文档内容
21.2.4一元二次方程根与系数的关系
【考点归纳】
【知识梳理】
知识点一： 一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．
①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；
②当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；
③当∆=b2−4ac<0时，原方程没有实数根.
知识点二：一元二次方程根与系数的关系
如果方程 有两个实数根 那么
，
知识点三：有关根与系数的关系的两个重要推论
（1）以 为实数根的一元二次方程(二次项系数为1)是
的两个实数根是 那么
（2）如果方程 ，【题型探究】
题型一：一元二次方程根与系数的关系
【例1】．（24-25九年级上·贵州遵义）若 是一元二次方程 的两个根，则
（ ）
A．4 B． C．7 D．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 的一个根是
，则另一个根是 ．
【跟踪训练2】．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）若 是一元二次方程 的两个根，则
．
题型二：由根与系数的关系直接求代数式的值
【例2】．（24-25九年级上·天津和平·阶段练习）设 ， 是方程 的两个实数根，则 的
值为 ．
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）若a，b是一元二次方程 的两个实数根，
则 的值是 ．
【跟踪训练2】．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）一元二次方程 的两根为 ， ，则
．
题型三：由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值
【例3】．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）已知关于 的一元二次方程 的两个实数
根分别是 、 ，满足 ，那么 的值为 ．
【跟踪训练1】．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）设实数m，n分别满足 ， ，
= ．【跟踪训练2】．（25-26九年级上·全国）若 是方程 的两个实数根，则代数式
的值为 ．
题型四：由方程两根满足关系求字母的值
【例4】．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）已知关于 的方程 的两根分别是方程
两根的相反数，则 的值为（ ）．
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【跟踪训练1】．（2025·河北沧州·模拟预测）已知m，n是关于x的一元二次方程 的两个根，且
，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．7
【跟踪训练2】．（2025·江西新余·二模）已知α，β是一元二次方程 的两个实数根，则
（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
题型五 ：不解方程由根与系数的关系判断根的问题
【例5】．（2025·河北邯郸·三模）已知一元二次方程 ，则该方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．两根互为相反数
C．有两个相等的实数根 D．两根之和为4
【跟踪训练1】．（25-26九年级上·湖北武汉·开学考试）已知一元二次方程 的两根分别是 ，
，则一元二次方程 的根为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练2】．（2025·河北邯郸·三模）已知关于 的一元二次方程 ，以下不正确的是（ ）
A．此方程必有实数根 B．若方程有一个根为 ，则另一个根为
C．两根之积为 D．两根之和为
题型六 ：根与系数的关系和根的判别式的综合应用【例6】．（24-25九年级上·全国·期末）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根
．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若方程两实数根满足 ，求k的值
【跟踪训练1】．（24-25九年级上·四川泸州·期中）已知关于x的方程： ．
(1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根．
(2)设 ， 是方程的两个根，且 ，求m的值．
【跟踪训练2】．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若 ，求 的值；
(3)若方程有一个根不小于5，求 的取值范围．
题型七 ：根与系数关系中的新定义问题
【例7】．（2023·湖北黄石·一模）阅读理解材料：已知实数 满足 ，且 ．
根据材料．求 的值．
解：由题知 是方程 的两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系得 ，
．
解决以下问题：
(1)方程 的两个实数根为 ，则 ___________， ___________．
(2)已知实数 满足 ，且 ，求 的值．(3)已知实数 满足 ，且 ，求 的值．
【跟踪训练1】．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）定义：如果关于x的一元二次方程 （ ）有
两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．
(1)下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）．
① ；② ；③ ；④ ．
(2)若方程 是“邻根方程”， ， 是方程的两根，求：
①请求出k的值；
②求方程的两个根．
【跟踪训练2】．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）如果方程 的两个根是 、 ，那么
，请根据以上结论解决下列问题．
(1)已知关于 的方程 ，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．
(2)已知 满足 ， ，求 的值．
【高分演练】
一、单选题
1．（25-26九年级上·福建福州·开学考试）若 是方程 的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·广东潮州·阶段练习）关于x的一元二次方程 的两个实数根 、 ，已知
，则m的值为（ ）A． B． C．1 D．2
3．（25-26九年级上·广东广州·开学考试）设a，b是方程 的两个不相等的实数根，则
的值为（ ）
A．0 B．2025 C．2024 D．2023
4．（24-25八年级下·山东烟台·期末）在 中，对角线 ， 的长是关于x的一元二次方程
的两个根，则k的取值范围是（ ）．
A． 且 B．
C． D．
5．（24-25九年级上·湖南株洲·开学考试）甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，
而解得方程两根为 和5，乙把常数项看错了，解得两根为 和 ，则原方程是（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）若关于 的方程 的两根之和为 ，两根之积为 ，
则关于 的方程 的两根之积为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25九年级上·河南濮阳·阶段练习）【新考向】对一元二次方程 ，某学习小组给出了下列结论：
甲：这个方程有两个不相等的实数根；
乙：设这个方程的两个根分别为 ， ，则有 ， ，
丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为 ；
丁：这个方程的解为 ，
老师看后说只有两个同学的结论是错误的，则这两位同学是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．丙和丁
8．（25-26九年级上·北京海淀·开学考试）已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·广西梧州·三模）已知实数 ， 是关于 的一元二次方程 的两个根，则代数式
的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 的一个根是 ，则另一个根是
．
11．（25-26九年级上·四川凉山·期末）已知 ， 是一元二次方程 的两个根，且该方程的两根
互为倒数，则 的值为 ．
12．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知 ， 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，
且 ，则 ．
13．（20-21九年级上·辽宁鞍山·期中）关于 的一元二次方程 有两个实数根 ，若
，则 ．
14．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）已知 是方程 的两个根，那么 = ，
， ，
三、解答题
15．（25-26九年级上·浙江绍兴·开学考试）已知关于x的一元二次方程
(1)若该方程有一个根是 ，求k的值．
(2)若该方程的两个实数根 满足 ， 求k的值．16．（25-26九年级上·山西运城·开学考试）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程有一个根为3，求方程的另一个根．
17．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；
(2)若方程的两个实数根为 ，且满足 ，求m的值．
18．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）【知识技能】
材料 ：若关于 的一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ， ．
材料 ：已知一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，求 的值．
解：∵一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，∴ ， ，
则 ．
【数学理解】
（1）一元二次方程 的两个根为 ， ，则 _____， ______．
【拓展探索】
（2）已知一元二次方程 的两根分别为 ， ，求 的值．（3）已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
19．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程 的两个实数根 和系数a，b，c有如下关系： ，
．
材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求 的值．
解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ．
则 ．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程 的两个实数根为 ，则 ， ；
(2)类比：已知一元二次方程 的两个实数根为m，n，则 的值为 ；
(3)提升：已知实数s，t满足 ， 且 ，则 的值 ；
(4)拓展：已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ，且 ，则实数
的取值范围是 ．
