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5.2 二元一次方程组的解法
8大知识点（基础）+能力提升题（14道）+拓展培优练（4道）
一、代入消元法
{ y=x−6① )
1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）用代入消元法解方程组 ，将①代入②可得（ ）
2x−y=1②
A．2x−x−6=1 B．2x−(x−6)=1 C．2x−(x+6)=1 D．2x+x+6=1
【答案】B
【分析】本题考查用代入法解二元一次方程组，熟练掌握代入法解二元一次方程组是解题的关键
将方程①中的y代入方程②，替换掉方程②中的y，注意符号的变化．
【详解】将①代入②可得，2x−(x−6)=1．
故选：B．
{y−x=−1①)
2．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）对于二元一次方程组 ，将①式代入②式，消去y可
x+2y=7②
以得到（ ）
A．x+2x−1=7 B．x+2(x−1)=7 C．x+x−1=7 D．x+2x+2=7
【答案】B
【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，将①式变形为y的表达式，代入②式消去y，即可作答．
【详解】解：依题意，由①式y−x=−1，解得y=x−1，
将y=x−1代入②式x+2y=7中，
得x+2(x−1)=7．
故选：B．
{
m−2x=2
)
3．（2025·浙江衢州·二模）由方程组 1 可以得出x与y的关系是（ ）
2m− y=3
2
A．y=−8x+2 B．y=−8x−2
C．y=8x+2 D．y=8x−2
【答案】C
【分析】本题考查解二元一次方程组，通过消去参数m，将两个方程联立，解出x与y的关系式即可．
【详解】解：由m−2x=2得m=2x+2，1 1
将m=2x+2代入方程2m− y=3中，得：2(2x+2)− y=3
2 2
整理，得y=8x+2，
故选：C．
4．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）将2x+3 y=2变形，用含x的代数式表示y，那么y= ．
2 2
【答案】− x+
3 3
【分析】本题考查了代入消元法，解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
先移项，再把系数化为1，即可求解．
【详解】∵2x+3 y=2
∴3 y=−2x+2
2 2
∴y=− x+ ．
3 3
2 2
故答案为：− x+ ．
3 3
{ x=2y )
5．（24-25七年级下·浙江台州·期末）解方程组：
x+ y=6
{x=4)
【答案】
y=2
【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组．
利用代入消元法即可求解．
{x=2y①
)
【详解】解：
x+ y=6②
将①代入②得，
2y+ y=6
解得y=2
将y=2代入①得，
x=4．
{x=4)
∴原方程组的解为 ．
y=2
{2x+3 y=4)
6．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）解方程组：
x=8−y
{ x=20 )
【答案】
y=−12【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系
数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
根据第二个方程，直接利用代入消元法求解即可．
{2x+3 y=4,①)
【详解】解：
x=8−y, ②
将②代入①中得：2(8−y)+3 y=4，解得y=−12，
将y=−12代入②中得：x=8−(−12)=20，
{ x=20, )
∴原方程组的解为
y=−12.
二、加减消元法
{x+2y=3)
1．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）方程组 的解是（ ）
x−y=−3
{x=−1) { x=1 ) { x=2 ) {x=−2)
A． B． C． D．
y=2 y=−2 y=−1 y=1
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握代入消元法和加减消元法解方程组是解题的关键．
运用加减消元法解二元一次方程组即可．
{x+2y=3①)
【详解】解：
x−y=−3②
①−②得：
x+2y−(x−y)=3−(−3)
3 y=6，
y=2，
将y=2代入②得：x=−1，
{x=−1)
∴方程组的解为： ，
y=2
故选：A．
{x+3 y=2①)
2．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）用加减法解二元一次方程组 时，下列方法中无法消
2x−y=3②
元的是（ ）
A．①×2−② B．②×3−① C．①×(−2)+② D．②×3+①
【答案】B【分析】本题考查加减消元法的应用，在进行加减消元时要先对未知数的系数进行整理，熟练掌握等式的
性质，是解题的关键．根据等式性质，逐项进行判断即可．
【详解】A、①×2−②：①×2得 2x+6 y=4，减去②得：(2x+6 y)−(2x−y)=4−3化简为7 y=1，
消去x，可消元，故本选项不符合题意；
B、②×3−①：②×3得6x−3 y=9，减去①得：(6x−3 y)−(x+3 y)=9−2化简为5x−6 y=7，x和y
均未消去，无法消元，故本选项符合题意；
C、①×(−2)+②：①×(−2)得−2x−6 y=−4，加上②得：(−2x−6 y)+(2x−y)=−4+3化简为
−7 y=−1，消去x，可消元，故本选项不符合题意；
D、②×3+①：②×3得6x−3 y=9，加上①得：(6x−3 y)+(x+3 y)=9+2化简为7x=11，消去y，可
消元，故本选项不符合题意．
故选：B．
{3x+2y=3①)
3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）解方程组 中，下列步骤能消元的是（ ）
2x−4 y=1②
A．①×2−② B．①×2−②×3
C．①×2+②×3 D．①−②×3
【答案】B
【分析】本题考查了用加减法解二元一次方程组的方法，解题关键是熟练运用用加减法解二元一次方程组．
根据题意对各选项求解，即可得出答案．
【详解】解：A、①×2−②得4x+8 y=5，未消去任意一个未知数，不符合题意；
B、①×2−②×3得16 y=3，消去未知数x，符合题意；
C、①×2+②×3得12x−8 y=9，未消去任意一个未知数，不符合题意；
D、①−②×3得−3x+14 y=0，未消去任意一个未知数，不符合题意．
故选：B．
{x+2y=4)
4．（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知 ，则x+ y= ．
2x+ y=2
【答案】2
【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了加减消元法，熟练掌握运算方法是解题的关键．
将方程组的两个方程加起来，得到3x+3 y=6，进而得到x+ y=2．
{x+2y=4①)
【详解】解：
2x+ y=2②
将①+②，得： 3x+3 y=6，
∴x+ y=2．故答案：2．
5．（24-25七年级下·陕西西安·期末）解方程组：¿．
{x=2)
【答案】
y=0
【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：②×2−①，得：7x=14，解得：x=2；
把x=2代入①，得：3×2+4 y=6，解得：y=0；
{x=2)
∴ ．
y=0
三、二元一次方程组中错解复原问题
1．（24-25七年级下·山东济宁·阶段练习）已知：甲、乙两人同解方程组¿时，甲看错了方程（1）中的a，
{x=−2) { x=5 )
解得 ，乙看错了（2）中的b，解得 ，则a+b的平方根为（ ）
y=1 y=−4
A．1和−1 B．2和−2 C．3和−3 D．4和−4
【答案】A
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，二元一次方程组的错解问题，根据题意可甲的解满足
（2），乙的解满足（1），据此可求出a、b的值，再求出a+b的值后即可根据平方根的定义得到答案．
【详解】解：由题意得，4×(−2)=b−2，5a+5×(−4)=15，
∴a=7，b=−6，
∴a+b=7+(−6)=1，
∴a+b的平方根为1和−1，
故选：A．
{ax+by=4) { x=1 )
2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出 ，
cx+7 y=5 y=−1
{x=4)
乙同学因把c抄错了解得 ，则a，b，c正确的值应为（ ）
y=8
A．a=−3，b=−1，c=12 B．a=−3，b=−1，c=−12
C．a=3，b=−1，c=−12 D．a=3，b=−1，c=12
【答案】D
【分析】本题考查解二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组中的错解问题的方法是解题的关键，
甲的正确解代入原方程组得到关于a、b、c的方程，乙的解因抄错c，仅满足第一个方程，由此联立方程求解．
{ x=1 )
【详解】解：将 代入原方程组，
y=−1
{a−b=4)
得 ，
c−7=5
{a−b=4)
得 ，
c=12
{x=4)
将 代入ax+by=4，
y=8
得4a+8b=4，
化简为a+2b=1，
{a−b=4
)
则 ，
a+2b=1
{ a=3 )
解得： ，
b=−1
综上，a=3，b=−1，c=12，
故选：D．
{mx+ y=−3①
)
3．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）小文、小博二人解方程组 ，由于小文看错了
2x−ny=−3②
{x=−1)
方程②中的n的值，得到方程组的解为 ，而小博看错了方程①中的m的值，得到方程组的解为
y=−2
{x=2)
．
y=1
(1)求m和n的值；
(2)求原方程组正确的解．
【答案】(1)m=1，n=7
8
{ x=− )
3
(2)
1
y=−
3
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程的解得出m和n的值，是解题的关键．
{x=−1) {x=2)
（1）把 代入①，把 代入②即可得；
y=−2 y=1
{ x+ y=−3① )
（2）根据m=1，n=7得出 ，利用加减法进行求解即可．
2x−7 y=−3②{x=−1)
【详解】（1）解：把 代入①得：−m−2=−3，
y=−2
即m=1；
{x=2)
把 代入②得：4−n=−3，即n=7；
y=1
{ x+ y=−3① )
（2）解：由题意得：原方程组为 ，
2x−7 y=−3②
1
①×2−②得：9 y=−3，即y=− ，
3
1 8
把y=− 代入①得：x=− ，
3 3
8
{ x=− )
3
则原方程组的解为 ．
1
y=−
3
4．（24-25七年级下·江西上饶·阶段练习）一一和九九同解一个关于x，y的二元一次方程组
{mx+ny=−2①) {x=6)
一一把方程①抄错，求得方程组的解为 ，九九把方程②抄错，求得方程组的解
nx+my=−3② y=4
{x=2)
为 ，求m，n的值．
y=5
3
{ m=− )
8
【答案】
1
n=−
4
{x=6) {x=2)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，先把 代入方程②，把 代入方程①得
y=4 y=5
出关于m、n的方程组，解关于m、n的方程组即可，熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，是解题的关
键．
{x=6)
【详解】解：把 代入方程②，得6n+4m=−3③，
y=4
{x=2)
把 代入方程①，得2m+5n=−2④，
y=5
{6n+4m=−3)
联立③④，得 ，
2m+5n=−23
{ m=− )
8
解得 ．
1
n=−
4
四、已知二元一次方程组的解的情况求参数
{ x+ y=1−a )
1．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知关于x、y的方程组 ，则下列结论中正确的
x−y=2a+5
是（ ）
5
①当x= y时，a=− ；②当a=1时，方程组的解也是方程2x−y=3.5的解；③不论a取何值，3x+ y的
2
值始终不变；④若不论x取何值，(kx−y)(y+3x)的值都为常数，则该常数为−49．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②④
【答案】C
【分析】本题主要考查了含字母系数的二元一次方程组，
a+6 −3a−4
先用含有a的代数式表示x，y，由x= y可得 = ，求出解判断①；当a=1时，求出x，y,再代
2 2
入2x−y判断②即可；求出3x+ y得结果，可解答③；将③结果代入得(kx−y)(y+3x)=7(kx−y)，再
根据当x=0时，a=−6，此时y=7，然后解答④即可．
{x+ y=1−a①
)
【详解】解： ，
x−y=2a+5②
a+6
①+②得：x= ，
2
−3a−4
代入②得：y=
.
2
a+6 −3a−4 5
当x= y时， = ，解得a=− ，
2 2 2
所以结论①正确；
1+6 7 −3×1−4 7
当a=1时，x= = , y= =− ，
2 2 2 2
7 ( 7) 21
代入2x−y得：2× − − = ≠3.5，
2 2 2
所以结论②错误；
a+6 −3a−4 3a+18−3a−4
3x+ y=3× + = =7，
2 2 2所以无论a取何值，结果恒为7，结论③正确；
(kx−y)(y+3x)=7(kx−y)，当x=0时，a=−6，此时y=7，表达式为：(k⋅0−7)⋅7=−49.
但题目要求“不论k取何值”，需满足对任意k成立，此时仅当a=−6时成立，但结论④未明确a的取值
条件，因此无法保证对所有a成立，
所以结论④错误.
综上，正确的结论为①③．
故选：C．
{2x+3 y=3k+2)
2．（24-25七年级下·福建福州·期末）如果关于x，y的二元一次方程组 的解x，y满
3x+2y=3−k
足x+ y=3，那么k的值是 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，把方程组中两个方程相加得到
5x+5 y=2k+5，再由题意可得5x+5 y=15，则2k+5=15，解方程即可得到答案．
{2x+3 y=3k+2①)
【详解】解：依题意，
3x+2y=3−k②
①+②得：5x+5 y=2k+5，
{2x+3 y=3k+2)
∵关于x，y的二元一次方程组 的解x，y满足x+ y=3，
3x+2y=3−k
∴5x+5 y=15，
∴2k+5=15，
∴k=5，
故答案为：5．
{ 3x+2y=15 )
3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）若方程组 的解满足x+ y=5，则k= ．
2x+3 y=3k+1
【答案】3
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数．先利用加减消元法求出
5x+5 y=3k+16，再由x+ y=5得到5×4=3k+16，解方程即可．
{ 3x+2y=15① )
【详解】解：
2x+3 y=3k+1②
①+②得：5x+5 y=3k+16，
即5(x+ y)=3k+16，
把x+ y=5代入5(x+ y)=3k+16得：5×5=3k+16，
解得k=3，故答案为：3．
{ax+by=2) { x=3 )
4．（23-24七年级上·湖南湘潭·期中）在解方程组 时，哥哥正确地解得 弟弟因把c
cx−7 y=8 y=−2
{x=−2)
写错而解得 ，求a+b+c的值．
y=2
【答案】7
【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组
是解题的关键．把两个解代入方程组得出三个方程，组成方程组，求出方程组的解，代入即可求出答案．
{ x=3 ) {x=−2)
【详解】解：∵哥哥正确地解得 ，弟弟因把c写错而解得 ，
y=−2 y=2
∴代入得：3a−2b=2,3c+14=8,−2a+2b=2，
{3a−2b=2①
)
即 3c+14=8② ，
−2a+2b=2③
解方程②得：c=−2，
①+③得：a=4，
把a=4代入①得：12−2b=2，
解得：b=5，
∴a+b+c=4+5+(−2)=7．
5．（24-25七年级下·山西临汾·期末）已知关于x，y的二元一次方程组¿，根据下列条件，求m的值．
(1)方程组的解为x=3．
(2)方程组的解x和y互为相反数．
【答案】(1)m=−5
(2)m=1
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组．
（1）先将x=3代入②求出y=1，再将x=3,y=1代入①即可求解；
{x+ y=0) { x=1 )
（2）先解方程组 ，求出 ，然后代入①求解即可．
x−y=2 y=−1
【详解】（1）解：将x=3代入②，
得3−y=2，解得y=1．
将x=3,y=1代入①，
得6+1=2−m，解得m=−5．{x+ y=0)
（2）解：由题意，得 ，
x−y=2
{ x=1 )
解得 ，
y=−1
{ x=1 )
将 代入①，
y=−1
得2−1=2−m，解得m=1．
6．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知实数m，n满足m+n=4，且满足关于m，n的二元一次方程
{3m+2n=7k−1)
组 ，求k的值．
2m+3n=7
【答案】2
7k+6
【分析】本题考查了解二元一次方程组求参数，方程组的两个方程相加得m+n= ，即可求解．
5
{3m+2n=7k−1①)
【详解】解：
2m+3n=7②
解：①+②得
5(m+n)=7k+6，
7k+6
解得：m+n= ，
5
∵ m+n=4，
7k+6
∴ =4，
5
解得：k=2．
五、二元一次方程组的同解问题
{3x+2y=−1)
1．（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组 和关于x，y的
ax+ y=2
{2x−y=−3)
二元一次方程组 有相同的解，则a+b的算术平方根是（ ）
3x+by=1
A．❑√2 B．❑√3 C．2 D．❑√5
【答案】B
【分析】本题考查了同解方程组，由题意可知，两个方程组有相同的解，即存在一组公共解满足所有四个
方程．先联立两个不含参数的方程求解x和y，再代入含参数的方程求出a和b的值，最后计算a+b的算术
平方根．{3x+2y=−1)
【详解】联立第一个方程组的第一个方程和第二个方程组的第一个方程： ，
2x−y=−3
由第二个方程得 y=2x+3，代入第一个方程：3x+2(2x+3)=−1，
解得x=−1，
把x=−1代入 y=2x+3，得 y=1．
将x=−1，y=1代入第一个方程组的第二个方程 ax+ y=2得a×(−1)+1=2，
解得a=−1，
将x=−1，y=1代入第二个方程组的第二个方程 3x+by=1得3×(−1)+b×1=1，
解得b=4，
∴a+b=−1+4=3，
∴其算术平方根为 ❑√3．
故选B．
{2x+3 y=3
)
{3x−2y=11)
2．（24-25七年级下·广东汕头·期末）若关于x、y的方程组 和 有相同的解，
ax−by=−5 bx−ay=1
则(a+b) 2025的值为（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．2025
【答案】A
【分析】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值，将方程组中不含a、b的两个方程联立，求得x、y
的值，联立含有x、y的两个方程，把的值代入，两方程相加可求得a+b的值，再代入代数式中求解即可，
理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键．
2x+3 y=3 ①
【详解】解：联立方程：{ ，
3x−2y=11 ②
①×2得：4x+6 y=6③，
②×3得：9x−6 y=33④，
③+④得：13x=39，解得：x=3，
把x=3代入①得2×3+3 y=3，解得：y=−1，
{ x=3 )
因此，方程组的解为 ，
y=−1
{ x=3 )
将 代入得，
y=−1
{3a+b=−5⑤)
，
a+3b=1⑥⑤+⑥得：4a+4b=−4，
∴a+b=−1，
∴(a+b) 2025=(−1) 2025=−1，
故选：A．
{ x+ y=3 ) { x−y=1 )
3．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）如果方程组 和 的解相同，则mn=
my+x=1 nx−y=4049
．
【答案】−1
{x+ y=3)
【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题，解二元一次方程组，根据题意可先组合 得到解
x−y=1
{m=−1
)
后再代入两外两个方程求出 ，进而求解即可．
n=2025
{x+ y=3) {x=2)
【详解】解：解方程组 得 ，
x−y=1 y=1
{x=2) { my+x=1 ) { m+2=1 )
把 代入 得，
y=1 nx−y=4049 2n−1=4049
{m=−1
)
解得
n=2025
∴mn=(−1) 2025=−1．
故答案为：−1．
{2x+5 y=−26) {3x−5 y=36)
4．（22-23七年级下·四川广安·期中）若方程组 和方程组 的解相同，则
ax−by=−4 bx+ay=−8
(2a+b) 2017的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、求代数式的值，由题意可得
{2x+5 y=−26) { x=2 )
，解方程组求出 ，再求出a、b的值，代入计算即可得解，熟练掌握解二元一次
3x−5 y=36 y=−6
方程组的解法是解此题的关键．
{2x+5 y=−26)
【详解】解：由题意，得 ，
3x−5 y=36{ x=2 )
解得 ，
y=−6
{ x=2 ) {ax−by=−4) {2a+6b=−4)
将 代入 得 ，
y=−6 bx+ay=−8 2b−6a=−8
{ a=1 )
解得 ，
b=−1
∴(2a+b) 2017=(2×1−1) 2017=1．
故答案为：1
{ x+ y=3 ) { x−y=1 )
5．（24-25七年级下·全国·期中）关于x，y的方程组 与方程组 有相同的解，求
mx+ny=8 mx−ny=4
m−n的值．
【答案】1
{x+ y=3) {x=2)
【分析】本题考查了同解方程组，先解方程组 求出 ，然后代入方程
x−y=1 y=1
mx+ny=8、mx−ny=4中，得出关于m，n的方程组求解即可．
{x+ y=3)
【详解】解：根据题意得 ，
x−y=1
{x=2)
解得 ，
y=1
{x=2)
把 代入方程mx+ny=8、mx−ny=4中，得
y=1
{2m+n=8)
，
2m−n=4
{m=3)
解得 ，
n=2
∴m−n=3−2=1．
六、二元一次方程组无解问题
{3x+5 y=6)
1．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知关于x,y的二元一次方程组 ，给出下列3个
3x+ky=10
结论：①当k=5时，此方程组无解；②若此方程组的解也是方程6x+15 y=14的解，则k=15；③无论整
数k取何值，此方程组一定无整数解（x,y均为整数），其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的解与解法，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．
根据二元一次方程组的解法逐个判断即可．
【详解】解：结论①：当k=5时，
{3x+5 y=6
)
方程组变为 ，
3x+5 y=10
两方程矛盾，无解，故①正确．
结论②：原方程组的解需满足6x+15 y=14．
{3x+5 y=6)
解原方程组： ，得：
3x+ky=10
20
{x=2− )
3(k−5)
．
4
y=
k−5
将x,y代入6x+15 y=14，化简得：
20
12+ =14，
k−5
解得k=15，故②正确．
20
{x=2− )
3(k−5)
结论③：∵ ，且x,y均为整数，
4
y=
k−5
∴k−5为4的因数，即k−5=±1,±2,±4，
∴对应k的整数值为6,4,7,3,9,1，
20
此时没有k的值满足x=2− 为整数．
3(k−5)
因此无论k取何整数，方程组均无整数解，故③正确．
综上，①②③均正确，即正确的有3个．
故选A．
2．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）二元一次方程组有可能无解，例如，方程组¿无解，原因是：
将 ×2，得2x+4 y=2，由于2≠3，所以它与 式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于x，y的方程组¿，
无①解，则a，b分别满足的条件是 ．②2
【答案】a= 且b≠2．
3
【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解题意是解题的关键．
根据题意，方程组两边系数相等，得出矛盾，即可求解．
{ x+ay=b① )
【详解】解：∵关于x，y的方程组 无解，
3x+2y=6②
①×3，得3x+3ay=3b，
∴3a=2,3b≠6，
2
解得：a= 且b≠2，
3
2
故答案为：a= 且b≠2．
3
3．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知关于x，y的方程组¿
(1)若方程组的解满足3x+ y=1，求m的值．
(2)m为何整数时，原方程组的解为正整数？
{x=a)
(3)小聪发现，无论m取何值，方程3x−2y+my=5总有同一个解 ；小明发现，存在一个实数m=c，
y=b
使得原方程组无解，求9a+b−c的平方根．
【答案】(1)m=4
(2)m=−6或m=−26
(3)±1
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组的解的情况求参数，求一个数的算术平方根，熟
知解二元一次方程组的方法是解题的关键．
{3x+ y=1
)
（1）联立 ，解方程组求出x、y的值，进而可求出m的值；
x+4 y=15
（2）可求出x=15−4 y，根据方程组的解为正整数，x=15−4 y是正整数，即y<4，再讨论y的值，确
定x的值，进而计算出m的值，看m是否为整数即可；
（3）根据题意可得(3x−5)+(m−2)y=0，根据无论m取何值，方程3x−2y+my=5总有同一个解
{x=a)
，可得当y=0时，3x−5=0，解得x=
5
，则a=
5
，b=0；求出(14−m)y=40，根据题意可得
y=b 3 3
方程(14−c)y=40无解，则c=14，据此求出9a+b−c的结果即可得到答案．
{3x+ y=1
)
【详解】（1）解：联立 ，
x+4 y=15{x=−1)
解得 ，
y=4
∴3×(−1)−2×4+4m=5，
∴m=4；
{ x+4 y=15① )
（2）解：
3x−2y+my=5②
由①得：x=15−4 y，
∵方程组的解为正整数，
∴x=15−4 y是正整数，即y<4，
2
当y=3时，x=3，则3×3−2×3+3m=5，解得m= ，不符合题意；
3
当y=2时，x=7，则3×7−2×2+2m=5，解得m=−6，符合题意；
当y=1时，x=11，则3×11−2×1+m=5，解得m=−26，符合题意；
综上所述，m=−6或m=−26；
（3）解：∵3x−2y+my=5，
∴(3x−5)+(m−2)y=0，
{x=a)
∵无论m取何值，方程3x−2y+my=5总有同一个解 ，
y=b
5
∴当y=0时，3x−5=0，解得x= ，
3
5
∴a= ，b=0；
3
{ x+4 y=15① )
3x−2y+my=5②
①×3−②得：(14−m)y=40，
∵存在一个实数m=c，使得原方程组无解，
∴方程(14−c)y=40无解，
∴14−c=0，
∴c=14，
5
∴9a+b−c=9× +0−14=1，
3
∴9a+b−c的平方根为±1．七、二元一次方程组的特殊解法
1．（24-25八年级下·河南许昌·期中）对于有理数x，y，定义新运算：x∗y=ax+by，x⊗y=ax−by，
其中a，b是常数．已知3∗2=−1，2⊗1=4．
(1)直接写出a，b的值；
{x∗y=8+m)
(2)若关于x，y的方程组 的解也满足方程x−y=6，求m的值；
x⊗y=5m
{x=12)
(3)若关于x，y的方程组¿的解为 ，直接写出关于x，y的方程组¿的解．
y=5
【答案】(1)a=1，b=−2
(2)m=0
{x=6)
(3)
y=3
【分析】本题考查二元一次方程组的解，正确理解新定义并准确地计算是解题的关键．
（1）利用新定义列出关于a、b的方程组，解方程组求出a，b的值；
{x∗y=8+m)
（2）将a，b的值；代入方程组 ，得出关于x，y的方程组，解方程组，用m表示x，y，代
x⊗y=5m
入方程x−y=6中，即可求出m的值；
4 5
{ a ⋅ (x+ y)−2b ⋅ (x−y)=c )
{4a (x+ y)−10b (x−y)=3c ) 1 3 1 3 1
（3）由题意，将方程组¿化为 1 1 1 ，即 ，
4a (x+ y)+10b (x−y)=3c 4 5
2 2 2 a ⋅ (x+ y)+2b ⋅ (x−y)=c
2 3 2 3 2
4
{ (x+ y)=12)
{x=12) 3
根据方程组¿的解为 ，得出 ，求解即可．
y=5 5
(x−y)=5
3
【详解】（1）解：由题意3∗2=−1，2⊗1=4，
{3a+2b=−1)
得 ，
2a−b=4
{ a=1 )
解得 ，
b=−2
{x∗y=8+m) {x−2y=8+m)
（2）由题意，方程组 可化为 ，
x⊗y=5m x+2y=5m
{x=4+3m)
得 ，
y=m−2
∵x−y=6，∴4+3m−(m−2)=6，
∴m=0；
{a x−2b y=c )
（3）由题意，方程组¿可化为 1 1 1 ，
a x+2b y=c
2 2 2
{4a (x+ y)−10b (x−y)=3c )
方程组¿可化为 1 1 1 ，
4a (x+ y)+10b (x−y)=3c
2 2 2
4 5
{ a ⋅ (x+ y)−2b ⋅ (x−y)=c )
1 3 1 3 1
即 ，
4 5
a ⋅ (x+ y)+2b ⋅ (x−y)=c
2 3 2 3 2
{x=12)
由∵方程组¿的解为 ，
y=5
4
{ (x+ y)=12)
3 {x=6)
∴ ，解得 ，
5 y=3
(x−y)=5
3
{x=6)
则方程组¿的解为 ．
y=3
2．（22-23七年级下·四川广安·期中）阅读下列方程组的解法，然后解答相关问题：
{27x+26 y=25①)
解方程组 时，若直接利用消元法解，那么运算比较繁杂，采用下列解法则轻而易举
25x+24 y=23②
解：①−②，得2x+2y=2，即x+ y=1．③
②−③×24，得x=−1．
{x=−1)
把x=−1代入③，解得y=2．故原方程组的解是 ．
y=2
{19x+21y=23①)
(1)请利用上述方法解方程组 ．
11x+13 y=15②
{ax+(a−m)y=a−2m)
(2)直接写出关于x，y的方程组 的解．
bx+(b−m)y=b−2m
{x=−1)
【答案】(1)
y=2
{x=−1)
(2)
y=2
【分析】本题考查了二元一次方程组的新解法，整体换元思想和理解应用是本题的关键．（1）分析题干中的信息，应用计算即可；
（2）分析题干中的信息，应用计算即可．
{19x+21y=23①)
【详解】（1）解： ，
11x+13 y=15②
①−②，得8x+8 y=8，即x+ y=1③，
②−③×11，得2y=4，
解得，y=2
把y=2代入③，解得x=−1．
{x=−1)
故这个方程组的解是 ．
y=2
{ax+(a−m)y=a−2m①)
（2）解： ，
bx+(b−m)y=b−2m②
①−②，得(a−b)x+(a−b)y=a−b，即x+ y=1③，
②−③×b，得−my=−2m，解得y=2，
把y=2代入③，解得x=−1．
{x=−1)
故这个方程组的解是 ．
y=2
3．（24-25七年级下·全国·假期作业）先阅读材料，然后解方程组．
{ x−y−1=0① )
解方程组 时，可由①得x−y=1③，然后将③代入②得4×1−y=5，求得y=−1，
4(x−y)−y=5②
{x=0)
从而进一步求得x=0，所以原方程组的解为 这种解法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解方
y=1
{ 2x−3 y−2=0 )
程组 2x−3 y+5
+2y=9
7
{x=7)
【答案】
y=4
【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确理解题意，掌握题目所给整体代入法的方法和步骤是解题的
关键．由①可得：2x−3 y=2③，把③代入②求出y的值，再把y的值代入③，求出x的值即可．
{ 2x−3 y−2=0① )
【详解】解： 2x−3 y+5
+2y=9②
7
由①，得2x−3 y=2③，将③代入②，得
2+5
+2y=9，
7
解得y=4，
将y=4代入③，得
x=7，
{x=7)
∴原方程组的解为 ．
y=4
{(a−1)+2(b+2)=6)
4．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）阅读探索，知识累积．解方程组 ．
2(a−1)+(b+2)=6
{x+2y=6)
解：设a−1=x，b+2= y，原方程组可变为
2x+ y=6
{x=2) {a−1=2) {a=3)
解方程组得：即 ， ，所以 ．这种解方程组的方法叫换元法．
y=2 b+2=2 b=0
(1)拓展提高
{(a −1 ) +2 (b +2 ) =4)
3 5
运用上述方法解下列方程组： ；
(a ) (b )
2 −1 + +2 =5
3 5
(2)能力运用
已知关于x，y的方程组
{a
1
x+b
1
y=c
1
)
的解为
{x=5)
．直接写出关于m、n的方程组
a x+b y=c y=3
2 2 2
{5a (m+3)+3b (n−2)=c )
1 1 1 的解为______．
5a (m+3)+3b (n−2)=c
2 2 2
{ a=9 )
【答案】(1)
b=−5
{m=−2)
(2)
n=3
【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握换元法解方程组，是解题的关键．
（1）利用换元法解方程组即可；{5(m+3)=5)
（2）设5(m+3)=x，3(n−2)= y，进而得到 ，求解即可．
3(n−2)=3
a b
【详解】（1）解：设 −1=x， +2= y，
3 5
{x+2y=4)
原方程可变为： ，
2x+ y=5
a
{ −1=2)
{x=2) 3
解方程组得 ，即 ，
y=1 b
+2=1
5
{ a=9 )
解得： ；
b=−5
{a ⋅5(m+3)+b ⋅3(n−2)=c )
（2）解：原方程化为 1 1 1 ，
a ⋅5(m+3)+b ⋅3(n−2)=c
2 2 2
{a x+b y=c )
设5(m+3)=x，3(n−2)= y，则方程可化为 1 1 1 ，
a x+b y=c
2 2 2
{x=5) {5(m+3)=5)
则方程的解为 ，即 ，
y=3 3(n−2)=3
{m=−2)
解得： ．
n=3
八、新定义的二元一次方程组问题
1．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：如果关于x，y的二元一次方程ax+by=c(a,b,c为常数且
a≠0,b≠0)满足c=b+1=a+2，我们就称方程ax+by=c为“阶梯方程”．
(1)下列方程是“阶梯方程”的是 ．
1 3 5
①x−2y=−3 ②2x−3 y=4 ③x+2y−3=0 ④ x+ y=
2 2 2
(2)任意阶梯方程都有一组相同的解，请求出这组解．
{ax+by=c)
(3)若方程组 的解为整数，求整数a的值．
x+2y=1
【答案】(1)③④{x=−1)
(2)
y=2
(3)2或3
【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤，
理解新定义的含义．
（1）根据已知条件中的新定义，求出a+2，b+1，然后判断即可；
（2）根据已知条件将b和c用a表示出来，转换成关于x，y的方程组，解方程组即可；
（3）根据已知条件中的新定义，把方程ax+bx=c换成含有a，x，y的方程，然后解方程组求出x，y，再
根据方程组的解为整数，判断a的整数值即可．
【详解】（1）解：①x−2y=−3，
a=1，b=−2，c=−3，
a+2=1+2=3，b+1=−2+1=−1，
∴c≠a+2≠b+1，
∴x−2y=−3不是“阶梯方程”，故①不符合题意；
②2x−3 y=4，
a=2，b=−3，c=4，
a+2=2+2=4，b+1=−3+1=−2，
∴c=a+2≠b+1，
∴2x−3 y=4不是“阶梯方程”，故②不符合题意；
③x+2y−3=0化为：x+2y=3，
a=1，b=2，c=3，
a+2=1+2=3，b+1=2+1=3，
∴c=a+2=b+1，
∴x+2y=3是“阶梯方程”，故③符合题意；
1 3 5
④ x+ y= ，
2 2 2
1 3 5
a= ,b= ,c= ，
2 2 2
1 5 3 5
a+2= +2= ，b+1= +1= ，
2 2 2 2
∴c=a+2=b+1，
1 3 5
∴ x+ y= 是“阶梯方程”，故④符合题意，
2 2 2故答案为：③④；
（2）解：∵c=b+1=a+2，
∴b=a+1，
∴ax+by=c变为：ax+(a+1)y=a+2，
ax+ay+ y−a−2=0，
a(x+ y−1)+ y−2=0，
∵等式a为任意数时都成立，
{x+ y−1=0①)
∴ ，
y−2=0②
由②得：y=2，
把y=2代入①得：x=−1，
{x=−1)
∴这组解为： ；
y=2
（3）解：∵c=b+1=a+2，
∴b=a+1，
{ax+(a+1)y=a+2①)
∴方程组化为 ，
x+2y=1②
由②得：x=1−2y③，③代入①得：
a(1−2y)+(a+1)y=a+2，
a−2ay+ay+ y=a+2，
(a−2a+1)y=a+2−a，
(1−a)y=2，
2
y= ，
1−a
2 a+3
把y= 代入③得：x= ，
1−a a−1
∵y为整数，
∴1−a=±1或±2，
解得：a=0或−1或2或3，
∵a≠0，b≠0，
∴a=−1或2或3，
当a=−1时，b=a+1=−1+1=0，此情况不存在；
当a=2时，x=5；当a=3时，x=3；
∴a的整数值为：2或3．
2．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）定义：对于关于x,y的二元一次方程ax+by=c（其中a≠b≠c），
将其x的系数a与常数c互换．得到的新方程cx+by=a称为原方程ax+by=c的“对称方程”．例如方程
3x+2y=7的“对称方程”为7x+2y=3．
(1)方程2x−3 y=−1的“对称方程”为_____，它们组成的方程组的解为_____；
{x=m)
(2)若关于x,y的二元一次方程3x+my=8与它的“对称方程”组成的方程组的解为 ，求m，n的值．
y=n
{x=−1
)
【答案】(1)−x−3 y=2， 1
y=−
3
(2)m=−1，n=−11
【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键：
（1）根据新定义，求出对称方程，加减消元法求方程组的解即可；
（2）根据新定义，列出方程组，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，方程2x−3 y=−1的“对称方程”为−x−3 y=2，
{2x−3 y=−1)
{x=−1
)
解 ，得： 1 ；
−x−3 y=2 y=−
3
{3x+my=8①)
（2）由题意，可得方程组为： ，
8x+my=3②
∴①−②，得：−5x=5，
∴x=−1，
{x=m)
∵方程组的解为 ，
y=n
∴m=−1，
把x=−1，m=−1，代入①，得：3×(−1)−y=8，解得：y=−11，
∴n=−11．
3．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）对于实数x，y定义新运算：x@y=3x+ y，x⊗y=3x−y．若关
{x@y=5−2m)
于x，y的方程组 的解也满足方程−3x+3 y=8，求m的值．
x⊗y=3m
3
【答案】m=−
8{3x+ y=5−2m)
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，新定义，先根据新定义得到方程组 ，
3x−y=3m
5+m 5−5m
进而利用加减消元法求出x= ，y= ，再根据−3x+3 y=8建立关于m的方程，解方程即可得
6 2
到答案．
{3x+ y=5−2m①)
【详解】解：由题意得方程组：
3x−y=3m②
①+②，得6x=5+m，
5+m
解得：x= ，
6
5+m
把x= 代入②中，
6
5+m
得3× −y=3m，
6
5−5m
解得：y= ，
2
∵x，y满足方程−3x+3 y=8，
5+m 5−5m
∴−3× +3× =8，
6 2
3
解得：m=− ．
8
1．（24-25七年级下·广西钦州·期末）我们定义一种新运算“※”，规定：x※ y=ax+by，其中a，b为
常数，等式的右边是通常的加法和乘法运算，若5※2=7，3※(−4)=12，则4※3的值为（ ）
7 9 25
A．−12 B． C． D．
2 2 2
【答案】B
【分析】本题考查了解二元一次方程组．
3
根据已知条件得出方程组，求出a、b的值，根据题意得出4※3=4×2−3× ，再求出答案即可．
2
【详解】解：∵5 ※2=7、3※(−4)=12，{ 5a+2b=7①)
∴ ，
3a−4b=12②
①×2+②，得13a=26，
解得：a=2，
把a=2代入①，得10+2b=7，
3
解得：b=− ，
2
3 7
∴4※3=4×2−3× = ，
2 2
故选：B
{ 5x+my=2① )
2．（24-25七年级下·河南许昌·期末）在解关于x，y的二元一次方程组 时，若①−②可
4x−ny=−1②
直接消去未知数y，则m和n满足的条件是（ ）
A．m=n B．mn=1 C．m+n=1 D．m+n=0
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法是解题的关键．根据加减消元法的原理，
当两个方程相减后消去未知数y，需满足y的系数之差为0．
【详解】解：将方程组①和②相减，得到：(5x+my)−(4x−ny)=2−(−1)，
化简后为：x+(m+n)y=3，
若①−②可直接消去未知数y，需使其系数为0，即：m+n=0，
故选：D．
{a=2)
{3
ax+by=5)
3．（24-25七年级下·河南商丘·期末）若 是二元一次方程组 2 的解，则x+2y的平方根
b=1
ax−by=2
为（ ）
A．3 B．3，−3 C．❑√3 D．❑√3，−❑√3
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，平方根的概念等，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本
{a=2)
题的关键．将 代入二元一次方程组中解出x和y的值，再计算x+2y的平方根即可．
b=1
{a=2)
{3
ax+by=5)
【详解】解：将 代入二元一次方程 2 中，
b=1
ax−by=2{3x+ y=5)
得到： ，
2x−y=2
7
解这个关于x和y的二元一次方程组，两式相加，解得：x= ，
5
7 4
将x= 回代方程中，解得y= ，
5 5
7 4 15
∴x+2y= +2× = =3，
5 5 5
∴x+2y的平方根为±❑√3，
故选：D．
{5x+ y=3
)
4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组 和关于x，
ax+5 y=4
{x−2y=5)
y的二元一次方程组 有相同的解，则a+b的算术平方根为（ ）
5x+by=1
A．4 B．−4 C．−2 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，算术平方根．
{5x+ y=3)
根据题意组成新的方程组 ，求出x、y的值，再代入方程ax+5 y=4和方程5x+by=1中即可
x−2y=5
求出a、b的值，再根据算术平方根的定义计算即可．
{5x+ y=3)
【详解】解：根据题意得 ，
x−2y=5
{ x=1 )
解得 ，
y=−2
{ x=1 )
把 代入方程ax+5 y=4和方程5x+by=1中，得a=14，b=2，
y=−2
∴a+b=14+2=16，
∵16的算术平方根为4，
∴a+b的算术平方根为4，
故选：A．
{x+2y=m+3)
5．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知关于x，y的方程组 的解满足方程x+ y=4，则
2x+ y=2m
m的值为 ．
【答案】3【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程组的特殊解法，
二元一次方程的解的概念，整体代入，是解题的关键．
方程组两方程相加表示出x+ y=m+1，然后代入x+ y=4计算，求得m的值即可．
{x+2y=m+3①)
【详解】解： ，
2x+ y=2m②
①+②，得3x+3 y=3m+3，
∴x+ y=m+1．
∵x+ y=4，
∴m+1=4．
解得m=3．
故答案为：3．
{x+ y=3m
)
6．（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知关于x，y的方程组 （m，n为实数）的解满足
2x−y=6n
m
2x+3 y=0，则 =
n
1
【答案】
4
【分析】本题考查了解二元一次方程组．
根据加减消元法求出x=m+2n，y=2m−2n，代入2x+3 y=0计算即可．
{x+ y=3m①
)
【详解】解：
2x−y=6n②
①+②得3x=3m+6n，
解得：x=m+2n，
将x=m+2n代入①得m+2n+ y=3m，
解得：y=2m−2n，
将x=m+2n，y=2m−2n代入2x+3 y=0得：2(m+2n)+3(2m−2n)=0，
整理得8m−2n=0，
移项得8m=2n，
m 1
∴ = ，
n 4
1
故答案为： ．
4{x+2y=5)
7．（24-25七年级下·河南周口·期末）已知二元一次方程组 ，则(x+ y)(x−y)的值为
2x+ y=7
．
【答案】8
【分析】本题考查了解二元一次方程组，准确求出x+ y、x−y的值是解题的关键．
让方程组中的两个方程相加、相减即可得出x+ y、x−y的值，再代入求值即可．
{x+2y=5①)
【详解】解： ，
2x+ y=7②
①+②，得3x+3 y=12，
∴x+ y=4，
②-①，得x−y=2，
∴(x+ y)(x−y)=4×2=8，
故答案为：8
8．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知关于x，y的二元一次方程组
{a
1
x+b
1
y=c
1
)
的解为
{x=6)
，
a x+b y=c y=1
2 2 2
{a (x+3)+b y−2b =c )
则关于x，y的二元一次方程组 1 1 1 1 的解为 ．
a (x+3)+b y−2b =c
2 2 2 2
{x=3)
【答案】
y=3
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握用换元、整体代换方法解方程组是解题的关键．设
{x+3=m) {m=6)
，可得 ，即可求解．
y−2=n n=1
{a (x+3)+b y−2b =c ,)
【详解】解：由 1 1 1 1 ，得：
a (x+3)+b y−2b =c
2 2 2 2
{a (x+3)+b (y−2)=c )
∴ 1 1 1 ，
a (x+3)+b (y−2)=c
2 2 2
{x+3=m)
设 ，
y−2=n{a (x+3)+b (y−2)=c ,) {a m+b n=c )
由 1 1 1 得： 1 1 1 ，
a (x+3)+b (y−2)=c a m+b n=c
2 2 2 2 2 2
∵方程组
{a
1
x+b
1
y=c
1
)
的解是
{x=6)
，
a x+b y=c y=1
2 2 2
∴
{m=6)
是方程组
{a
1
m+b
1
n=c
1
)
的解，
n=1 a m+b n=c
2 2 2
{x+3=6)
∴ ，
y−2=1
{x=3)
解得： ，
y=3
{x=3)
故答案为： ．
y=3
{ 3x+ y=6 )
9．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知关于x，y的方程组 ．
x+2y−ax+1=0
(1)请直接写出3x+ y=6的所有非负整数解；
(2)若方程组的解满足x+ y=1，求a的值．
{x=0) {x=1) {x=2)
【答案】(1) ， ，
y=6 y=3 y=0
1
(2)a=
5
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组．
（1）根据x，y为非负整数即可求出方程3x+ y=6的所有非负整数解；
{3x+ y=6①)
（2）先解二元一次方程组 ，然后把x、y的值代入方程x+2y−ax+1=0中即可求出a的值．
x+ y=1②
【详解】（1）解：∵x，y为非负整数，
{x=0) {x=1) {x=2)
∴方程3x+ y=6的所有非负整数解为 ， ， ；
y=6 y=3 y=0
{3x+ y=6①)
（2）解：根据题意得 ，
x+ y=1②
①−②得，2x=5，
5
解得x= ，
25 5
把x= 代入②得， + y=1，
2 2
3
解得y=− ，
2
5
{ x= )
2
∴方程组的解是 ，
3
y=−
2
5
{ x= )
2 5 5
将 代入x+2y−ax+1=0中，得 −3− a+1=0，
3 2 2
y=−
2
1
解得a= ．
5
10．（24-25七年级下·四川南充·期末）在学习二元一次方程组解法后，数学老师设计了一道拓展作业：
{ 3x−5 y=−1 )
已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x−y=2，求k的值．经过分组讨论后，三个
5x−3 y=2k+7
数学小组分别提出了三种不同的计算思路，如下表：
小
A组 B组 C组
组
先解关于x，y的二元一次方程 先解方程组： 将方程组
计
算 { 3x−5 y=−1 ) {3x−5 y=−1) { 3x−5 y=−1 )
思
组：
5x−3 y=2k+7
，再求 x−y=2
5x−3 y=2k+7
中的两
路 k的值． 再求k的值． 个方程相加，再求k的值．
(1)请你任选其中一个小组同学的计算思路，解答此题．
{ mx+(n−1)y=6① )
(2)若用加减消元法解关于x，y的二元一次方程组 时，可以由①×3−②×4消去
nx−(m+2)y=−2②
未知数x，或可以由①×2−②×5消去未知数y，求m+3n的值．
【答案】(1)见解析
(2)−4
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的
关键．
13+3k 19+5k
（1）A组：利用加减消元法得出y= ，x= ，结合x−y=2计算即可得解；B组：解方程组
8 811 7 k+3
得出x= ，y= ，代入计算即可得解；C组：将两个方程组相加可得x−y= ，结合题意计算即可
2 2 4
得解；
16 12
（2）由题意可得3m=4n，2(n−1)−[−5(m+2))=0，求得m=− ，n=− ，代入计算即可得解．
13 13
{ 3x−5 y=−1① )
【详解】（1）解：A组： ，
5x−3 y=2k+7②
由①×5−②×3可得：−16 y=−26−6k，
13+3k
解得：y= ，
8
13+3k 13+3k
将y= 代入①可得：3x−5× =−1，
8 8
19+5k
解得：x= ，
8
∵x−y=2，
19+5k 13+3k
∴ − =2，
8 8
∴k=5；
{3x−5 y=−1①)
B组： ，
x−y=2②
由②可得：x= y+2，
将x= y+2代入①可得：3(y+2)−5 y=−1，
7
解得：y= ，
2
7 11
将y= 代入x= y+2可得x= ，
2 2
11 7
∴5× −3× =2k+7，
2 2
∴k=5；
{ 3x−5 y=−1 )
C组：将方程组 中的两个方程相加可得8x−8 y=2k+6，
5x−3 y=2k+7
k+3
∴x−y= ，
4
∵x−y=2，k+3
∴ =2，
4
∴k=5；
{ mx+(n−1)y=6①)
（2）解：∵用加减消元法解关于x，y的二元一次方程组 时，可以由
nx−(m+2)y=−2②
①×3−②×4消去未知数x，或可以由①×2−②×5消去未知数y，
∴3m=4n，2(n−1)−[−5(m+2))=0，
16 12
解得：m=− ，n=− ，
13 13
∴m+3n=−4．
{ x+3 y=7 )
11．（24-25七年级下·江西宜春·期末）已知关于x,y的方程组
x−3 y+mx+3=0
(1)请写出方程x+3 y=7的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足2x−3 y=1，求m的值；
{x=4) {x=1)
【答案】(1)： 或
y=1 y=2
1
(2)−
2
【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，通过讨论求二元一次方程组的
正整数解是解题的关键．
（1）对x、y分别赋值讨论即可；
（2）用代入法求二元一次方程组的解即可．
【详解】（1）解：方程x+3 y=7变形得：x=7−3 y
∵y为正整数，
∴当y=1时，x=4；
当y=2时，x=1
{x=4) {x=1)
∴方程x+3 y=7 的所有正整数解为： 或 ；
y=1 y=2
{ x+3 y=7 )
（2）解：∵方程组 的解满足方程2x−3 y=1，
x−3 y+mx+3=0
{ x+3 y=7 ) { x+3 y=7 )
∴方程组 与方程组 是同解方程．
x−3 y+mx+3=0 2x−3 y=18
{ x= )
{ x+3 y=7 ) 3
解方程组 得
2x−3 y=1 13
y=
9
8
{ x= )
3
将 代入x−3 y+mx+3=0，
13
y=
9
8 13 8
得， −3× + m+3=0
3 9 3
1
解得：m=− ．
2
{3x−y=7) {x+by=0)
12．（24-25七年级下·四川广安·期末）已知关于x，y的方程组 和 的解相同．
ax+ y=6 2x+ y=8
(1)求方程组的解；
(2)求a，b的值．
{x=3)
【答案】(1)
y=2
4
{ a= )
3
(2)
3
b=−
2
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，同解方程的含义；
{3x−y=7)
（1）根据同解方程的含义可得 ，再利用加减消元法解方程组即可；
2x+ y=8
{x=3)
（2）把 代入方程ax+ y=6和方程x+by=0，再进一步求解即可.
y=2
{3x−y=7) {x+by=0)
【详解】（1）解： ∵方程组 和 的解相同，
ax+ y=6 2x+ y=8
{3x−y=7①)
∴ ，
2x+ y=8②
①+②，得5x=15，解得x=3，
将x=3代入①，得3×3−y=7，解得y=2，
{x=3)
∴方程组的解为 ；
y=2
{x=3)
（2）解：由（1）可得 是方程ax+ y=6和方程x+by=0的解，
y=24
{ a= )
{3a+2=6) 3
∴ ，解得 .
3+2b=0 3
b=−
2
13．（24-25七年级下·河南三门峡·期末）在学习完二元一次方程组的解法后，老师给出方程组
{x−y=−2①)
，小美和小庆的部分做法如下．
3x−y=6②
小美的部分过程 小庆的部分过程
由②，得 2x+(x−y)=6
③，
②−①，得
把①代入③，
2x=4
得 2x+(−2)=6
x=2
2x=4
x=2
(1)下列说法正确的是（ ）
A．小美的过程正确 B．小庆的过程正确
C．小美和小庆的过程都正确 D．小美和小庆的过程都不正确
(2)小美用的是___________，小庆用的是___________．（选择你认为正确的序号填入）
①加减消元法 ②代入消元法
(3)请你选择一种方法写出这个方程组的完整求解过程．
【答案】(1)D
(2)①；②
(3)见解析
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键．
（1）小美的过程中，②−①的结果应该为2x=8；小庆的过程中，由2x+(−2)=6可得2x=8，据此可得
答案；
（2）根据解题过程即可得到答案；
（3）分别利用加减消元法和代入消元法解原方程组即可．
【详解】（1）解：由题意得，小美的过程中，②−①的结果应该为2x=8；
小庆的过程中，由2x+(−2)=6，可得2x=8，
∴小美和小庆的过程都不正确，故选：D；
（2）解：由题意得，小美用的是加减消元法，小庆用的是代入消元法，
故答案为：①；②；
（3）解：选择小美的方法：
②−①，得2x=8，解得x=4；
将x=4代入①得4−y=−2，解得y=6，
{x=4)
∴这个方程组的解为
y=6
选择小庆的方法：由②得2x+(x−y)=6③，
把①代入③得2x+(−2)=6，即2x=8，
解得x=4，
将x=4代入①得4−y=−2，
解得y=6，
{x=4)
∴这个方程组的解为 ．
y=6
{x+3 y=1−4a)
1．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知关于x、y的方程组 得出以下结论：①当a=0
2x−y=a+9
35
时，方程组的解也是方x+ y=3的解；②当x= y时，a=− ；③不论a取什么实数，9x+ y的值始终不变；
8
④不存在a使得9x−y=0成立；其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解、解二元一次方程组等知识点，熟练掌
握运算法则是解本题的关键．
{x+3 y=1(1))
①当a=0时，原方程可化为 ，再求出x与y的值，然后代入方程检验即可；②令x= y求出
2x−y=9(2)
a的值，即可作出判断；③把x与y代入9x+ y中计算得到结果，再判断即可；④令9x−y=0求出 的值
判断即可．{x+3 y=1(1))
【详解】解：①当a=0时，原方程可化为 ，
2x−y=9(2)
(1)×2−(2)得：7 y=−7，解得：y=−1，
把y=−1代入①得：x=4，
此时x+ y=4+(−1)=3，即①正确；
{x+3x=1−4a) {4x=1−4a(3))
②当x= y时，原方程可化为 ，即 ，
2x−x=a+9 x=a+9(4)
35
把(4)代入(3)得：4(a+9)=1−4a，解得：a=− ，即②正确；
8
{x+3 y=1−4a(5))
③ ，
2x−y=a+9(6)
a
(5)+(6)×3得：7x=28−a，解得：x=4− ，
7
a ( a) 9a
把x=4− 代入(6)可得：2 4− −y=a+9，解得：y=− −1，
7 7 7
( a) ( 9a ) 9a 9a 18a
则9x+ y=9 4− + − −1 =36− − −1=35− ，即9x+ y的值随a的变化而变化，所
7 7 7 7 7
以③错误；
( a) ( 9a ) 9a 9a
9x−y=9 4− − − −1 =36− + +1=37，
7 7 7 7
所以不存在a使得9x−y=0成立，故结论④正确．
综上，正确的结论是①②④．
故选D．
{x+3 y=4−a)
2．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于x，y的二元一次方程组 ，给出下列结论：
x−y=3a
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a=−2；
②当a=1时，方程组的解也是方程x+ y=1+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D{x=1+2a)
【分析】先解得方程组的解 ，根据题意逐一解答判断即可．
y=1−a
{x+3 y=4−a①)
【详解】解： ，
x−y=3a②
①−②得4 y=4−4a，
解得y=1−a，
把y=1−a代入②，得x=1+2a，
{x=1+2a)
故方程组的解为 ，
y=1−a
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，得1−a+1+2a=0，
解得a=−2，结论正确；
{x=3)
②当a=1时，方程组的解为 ，
y=0
方程x+ y=1+2a=3，
而x+ y=3，
故方程组的解也是方程x+ y=1+2a的解，
故结论正确；
{x=1+2a)
③由 ，得x+2y=1+2a+2−2a=3，是定值，
y=1−a
故无论a取什么实数，x+2y的值始终不变，结论正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了解方程组，相反数的性质，方程同解，定值问题，熟练掌握解方程组是解题的关键．
3．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）给出定义：对于关于x、y的二元一次方程ax+by=c（其中 ），若
将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程cx+by=a称为原方程ax+by=c的“镜像方程”．例如方程
5x+6 y=8的“镜像方程”为8x+6 y=5．
(1)写出3x−2y=−1的“镜像方程”_____，以及它们组成的方程组的解为_____；
{x=m)
(2)若关于x、y的二元一次方程7x+my=9与其“镜像方程”组成的方程组的解为 ，求m+n的值．
y=n
(3)若关于x、y的二元一次方程ax+by=c的系数满足a+b+c=0，且与它的“镜像方程”组成的方程组的
解恰是关于x、y的二元一次方程mx−ny=p(m≠n)的一个解，请直接写出代数式
m(n−m)+p(p−n)+52的值．{x=−1)
【答案】(1)−x−2y=3；
y=−1
(2)−17
(3)52
【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，
理解“镜像方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键．
（1）根据“镜像方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可；
（2）根据“镜像方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可；
（3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到−m+n=p，代入代数式化简求值即可．
【详解】（1）解：3x−2y=−1的“镜像方程”为−x−2y=3；
{3x−2y=−1)
它们组成的方程组为 ，
−x−2y=3
{x=−1)
解得： ；
y=−1
{x=−1)
故答案为：−x−2y=3； ；
y=−1
（2）解：由题意可知，7x+my=9的镜像方程为9x+my=7，
{7x+my=9)
联立方程组得
9x+my=7
{x=m)
∵方程组的解为 ，
y=n
{7m+mn=9)
∴
9m+mn=7
{m=−1)
解得
n=−16
∴m+n=−17．
（3）解：∵a+b+c=0，
∴a+c=−b．
{ax+by=c)
∵ax+by=c与其镜像方程所组成的方程组为 ，
cx+by=a
{x=−1)
解得： ，
y=−1
{x=−1)
将 代入方程mx−ny=p中，得−m+n=p．
y=−1
∴m(n−m)+p(p−n)+52=mp+p×(−m)+52
=52．
4．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）【材料阅读】
5
{ x= )
{x=−1) { x=0 ) {x=1) 2
二元一次方程x−y=1有无数组解，如： ， ， ， ，如果我们将方程的解
y=−2 y=−1 y=0 3
y=
2
看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程x−y=1的
解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这
条直线称为该方程的图象．
【问题探究】
(1 )
（1）已知A(1,1)、B(−3,4)、C ,2 ，则点_______（填“A或B或C”）在方程2x−y=−1的图象
2
上．
（2）请你在图1所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程2x−y=−1的图象．观察图象，两条直线的
{ x−y=1 )
交点坐标为_______，由此你得出二元一次方程组 的解是_______；
2x−y=−1
【拓展延伸】
1
（3）设方程 x+my=−2的图象与x，y轴的交点分别是A、B，方程nx−y=3的图象与x，y轴的交点分
2
别是C、D．
①求点A和点D的坐标
{1
x+my=−2)
②已知关于x，y的二元一次方程组 2 无解，当点B在y轴正半轴上，且∠OAB=30°时，在
nx−y=3
1
线段AB上任取一点E，连接OE．点M为∠AEO的角平分线上一点，且满足∠DCM= ∠ACM．请作
2
出符合题意的图形，并直接写出∠CME和∠COE之间的数量关系．{x=−2)
【答案】（1）C；（2）图见解析；(−2,−3)； ；（3）①A(−4,0)，D(0,−3)；②图见解析，
y=−3
当点M在点CD上方时∠EOC=2∠CME+10°，当点M在点CD下方时∠EOC=2∠CME+90°
【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的解的定义，坐标与图形，平行线的性质与判定，
角平分线的定义，画函数图象，正确理解二元一次方程的解与坐标系中直线的关系是解题的关键．
（1）把对应点横纵坐标代入方程中，看方程的左右两边是否相等即可得到结论；
（2）利用描点法画出函数图象，再根据函数图象找到交点坐标，进而得到方程组的解即可；
1
（3）①在 x+my=−2中，当y=0时，x=−4，在nx−y=3中，当x=0时，y=−3，据此可得答案；②
2
1
根据题意可得直线 x+my=−2和直线nx−y=3没有交点，即这两条直线互相平行；再分点M在点CD上
2
方和点M在点CD下方，两种情况画出对应的图形，讨论求解即可 ．
{x=1)
【详解】解；（1）把 代入方程2x−y=−1中，方程左边=1×2−1=1，方程左右两边不相等，则
y=1
{x=1)
不是方程2x−y=−1的解；
y=1
{x=−3) {x=−3)
把 代入方程2x−y=−1中，方程左边=−3×2−4=−10，方程左右两边不相等，则 不
y=4 y=4
是方程2x−y=−1的解；
{ x= 1 ) 1 { x= 1 )
把 2 代入方程2x−y=−1中，方程左边= ×2−2=−1，方程左右两边相等，则 2 是方程
2
y=2 y=2
2x−y=−1的解；
∴只有点C在方程2x−y=−1的图象上；
（2）如图所示函数图象即为所求；
由函数图象可知，两条直线的交点坐标为(−2,−3)，{ x−y=1 ) {x=−2)
∴二元一次方程组 的解是 ；
2x−y=−1 y=−3
1
（3）①在 x+my=−2中，当y=0时，x=−4，
2
在nx−y=3中，当x=0时，y=−3，
∴A(−4,0)，D(0,−3)；
{1
x+my=−2)
②∵关于x，y的二元一次方程组 2 无解，
nx−y=3
1
∴直线 x+my=−2和直线nx−y=3没有交点，即这两条直线互相平行；
2
如图3-1所示，当点M在点CD上方时，过点O作OH∥AB，
∵OH∥AB，CD∥AB，
∴OH∥AB∥CD，∠ACD=∠OAB=30°
∴∠EOH=∠AEO，∠COH=∠OCD，
∴∠EOC=∠EOH+∠COH=∠AEO+∠OCD=∠AEO+30°，
同理可得∠CME=∠AEM+∠DCM，∵点M为∠AEO的角平分线上一点，
1
∴∠AEM= ∠AEO，
2
1
又∵∠DCM= ∠ACM，
2
1
∴∠DCM= ∠ACD=10°，
3
1
∴∠CME= ∠AEO+10°，
2
∴2∠CME=∠AEO+20°，
∴∠EOC=2∠CME+10°；
如图3-2所示，当点M在点CD下方时，过点M作MT∥AB，
∵MT∥AB，CD∥AB，
∴MT∥AB∥CD，
1
∴∠EMT=∠AEM= ∠AEO，∠CMT=∠DCM，
2
1
∵∠DCM= ∠ACM，
2
∴∠DCM=∠ACD=30°，
1
∴∠CME=∠EMT−∠CMT= ∠AEO−30°，
2
∴2∠CME=∠AEO−60°，
同上可得∠EOC=∠AEO+30°，
∴∠EOC=∠AEO+30°=2∠CME+90°；
综上所述，当点M在点CD上方时∠EOC=2∠CME+10°，当点M在点CD下方时
∠EOC=2∠CME+90°．
