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第五章 图形的轴对称
5.1 轴对称及其性质
第 3 课时 角平分线的性质
1．从轴对称的性质中，提炼出里面的数学思想，探索并掌握角平分线的性质及尺规作
图的画法．
2．由具体的客观事实，转化成抽象的猜想证明，让学生感悟数学思维解决问题的方法．
3．经历猜想、验证、归纳的学习过程，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语
言表达与交流的习惯．
重点：探索并理解角的平分线的性质
难点：利用轴对称的性质，探索并掌握角平分线的性质
一、导入新课
知识链接
生活中哪些地方有角的身影？请举例说明．
墙角，桌角等
创设情境——见配套课件
二、合作探究
探究一：角的轴对称性
角(如图5－17、5－18，教材P130)是生活中常见的图形．角是轴对称图形吗？如果是，
请指出它的对称轴．
学生讨论“角是不是轴对称图形”，思考怎样验证角的轴对称性．
要点归纳：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．
强调：角平分线是一条射线，而角的对称轴是角平分线所在的直线．
探究二：角平分线的性质
思考1：如图5－19(教材P131)，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点．
在∠AOB中画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D′，连接CD和CD′.
(1)你认为线段CD和CD′之间有什么关系？说说你的理由．
CD＝CD′，因为∠AOB是轴对称图形，D和D′是对应点，所以CD和CD′是以OP所
在直线为对称轴的一组对应线段，所以CD＝CD′.
(2)特别地，当CD⊥OA时(如图5－20，教材P131)，CD′与OB有怎样的位置关系？为
什么？此时，线段CD和CD′之间还有(1)中的关系吗？由此你能得到什么结论？
CD′⊥OB，因为∠AOB是轴对称图形，D和D′是对应点，所以∠ODC和∠OD′C是以
OP所在直线为对称轴的一组对应角．所以∠ODC＝∠OD′C.因为CD⊥OA，即∠ODC＝
90°，所以∠OD′C＝∠ODC＝90°.所以CD′⊥OB.
线段CD和CD′之间还有(1)中的关系．
得到结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
验证：你能验证这个结论吗？
已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.试说明：PD＝PE.
因为PD⊥OA，PE⊥OB，
所以∠PDO＝∠PEO＝90°.
在△PDO和△PEO中，
所以△PDO≌△PEO(AAS).
所以PD＝PE.
要点归纳：
性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相 等．
应用所具备的条件：
①点在角的平分线上；
②到角两边的距离(垂直).
性质的作用：证明线段相等．
几何语言：
因为OC是∠AOB的平分线，CD⊥OA，CE⊥OB，
所以CD＝CE.
探究三：利用尺规作角平分线
思考2：如图5－21(教材P131)，已知∠AOB，如何作出它的平分线？
假设∠AOB的平分线已作出，那么
(1)这条射线有什么特征？
(2)如何确定这条射线上除端点之外的一个点？用三角尺、量角器、圆规等工具试一试．
如果只用尺规呢？与同伴进行交流．
注意：需要确定的点是角对称轴上的点，因此应当从角两边进行“对称”的操作．
如图5－22(教材P132)，已知∠AOB，请用尺规作∠AOB的平分线．
作法：
1．在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE(如图5－22，教材P132).
2．分别以点D和点E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内相交于
点C.
3．作射线OC.
射线OC就是∠AOB的平分线．
思考3：请你说说这样作图的道理．
角平分线的作图依据是“SSS”
比较：过直线上一点作已知直线的垂线与作一个角的平分线，这两种尺规作图方法有
什么共同点？与同伴进行交流．
如图所示，在 Rt△ABC 中，BD 平分∠ABC，DE⊥AB， 垂
足为E.DE与DC相等吗？为什么？
DE与DC相等．
因为射线BD是∠ABC的平分线，点D到角两边BA，BC的距 离分别是线段DE，DC的长，
所以DE＝DC.
变式训练：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝
4，AB＝14.
(1)求点P到AB的距离；
(2)求△APB的面积．
存在一条垂线段——构造应用．
(1)如图，过P作PD⊥AB于点D，因为AP平分∠BAC，PD⊥AB，PC⊥AC，所以
PD＝PC＝4.
(2)S ＝AB·PD＝28.
△APB
反思：回顾探究等腰三角形、线段、角的性质的过程，你运用了哪些方法？积累了哪
些经验？
三、当堂检测
1．如图，∠C＝90°，∠BAD＝∠CAD，若BC＝11 cm，BD＝7 cm，则点D到AB的
距离为 4 cm .
第1题图 第2题图
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，
CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（ A ）
A．2 B．3 C．4 D．无法确定
(其他课堂拓展题，见配套PPT)
四、课堂小结【板书设计】
学生通过自己动手动脑，得到不同验证角平分线性质的方法，学生在验证自己结论的
同时培养了反思、修正、归纳的能力；在描述探究结果的过程中，学生通过有条理的语言
表达，进一步提高了数学语言的运用能力，为八年级的推理和严格证明打下坚实基础．
