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第 01 讲 认识二元一次方程组与求解二元一次方程组(10 类热点题型讲
练)
1.了解二元一次方程、二元（三元）一次方程组及其解等概念，并会判断方程组的解；
2.掌握加减消元和代入消元的意义，及代入法、加减消元法解方程组的步骤；.
3.熟练运用代入法、加减消元法解简单的二元（三元）一次方程组.
4.能解简单的一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想.
知识点01 二元一次方程(组)的概念
1）二元一次方程：含有两个未知数，且 所含未知数的次数项的次数都是1的方程.
2）将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组.
注：①在方程组中，相同未知数必须代表同一未知量；②二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成，
方程个数也不一定是两个.
3）判断二元一次方程组的方法：①方程组中是否一共有两个未知数;②含未知数的项的次数是否都是1;③是否含
有多个方程组成.
知识点02 二元一次方程(组)解的概念
1）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对）
2）二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解.
3）检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程
不成立，则不是方程的解.
注：方程组中只要有一个方程带入后不成立，则不是方程的解.知识点03 代入消元法解二元一次方程组
1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方
程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法.
2)代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式
表示另一个未知数；②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元
一次方程.③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解.
知识点04 代入加减消元法解二元一次方程组
1）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，
消去一个未知数的方法.
2）加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；②将两个方程的两边分别相加
或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一
个未知数的值.
知识点05 解三元一次方程组
1.三元一次方程组的概念
1）三元一次方程组：方程中有三个未知数，且未知数的项的次数都是一的方程组.
2.解三元一次方程组的方法和步骤
⃗消元 ⃗消元
1）步骤：三元一次方程 二元一次方程 一元一次消元
题型01 二元一次方程的定义
【典例1】下列方程为二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】若 是关于 的二元一次方程，则 的值是（ ）
A．2 B．2或0 C．0 D．任何数
题型02 判断是否是二元一次方程的解
【典例2】下列各组数满足方程 的是（ ）
A． B． C． D．【变式1】方程 的一个解是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】若 是下列某个二元一次方程组的解，则这个方程组是（ ）
A． B． C． D．
题型03 已知二元一次方程的解求参数或代数式的值
【典例3】已知 是方程 的解，则a的值为 ．
【变式1】若 是方程 的解，则 ．
【变式2】已知 是方程 的解，则 ．
【变式3】若 是二元一次方程 的一组解，则 ＝ ．
题型04 判断是否是二元一次方程组
【典例4】下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下列方程组是二元一次方程组的有（ ）
① ② ③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】方程组（1） ，（2） ，（3） ，（4） 中，属于二元一
次方程组有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型05 判断是否是二元一次方程组的解【典例5】已知一个二元一次方程组的解是 ，则这个方程组是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】解为 的方程组可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
题型06 代入消元法解二元一次方程组
【典例6】解方程组：
【变式1】解方程组 ．
【变式2】解方程组： .
题型07 加减消元法解二元一次方程组
【典例7】解方程组：
(1) (2)
【变式1】解方程组：
(1) ； (2) ．【变式2】解下列二元一次方程组：
(1) ； (2) ．
题型08 二元一次方程组的错解复原问题
【典例8】下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：
第一步：由①得， ③；
第二步：将③代入②，得
第三步：解得
第四步：将 代入③，解得 ；
第五步：所以原方程组的解为
任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）；
任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________．
任务三：请写出方程组正确的解答过程．
【变式1】下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①×2，得 ……③ 第一步
②－③，得 第二步
． 第三步
将 代入①，得 ． 第四步
所以，原方程组的解为 第五步
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，马小虎同学第 步开始出现错误．(2)请写出此题正确的解答过程．
【变式2】解方程组： ．
小海同学的解题过程如下：
解：由②，得 ③……（1）
把③代入①，得： ……（2）
解得： ……（3）
把 代入③，得 ……（4）
∴此方程组的解为 ……（5）
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
题型09 已知二元一次方程组的解求参数
【典例9】已知关于 、 的方程组 的解是 ，则 ．
【变式1】已知 是二元一次方程组 的解，则 的值为 ．
【变式2】若 是方程组 的解，则 ．
题型10 已知二元一次方程组解的情况求参数
【典例10】若关于 的二元一次方程组 的解 互为相反数，则 ．
【变式1】已知关于x、y的方程组 的解满足 ，则 ．
【变式2】已知方程组 与 有相同的解，则 ．一、单选题
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
3． 是关于x，y的二元一次方程，则 （ ）
A．2 B．0 C．1 D．
4．已知 是方程 的解，则m的值为（ ）
A． B．7 C．3 D．9
5．已知 + =0，则 为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2023 D．﹣2023
6．若满足方程组 的x与y互为相反数，则m的值为（ ）
A．11 B．－11 C．1 D．－1
二、填空题
7．已知方程 ，改写成用含 的式子表示 的形式 ．
8．若方程 是二元一次方程，则 ， ．
9．若 是二元一次方程，那么a、b的值分别是 ．
10．已知关于 、 的二元一次方程组 的解为 ，则代数式 的值是 ．
11．若 是方程 的一个解，则 ．
12．已知 是关于x，y的二元一次方程 的一个解，那么：
（1）m的值为 ；
（2）请再写出该二元一次方程的一个解 ．
三、解答题13．解下列方程组：
(1)
(2)
14．解下列方程组：
(1)
(2)
15．解下列方程组：
(1) ；
(2) ．
16．已知方程组 和方程组 的解相同，求m的值．
17．关于x，y的二元一次方程 的两个解是 ， ．
(1)求a，b的值；
(2)判断 是否是该方程的解说明原因．
18．阅读理解：在数学课上，王老师遇到下面问题：已知x，y满足方程组 ，求 的值？小芳：把方程组解出来，再求 的值．
小强：把两个方程直接相加得 方程两边同时除以4解得 ．
王老师对两位同学的讲解进行点评：指出“小强”同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．
请你参考小芳或小强同学的做法，解决下面的问题．
(1)已知关于x、y的方程组 的解满足 ，求a的值．
(2)运用“整体思想”解答：若方程组 的解是 ，求 的值．
