文档内容
第一篇 热点、难点突破篇
专题17直线与圆及相关的最值问题（讲）
真题体验 感悟高考
1．（2020·全国·统考高考真题）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ，可得圆的半径为 ，写出圆的标准方程，
利用点 在圆上，求得实数 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线 的距离.
【详解】由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ，
圆的标准方程为 .
由题意可得 ，
可得 ，解得 或 ，
所以圆心的坐标为 或 ，
圆心 到直线 的距离均为 ；
圆心 到直线 的距离均为
圆心到直线 的距离均为 ；所以，圆心到直线 的距离为 .
故选：B.
2．（2021·北京·统考高考真题）已知直线 （ 为常数）与圆 交于点 ，当 变化时，
若 的最小值为2，则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出
【详解】由题可得圆心为 ，半径为2，
则圆心到直线的距离 ，
则弦长为 ，
则当 时，弦长 取得最小值为 ，解得 .
故选：C.
3．（2020·全国·统考高考真题）若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义设出直线 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，
函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，
设直线 的方程为 ，即 ，由于直线 与圆 相切，则 ，
两边平方并整理得 ，解得 ， （舍），
则直线 的方程为 ，即 .
故选：D.
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
（1）直线、圆的方程及位置关系问题，多以选择题或填空题的形式呈现，此类试题难度中等偏下.有时也会出
现在压轴题的位置，难度较大.
（2）和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，中低难度.
（3）和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．
（二）本专题考向展示
考点突破 典例分析
考向一 求直线方程
【核心知识】
1． 直线方程的几种形式：
2． 两直线平行、垂直的条件：
【典例分析】
典例1.（2020·山东·统考高考真题）直线 关于点 对称的直线方程是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为 ,则其关于点 对称的点的坐标为 ，代入
已知直线即可求得结果.
【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为 ，
则其关于点 对称的点的坐标为 ，
因为点 在直线 上，
所以 即 .
故选：D.
典例2.（2022·全国·统考高考真题）写出与圆 和 都相切的一条直线的方程
________________．
【答案】 或 或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为 ，
于是 ，
故 ①， 于是 或 ，
再结合①解得 或 或 ，
所以直线方程有三条，分别为 ， ，
填一条即可
[方法二]：设圆 的圆心 ，半径为 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
则 ，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然 符合题意；
又由方程 和 相减可得方程 ，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为 ，
直线OC与直线 的交点为 ，
设过该点的直线为 ，则 ，解得 ，
从而该切线的方程为 填一条即可
[方法三]：
圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心 为 ，半径为 ，
两圆圆心距为 ，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，当切线为l时，因为 ，所以 ，设方程为
O到l的距离 ，解得 ，所以l的方程为 ，
当切线为m时，设直线方程为 ，其中 ， ，
由题意 ，解得 ，
当切线为n时，易知切线方程为 ，
故答案为： 或 或 .
【规律方法】
解决直线方程问题的注意点
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用 建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两
条直线重合的可能性．
(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程即
不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．
(4)直线与圆相切时,利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，一般求切线方程时主要选择点斜式．
考向二 求圆的方程
【核心知识】
1. 圆的标准方程：
2. 圆的一般方程：
【典例分析】
典例3.（2023·全国·模拟预测）已知圆 ： 与直线 ： ，写出一个半径为 ，且与圆 及直线都
相切的圆的方程：______．
【答案】 (答案不唯一)
【分析】根据圆的圆心和半径,结合直线和圆的位置关系及两个圆的位置关系计算即可.
【详解】设圆心 为 ,由已知圆 与直线 ： 相切, 圆 与圆 ： 相切,
可得 ,即得 或 或 ,
且已知半径为 ,
所以圆的方程可以为: 或 或
故答案为: (答案不唯一)
典例4.（2022·全国·统考高考真题）设点M在直线 上，点 和 均在 上，则 的方程
为______________．
【答案】
【分析】设出点M的坐标，利用 和 均在 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线 上，
∴设点M为 ，又因为点 和 均在 上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴ ，
，解得 ，
∴ ， ，
的方程为 .
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线 的交点(1,-1).
, 的方程为 .
故答案为：
典例5.（2022·全国·统考高考真题）过四点 中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】 或 或 或 ．
【分析】方法一：设圆的方程为 ，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为 ，
（1）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；（2）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
（3）若过 ， ， ，则 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ；
（4）若过 ， ， ，则 ，解得 ，所以圆的方程为
，即 ；
故答案为： 或 或 或 ．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过 三点，圆心在直线 ，设圆心坐标为 ，
则 ，所以圆的方程为 ；
（2）若圆过 三点， 设圆心坐标为 ，则 ，所以圆的
方程为 ；（3）若圆过 三点，则线段 的中垂线方程为 ，线段 的中垂线方程 为 ，
联立得 ，所以圆的方程为 ；
（4）若圆过 三点，则线段 的中垂线方程为 ， 线段 中垂线方程为 ，联立得
，所以圆的方程为 ．
故答案为： 或 或 或 ．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
【总结提升】
求圆的方程一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
考向三 直线、圆的距离问题
【核心知识】
点 到直线 不同时为零)的距离 .
【典例分析】
典例6.（2023秋·江西赣州·高三统考期末）已知直线 与圆 相交于 两点， 是线段
的中点，则点 到直线 的距离的最大值为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】求得 点的轨迹，结合圆与直线的位置关系求解即可.
【详解】如图所示，设 ，直线 过定点 ，
圆 的圆心为 ，半径为2，
因为 ， 是线段 的中点，所以 ，
所以 ，即 ，整理得 ，
所以点 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，原点除外，
所以点 到直线 距离的最大值 ，
故选：C
典例7.（2023·四川绵阳·统考二模）已知 ，点A为直线 上的动点，过点 作直
线与 相切于点 ，若 ，则 最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】设 ，由切线长公式、两点间距离公式计算 ，转化为点 到 和
的距离之和，即 ，利用 关于直线 的对称点 ，得最小值为 ，此时
共线．
【详解】设 ，由已知 ，圆半径为 ，
由切线长公式得 ，所以 ，它表示点 到 和 的距离之和，即
，
设 关于直线 的对称点为 ,
，
易知当 三点共线时， 取得最小值 ．
故选：C．
典例8.【多选题】（2021·全国·统考高考真题）已知点 在圆 上，点 、 ，
则（ ）
A．点 到直线 的距离小于
B．点 到直线 的距离大于
C．当 最小时，
D．当 最大时，
【答案】ACD
【分析】计算出圆心到直线 的距离，可得出点 到直线 的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分
析可知，当 最大或最小时， 与圆 相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
直线 的方程为 ，即 ，圆心 到直线 的距离为 ，
所以，点 到直线 的距离的最小值为 ，最大值为 ，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当 最大或最小时， 与圆 相切，连接 、 ，可知 ，
， ，由勾股定理可得 ，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线 与半径为 的圆 相离，圆心 到直线 的距离为 ，则圆 上一点 到直线 的
距离的取值范围是 .
典例9.（2023·重庆·统考一模）已知圆： 上恰有3个点到直线 ： 的距离等于2，
则 的值为_________．
【答案】
【分析】根据圆上 个点到直线的距离等于 ,可得圆心到直线的距离为 ,
利用点到直线的距离公式解出 即可.
【详解】解:因为圆的方程为 ,
所以圆心为 ,半径为 ,
因为圆 上恰有 个点到直线 的距离都等于 ,所以只需要圆心到直线 的距离为 即可,
直线方程为
所以圆心到直线的距离为: , 且
解得 ,
故答案为:
【规律方法】
（1）求点到直线的距离时，应先将直线方程化为一般式.
（2）求两平行线之间的距离时，应先将两直线方程化为一般式且 的系数对应相等.
（3）求曲线上任意一点到已知直线的最小距离时，要利用数形结合和转化与化归的思想解题.
考向四 直线与圆、圆与圆位置关系判断
【核心知识】
1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法
(1)点线距离法．
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程组
消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线
与圆相交⇔Δ>0.
2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．
【典例分析】
典例10.【多选题】（2021·全国·统考高考真题）已知直线 与圆 ，点 ，则
下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为 的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置
关系即可得解.【详解】圆心 到直线l的距离 ，
若点 在圆C上，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点 在圆C内，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点 在圆C外，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点 在直线l上，则 即 ，
所以 ，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
典例11.【多选题】（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知直线 与圆
，则（ ）
A．直线 必过定点 B．当 时， 被圆 截得的弦长为
C．直线 与圆 可能相切 D．直线 与圆 不可能相离
【答案】ABD
【分析】将直线 变形为 ，即可求定点坐标，即可判断A；根据弦长公式求弦长，判断B；
根据直线 所过定点与圆 的关系，再结合直线方程的形式，即可判断CD.
【详解】A. ，联立 ，得 ，所以直线过点 ，故A正确；B.当 时， ，圆心 到直线 的距离 ，弦长 ，故B
正确；
C.直线所过定点 在圆上，过点 与圆 相切的直线是 ，
但直线 ，表示斜率存在的直线，表示不了直线 ，
故不存在直线 与圆 相切，故C错误；
D. 直线所过定点 在圆上，所以直线 与圆 总有公共点，不可能相离，故D正确.
故选：ABD
典例12.（2022·全国·统考高考真题）设点 ，若直线 关于 对称的直线与圆
有公共点，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】首先求出点 关于 对称点 的坐标，即可得到直线 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于
半径得到不等式，解得即可；
【详解】解： 关于 对称的点的坐标为 ， 在直线 上，
所以 所在直线即为直线 ，所以直线 为 ，即 ；
圆 ，圆心 ，半径 ，
依题意圆心到直线 的距离 ，
即 ，解得 ，即 ；
故答案为：
【总结提升】1. 判断直线与圆的位置关系主要通过比较圆心到直线的距离和半径的大小，两个圆的位置关系的判
断依据是两个圆的圆心距与两个圆的半径差的绝对值或和的大小关系.
2. 过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．
考向五 直线与圆、圆与圆弦长问题
【核心知识】
半径、弦心距、弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系 (其中 为弦长， 为圆的半径,
为圆心到弦的距离).
【典例分析】
典例13.【多选题】（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）过圆 ： 内一点 作两条互相垂直的
弦 ， ，得到四边形 ，则（ ）
A． 的最小值为4
B．当 时，
C．四边形 面积的最大值为16
D． 为定值
【答案】ABD
【分析】当 为 中点时 最小，即可求出 ，从而判断A；设 到 ， 的距离分别为 ， ，
则 ，求出 ，即可得到 ，从而求出 ，即可判断B；根据 利用基本不等式
求出四边形 面积的最大值，即可判断C；分别取 ， 的中点 ， ，根据数量积的运算律求出
的值，即可判断D.
【详解】解：当 为 中点时 最小， ， ，故A正确；
设 到 ， 的距离分别为 ， ， ，∴ ，又 ，∴ ， ，故B正确；
因为 ，所以 ，则 ，当且仅当 时取等号，
所以
，故C错误.
分别取 ， 的中点 ， ，
则
为定值，故D正确.
故选：ABD.
典例14.（2023秋·天津河西·高三校考期末）若过点 的直线 和圆 交于 两点，
若弦长 ，则直线 的方程为______.
【答案】 或
【分析】根据题意结合垂径定理求得 ，再利用点到直线的距离公式运算求解，注意讨论直线的斜率是否
存在.【详解】由题意可知：圆 的圆心 ，半径 ，
设圆心 到直线 的距离为 ，
若弦长 ，则 ，可得 ，
当直线 的斜率不存在时，即直线 为 ，故圆心 到直线 的距离为 ，符合题意；
当直线 的斜率存在时，设为 ，则直线 为 ，即 ，
故圆心 到直线 的距离为 ，解得
此时直线 为 ；
综上所述：直线 为 或 .
故答案为： 或 .
典例15. （2023·安徽淮南·统考一模）已知圆 与圆 交于A，B两点，则
直线 的方程为______； 的面积为______.
【答案】
【分析】两圆相减得到相交弦方程，即直线 的方程，求出圆心 ，得到 到直线 的距离，利
用垂径定理得到 ，得到三角形面积.
【详解】两圆相减得： ，化简得： ，故直线 的方程为 ，
圆 变形得到 ，圆心 ，半径为2，
故圆心 到直线 的距离为 ，由垂径定理得： ，
故 的面积为 .
故答案为： ， .
【总结提升】
求解圆的弦长的方法
1.几何法:根据半径、弦心距、弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系 (其中 为弦长， 为
圆的半径, 为圆心到弦的距离).
2.公式法:根据公式 求解(其中 为 弦长 直线与圆相交所得两个交点的横坐标， 为
直线的斜率).
3.距离法:联立直线与圆的方程，解方程组先求出两交点坐标，再利用两点间的距离公式求解.
考向六 直线、圆与圆锥曲线
【核心知识】
圆锥曲线方程及其几何性质
【典例分析】
典例16.（2023·全国·高三对口高考）设 、 分别为椭圆 的左右焦点，与直线 相切
的圆 交椭圆于点 ，且 是直线 与圆 相切的切点，则椭圆焦距与长轴长之比为________．
【答案】
【分析】根据题意可得 ，利用椭圆性质可得 ，结合 ，即可求得.
【详解】如图所示，连接 ，易得 ，
圆 的半径 ，所以 ，
而 ，所以 ， ，
所以 ，且有 ，
化简可得 ，所以 ，
所以 ，可得 ．
故答案为： .
典例17.（2022·全国·统考高考真题）若双曲线 的渐近线与圆 相切，则
_________．
【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到
直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线 的渐近线为 ，即 ，
不妨取 ，圆 ，即 ，所以圆心为 ，半径 ，依题意圆心 到渐近线 的距离 ，
解得 或 （舍去）．
故答案为： ．
典例18.（2021·全国·高考真题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： 交C于P，Q两
点，且 ．已知点 ，且 与l相切．
（1）求C， 的方程；
（2）设 是C上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的位置关系，并说明
理由．
【答案】（1）抛物线 ， 方程为 ；（2）相切，理由见解析
【分析】（1）根据已知抛物线与 相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出
坐标，由 ，即可求出 ；由圆 与直线 相切，求出半径，即可得出结论；
（2）方法一：先考虑 斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若 斜率存在，由
三点在抛物线上，将直线 斜率分别用纵坐标表示，再由 与圆 相切，得出
与 的关系，最后求出 点到直线 的距离，即可得出结论.
【详解】（1）依题意设抛物线 ，
，
所以抛物线 的方程为 ，
与 相切，所以半径为 ，所以 的方程为 ；
（2）[方法一]：设
若 斜率不存在，则 方程为 或 ，
若 方程为 ，根据对称性不妨设 ，
则过 与圆 相切的另一条直线方程为 ，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 ，不合题意；
若 方程为 ，根据对称性不妨设
则过 与圆 相切的直线 为 ，
又 ，
，此时直线 关于 轴对称，
所以直线 与圆 相切；
若直线 斜率均存在，
则 ，
所以直线 方程为 ，
整理得 ，
同理直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，与圆 相切，
整理得 ，
与圆 相切，同理
所以 为方程 的两根，
，
到直线 的距离为：
，
所以直线 与圆 相切；
综上若直线 与圆 相切，则直线 与圆 相切.
[方法二]【最优解】：设 ．
当 时，同解法1．
当 时，直线 的方程为 ，即 ．
由直线 与 相切得 ，化简得 ，
同理，由直线 与 相切得 ．因为方程 同时经过点 ，所以 的直线方程为 ，点M
到直线 距离为 ．
所以直线 与 相切．
综上所述，若直线 与 相切，则直线 与 相切．
【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只
与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用 的对称性，抽象出 与 关系，把
的关系转化为用 表示，法二是利用相切等条件得到 的直线方程为 ，利用点到
直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路
考向七 隐圆问题
【核心知识】
1.在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中的，要通过分析、转化发现圆(或圆的方程)，从而
利用圆的知识来求解，称这类问题为隐圆问题.
2.发现隐圆的方法
（1）利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆.
（2）在平面上给定相异的两点 ，设点 与点 在 同一平面上，且满足 ，当 且
时，点 的轨迹是一个圆，这个圆我们称为阿波罗尼斯圆.
（3）两定点 与动点 满足 ，确定隐圆.
（4）两定点 与动点 满足 是定值，确定隐圆.
【典例分析】
典例19.（2020·全国·统考高考真题）已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上的动
点，过点 作⊙M的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点 共圆，且 ，根据
可知，当直线 时， 最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆
系的知识即可求出直线 的方程．
【详解】圆的方程可化为 ，点 到直线 的距离为 ，所以直线
与圆相离．
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以 ，
而 ，
当直线 时， ， ，此时 最小．
∴ 即 ，由 解得， ．
所以以 为直径的圆的方程为 ，即 ，
两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程．
故选：D.
典例20.（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知 ，点P满足 ，直线
，当点P到直线l的距离最大时，此时m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 可求出点P的轨迹方程为 ，数形结合，当 时， 此时点P到直线
l的距离最大，计算 即可求得m的值.【详解】 ，设 ，则 ，
， ，化简得 ，
即点P的轨迹方程为 ，圆心为 ，半径为2，
，化简为 ，
由 ，解得 ，即直线 恒过定点 ，
设定点为 ,如图，当 时，此时点P到直线l的距离最大，
， ， ，
， .
故选：C.
典例21.（2023秋·河北石家庄·高三统考期末）已知 为坐标原点， ，B在直线 上， ，
动点M满足 ，则 的最小值为__________.
【答案】 ##
【分析】设 ，由 、 得到，整理得 点在以 为圆心，半径为 的圆
上，且圆心 在直线 上，过 做 的垂线，当垂足为圆心 点时， 长度最小，求出 长度可
得答案.
【详解】设 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
，
整理得 ，
可得 点在以 为圆心，半径为 的圆上，
，当 时，
可得 ，即
圆心在 在直线 上，
过 做 的垂线，当垂足为圆心 点时， 长度最小， 的长度也最小，
且 长度最小值为 ，此时 的最小值为 .
故答案为： .
