第3课时 离差平方和、方差与标准差
离差平方和
1.离差平方和刻画的是 。
2.计算2,3,4,5,6,8,11,13的离差平方和。
方差与标准差
3.为了判断八(1)班和八(2)班学生口语测试成绩哪个班比较整齐,通常需要知道两班成绩的( )
A.平均数 B.方差 C.众数 D.中位数
1
4.已知一组数据的方差计算公式为s2= [(x -15)2+(x -15)2+…+(x -15)2],则这组数据的个数和平均
1 2 10
10
数分别为 ( )
A.10,10 B.15,10 C.10,15 D.15,15
5.(2024龙东地区中考)一组数据2,3,3,4,则这组数据的方差为 ( )
A.1 B.0.8 C.0.6 D.0.5
6.已知一组数据的方差是3,则这组数据的标准差是 ( )
3
A.9 B.3 C. D.√3
2
7.为考察甲、乙两种农作物的长势,研究人员分别抽取了6株苗,测得它们的高度(单位:cm)如下:
甲:98,102,100,100,101,99;
乙:100,103,101,97,100,99。
你认为哪种农作物长得更整齐?说明理由。1.小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从 1,2,3,4,5,6这六个数字中选出四个数字,玩猜数游戏。
下列选项中,能确定该同学选出的四个数字含有1的是 ( )
A.小庆选出四个数字的方差等于4.25
B.小铁选出四个数字的方差等于2.5
C.小娜选出四个数字的平均数等于3.5
D.小萌选出四个数字中最大数和最小数的差等于4
2.在某次射击训练过程中,小明打靶10次的成绩如表所示,则小明射击成绩的众数和方差分别为
( )
靶次
成绩/环 8 9 9 10 10 7 8 9 10 10
A.10环和0.1 B.9环和0.1
C.10环和1 D.9环和1
3.若一组数据x ,x ,x ,…,x 的方差为2,则数据x +3,x +3,x +3,…,x +3的方差是 ( )
1 2 3 n 1 2 3 n
A.2 B.5 C.6 D.11
4.若数据0,1,2,3,x的平均数是2,则这组数据的标准差是 。
5.八年级体育素质测试,某小组5名同学的成绩如下表所示:
编号 1 2 3 4 5 方差 平均成绩
得分 38 34 ■ 37 40 ■ 37
其中有两个数据被遮盖,那么被遮盖的两个数据从左到右依次是 。
6.(2025抚顺一中期末)为迎接五月份全县中考九年级体育测试,小强每天坚持引体向上锻炼。他
记录了某一周每天做引体向上的个数,如下表:
星期 日 一 二 三 四 五 六
个数 11 12 13 12
其中有三天的个数被墨汁覆盖了,但小强已经计算出这组数据唯一众数是13,平均数是12,那么这
组数据的方差是 。
7.假设有三个处理数组A ,A ,A ,每个数组有6个数,具体数据如下:
1 2 3
A :1,2,3,4,5,9,
1A :2,4,5,6,7,6,
2
A :3,6,7,8,9,9,
3
求每个数组的离差平方和。
8.(应用意识)某校为了选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛,A,B两位同学在校实习基地现
场进行加工直径为20 mm的零件测试,他们各加工10个零件的直径(mm)如图所示:
根据测试的有关数据,试解答下列问题:
项目 平均数 方差 完全符合要求的个数
A 20 s2 5
A
B 20 s2 2
B
(1)考虑平均数与完全符合要求的个数,你认为 的成绩好些;
(2)求出A,B两人的方差,考虑平均数与方差,说明谁的成绩好些;
(3)考虑图中折线走势及竞赛加工零件的个数远远超过10个的实际情况,你认为派谁去合适?简述
理由。【详解答案】
基础达标
1.数据的离散程度
2.解:首先,计算这组数据的平均数:
(2+3+4+5+6+8+11+13)÷8=6.5。
然后计算每个数据与平均数的差值的平方:
(2-6.5)2=(-4.5)2=20.25,
(3-6.5)2=(-3.5)2=12.25,
(4-6.5)2=(-2.5)2=6.25,
(5-6.5)2=(-1.5)2=2.25,
(6-6.5)2=(-0.5)2=0.25,
(8-6.5)2=1.52=2.25,
(11-6.5)2=4.52=20.25,
(13-6.5)2=6.52=42.25。
最后将这些差值的平方相加,得到离差平方和:
20.25+12.25+6.25+2.25+0.25+2.25+20.25+42.25=106。
综上,这组数据的离差平方和为106。
3.B 4.C 5.D 6.D
7.解:甲种农作物长得更整齐。
1
理由:甲种农作物高度的平均数= ×(98+102+100+100+101+99)=100(cm);
6
1
乙种农作物高度的平均数= ×(100+103+101+97+100+99)=100(cm);
6
1 5
s2 = ×[(98-100)2+(102-100)2+…+(99-100)2]= ;
甲 6 3
1 10
s2 = ×[(100-100)2+(103-100)2+…+(99-100)2]= 。
乙 6 3
因为 ,
s2 <s2
甲 乙
所以甲种农作物长得更整齐。
能力提升
1
1.A 解析:A.假设选出的数据没有1,则选出的数据为2,3,5,6时,方差最大,此时x=(2+3+5+6)÷4=4,方差为s2=
41
[(2-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(6-4)2]=2.5, 当 数 据 为 1,2,5,6 时 ,x=(1+2+5+6)÷4=3.5,s2= [(1-3.5)2+(2-3.5)2+(5-3.5)2+(6-
4
3.5)2]=4.25,故该选项符合题意;B.当该同学选出的四个数字为2,3,5,6时,由以上分析可知,s2=2.5,故该选项不符
合题意;C.当该同学选出的四个数字为2,3,4,5时,x=(2+3+4+5)÷4=3.5,故该选项不符合题意;D.当选出的数据为
2,4,5,6或2,3,4,6时,最大数和最小数的差也是4,故该选项不符合题意。故选A。
1
2.C 解析:由题意可知,10 环出现的次数最多,为 4 次,故众数为 10 环;这 10 次射击成绩的平均数为
10
1
×(7+2×8+3×9+4×10)=9(环),故方差为 ×[(7-9)2+2×(8-9)2+3×(9-9)2+4×(10-9)2]=1。故选C。
10
- 1 - - -
3.A 解析:设一组数据 x,x,x,…,x 的平均数为 ,则方差为 [(x- )2+(x- )2+…+(x- )2]=2,所以数据
1 2 3 n x 1 x 2 x n x
n
- 1 - - - 1 - -
x+3,x+3,x+3,…,x+3的平均数为 +3,方差为 [(x+3- -3)2+(x+3- -3)2+…+(x+3- -3)2]= [(x- )2+(x- )2+…+
1 2 3 n x 1 x 2 x n x 1 x 2 x
n n
(x--)2]=2。故选A。
n
x
1
4.√2 解析:数据 0,1,2,3,x 的平均数是 2,即 0+1+2+3+x=2×5,解得 x=4。方差 s2= ×[(0-2)2+(1-2)2+(2-2)2+(3-
5
2)2+(4-2)2]=2,则标准差s=√2。
5.36,4 解析:因为这组数据的平均数是37,所以编号为3的同学得分是37×5-(38+34+37+40)=36,被遮盖的方差
1
是 ×[(38-37)2+(34-37)2+(36-37)2+(37-37)2+(40-37)2]=4。
5
8
6. 解析:因为平均数是 12,所以这组数据的和为 12×7=84。所以被墨汁覆盖的数字之和为 84-
7
(11+12+13+12)=36,因为这组数据唯一众数是13,所以被墨汁覆盖的三个数为10,13,13,再计算这组数据的方差
8
为 。
7
7.解:计算每个数组的平均数:
1+2+3+4+5+9
A:x = =4,
1 1 6
2+4+5+6+7+6
A:x = =5,
2 2 6
3+6+7+8+9+9
A:x = =7。
3 3 6
则每个数组的离差平方和为A:(1-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(9-4)2=40,
1
A:(2-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(7-5)2+(6-5)2=16,
2
A:(3-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(9-7)2=26。
3
8.解:(1)A
1 1
(2)s2 = ×[5×(20-20)2+3×(19.9-20)2+(20.1-20)2+(20.2-20)2]=0.008,s2= ×[3×(20.2-20)2+3×(19.8-20)2+(19.9-
A 10 B 10
20)2+(20.1-20)2+2×(20-20)2]=0.026。
因为 , ,
x =x s2 <s2
A B A B
所以A更稳定,A的成绩好些。
(3)派B去更合适。理由:从折线走势看,B的成绩越来越接近20 mm,并趋于稳定,所以派B去更合适。
