文档内容
（北师大版）七年级上册数学《第 5 章 一元一次方程》
5.1 认识方程
方程
知识点一
★1、方程的定义：用不同的代数式表示相等的量，像这样含有未知数的表示量相等的等式称为方程.
【注意】方程包含两个要素：
①含有未知数，②表示量相等的等式.两者缺一不可.
★2、列方程的步骤：
①设出字母所表示的未知数；
②找出问题中的相等关系；
③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程．
一元一次方程
知识点二
★
一元一次方程的定义：在一个方程中，只含有一个未知数，且方程中的代数式都是整式，未知数的次
数都是1，这样的方程叫作一元一次方程.
【注意】“元”是指未知数的个数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个
方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是 1；④分母中不含有未知数.
方程的解
知识点三
★
方程的解的定义：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解.也叫方程的根.
1求方程解的过程称为解方程.
题型一 方程的识别
解题技巧提炼
方程的定义：用不同的代数式表示相等的量，像这样含有未知数的表示量相等的
等式称为方程，方程包含两个要素：①含有未知数，②表示量相等的等式.两者
缺一不可.
1．（2024春•市中区期末）下列各式中，是方程的是（ ）
A．3﹣2＝1 B．y﹣5 C．3m＞2 D．x＝5
【分析】根据方程的定义解答即可．
【解答】解：A、3﹣2＝1中不含有未知数，不是方程，不符合题意；
2B、y﹣5不是等式所以不是方程，不符合题意；
C、3m＞2不是等式所以不是方程，不符合题意；
D、x＝5是含有未知数的等式，是方程，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是方程的定义，熟知含有未知数的等式叫方程是解题的关键．
2．（2023秋•涪城区期末）下列各式中，属于方程的是（ ）
2
A．6+（﹣2）＝4 B． x−2 C．7x＞5 D．2x﹣1＝5
5
【分析】根据方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、6+（﹣2）＝4不含未知数，不是方程，不符合题意；
2
B、 x﹣2不是等式，故不是方程，不符合题意；
5
C、7x＞5不是等式，故不是方程，不符合题意；
D、2x﹣1＝5是含有未知数的等式，是方程，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是方程的定义，熟知含有未知数的等式叫方程是解题的关键．
3．（2024春•二道区期末）下列各式中，属于方程的是（ ）
1
A．− x−3 B．3x+1＝4 C．x+1＞1 D．﹣2+5＝3
2
【分析】根据方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
1
【解答】解：A、− x﹣3不是等式，故不是方程，不符合题意；
2
B、3x+1＝4是方程，符合题意；
C、x+1＞1不是等式，故不是方程，不符合题意；
D、﹣2+5＝3不含有未知数，故不是方程，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是方程的定义，熟知含有未知数的等式叫方程是解题的关键．
4．（2023秋•绥棱县期末）下列式子不是方程的是（ ）
A．2x＝0 B．2x+3y＝0
C．5x+7 D．3（2x﹣2）＝12
【分析】方程就是含有未知数的等式，依据定义即可判断．
【解答】解：A、符合方程的定义，故本选项不符合题意；
3B、符合方程的定义，故本选项不符合题意；
C、不是方程，故本选项符合题意；
D、符合方程的定义，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了方程的定义．含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；
（2）方程中必须含有字母（未知数）．
1
5．（2023秋•嘉祥县期末）下列各式中：①x＝0；②2x＞3；③x2+x﹣2＝0；④ +2=0；⑤3x﹣2；
x
⑥x﹣y＝0；是方程的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】含有未知数的等式叫方程，根据方程的定义逐项判断即可得出答案．
【解答】解：根据方程的定义可得：①③④⑥是方程，②2x＞3是不等式，⑤3x﹣2，不是等式，
不是方程，
故方程有4个，
故选：B．
【点评】本题考查了方程的定义，熟练掌握方程的定义是解此题的关键．
1
6．（2023春•宛城区校级月考）在①2x+3y﹣1；②1+7＝15﹣8+1；③1− x＝x+1 ④x+2y＝3中方程
2
有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据方程的定义对题目中各小题进行分析，判断其是否是方程．
【解答】解：①2x+3y﹣1，没有“＝”，不是方程；
②1+7＝15﹣8+1，没有未知数，不是方程；
1
③1− x＝x+1，是方程；
2
④x+2y＝3，是方程．
故选：B．
【点评】本题主要考查了方程的定义：方程是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等
关系的一种等式，通常在两者之间有一等号“＝”．可直接列出等式并含有未知数．它具有多种形式，
如一元一次方程、二元一次方程等．
7．在 ①2+1＝3，②4+x＝1，③y2﹣2y＝3x，④x2﹣2x+1中，方程有 （填序号）.
【分析】根据含有未知数的等式叫方程，可得答案．
4【解答】解：∵①不含未知数，①不是方程；
∵②、③含有未知数的等式，②、③是方程；
④不是等式，④不是方程，
故答案为：②、③．
【点评】本题考查了方程，方程是含有未知数的等式，注意不含未知数的等式不是方程，含有字母的代
数式不是方程．
题型二 判断方程的解
解题技巧提炼
方程的解的定义：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解.也
叫方程的根，判断方法代入方程的左右两边进行检验.
1．（2023春•珠晖区校级期中）下列方程中，解是x＝﹣1的是（ ）
A．﹣2（x﹣2）＝12 B．﹣2（x﹣1）＝4
C．11x+1＝5（2x+1） D．2﹣（1﹣x）＝﹣2
【分析】将x＝﹣1代入，找出能满足左边＝右边的方程．
【解答】解：∵﹣2（﹣1﹣1）＝4，
∴x＝﹣1是方程﹣2（x﹣1）＝4的解．
故选：B．
【点评】本题考查了方程的解，使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．
2．（2023秋•莱州市期末）下列方程中，解为x＝4的是（ ）
x 1 x−4
A．x﹣3＝﹣1 B．6− =x C． x+3＝7 D． =2x﹣4
2 2 5
【分析】把x＝4代入方程，判断左边与右边是否相等即可判断．
【解答】解：A、当x＝4时，左边＝4﹣3＝1≠右边，故选项错误；
B、当x＝4时，左边＝6﹣2＝4＝右边，故选项正确；
C、当x＝4时，左边＝2+3＝5≠右边，故选项错误；
D、当x＝4时，左边＝0，右边＝4，故选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．
3．（2023春•华安县期中）下列方程的解是x＝2的方程是（ ）
51 2 2
A．4x+8＝0 B．− x+ =0 C． x＝2 D．1﹣3x＝5
3 3 3
【分析】把x＝2代入各方程验证判定即可．
1 2
【解答】解：把x＝2代入各方程验证可得出x＝2是方程− x+ =0的解．
3 3
故选：B．
【点评】本题主要考查了方程的解，解题的关键是把x＝2代入各方程验证．
4．（2023秋•滦南县期末）下列方程中，解为x＝1的是（ ）
1 1
A．x﹣1＝﹣1 B．﹣2x= C． x＝﹣2 D．2x﹣1＝1
2 2
【分析】各项中方程计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、方程解得：x＝0，不符合题意；
1
B、方程系数化为1，得x=− ，不符合题意；
4
C、方程系数化为1，得x＝﹣4，不符合题意；
D、方程移项合并得：2x＝2，解得：x＝1，符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
5．（2023秋•浏阳市期末）下列方程中，解是x＝2的方程是（ ）
A．3x＝x+3 B．﹣x+3＝0 C．5x﹣2＝8 D．2x＝6
【分析】分别解答A、B、C、D四个选项中的方程，然后作出选择．
【解答】解：A、由原方程，得2x＝3，即x＝1.5；故本选项错误；
B、由原方程移项，得x＝3；故本选项错误；
C、由原方程移项、合并同类项，5x＝10，解得x＝2；故本选项正确；
D、两边同时除以2，得x＝3；故本选项正确．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义，方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值．
6．检验括号中的数是否为方程的解．
（1）3x﹣4＝8（x＝3，x＝4）；
1
（2） y+3＝7（y＝8，y＝4）．
2
【分析】使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．检验一个数是否为相应的方程的解，就
是把这个数代替方程中的未知数，看左右两边的值是否相等，如果左边＝右边，那么这个数就是该方程
6的解；反之，这个数就不是该方程的解．
【解答】解：（1）当x＝3时，左边＝9﹣4＝5，左边≠右边，故x＝3不是方程的解，
当x＝4时，左边＝12﹣4＝8，左边＝右边，故x＝4是方程的解；
（2）当y＝8时，左边＝4+3＝7，左边＝右边，故y＝8是方程的解，
当y＝4时，左边＝2+3＝5，左边≠右边，故y＝4不是方程的解．
【点评】本题考查了方程的解，解题的关键是根据方程的解的定义：使方程左右两边的值相等的未知数
的值是该方程的解．
7．检验下列各小题括号内字母的值是否是相应方程的解
（1）2x＝x+3，（x＝3，x＝2）；
4
（2）4y＝8﹣2y，（y＝4，y= ）
3
【分析】（1）、（2）方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程
中的未知数，所得到的式子左右两边相等．所以把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证．
【解答】解：（1）把x＝3代入方程，左边＝2×3＝6，右边3+3＝6，左边＝右边，即x＝3是该方程的
解；
把x＝2代入方程，左边＝2×2＝4，右边2+3＝5，左边≠右边，即x＝2不是该方程的解；
（2）把y＝4代入方程，左边＝4×4＝16，右边8﹣2×4＝0，左边≠右边，即y＝4不是该方程的解；
4 4 16 4 16 4
把y= 代入方程，左边＝4× = ，右边8﹣2× = ，左边＝右边，即y= 是该方程的解．
3 3 3 3 3 3
【点评】本题考查了方程的解的定义．此题是利用代入法进行验证的．
题型三 一元一次方程的定义
解题技巧提炼
判断一元一次方程的方法是看它是否需满足三个条件：①首先是整式方程．②方
程中共含有一个未知数．③含有未知项的次数是一次．不符合上述任何一个条件
的都不叫一元一次方程．
1．（2024秋•南岗区校级月考）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
1
A．x＝1 B．x2＝1 C．x+y＝1 D． =1
x
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1且两边都是整式的方程为一元一次方程，据此
7判断各选项即可．
【解答】解：A、x＝1是一元一次方程，符合题意；
B、x2＝1，未知数x的次数是2，不是一元一次方程，不符合题意；
C、x+y＝1，含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；
1
D、 =1，不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意；
x
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
2．（2024秋•儋州校级月考）下列方程中，属于一元一次方程的是（ ）
4
A．x＝0 B． =2 C．2x2﹣3x＝4 D．x﹣4y＝3
x
【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数且未知数次数为1的整式方程，逐一判断．
【解答】解：A、x＝0是一元一次方程，正确，符合题意；
4
B、 =2为分式方程，不是整式方程，不符合题意；
x
C、2x2﹣3x＝4未知数最高次数为2，不是一元一次方程，不符合题意；
D、x﹣4y＝3含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查一元一次方程的定义，理解掌握定义是解答的关键．
3．（2023秋•甘井子区期中）下列方程中是一元一次方程的是（ ）
x x 1
A． − =1 B．4x2＝24 C．x+y＝80 D． +2=6
60 70 2x
【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可．
x x
【解答】解：A．方程 − =1是一元一次方程，故本选项符合题意；
60 70
B．方程4x2＝24是一元二次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C．方程x+y＝80是二元一次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
1
D．方程 +2＝6是分式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意．
2x
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含
未知数的项的最高次数是1的整式方程叫一元一次方程）是解此题的关键．
4．（2024春•嘉定区期末）下列式子属于一元一次方程的是（ ）
8x
A．x﹣5x＝11 B．3x﹣5＝y C．x2﹣4＝0 D． ＞1
5
【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求解即可．
【解答】解：A、x﹣5x＝11是一元一次方程；
B、3x﹣5＝y含有两个未知数，不是一元一次方程；
C、x2﹣4＝0未知数的最高次数不是1，不是一元一次方程；
x
D、 ＞1不是方程，不是一元一次方程；
5
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握只含有一个未知数（元），且未知数的次数是
1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键．
1
5．（2024秋•肇州县校级期中）方程：①2x+y＝0；② =3；③5+2x＝4；④x＝2；⑤x2+x＝0中，一
x
元一次方程是（ ）
A．①⑤ B．②④ C．③⑤ D．③④
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般
形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．
【解答】解：①2x+y＝0含有两个未知数，因而不是一元一次方程；
1
② =3不是整式方程，故不是一元一次方程；
x
③5+2x＝4、④x＝2是一元一次方程；
⑤x2+x＝0中含有两个未知数，不是一元一次方程．
综上所述，③④属于一元一次方程．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项
系数不是0，这是这类题目考查的重点．
6．（2023春•上蔡县期中）下列方程中：
①4x﹣7＝1；
②3x+y＝z；
③x﹣7＝x2；
x+ y x 3
④4xy＝3； = ； =1，
2 3 x
9属于一元一次方程的是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据一元一次方程的定义对各小题进行逐一分析即可．
【解答】解：①4x﹣7＝1是一元一次方程，符合题意；
②3x+y＝z是三元一次方程，不符合题意；
③x﹣7＝x2是一元二次方程，不符合题意；
x+ y x 3
④4xy＝3是二元二次方程； = 是二元一次方程； =1是分式方程，不符合题意．
2 3 x
故选：B．
【点评】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这
样的方程叫一元一次方程是解题的关键．
4 x
7．（2024春•吴忠期末）在方程：①3x﹣y＝2；②x+ =1；③ =1；④x＝0；⑤x2﹣2x﹣3＝0；⑥
x 2
2x+1 1
= 中，是一元一次方程的是（填序号） ．
4 3
【分析】根据一元一次方程的定义解答即可．
x 2x+1 1
【解答】解：③ =1，④x＝0，⑥ = ，是一元一次方程；
2 4 3
①3x﹣y＝2，含有两个未知数，不是一元一次方程；
4
②x+ =1，含有分式，不是一元一次方程；
x
⑤x2﹣2x﹣3＝0，未知数的次数是2，不是一元一次方程，
故答案为：③④⑥．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，理解定义“含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的
整式方程叫做一元一次方程”是解题的关键．
题型四 由一元一次方程的定义求字母的值
解题技巧提炼
由一元一次方程的定义求字母的值，主要是根据未知数的系数不为0，次数为1
得出字母的值.
1．（2024•船山区校级开学）若（m+1）x|m|﹣1+4＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为（ ）
10A．±1 B．1 C．﹣1 D．任何实数
【分析】根据一元一次方程的定义可得到|m|＝1且m+1≠0，即可求出m的值．
【解答】解：（m+1）x|m|﹣1+4＝0是关于x的一元一次方程，
根据题意得：|m|＝1且m+1≠0，
解得：m＝1，
故选：B．
【点评】本题主要考查一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
2．（2023秋•任城区校级期末）若方程（a﹣2）x2|a|﹣3+3＝﹣2是关于x的一元一次方程，则这个一元一次
方程为（ ）
A．4x+3＝﹣2 B．﹣4x+3＝﹣2 C．4x﹣3＝﹣2 D．﹣4x2+3＝﹣2
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这
样的整式方程叫一元一次方程．
【解答】解：∵方程（a﹣2）x2|a|﹣3+3＝﹣2是关于x的一元一次方程，
{ a−2≠0
∴ ，
2|a|−3=1
解得a＝﹣2．
∴这个一元一次方程为﹣4x+3＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义．
3．（2024春•夹江县期末）已知关于x的方程（m﹣1）x|m|﹣2＝3m是一元一次方程，则实数m的取
值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0
【分析】根据含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程，据此即可作答．
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）x|m|﹣2＝3 m是一元一次方程，
{m−1≠0 ①
∴ ，
|m|=1 ②
由①得m≠1，
由②得m＝±1，
综上，m＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
4．（2024秋•西城区校级期中）已知（a﹣1）x|a|+3＝10是关于x的一元一次方程，则a的值为 ．
11【分析】根据一元一次方程的概念可得a≠1且|a|＝1，求解即可．
【解答】解：∵（a﹣1）x|a|+3＝10是关于x的一元一次方程，
∴a≠1且|a|＝1，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查一元一次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
5．（2023秋•平桥区期末）若（m﹣3）x|m﹣2|+6＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为 ．
【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，进行
计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
|m﹣2|＝1且m﹣3≠0，
∴m＝3或1且m≠3，
∴m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了绝对值，一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
6．（2023秋•古浪县校级月考）已知（k2﹣4）x2+（k+2）x+1＝0是关于x的一元一次方程，求k的值．
【分析】根据一元一次方程的定义，得到二元项系数为0，一次项系数不为0，得到关于k的一元二次方
程和一元一次不等式，解之即可．
【解答】解：∵（k2﹣4）x2+（k+2）x+1＝0是关于x的一元一次方程，
∴k2﹣4＝0且k+2≠0
解得：k＝±2且k＝﹣2，
∴k＝2．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，正确掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
7．（2023秋•蒲城县校级月考）已知（m+3）x2﹣3x|n|+3＝0是关于x的一元一次方程，求m、n的值．
【分析】一般地，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可得
{m+3=0
，解之即可得到答案．
|n|=1
【解答】解：∵（m+3）x2﹣3x|n|+3＝0是关于x的一元一次方程，
{m+3=0
∴ ，
|n|=1
∴m＝﹣3，n＝±1．
12【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义，绝对值，关键是一元一次方程定义的熟练掌握．
题型五 由一元一次方程的定义求代数式的值
解题技巧提炼
将一元一次方程的定义求出关于字母参数的值，然后再代入字母参数的值求代数
式的值即可解答.
1．（2023春•威远县校级期中）方程（a+2）x2+5xm﹣3﹣2＝3是一元一次方程，则a+m＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据一元一次方程的定义，分别得到关于a和关于m的一元一次方程，解之，代入a+m，计算
求值即可．
【解答】解：根据题意得：
a+2＝0，
解得：a＝﹣2，
m﹣3＝1，
解得：m＝4，
a+m＝﹣2+4＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，正确掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
2．（2023秋•宝应县期末）已知关于x的方程（m+5）x|m|﹣4+18＝0是一元一次方程．
（1）求m的值；
（2）求代数式5x﹣3m的值．
【分析】（1）根据一元一次的定义列出关于m的不等式和方程，求出m的值即可；
（2）把m＝5代入方程求出5x的值，再把m，5x的值代入代数式即可得出结论．
【解答】解（1）|m|﹣4＝1且m+5≠0，
解得m＝5；
（2）当m＝5时，原方程可化为：10x+18＝0，
解得5x＝﹣9，
将m＝5，5x＝﹣9代入得﹣9﹣3×5＝﹣9﹣15＝﹣24．
【点评】本题考查的是一元一次方程，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方
程叫一元一次方程是解题的关键．
133．（2023秋•汉阴县期末）若方程（2a﹣3）x2﹣x2﹣b+2＝7是关于x的一元一次方程，a，b均为有理数，
求b﹣a的绝对值．
【分析】根据一元一次方程的定义求出a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵方程（2a﹣3）x2﹣x2﹣b+2＝7是关于x的一元一次方程，
∴2a﹣3＝0，2﹣b＝1，
3
解得a= ，b=1，
2
3 1
∴|b−a|=|1− |= ．
2 2
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值的性质，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
4．（2023秋•榕城区期末）已知方程（1﹣m2）x2﹣（m+1）x+8＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求m的值及方程的解．
1
（2）求代数式5x2﹣2（xm+2x2）﹣3（ xm+2）的值．
3
【分析】（1）根据一元一次方程的定义得到1﹣m2＝0且﹣（m+1）≠0，解得m＝1，再解原方程得到
x＝4；
（2）把代数式化简得到原式＝x2﹣3x﹣6，然后把x＝4代入计算即可．
【解答】解：（1）∵方程（1﹣m2）x2﹣（m+1）x+8＝0是关于x的一元一次方程，
∴1﹣m2＝0且﹣（m+1）≠0，
∴m＝1，
原一元一次方程化为：﹣2x+8＝0，解得x＝4；
1
（2）∵5x2﹣2（xm+2x2）﹣3（ xm+2）
3
＝5x2﹣2x﹣4x2﹣x﹣6
＝x2﹣3x﹣6，
当x＝4时，原式＝42﹣4×3﹣6＝﹣2，
1
即代数式5x2﹣2（xm+2x2）﹣3（ xm+2）的值是﹣2．
3
【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义和整式的加减．解题的关键是掌握一元一次方程的解的定
义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
5．（2023秋•潮南区校级月考）已知（m﹣2）x|m|﹣1+5＝0是关于x的一元一次方程，关于x，y的单项式
axny3的系数是最大的负整数，且次数与单项式2x2y4的次数相同，求代数式m2﹣an的值．
14【分析】利用一元一次方程的定义、最大负整数以及单项式的次数，可列出关于m，a，n的方程及不等
式，解之可得出a，m，n的值，再将其代入m2﹣an中，即可求出结论．
【解答】解：∵（m﹣2）x|m|﹣1+5＝0是关于x的一元一次方程，关于x，y的单项式axny3的系数是最大
的负整数，且次数与单项式2x2y4的次数相同，
m−2≠0
{
a=−1
∴ ，
n+3=2+4
|m|−1=1
{m=−2
，解得： a=−1，
n=3
∴m2﹣an＝（﹣2）2﹣（﹣1）×3＝7．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，单项式，代数式求值，利用一元一次方程的定义、最大负整
数以及单项式的次数，求出m，a，n的值是解题的关键．
6．已知（m﹣3）x|m|﹣2+6＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求m的值；
（2）若|y﹣m|＝3，求y的值．
【分析】（1）利用一元一次方程的定义确定出m的值即可；
（2）把m的值代入已知等式计算即可求出y的值．
【解答】解：（1）∵（m﹣3）x|m|﹣2+6＝0是关于x的一元一次方程，
∴|m|﹣2＝1且m﹣3≠0，
解得：m＝﹣3；
（2）把m＝﹣3代入已知等式得：|y+3|＝3，
∴y+3＝3或y+3＝﹣3，
解得：y＝0或y＝﹣6．
【点评】此题考查了一元一次方程的定义，以及绝对值，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
7．（2023秋•江都区校级期中）已知关于x、y的代数式：A＝ax2﹣3xy+9x，B＝﹣2x2﹣bxy+4，且代数式
M＝2A﹣3B．
（1）若a＝﹣3，b＝1时，化简代数式M；
（2）若代数式M是关于x、y的一次多项式，求ab的值；
（3）当（a﹣1）x2+xb﹣1+2＝0是关于x的一元一次方程时，求代数式M的值．
15【分析】（1）先化简代数式M，再把a＝﹣3，b＝1代入即可；
（2）依据一次多项式指的是最高次为一次的多项式求解可得a，b值，代入ab即可即可；
（3）依据一元一次方程是只含一个未知数并且未知数的次数为1的方程可得a，b值代入M即可．
【解答】解：（1）∵A＝ax2﹣3xy+9x，B＝﹣2x2﹣bxy+4，M＝2A﹣3B，
∴M＝2A﹣3B
＝2（ax2﹣3xy+9x）﹣3（﹣2x2﹣bxy+4）
＝2ax2﹣6xy+18x﹣（﹣6x2﹣3bxy+12）
＝2ax2﹣6xy+18x+6x2+3bxy﹣12
＝（2a+6）x2+（3b﹣6）xy+18x﹣12
把a＝﹣3，b＝1代入上式得：
（2a+6）x2+（3b﹣6）xy+18x﹣12
＝（﹣6+6）x2+（3﹣6）xy+18x﹣12
＝﹣3xy+18x﹣12．
故答案为：﹣3xy+18x﹣12．
（2）由（1）可知：M＝（2a+6）x2+（3b﹣6）xy+18x﹣12，
由题意M是关于x、y的一次多项式得：2a+6＝0，3b﹣6＝0，
解得：a＝﹣3，b＝2，将a＝﹣3，b＝2代入ab＝（﹣3）2＝9，
故答案为：9；
（3）∵（a﹣1）x2+xb﹣1+2＝0是关于x的一元一次方程，
∴a﹣1＝0，b﹣1＝1，
解得：a＝1，b＝2，x＝﹣2，
将a＝1，b＝2代入M＝（2a+6）x2+（3b﹣6）xy+18x﹣12＝8x2+18x﹣12，
把x＝﹣2代入M＝8x2+18x﹣12＝8×（﹣2）2+18×（﹣2）﹣12＝32﹣36﹣12＝﹣16．
故答案为：﹣16．
【点评】本题综合考查了代数式求值及解一元一次方程，掌握整式的混合运算法则是关键．
题型六 根据实际问题列方程
16解题技巧提炼
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数
量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与
未知量之间的等量关系，即列出一元一次方程．
1．（2023秋•北碚区校级期中）为筹备缤纷节“快乐易物”活动，甲乙两个小组计划分别制作一些个性书
签．已知甲组比乙组多2人，若甲组每人制作4个书签，乙组每人制作5个书签，则两个小组制作书签
的总数相同．设乙组有x人，由题意，可列出的方程为（ ）
A．4（x+2）＝5x B．4（x﹣2）＝5x C．4x＝5（x+2） D．4x＝5（x﹣2）
【分析】根据两个小组制作书签的总数相同，可以列出相应的方程，从而可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：由题意可得，
4（x+2）＝5x，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
2．（2023•克东县校级开学）现有一笼子，里面有鸡和兔子若干只，数一数，共有头14个，腿38条，聪
明的小朋友，你能算出鸡和兔子各有多少只吗？设鸡的数量为x只，则可列方程为（ ）
A．2x+4（14﹣x）＝38 B．4x+2（14﹣x）＝38
C．2x+2（14﹣x）＝38 D．2x+（14﹣x）＝38
【分析】根据鸡和兔子共有头14个，腿38条，列一元一次方程即可．
【解答】解：根据题意，得2x+4（14﹣x）＝38，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
3．（2023秋•江岸区期中）某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多
200t；如用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少 100t，新旧工艺的废水排量之比为2：5，若设
环保限制的最大量为xt，则可列方程为（ ）
A．2（x+200）＝5（x﹣100） B．5（x+200）＝2（x﹣100）
C．2（x﹣200）＝5（x+100） D．5（x﹣200）＝2（x+100）
【分析】设环保限制的最大量为xt，则旧工艺废水排量为（x+200）t，新工艺废水排量为（x﹣100）t，
根据新旧工艺的废水排量之比为2：5，列方程即可．
【解答】解：设环保限制的最大量为xt，则旧工艺废水排量为（x+200）t，新工艺废水排量为（x﹣100）
17t，
则依题意得，2（x+200）＝5（x﹣100）．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的
条件，找出合适的等量关系列出方程．
4．（2023秋•沂南县期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不
知人数不知竹，每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有
多少人和竹竿，每人分6竿，多14竿；每人分8竿，恰好用完，设共有x根竹竿，根据题意，列方程得
（ ）
x+14 x x−14 x x x x x
A． = B． = C． +14= D． −14=
6 8 6 8 6 8 6 8
【分析】设共有x根竹竿，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”列一元一次方程即可求解．
x−14 x
【解答】解：设共有x根竹竿，根据题意得， = ．
6 8
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
5．（2023秋•成安县期末）元旦期间某商场进行促销活动，把一件进价160元的衬衫，按照八折销售希望
仍可获利20%，设这件衬衫的标价为x元，根据题意列方程，正确的是（ ）
A．0.8x﹣160＝160×20% B．160×0.8﹣x＝20%×160
C．0.8x＝x+20%x D．0.8x＝x+20%×160
【分析】根据题意找出题中存在的等量关系：售价﹣进价＝利润，列方程即可．
【解答】解：设这件衬衫的标价为x元，
由题意可得：0.8x﹣160＝160×20%，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程的关键是正确找出题目的相等关系，此题
应重点弄清两点：（1）利润、售价、成本价三者之间的关系；（2）打八折的含义．
6．（2023•南海区开学）有两筐苹果，每筐苹果的个数相等．从甲筐卖出150个，从乙筐卖出194个后，
18这时甲筐苹果数是乙筐苹果数的3倍，设原来每筐苹果的个数为x个，下列方程正确的是（ ）
A．3（x﹣150）＝x﹣194 B．3x﹣150＝x﹣194
C．x﹣150＝3（x﹣194） D．x﹣150＝3x﹣194
【分析】等量关系：甲筐中原来的苹果数﹣150＝3（乙筐中原来的苹果数﹣194）．
【解答】解：若设原来每筐苹果的个数为x个，则现在甲筐中的苹果数为：（x﹣150）个，乙筐中的苹
果数为（x﹣194）个，则
x﹣150＝3（x﹣194）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，审题找出题中的未知量和所有的已知量，直
接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关
系列方程．
7．（2023秋•郧西县期末）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名
为“方程”．如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数
与相应的常数项，即可表示方程x+4y＝23，则 表示的方程是 ．
【分析】认真审题，读懂图中的意思，仿照图写出答案．
【解答】解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，
一个竖线表示一个，一条横线表示一十，
所以该图表示的方程是：x+2y＝32．
【点评】本题考查根据图意列方程，解题的关键是读懂图的意思．
8．（2023秋•中山区期中）我国的《九章算术》中记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十
六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出 9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．
问人数、买鸡的钱数各是多少？
设人数为x，可列方程为 ．
【分析】直接利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案．
【解答】解：设人数为x，可列方程为：9x﹣11＝6x+16．
故答案为：9x﹣11＝6x+16．
19【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解
题的关键．
20
