， 分别是边长为2的等边 边 ， 的中点，现将 沿 翻折使得平面
平面 ，则棱锥 外接球的表面积为_________．
17．如图，矩形 中， 为 的中点， ，将 沿直线 翻折成 （ 不在
平面 内），连结 ， 为 的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是_________.
① 平面 ；②存在某个位置，使得 ；③当三棱锥 的体积最大时，三棱锥
的外接球的表面积是 .
18．如图，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的边长为2，则半球的表面积为____________.
19．已知球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，O在CD上，若三棱锥 的体积的最大值为 ，
则该球O的体积为________．
20．圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为 的球面上，上、下底面半径分别为 和 则该圆台的体积为
_______．
21．已知三棱锥SABC中，SA平面ABC，且SA＝4，AB＝AC＝2，BAC＝120，则三棱锥SABC的外
接球的表面积为_____．
22．一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 ，底面边长为 ，则该球的表面积为
_________．
23．已知在四面体 中， ，则四面体 的外接球表面积
为______.
24．已知四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上， 平面BCD，又 ，且
，则球O的体积为__________25．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑 中，满足
平面 ，且有 ，则此时它外接球的体积为_______.
26．已知S，A，B，C是球O表面上的点， 平面 ，则球O的表面
积是_______；
27．一个正四面体表面积为 ，其内切球表面积为S.则 =___________.
2
28．已知四面体ABCD中，AB＝AD＝6，AC＝4，CD＝2 ，AB⊥平面ACD，则四面体ABCD外接球的
表面积为______．
29．设体积为 的正三棱锥 外接球的球心为O，其中O在三棱锥 内部．若球O的半径
为R，且球心O到底面 的距离为 ，则球O的半径 __________．
30．在边长为6的菱形 中， ，将菱形 沿对角线 折起成直二面角，则所得三棱
锥 外接球的表面积等于___________.
任务二:中立模式(中档)1-50题
一、单选题
1．已知球O是正三棱锥A-BCD（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC=3，
AB= ，点E在线段BD上，且BD=3BE．过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）A． B． C． D．
2．在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， 的面积为
，则三棱锥 的外接球体积为（ ）
A． B． C． D．
3．球 的表面积为 ，三棱柱 的顶点在球面上，且三角形 是边长为 的正三角形，
则 所在直线与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biēnào）．已知在鳖臑
中， 平面 ， ，则该鳖臑的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆锥的底面半径为 母线长为 则该圆锥内半径最大的球的表面积与圆锥外接球的表面积之比为
（ ）
A． B． C． D．
6．已知三棱锥S-ABC的外接球O的表面积为 ，SA=2，SA⊥平面ABC， ABC是以AC为斜边的直角三
角形，点P在球O的表面上运动，则三棱锥P-ABC体积的最大值为（ ）△
A． B．C． D．
7．已知 ， ， ， 在球 的表面上， 为等边三角形且其面积为 ， 平面 ，
，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．在四面体 中， 平面 ， ， ， ，则该四面体的外接球
的表面积是（ ）
A． B．100π C． D．20π
9．已知四棱锥 ，底面 为矩形，侧面 平面 ， ，
.若点 为 的中点，则下列说法正确的为（ ）
A． 平面 B． 面
C．四棱锥 外接球的表面积为 D．四棱锥 的体积为6
10．已知四棱锥 的侧棱均相等，其各个顶点都在球 的球面上， ， ，
， ，三棱锥 的体积为 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．三棱锥 的各个顶点都在球 的表面上，且 是等边三角形， 底面 ， ，.若点 在线段 上，且 ，则过点 的平面截球 所得截面的最小面积为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，三棱台ABC－ABC 中，AB⊥AC，BC＝6，AB＝AC ＝4 ，AA＝5 ，平面BCC B⊥平
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
面ABC，则该三棱台外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
13．已知正三棱锥的底面边长为 ，高为 ，则三棱锥的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
14．已知正三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O满足 ，则二面角A﹣PB﹣C的正弦值为（
）
A． B． C． D．
15．蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、
内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠
已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗传名录.已知某蹴鞠（近似看作球体）的
表面上有四个点 、 、 、 ，满足 为正三棱锥， 是 的中点，且 ，侧棱 ，则该蹴鞠的表面积为（ ）
A． B． C． D．
16．如图，在四棱锥 中，已知 底面 ，且
，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
17．已知球 是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心) 的外接球， ，
，点 在线段 上，且 ，过点 作球 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（
）
A． B． C． D．
18．已知边长为 的菱形 中， ，现沿对角线 折起，使得 ，此时点
在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
19．正方体 的棱长为2， 的中点分别是P，Q，直线 与正方体的外接球O相交于M，N两点点G是球O上的动点则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
20．已知四棱锥 ， 平面 ， ， ， ， ，二面
角 的大小为 .若四面体 的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
21．已知菱形 的边长为 ， ，若沿对角线 将 折起，所得的二面角
为钝二面角，且A， ， ， 四点所在球的表面积为 ，则四面体 的体积为
________．
22．已知三棱锥 中， 底面 ， ， ，则三棱锥 外接球的
表面积为___________.
23．如图，三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， ， 是边长为6的正三角形，二
面角 的大小为120°，则球 的体积为______．24．已知四面体 中 和 是等边三角形，二面角 为直二面角．若 ，则四
面体 外接球的体积为_______．
25．已知矩形 中， ， ， 是 边的中点.现以 为折痕将 折起，当三棱锥
的体积最大时，该三棱锥外接球的体积为___________.
26．在一次数学探究活动中，某手工制作小组利用硬纸板做了一个如图所示的几何模型，底面 为矩
形， ，半圆面 底面 ．经研究发现，当点P在半圆弧 上（不含A，D
点）运动时，四棱锥 的外接球始终保持不变，则该外接球的体积为____．
28．四棱锥 的各顶点都在同一球面上， 底面 ，底面 为梯形， ，
且 ，则此球的体积等于______．29．空间四面体 中， ， ， ，则该四面体的外接球的表面积
为_________
30．在三棱锥 中， ， ， ， ，则该三棱锥外
接球的半径为___________.
31．如图，在底面边长为4，高为6的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方
且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为_____________.
32．已知三棱锥 的四个顶点都在球 的表面上， 平面 ， ， ， ，
，若 为 的中点，过点 作球 的截面，则截面面积的最小值是___________.
33．在三棱锥 中， 和 都是边长为 的正三角形， .若 为三棱锥
外接球上的动点，则点 到平面 距离的最大值为_________.
34．球 的球面上有四点 、 、 、 ，其中 、 、 、 四点共面， 是边长为 的正三角
形，平面 平面 ，则棱锥 体积的最大值为___________
35．已知球 为三棱锥 外接球， 为边长为1的等边三角形， ， ，且
，则球 的表面积为______36．在正三棱锥 中， ､ 分别是棱 ､ 的中点，且 ，若侧棱 ，则该正
三棱锥外接球的体积是___________.
37．在菱形 中， ， ，将 沿 折起到 的位置，若二面角 的
大小为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为___________.
38．已知长方体 中， ， ， 与平面 所成角的正弦值为 ，则
该长方体的外接球的表面积为___________.
39．已知三棱锥 ， 平面ABC， ， ，直线SB和平面ABC所成的角大
小为 .若三棱锥 的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________.
40．在四棱锥 中，若 ，四棱锥
外接球表面积为__________.任务三:邪恶模式(困难)1-20题
一、单选题
1．已知点 ､ ､ ､ 都在球 的球面上， ，△ 是边长为1的等边三角形， 与平面
所成角的正弦值为 ，若 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．在三棱锥 中， ， ， .若三棱锥 的体积为1，
则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知四棱锥 中，侧面 底面 ， ，且 ，
则此四棱锥外接球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知直四棱柱 ，其底面 是平行四边形，外接球体积为 ，若 ，则其
外接球被平面 截得图形面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知边长为 的菱形 ， ，沿对角线 把 折起，二面角 的平面角是
，则三棱锥 的外接球的表面积是（ ）A． B． C． D．
6．在三棱锥 中， ， ， ， ，则该三棱锥的外
接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．在菱形 中， ， ，将△ 沿 折起到△ 的位置，二面角 的大小
为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上， 平面 ， ， 与平面
所成的角为 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知三棱锥 中， 平面 ， ， ，则三棱锥 体积最大时，
其外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知球 内接正四面体 ， 为棱 的中点， 是棱 上的一点，且 ，则球 与
四面体 的体积比为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题11．在梯形 中， ， ， 为 的中点，将 沿直线
翻折成 ，当三棱锥 的体积最大时，过点 的平面截三棱锥 的外接球所得截面面
积的最小值为______.
12．已知在平面四边形 中， ， ，将 沿对角线 折起，使
点 到达点 的位置，当 时，三棱锥 的外接球的体积为______．
13．已知球 的表面积为 ，点 均在球 的表面上，且 ，则四面体
体积的最大值为___________.
14．体积为 的四棱锥 的底面是边长为 的正方形，底面 的中心为 ，四棱锥
的外接球球心 到底面 的距离为 ，则点 的轨迹长度为_______________________．
15．在棱长为 的正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，点 在棱 上，
，若平面 交 于点 ，四棱锥 的五个顶点都在球 的球面上，则球 半
径为_________
16．在四面体 中， ，二面角 为 ，则四面体 的外
接球的表面积为_____．
17．已知在圆柱 内有一个球O，该球与圆柱的上､下底面及母线均相切.过直线 的平面截圆柱得到
四边形 ，其面积为8.若P为圆柱底面圆弧 的中点，则平面 与球O的交线长为___________.18．在四棱锥 中， 平面ABCD，底面ABCD是直角梯形， ，
，若动点Q在平面PAD内运动，使得 与 相等，则三棱锥 的体
积最大时的外接球的体积为_____．
19．已知菱形 中，对角线 ，将 沿着 折叠，使得二面角 为120°，
，则三棱锥 的外接球的表面积为________.
20．球O的内接正四面体 中，P、Q分别为被AC、AD上的点，过PQ作平面 ，使得AB、CD与
平行，且AB、CD到 的距离分别为1，2，则球О被平面 所截得的圆的面积是_______．
