文档内容
21.2.4一元二次方程根与系数的关系
【考点归纳】
考点一：一元二次方程根与系数的关系
考点二：由根与系数的关系直接求代数式的值
考点三：由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值
考点四：由方程两根满足关系求字母的值
考点五 ：不解方程由根与系数的关系判断根的问题
考点六 ：根与系数关系中的新定义问题
考点七 ：根与系数的关系和根的判别式的综合应用
【知识梳理】
知识点一： 一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．
①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；
②当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；
③当∆=b2−4ac<0时，原方程没有实数根.
知识点二：一元二次方程根与系数的关系
如果方程 有两个实数根 那么
，
知识点三：有关根与系数的关系的两个重要推论
（1）以 为实数根的一元二次方程(二次项系数为1)是
的两个实数根是 那么
（2）如果方程 ，【题型探究】
题型一：一元二次方程根与系数的关系
一、单选题
1．（2024·宁夏银川·模拟预测）若关于x的一元二次方程 的一个根为2，则另一个根为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
设另一个根为 ，由关于x的一元二次方程 的一个根为2，可得 ，计算求解即可．
【详解】解：设另一个根为 ，
∵关于x的一元二次方程 的一个根为2，
∴ ，
解得， ，
故选：B．
2．（23-24八年级下·山东东营·期末）若 ， ，则以 ， 为根的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程 的两个实数根 ，
和系数 ， ， ，有如下关系： ， ，由此即可得出答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴以 ， 为根的一元二次方程是 ，
故选：A．
3．（24-25九年级上·全国·课后作业）设一元二次方程 的两个实数根为 和 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据 进
形计算即可．
【详解】解：根据 ，
得 ，
故选D．
题型二：由根与系数的关系直接求代数式的值
4．（23-24九年级上·四川达州·期末）设 、 是一元二次方程 的两个实数根，则 的
值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 （ ）的两根时， ，
．根据根与系数的关系得到 ， ，再将 变形得到 ，然后利
用整体代入的方法计算．
【详解】解：由题意得， ， ，所以
，故选：D．
5．（2024·山东聊城·模拟预测）关于x的一元二次方程 的两个根为 ，且 ，则
的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程 的根与系数的关系：关于x的一元二次方程
的两个实数根 ， 和系数 ， ， ，有如下关系： ， ，根据一元二
次方程 的根与系数的关系求出两根及m值，代入计算即可得到答案．
【详解】解：∵ 的两根为 ，
∴ ． ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
故选：B．
6．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）设一元二次方程 的两根为 ， ，则 的值为
（ ）
A． B．1 C． D．5
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，是重要考点，解题的关键是熟练掌握一元二次方程
的两个根 ， ，满足 ， ．根据一元二次方程根与系数的关系得出
，然后代入求值即可．
【详解】解： ，
故选：A．
题型三：由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值7．（23-24八年级下·安徽池州·期末）已知 ， 是方程 的两个根，则 的值为（ ）
A． B． C．2024 D．2025
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
根据一元二次方程的解得出 ，根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，代入代数式即可求
解．
【详解】解：∵ 、 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
即 ，
∴
，
故选：A．
8．（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 、
，且 ，则 的值是（ ）
A． 或 B． 或2 C．2 D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系和根的判别式．
由一元二次方程 的两个实数根分别为 、 ，可得 ， ，即可得
，解得 或 ，再检验根的判别式是否大于0即可得到答案．
【详解】解： 一元二次方程 的两个实数根分别为 、 ，
， ，，
，
，
解得 或 ，
当 时，一元二次方程为 ，此时 ，原方程无实数解，这种情况不存在，舍去；
△
当 时，一元二次方程为 ，此时 ，符合题意；
△
的值是 ；
故选：D
9．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若 ，且有 ，及 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了构造一元二次方程解题，正确构造方程，灵活运用根与系数关系定理是解题的关键．根据
，方程 除以 得 ，从而得到 是方程 的两个
根，根据根与系数关系定理，得 ，故 是 ．
【详解】解：根据 ，方程 除以 得 ，
故 是方程 的两个根，
根据根与系数关系定理，得 ，
故 是 ．
故选：A．
题型四：由方程两根满足关系求字母的值
10．（2024·四川南充·二模）已知实数 ， 满足 ， ，且 ，则 的
值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，将 变形为 据此可知 ，
为方程 的两个实数根，根据根与系数的关系得到 ， ，整理得 ，
，代入所求代数式化简即可，熟练掌握根与系数的关系及分式的化简是解题的关键．
【详解】解： ，易得 ，方程两侧同除 得：
，
又∵ ，且 ，
∴ ， 为方程 的两个实数根，
∴ ， ，整理得 ， ，
∴ ，
故选： ．
11．（2024·广东广州·一模）已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ，且满足
，则 的值是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由 可知 ，然后根据根
与系数的关系代入计算即可；熟知一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式是关键．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ，经检验 时， ，符合题意；
故 的值为
故选：C．
12．（2024·河南安阳·模拟预测）若 是方程 的两个根，则 （ ）
A． B．16 C． D．20
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，关于x的一元二次方程
的两个实数根 ， 和系数 ， ， ，有如下关系： ， ，由题意得出本题中 ，
，再将 变形为 ，代入计算即可得出答案．
【详解】解： 是方程 的两个根，
， ，
，
故选：C．
题型五 ：不解方程由根与系数的关系判断根的问题
13．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程 一个实根为1，则另一个实
根为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记“ 是一元二次方程 的两根时，”是解题的关键，根据两根之和等于 ，结合方程的一个根是1，即可求出方程的另一个
根．
【详解】解： ，
∴方程的两根之和 ，
∴方程的另一根 ．
故选：D．
14．（2024九年级·全国·竞赛）方程 的两根的符号是（ ）
A．都为正 B．都为负 C．一正一负 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：根据 代入数值化简，即可作答．
【详解】解：∵
∴
则方程 的两根的符号是一正一负，
故选：C
15．（2023·江西赣州·一模）设 是关于x的方程 的两根， 是关于x的方程
的两根，则p，q的值分别等于（ ）
A．1， B．1，3 C． ， D． ，3
【答案】C
【分析】考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键；根据根与系数的关系，
可得 ， ，整理可得关于p，q的二元一次方程组，解方程组
即可；
【详解】解： 是关于x的方程 的两根，
，
是关于x的方程 的两根，， ，即 ，
将 代入整理得，
，解得 ，
故选： ．
题型六 ：根与系数关系中的新定义问题
16．（23-24八年级下·广东湛江·期末）阅读材料：在一元二次方程 中，我们定义方程的判别
式为 ，当 时，方程有两不同的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没
有实数根．并且当方程有实数根时，两根之和为 ，两根之积为 ．
已知关于x的方程：
(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围．
(2)若方程的一个根为1，另一个根为n，求m和n的值．
(3)若方程的两个实数根为 ，且 ，求m的值．
【答案】(1)
(2) ， 或 ，
(3)
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，正确理解题
意是解题的关键：
（1）根据判别式大于等于零列不等式求解；
（2）将 代入方程得， ，求出m，再根据两根和列方程求出n；
（3）由根与系数的关系得到 ，利用完全平方公式变形即可求出m的值．
【详解】（1）解：因为方程有两个实数根，
所以 ，
解得 ，所以m的取值范围是 ；
（2）将 代入方程得， ，
解得 ．
当 时，方程为
因为 ，
所以 ．
当 时，方程为
因为 ，
所以 ．
综上所述， 或 ．
（3）因为方程的两个实数根为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
即 ，
解得 ．
因为 ，
所以 ，
即m的值为 ．
17．（23-24八年级下·山东济南·期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程
的两个实数根分别为 、 ，那么两个根的关系为
， ．习惯上把这个结论称作“韦达定理”．小明在探究二次项系数为1的一元二次方程 根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为： ，
．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究．
定义：
倍根方程：如果关于x的一元二次方程 有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外
一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
方根方程：如果关于x的一元二次方程 有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等
于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”．
(1)请你判断：方程 是______（填“倍根方程”或“方根方程”）；
(2)若一元二次方程 是“倍根方程”，求c的值；
(3)根据探究，小明想设计一个一元二次方程 ，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮
他算一算，这个方程的根是多少？
【答案】(1)倍根方程
(2)c的值是8
(3)方程的两个根是 ， 或 ，
【分析】（1）求出方程的解，再判断是否为倍根方程；
（2）设方程 的两个根为 ， ，由倍根方程”的定义可知 ，利用根与系数的关系即可求得
的值；
（3）设一元二次方程 ，的两个实数根分别为 、 ，由题意可知 ， 或 ，
，即可得到方程的根是2、4或 、 ．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，新定义“倍根方程”或“方根方程”的
意义，理解“倍根方程”或“方根方程”的意义和掌握根与系数的关系是解决问题的关键．
【详解】（1）解：解方程 得：
， ，，
方程 是倍根方程；
故答案为：“倍根方程”；
（2）解：程 的两个根为 ， ，
一元二次方程 是“倍根方程”，
，
， ，
， ，
，
；
（3）解：元二次方程 ，的两个实数根分别为 、 ，
这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，
， ，
，
解得 或 （舍去），
，
或 ， ，
，
解得 或 （舍去），
，
这个方程的根是2、4或 、 ．
18．（2024·广东汕头·二模）如果关于x 的一元二次方程 有两个实数根 ， ，且 ，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程 的两个根是 ， ， ，则
方程 是“邻近根方程”．
(1)判断方程 是否是“邻近根方程”；
(2)若关于x 的方程 （b，c是常数）是“邻近根方程”，求 的最大值．
【答案】(1)是
(2)48
【分析】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根时， ，
．也考查了二次函数的性质．
（1）先利用求根公式得到 ， ，再计算出 ，从而可判断方程 是
“邻近根方程”；
（2）设一元二次方程两个实数根 ， 则利用根与系数的关系得 ， ，，再利用 得
到 ，所以 ，从而得到 ，所以 ，然后根据二次函
数的性质解决问题．
【详解】（1）解：（1）∵ ， ， ，
则 ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ，
∴方程 是“邻近根方程”；
（2）设一元二次方程两个实数根 ， ，
根据根与系数的关系得 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为48．
题型七 ：根与系数的关系和根的判别式的综合应用
19．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：无论k为何实数，方程总有两个实数根；
(2)若一元二次方程有两个根 和 ，且 ，求k的值．
【答案】(1)见解析
(2)k的值为0或 ．
【分析】本题主要考查了根的判别式及根与系数的关系，熟知一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题
的关键．
（1）利用根的判别式即可解决问题；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系得出两根之和，再结合 ，求出两根即可解决问题．【详解】（1）证明： △ ，
无论 为何实数，方程总有两个实数根；
（2）解：由根与系数的关系知，
，
又 ，
则联立方程组 ，
解得 ．
将 代入原方程得，
，
解得 或 ，
的值为0或 ．
20．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根为 ，且 ，求m的值．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据根的判别式得出 ，据此可得答案；
（2）根据根与系数的关系得出 ， ，代入 得出关于 的方程，解之可得
答案．
本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握 ， 是方程 的两根时，
， ．
【详解】（1）证明：，
∵
无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系，得 ， ，
由 ，得 ，
解得 ．
21．（23-24九年级下·山东烟台·期末）关于 的一元二次方程 有实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)如果 是符合条件的最大整数，且关于 的一元二次方程 与方程 有一个相
同的根，求此时 的值；
(3)若方程 的两个实数根为 ，且 ，求此时 的值．
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）解：根据题意得： ，
解得 ；
（2）解：∵ 是符合条件的最大整数，
∴ 的值为6，
∴方程 变形为 ，
解得 ，
∵一元二次方程 与方程 有一个相同的根，
∴当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ，∵ ，
∴ ，
∴ 的值为 ．
（3）解：∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，∵ ，∴ ，∴ ，∵ ；∴ 的值为 ．
【高分演练】
一：单选题
22．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）若方程 的两根为 ， ，则 的值为：（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，根据方程 的两根为 ， 得
， ，根据 进行计算即可得；掌握一元二次方程根与系数的关系，代数式求
值是解题的关键．
【详解】解：∵方程 的两根为 ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
23．（2024九年级上·全国·专题练习）若m，n为方程 的两个实数根，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据一元二次方程的定义得到m2=2016﹣2m，则m2+3m+n可化为2016+m+n，再根据根用途系数的关
系得到m+n=﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：m为方程 的实数根，∴ ，
即 ，
∴ ，
∵m，n为方程 的两个实数根，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
24．（2024九年级上·全国·专题练习） 中， 的长分别等于一元二次方程 两根之和与
两根之积，则对角线 长的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D．
【答案】D
【分析】此题考查一元二次方程根与系数关系和三角形三边关系，先根据根与系数的关系得到 ，
然后利用三角形三边关系求解．
【详解】解：∵ 的长分别等于一元二次方程 两根之和与两根之积，
∴ ，
∴对角线 长的取值范围是 ．
故选：D．
25．（2024九年级上·全国·专题练习）若关于x的方程 的两根之和为p，两根之积为q，则关
于y的方程 的两根之积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程
的两个根 ， ，满足 ， ．根据关于x的方程 的
两根之和为p，两根之积为q，可以得到关于y的方程 的根符合 ，，然后整理化简，即可解答本题．
【详解】解：设关于y的方程 的两根分别为 ， ，
∵关于x的方程 的两根之和为p，两根之积为q，
∴ ， ，
∴ ， ，
化简，得： ， ，
整理可得， ，
故选：A．
26．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）定义 为方程 的特征数．若特征数为 的
方程的两实数根的平方和为12，则 的值为（ ）
A． 或4 B． C． D． 或1
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意得出该
方程为 ，由一元二次方程根的判别式得出 ，设两实数根为 ， ，则 ，
，结合方程的两实数根的平方和为12，列出关于 的方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：根据题意可知，该方程为 ，
∵方程的两实数根的平方和为12，
∴ ，
∴ ，
设两实数根为 ， ，则 ， ，
∵
∴ ，整理得： ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
27．（2024·内蒙古包头·三模）平行四边形 的两边 ， 的长是关于 的方程 的两个
实数根．若 的长为 ，那么平行四边形 的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系和平行四边形的性质，将 代入原方程，可求出 的值，进而
可得出原方程为 ，利用根与系数的关系可求出 的长，再利用平行四边形的周长计算公式，
即可求出平行四边形 的周长．解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程
的两根，则 ， ．
【详解】解：由题意知： 是关于 的方程 的一个实数根，
∴ ，
解得： ，
∴原方程为 ，
∵ ， 的长是关于 的方程 的两个实数根，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 的周长是 ．
故选：C．
28．（23-24八年级下·浙江·期中）已知关于x的一元二次方程 ，有下列结论：①当 时，方程有两个不相等的实数根；②当 时，方程不可能有两个异号的实数根；③当 时，方程的两个实数根不可
能都小于1．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查了根的判别式，先根据方程，求出根的判别式，①根据a的范围，判断根的判别式的大小，
从而进行解答；②先根据已知条件，判断方程根的情况，利用根与系数的关系，求出两根之积，进行判断；③利
用一元二次方程的求根公式，求出两根，再根据a的范围进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴①当 时， ，方程有两个不相等的实根，故①正确，
②当 时，两根之积 ，方程的两根异号，故②错误，
③∵ ，
∴方程的根为 ，
∴ ， ，
∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确．
故选：C．
29．（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题：
①若 ， 则
②若方程的两根为 和 ， 则
③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根；
④若 是该方程的一个根，则 一定是 的一个根．
其中真命题的个数 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程解的概念和计算方法，根与系数的关系是解题的关
键．
根据一元二次方程的解，把 代入可判定命题①②；根据根的判别式 可判定命题
③；根据方程的根进行验证即可判断命题④；由此即可求解．【详解】解：命题①，当x=−1时，一元二次方程为 ，
∴x=−1是方程的解，即方程有实数解，
∴ ，原命题为真命题；
命题②，当 时，一元二次方程为 ，当x=1时，一元二次方程为 ，
∴联立方程组得 ，
∴解得， ，
∴ ，原命题为真命题；
命题③，一元二次方程 有两个相等的实根，
∴ ，
∵ ，则 ，
∴ ，
∴当 时，方程有两个不相等的实根；当 时，方程无实根，
∴原命题是假命题；
命题④，一元二次方程 的一个根式 ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ，
若 是 根，则 ，
∴ ，
∴原命题为真命题；
综上所述，是真命题的有①②④，共3个，
故选：B ．二、填空题
30．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程 的一个根为 ，则方程的另一个根为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于 ，即可
得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设方程的另一个根为m，
∵方程 有一个根为 ，
∴ ，
解得： ．
故答案为：4．
31．（2024·四川成都·模拟预测）若a，b是一元二次方程 的两个实数根，则代数式
的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了分式的化简求值，利用完全平方公式，提公因式进行因式分解，一元二次方程的根与系数的
关系等知识．先通分计算括号里的，利用完全平方公式，提公因式进行因式分解，然后进行除法运算可得化简结
果，根据一元二次方程的根与系数的关系可得 ，最后代值求解即可．
【详解】解：
∵a，b是一元二次方程 的两个实数根，∴ ，
∴原式 ．
故答案为：3．
32．（2024九年级上·江苏·专题练习）（1）已知一元二次方程 的两根为 ，则 的值
为 ．
（2）若m、n是方程 的两个实数根，则 的值为 ．
【答案】 2042
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念，解题的关键是整体思想的应用．
（1）根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出 ，再整体代入即可求出结论．
（2）由m，n是方程 的两个实数根可得： ，代入所求式子即可
得到答案．
【详解】解：（1）∵一元二次方程 的两根为 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
（2）∵m，n是方程 的两个实数根，
∴ ，
∴ ，
∴
．故答案为：2042．
33．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知 、 是关于x的方程 的两实数根，且
，则k的值为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的
关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到 ， ， ，
再根据 ，推出 ，据此求解即可．
【详解】解：∵ 、 是关于x的方程 的实数根，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
整理得 ，
解得 ， ，
经检验 或 为原方程的解，
∵ ，∴ ，
∴k的值为4．
故答案为：4．
34．（2024·山东济宁·三模）若关于 的方程 为正整数）的两根分别记为 ， ，如：当
时，方程的两根记为 ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根时， ，
．利用根与系数的关系得到 ， ； ， ； ，
．把原式变形，再代入，即可求出答案．
【详解】解： ， ，2，3， ，2020，
由根与系数的关系得： ， ； ， ； ，
，
原式
．
故答案为： ．
35．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若关于x的一元二次方程 有实数根 ， ，且 ，
有下列结论：
① ；②若 ，则 ；
③关于x的方程 的根为 ， ；
④关于x的方程 的根为2，3．
其中正确结论的有 ．
【答案】②④
【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，根的判别式的应用，根与系数的关系，一元二次方程的解法，
理解题意是解本题的关键，把方程化为一般形式结合判别式可判定①，把方程的解代入原方程可判定②，结合整
体思想可判定③，利用根与系数的关系把 变形，再解方程可判定④，从而可得答案．
【详解】解：① 化为一般形式为 ，
∵原方程有实数根 、 ，且 ，
∴
解得： ，故①错误，
∵关于 的一元二次方程 有实数根 、 ，
当 ，则 ，
∴方程为 ，
解得： ， ，故②正确；
∵关于x的一元二次方程 有实数根 ， ，且 ，
而 可化为： ，
∴ ， ，
∴ 或 ，故③错误；
∵ 化为一般形式为 ，∵原方程有实数根 、 ，且 ，
∴ ， ，
∵
，
∴ ，
解得： 或 ，故④正确，
故答案为：②④
三、解答题
36．（23-24八年级下·山东德州·期末）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若方程有两个实数根，求 的取值范围；
(2)若方程的两个根为 ， 且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系以及其判别式的相关知识，将待求式根据完全平方公式适当
的变形是解答本题的关键．
（1）根据一元二次方程有两个根，可以知道其判别式大于或等于0，据此作答即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系，有 ， ，再将 转化为 ，再
代入计算即可．
【详解】（1）解：原方程可化为： ，
一元二次方程 有两个实数根，
且 ，
即 且 ，解得： ；
（2）根据根与系数的关系得： ， ，
，
，
解得 ， （舍去），
经检验 是方程的解，
的值为 ．
37．（2024九年级上·江苏·专题练习）设 ， 是方程 的两个实数根，不解方程，求下列代数式的
值．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（ ）利用根与系数的关系求出 与 的值，各式变形后代入计算即可求出值；
（ ）利用根与系数的关系求出 与 的值，各式变形后代入计算即可求出值；
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系式是解本题的关键．
【详解】（1）解：∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
原式 ；
（2）∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
原式 ．38．（23-24九年级上·福建龙岩·期末）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若方程的一个根是 ，求方程的另一个根；
(2)若该一元二次方程的两个根分别为 ， ，当 时，求 的值．
【答案】(1)方程的另一个根为 ；
(2) ．
【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系以及解一元二次方程．
（1）将 代入 中，得 ，再解方程即可；
（2）先根据判别式求得m的取值范围，再根据根与系数的关系代入求值即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程 的一个根是 ，
∴将 代入 中，得 ，解得 ，
∴解一元二次方程 ，得 或 ，
∴方程的另一个根为 ；
（2）解：由题意知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 且 ；
∵一元二次方程 的两个根分别为 ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，可化为 ，
解得 或 （舍去），
∴ ．
39．（2024九年级上·全国·专题练习）已知 、 是关于x的一元二次方程 的两个不相等的
实数根(1)直接写出m的取值范围
(2)若满足 ，求m的值．
(3)若 ，求证： ；
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系；
（1）根据一元二次方程 的两个不相等的实数根，得 ，即可列式作答；
（2）结合一元二次方程根与系数的关系，得 和 ，因为 ，所以 ，解
得 ， ，结合 ，即可作答；
（3）因为 ，结合 和 ，得 ，
则 ，又因为 ，即可证明 ．
【详解】（1）解：∵一元二次方程 的两个不相等的实数根
∴ ，
即 ；
（2）解：∵ ，且 ，
∴
整理得 ，
解得： ，∵由（1）知 ，
∴
检验：当 时， ，即 ；
（3）证明：因为 ，
把 和 代入上式，
得 ，
∵ ，
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
40．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的一元二次方程
(1)若该方程有一个根是 ，求k的值．
(2)若该方程有两个实数根，求k的取值范围．
(3)若该方程的两个实数根 满足 ，求k的值．
【答案】(1) 或
(2)
(3)
【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，以及根与系数的关系：
（1）把 代入方程求出 的值即可；
（2）根据方程有两个实数根，得到 ，求解即可；
（3）根据根与系数的关系进行求解即可．【详解】（1）解：把 代入方程得：
解得： 或 ；
（2）由题意，得： ，
解得： ；
（3）由题意，得： ，
∴
，
解得： 或 （不合题意，舍去）
∴ ．
41．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如果关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， ，且
，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程 的两个根是 ， ，
，方程 是“伴根方程”．
(1)判断方程 是否为“伴根方程”；
(2)已知关于x的方程 （m是常数）是“伴根方程”，求m的值．
【答案】(1)方程是“伴根方程”；
(2) 或 ．
【分析】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根，则 ，
．也考查了解一元二次方程．
（1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“伴根方程”的定义进行判断；
（2）先利用因式分解法解一元二次方程得到 ， ，再根据“伴根方程”的定义得到 ，然后解关
于 的方程即可．【详解】（1）解：解方程 得 ， ，
，
方程是“伴根方程”；
（2）解： ，
，
或 ，
， ，
方程 是常数）是“伴根方程”，
，
或 ．
