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5.2 二元一次方程组的解法
8大知识点（基础）+能力提升题（14道）+拓展培优练（4道）
一、代入消元法
{ y=x−6① )
1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）用代入消元法解方程组 ，将①代入②可得（ ）
2x−y=1②
A．2x−x−6=1 B．2x−(x−6)=1 C．2x−(x+6)=1 D．2x+x+6=1
{y−x=−1①)
2．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）对于二元一次方程组 ，将①式代入②式，消去y可
x+2y=7②
以得到（ ）
A．x+2x−1=7 B．x+2(x−1)=7 C．x+x−1=7 D．x+2x+2=7
{
m−2x=2
)
3．（2025·浙江衢州·二模）由方程组 1 可以得出x与y的关系是（ ）
2m− y=3
2
A．y=−8x+2 B．y=−8x−2
C．y=8x+2 D．y=8x−2
4．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）将2x+3 y=2变形，用含x的代数式表示y，那么y= ．
{ x=2y )
5．（24-25七年级下·浙江台州·期末）解方程组：
x+ y=6
{2x+3 y=4)
6．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）解方程组：
x=8−y
二、加减消元法
{x+2y=3)
1．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）方程组 的解是（ ）
x−y=−3
{x=−1) { x=1 ) { x=2 ) {x=−2)
A． B． C． D．
y=2 y=−2 y=−1 y=1
{x+3 y=2①)
2．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）用加减法解二元一次方程组 时，下列方法中无法消
2x−y=3②
元的是（ ）
A．①×2−② B．②×3−① C．①×(−2)+② D．②×3+①{3x+2y=3①)
3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）解方程组 中，下列步骤能消元的是（ ）
2x−4 y=1②
A．①×2−② B．①×2−②×3
C．①×2+②×3 D．①−②×3
{x+2y=4)
4．（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知 ，则x+ y= ．
2x+ y=2
5．（24-25七年级下·陕西西安·期末）解方程组：¿．
三、二元一次方程组中错解复原问题
1．（24-25七年级下·山东济宁·阶段练习）已知：甲、乙两人同解方程组¿时，甲看错了方程（1）中的a，
{x=−2) { x=5 )
解得 ，乙看错了（2）中的b，解得 ，则a+b的平方根为（ ）
y=1 y=−4
A．1和−1 B．2和−2 C．3和−3 D．4和−4
{ax+by=4) { x=1 )
2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出 ，
cx+7 y=5 y=−1
{x=4)
乙同学因把c抄错了解得 ，则a，b，c正确的值应为（ ）
y=8
A．a=−3，b=−1，c=12 B．a=−3，b=−1，c=−12
C．a=3，b=−1，c=−12 D．a=3，b=−1，c=12
{mx+ y=−3①
)
3．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）小文、小博二人解方程组 ，由于小文看错了
2x−ny=−3②
{x=−1)
方程②中的n的值，得到方程组的解为 ，而小博看错了方程①中的m的值，得到方程组的解为
y=−2
{x=2)
．
y=1
(1)求m和n的值；
(2)求原方程组正确的解．
4．（24-25七年级下·江西上饶·阶段练习）一一和九九同解一个关于x，y的二元一次方程组
{mx+ny=−2①) {x=6)
一一把方程①抄错，求得方程组的解为 ，九九把方程②抄错，求得方程组的解
nx+my=−3② y=4{x=2)
为 ，求m，n的值．
y=5
四、已知二元一次方程组的解的情况求参数
{ x+ y=1−a )
1．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知关于x、y的方程组 ，则下列结论中正确的
x−y=2a+5
是（ ）
5
①当x= y时，a=− ；②当a=1时，方程组的解也是方程2x−y=3.5的解；③不论a取何值，3x+ y的
2
值始终不变；④若不论x取何值，(kx−y)(y+3x)的值都为常数，则该常数为−49．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②④
{2x+3 y=3k+2)
2．（24-25七年级下·福建福州·期末）如果关于x，y的二元一次方程组 的解x，y满
3x+2y=3−k
足x+ y=3，那么k的值是 ．
{ 3x+2y=15 )
3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）若方程组 的解满足x+ y=5，则k= ．
2x+3 y=3k+1
{ax+by=2) { x=3 )
4．（23-24七年级上·湖南湘潭·期中）在解方程组 时，哥哥正确地解得 弟弟因把c
cx−7 y=8 y=−2
{x=−2)
写错而解得 ，求a+b+c的值．
y=2
5．（24-25七年级下·山西临汾·期末）已知关于x，y的二元一次方程组¿，根据下列条件，求m的值．
(1)方程组的解为x=3．
(2)方程组的解x和y互为相反数．
6．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知实数m，n满足m+n=4，且满足关于m，n的二元一次方程
{3m+2n=7k−1)
组 ，求k的值．
2m+3n=7
五、二元一次方程组的同解问题
{3x+2y=−1)
1．（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组 和关于x，y的
ax+ y=2
{2x−y=−3)
二元一次方程组 有相同的解，则a+b的算术平方根是（ ）
3x+by=1
A．❑√2 B．❑√3 C．2 D．❑√5{2x+3 y=3
)
{3x−2y=11)
2．（24-25七年级下·广东汕头·期末）若关于x、y的方程组 和 有相同的解，
ax−by=−5 bx−ay=1
则 的值为（ ）
(a+b) 2025
A．−1 B．0 C．1 D．2025
{ x+ y=3 ) { x−y=1 )
3．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）如果方程组 和 的解相同，则mn=
my+x=1 nx−y=4049
．
{2x+5 y=−26) {3x−5 y=36)
4．（22-23七年级下·四川广安·期中）若方程组 和方程组 的解相同，则
ax−by=−4 bx+ay=−8
的值为 ．
(2a+b) 2017
{ x+ y=3 ) { x−y=1 )
5．（24-25七年级下·全国·期中）关于x，y的方程组 与方程组 有相同的解，求
mx+ny=8 mx−ny=4
m−n的值．
六、二元一次方程组无解问题
{3x+5 y=6)
1．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知关于x,y的二元一次方程组 ，给出下列3个
3x+ky=10
结论：①当k=5时，此方程组无解；②若此方程组的解也是方程6x+15 y=14的解，则k=15；③无论整
数k取何值，此方程组一定无整数解（x,y均为整数），其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
2．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）二元一次方程组有可能无解，例如，方程组¿无解，原因是：
将 ×2，得2x+4 y=2，由于2≠3，所以它与 式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于x，y的方程组¿，
无①解，则a，b分别满足的条件是 ．②
3．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知关于x，y的方程组¿
(1)若方程组的解满足3x+ y=1，求m的值．
(2)m为何整数时，原方程组的解为正整数？
{x=a)
(3)小聪发现，无论m取何值，方程3x−2y+my=5总有同一个解 ；小明发现，存在一个实数m=c，
y=b
使得原方程组无解，求9a+b−c的平方根．七、二元一次方程组的特殊解法
1．（24-25八年级下·河南许昌·期中）对于有理数x，y，定义新运算：x∗y=ax+by，x⊗y=ax−by，
其中a，b是常数．已知3∗2=−1，2⊗1=4．
(1)直接写出a，b的值；
{x∗y=8+m)
(2)若关于x，y的方程组 的解也满足方程x−y=6，求m的值；
x⊗y=5m
{x=12)
(3)若关于x，y的方程组¿的解为 ，直接写出关于x，y的方程组¿的解．
y=5
2．（22-23七年级下·四川广安·期中）阅读下列方程组的解法，然后解答相关问题：
{27x+26 y=25①)
解方程组 时，若直接利用消元法解，那么运算比较繁杂，采用下列解法则轻而易举
25x+24 y=23②
解：①−②，得2x+2y=2，即x+ y=1．③
②−③×24，得x=−1．
{x=−1)
把x=−1代入③，解得y=2．故原方程组的解是 ．
y=2
{19x+21y=23①)
(1)请利用上述方法解方程组 ．
11x+13 y=15②
(2)直接写出关于x，y的方程组{ax+(a−m)y=a−2m)的解．
bx+(b−m)y=b−2m
3．（24-25七年级下·全国·假期作业）先阅读材料，然后解方程组．
{ x−y−1=0① )
解方程组 时，可由①得x−y=1③，然后将③代入②得4×1−y=5，求得y=−1，
4(x−y)−y=5②
{x=0)
从而进一步求得x=0，所以原方程组的解为 这种解法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解方
y=1
{ 2x−3 y−2=0 )
程组 2x−3 y+5
+2y=9
7
4．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）阅读探索，知识累积．解方程组{(a−1)+2(b+2)=6)．
2(a−1)+(b+2)=6
{x+2y=6)
解：设a−1=x，b+2= y，原方程组可变为
2x+ y=6{x=2) {a−1=2) {a=3)
解方程组得：即 ， ，所以 ．这种解方程组的方法叫换元法．
y=2 b+2=2 b=0
(1)拓展提高
{(a −1 ) +2 (b +2 ) =4)
3 5
运用上述方法解下列方程组： ；
(a ) (b )
2 −1 + +2 =5
3 5
(2)能力运用
已知关于x，y的方程组{a
1
x+b
1
y=c
1
)的解为{x=5)．直接写出关于m、n的方程组
a x+b y=c y=3
2 2 2
{5a
1
(m+3)+3b
1
(n−2)=c
1
)的解为______．
5a (m+3)+3b (n−2)=c
2 2 2
八、新定义的二元一次方程组问题
1．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：如果关于x，y的二元一次方程ax+by=c(a,b,c为常数且
a≠0,b≠0)满足c=b+1=a+2，我们就称方程ax+by=c为“阶梯方程”．
(1)下列方程是“阶梯方程”的是 ．
1 3 5
①x−2y=−3 ②2x−3 y=4 ③x+2y−3=0 ④ x+ y=
2 2 2
(2)任意阶梯方程都有一组相同的解，请求出这组解．
{ax+by=c)
(3)若方程组 的解为整数，求整数a的值．
x+2y=1
2．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）定义：对于关于x,y的二元一次方程ax+by=c（其中a≠b≠c），
将其x的系数a与常数c互换．得到的新方程cx+by=a称为原方程ax+by=c的“对称方程”．例如方程
3x+2y=7的“对称方程”为7x+2y=3．
(1)方程2x−3 y=−1的“对称方程”为_____，它们组成的方程组的解为_____；
{x=m)
(2)若关于x,y的二元一次方程3x+my=8与它的“对称方程”组成的方程组的解为 ，求m，n的值．
y=n
3．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）对于实数x，y定义新运算：x@y=3x+ y，x⊗y=3x−y．若关{x@y=5−2m)
于x，y的方程组 的解也满足方程−3x+3 y=8，求m的值．
x⊗y=3m
1．（24-25七年级下·广西钦州·期末）我们定义一种新运算“※”，规定：x※ y=ax+by，其中a，b为
常数，等式的右边是通常的加法和乘法运算，若5※2=7，3※(−4)=12，则4※3的值为（ ）
7 9 25
A．−12 B． C． D．
2 2 2
{ 5x+my=2① )
2．（24-25七年级下·河南许昌·期末）在解关于x，y的二元一次方程组 时，若①−②可
4x−ny=−1②
直接消去未知数y，则m和n满足的条件是（ ）
A．m=n B．mn=1 C．m+n=1 D．m+n=0
{a=2)
{3
ax+by=5)
3．（24-25七年级下·河南商丘·期末）若 是二元一次方程组 2 的解，则x+2y的平方根
b=1
ax−by=2
为（ ）
A．3 B．3，−3 C．❑√3 D．❑√3，−❑√3
{5x+ y=3
)
4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组 和关于x，
ax+5 y=4
{x−2y=5)
y的二元一次方程组 有相同的解，则a+b的算术平方根为（ ）
5x+by=1
A．4 B．−4 C．−2 D．2
{x+2y=m+3)
5．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知关于x，y的方程组 的解满足方程x+ y=4，则
2x+ y=2m
m的值为 ．
{x+ y=3m
)
6．（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知关于x，y的方程组 （m，n为实数）的解满足
2x−y=6n
m
2x+3 y=0，则 =
n
{x+2y=5)
7．（24-25七年级下·河南周口·期末）已知二元一次方程组 ，则(x+ y)(x−y)的值为
2x+ y=7
．8．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知关于x，y的二元一次方程组{a
1
x+b
1
y=c
1
)的解为{x=6)，
a x+b y=c y=1
2 2 2
则关于x，y的二元一次方程组{a
1
(x+3)+b
1
y−2b
1
=c
1
)的解为 ．
a (x+3)+b y−2b =c
2 2 2 2
{ 3x+ y=6 )
9．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知关于x，y的方程组 ．
x+2y−ax+1=0
(1)请直接写出3x+ y=6的所有非负整数解；
(2)若方程组的解满足x+ y=1，求a的值．
10．（24-25七年级下·四川南充·期末）在学习二元一次方程组解法后，数学老师设计了一道拓展作业：
{ 3x−5 y=−1 )
已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x−y=2，求k的值．经过分组讨论后，三个
5x−3 y=2k+7
数学小组分别提出了三种不同的计算思路，如下表：
小
A组 B组 C组
组
先解关于x，y的二元一次方程 先解方程组： 将方程组
计
算 { 3x−5 y=−1 ) {3x−5 y=−1) { 3x−5 y=−1 )
思
组：
5x−3 y=2k+7
，再求 x−y=2
5x−3 y=2k+7
中的两
路 k的值． 再求k的值． 个方程相加，再求k的值．
(1)请你任选其中一个小组同学的计算思路，解答此题．
(2)若用加减消元法解关于x，y的二元一次方程组{ mx+(n−1)y=6① )时，可以由 消去
①×3−②×4
nx−(m+2)y=−2②
未知数x，或可以由①×2−②×5消去未知数y，求m+3n的值．
{ x+3 y=7 )
11．（24-25七年级下·江西宜春·期末）已知关于x,y的方程组
x−3 y+mx+3=0
(1)请写出方程x+3 y=7的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足2x−3 y=1，求m的值；
{3x−y=7) {x+by=0)
12．（24-25七年级下·四川广安·期末）已知关于x，y的方程组 和 的解相同．
ax+ y=6 2x+ y=8
(1)求方程组的解；
(2)求a，b的值．
13．（24-25七年级下·河南三门峡·期末）在学习完二元一次方程组的解法后，老师给出方程组{x−y=−2①)
，小美和小庆的部分做法如下．
3x−y=6②
小美的部分过程 小庆的部分过程
由②，得 2x+(x−y)=6
③，
②−①，得
把①代入③，
2x=4
得 2x+(−2)=6
x=2
2x=4
x=2
(1)下列说法正确的是（ ）
A．小美的过程正确 B．小庆的过程正确
C．小美和小庆的过程都正确 D．小美和小庆的过程都不正确
(2)小美用的是___________，小庆用的是___________．（选择你认为正确的序号填入）
①加减消元法 ②代入消元法
(3)请你选择一种方法写出这个方程组的完整求解过程．
{x+3 y=1−4a)
1．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知关于x、y的方程组 得出以下结论：①当a=0
2x−y=a+9
35
时，方程组的解也是方x+ y=3的解；②当x= y时，a=− ；③不论a取什么实数，9x+ y的值始终不变；
8
④不存在a使得9x−y=0成立；其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④
{x+3 y=4−a)
2．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于x，y的二元一次方程组 ，给出下列结论：
x−y=3a
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a=−2；
②当a=1时，方程组的解也是方程x+ y=1+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
3．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）给出定义：对于关于x、y的二元一次方程ax+by=c（其中 ），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程cx+by=a称为原方程ax+by=c的“镜像方程”．例如方程
5x+6 y=8的“镜像方程”为8x+6 y=5．
(1)写出3x−2y=−1的“镜像方程”_____，以及它们组成的方程组的解为_____；
{x=m)
(2)若关于x、y的二元一次方程7x+my=9与其“镜像方程”组成的方程组的解为 ，求m+n的值．
y=n
(3)若关于x、y的二元一次方程ax+by=c的系数满足a+b+c=0，且与它的“镜像方程”组成的方程组的
解恰是关于 、 的二元一次方程 的一个解，请直接写出代数式
x y mx−ny=p(m≠n)
m(n−m)+p(p−n)+52的值．
4．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）【材料阅读】
5
{ x= )
{x=−1) { x=0 ) {x=1) 2
二元一次方程x−y=1有无数组解，如： ， ， ， ，如果我们将方程的解
y=−2 y=−1 y=0 3
y=
2
看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程x−y=1的
解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这
条直线称为该方程的图象．
【问题探究】
(1 )
（1）已知A(1,1)、B(−3,4)、C ,2 ，则点_______（填“A或B或C”）在方程2x−y=−1的图象
2
上．
（2）请你在图1所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程2x−y=−1的图象．观察图象，两条直线的
{ x−y=1 )
交点坐标为_______，由此你得出二元一次方程组 的解是_______；
2x−y=−1
【拓展延伸】
1
（3）设方程 x+my=−2的图象与x，y轴的交点分别是A、B，方程nx−y=3的图象与x，y轴的交点分
2
别是C、D．
①求点A和点D的坐标
{1
x+my=−2)
②已知关于x，y的二元一次方程组 2 无解，当点B在y轴正半轴上，且∠OAB=30°时，在
nx−y=31
线段AB上任取一点E，连接OE．点M为∠AEO的角平分线上一点，且满足∠DCM= ∠ACM．请作
2
出符合题意的图形，并直接写出∠CME和∠COE之间的数量关系．
