文档内容
商洛市 2024—2025 学年度第一学期期末教学质量监测
高一数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在
答题卡上.写在本试卷上无效.
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合交集的概念，直接求解，即可得出结果.
【详解】 ，则 .
故选：B.
2. 设命题 ，则 的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用存在量词命题的否定方法即可得解.
【详解】因为存在量词命题的否定方法为：改量词，否结论，
所以命题 的否定为 .故选：C.
3. 是等式 成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可
【详解】当 时， 成立.
当 时， 或
所以由 不能得出 成立
所以 是等式 成立的充分不必要条件
故选：A
4. 已知函数 ，则 （ ）
A. 32 B. 8 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数的表达式，求出对应的函数值，先求出 ，再求
【详解】根据分段函数的表达式可得：
可得：
故选：C
5. （ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角函数诱导公式求解即可.
【详解】 .
故选：A
6. 若函数 是偶函数，且在 上单调递增， ，则不等式 的解集为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性，利用特殊函数法判断即可．
【详解】由于函数 是偶函数，在区间 上单调递增，且 ，
所以 ，且函数在 上单调递减．
由此画出满足条件的一个函数的图象，如图所示，
由图可知， 的解集是 ，故选：B．
7 . 已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数的单调性及对数运算，判断可得答案.
【详解】 ， ， ，
又∵ 在 上是单调递增函数，
∴ ，
所以 .
故选：B.
8. 某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系 为自然
对数的底数，k、b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食
品在33℃的保鲜时间是 （ ）小时.
A. 20 B. 22 C. 33 D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据题意得到 ，从而得到 ，再根据 求解即可.
【详解】由题知： ，
所以 ，解得 ，
所以 .故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知幂函数 的图象经过点 ，则下列命题正确的有（ ）
A. 函数 为偶函数
B. 函数 的定义域为
C. 函数 的值域为
D. 在其定义域上单调递增
【答案】BCD
【解析】
【分析】本题考查已知函数类型求解析式以及幂函数的性质，先设出幂函数解析式，代入已知点的坐标，
求出解析式，再根据解析式逐项判断.
【详解】设 ，由 的图象经过点 ，得 ，解得 ，所以 .
选项A， 的定义域为 ，不关于原点对称，所以 不具有奇偶性，A错误；
选项B，根据偶次方要的被开方数非负得 的定义域为 ，B正确；
选项C，由 在 上是增函数，所以函数 的值域为 ，C正确；
选项D，由 在 上是增函数，D正确.
故选：BCD.
10. 已知 ， ，且 ，函数 与 的图象可能是（ ）
A. B.C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由已知 ，然后按 和 分类讨论结合 的图象确定两个函数的
单调性即可得．
详解】由 ， ，且 ，则 ，所以 ，
【
若 时，则 ，所以曲线 函数图象上升，即为增函数，
且 单调递减，又函数 与 关于y轴对称，
所以曲线 为增函数，选项B符合条件；
若 ，则 ，曲线 函数图象下降，即为减函数，
且 单调递增，又函数 与 关于y轴对称，
所以函数 的图象下降，即为减函数，选项C符合条件，
故选：BC.
的
11. 若正实数 ， 满足 ，则下列说法正确 是（ ）
A. 有最大值 B. 有最小值
C. 有最小值 D. 有最大值
【答案】ACD【解析】
【分析】对于A，根据条件，利用基本不等式，即可求解；对于B，通过取特殊值 ，即可求解；
对于C，根据条件，利用“1”的妙用，即可求解；对于D，利用选项A中结果，得到 ，即
可求解.
【详解】对于选项A，因为正实数 ， 满足 ，所以 ，
得到 ，当且仅当 时等号成立，所以 有最大值 ，故选项A正确，
对于选项B，取 ，此时 ，所以 的最小值不是 ，故选项B错误，
对于选项C， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故 有最小值 ，所以选项C正确，
对于选项D，由选项A可得 ，
当且仅当 时等号成立，故 有最大值 ，所以选项D正确，
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是__________.
【答案】2
【解析】
【分析】利用扇形的弧长得到关于圆心角的方程，解之即可得解.【详解】依题意，设扇形的圆心角为 ，
因为扇形的半径是 ，弧长为 ，
所以由 ，得 ，则 .
故答案为： .
13. ______.
【答案】
【解析】
【分析】应用指数幂、对数运算性质化简求值.
【详解】 .
故答案为：
14. 设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a＜b＜10，则abc的取值范围是________．
【答案】(0，1)
【解析】
【分析】作出函数 的图象及直线 观察它们的交点的横坐标得 的关系骸 的范围，从而
可得 的取值范围．
【详解】由题意知，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点， ,所以ab
＝1，0＜c＜lg 10＝1，所以abc的取值范围是(0，1)．
故答案为： ．
【点睛】本题考查对数函数的性质，解题关键是把方程的根转化函数图象与直线的交点的横坐标，从图象
易得其性质．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知 角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点 .
（1）求 ；
（2）求 的值.
【答案】（1） ， ， ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求出结果；
（2）利用诱导公式对原式进行化简，代入 ， 的值，即可求出结果.
【小问1详解】
因为角 的终边经过点 ，由三角函数的定义知
，
，
【小问2详解】
由诱导公式，得
.
16. 设命题 ：实数 满足 ；命题 ：实数 满足 .
（1）若 ，且 为真， 为假，求实数 的取值范围；（2）若 ，且 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）先化简命题 ，得到 ，即得解；
（2）先化简命题 ，得到 或 ，即得解.
【详解】（1）若 ，命题 ；
命题 ： ，则 ，
因为 为真， 为假，
所以 的取值范围为 ，即 ；
（2） 是 的充分不必要条件，
命题 ； ，命题 ： ，则 ，
所以 或 ，所以 .
【点睛】方法点睛：充分必要条件的判定常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.在解
答此类问题时，要根据已知条件灵活选择.
17. 已知定义在R上的奇函数 ，偶函数 ， ， ， .
（1）求 ， 的值；
（2）判断并证明 的奇偶性；
（3）求函数 的值域.【答案】（1） ；
（2）奇函数，证明见解析；
（3） .
【解析】
【分析】（1）利用函数的奇偶性求参数值即可；
（2）根据奇偶性的定义判定证明；
（3）由 ，结合指数函数、分式型函数的性质求值域.
【小问1详解】
由题意， 为奇函数， 为偶函数，
所以 ，即 ，
故 恒成立，所以 ，
因为 ，即 ，
所以 恒成立，所以 .
【小问2详解】
由（1）知 ，
所以 的定义域为 ，
因为 ，
所以 为奇函数.【小问3详解】
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
故 的值域为 .
18. 某地区在政策指导下，根据当地气候､土质等条件，推广种植某种市场畅销水果果树.经调研发现该果
树的单株产量 （单位：千克）与施肥量 （单位：千克）满足函数关系：
，且单株果树的肥料成本投入为 元，其他成本投入（如培育管理､施肥
人工费等费用）为 元.已知这种水果的市场售价为21元/千克，且销路畅通供不应求，记该果树
的单株利润为 （单位：元）.
（1）求函数 的解析式；
（2）当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当单株施肥量为5千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是325元
【解析】
【分析】（1）利用销售额减去成本来求得 的解析式.
的
（2）利用二次函数 性质、基本不等式来求得正确答案.【小问1详解】
根据题意知
，
整理得 .
【小问2详解】
当 时， ，
由二次函数的性质可知，在 时， 取得最大值 ，
当 时，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
， 的最大值是 ，
当单株施肥量为5千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是325元.
19. 设函数 的定义域为 ，一般地，对于 ， ，若
，则称 为“凹函数”；若 ，则称
为“凸函数”.对于函数 有如下性质：如果常数 ，那么该函数在 上是减函数，在 上是增函数.
（1）已知函数 ， ，利用上述性质，求函数 的单调区间和值域；
（2）证明： 在 上是凹函数；
（3）已知函数 和函数 ，若对任意 ，总存在 ，使
得 成立，求实数 的值.
【答案】（1） 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，值域为 ；
（2）证明见解析； （3） .
【解析】
【分析】（1）根据题设描述的性质写出单调区间，再由单调性求最值，即可得值域；
（2）根据凹函数的定义，应用作差法比较 大小证明结论；
（3）根据题设求出 的值域，将问题化为 的值域为 的值域的子集，求参数值.
【小问1详解】
由已知，函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，
所以 ，又 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 在 上的值域为 .
【小问2详解】
设 ， ， ，则
，
∴ ，
∴当 时， 是凹函数.
【小问3详解】
，
设 ， ， ，则 ， ，
由已知性质得，当 ，即 时， 单调递减，所以递减区间为 ，
当 ，即 时， 单调递增，所以递增区间为 ，
由 ， ， ，得 的值域为 ，
因为 为减函数，所以 ， ，
根据题意， 的值域为 的值域的子集，
