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5．7 用二元一次方程组确定一次函数表达式
1．能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式．(难点)
一、情境导入
在某地，人们发现某种蟋蟀1分钟所叫次数与当地温度之间近似满足一次函数关系．下
面是蟋蟀所叫次数与温度变化情况对照表：
蟋蟀所叫次数 … 84 98 119 …
温度(℃) … 15 17 20 …
(1)你能根据表中数据确定该一次函数的关系式吗？
(2)如果蟋蟀1分钟叫了63次，那么该地当时的温度约为多少摄氏度？
二、合作探究
探究点一：利用二元一次方程组确定一次函数的表达式
已知直线l 经过点A(0，3)及点B(3，0)，l 经过点M(1，2)及点N(－2，－3)．求l、
1 2 1
l 的交点坐标．
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解析：先用待定系数法确定l、l 的表达式，再列方程组求解．
1 2
解：设直线l 的方程为y＝kx＋b，则解得
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故有l：y＝－x＋3，即x＋y＝3.①
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设直线l 的方程为y＝kx＋b，则
2 2 2
解得
故有l：y＝x＋，即5x－3y＋1＝0.②
2
由①②得方程组解得
故直线l、l 的交点坐标是(1，2)．
1 2
方法总结：先用待定系数法求出两条直线的表达式，再把它们组成二元一次方程组求解．
也可以用图象法解题，但代数法要比图象法解题准确．
探究点二：利用二元一次方程组与一次函数解决实际问题
A，B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行，假设他们
都保持匀速行驶，则他们各自与A地的距离s(千米)都是时间t(时)的一次函数，已知1小时
后乙距离A地80千米，2小时后甲距离A地30千米．问甲、乙两人出发后多长时间相遇．
解析：甲、乙两人相遇时，他们与A地距离相等，结合函数图象经过点坐标(0，0)，(2，
30)，(0，100)，(1，80)分别运用待定系数法确定甲、乙的函数表达式．根据函数表达式，构造
方程组求解，可得出交点坐标，即是两人出发的相遇时间．
解：根据题意画图，如图．设乙的函数表达式为s＝kt＋b.把t＝0时，s＝100；t＝1时，s
＝80代入s＝kt＋b，联立方程组解得所以s＝－20t＋100.
第 1 页 共 3 页设甲的函数表达式为s＝mt.
把t＝2时，s＝30代入s＝mt，得m＝15，所以s＝15t.
联立这两个函数表达式，得解得
因此甲、乙两人出发小时后相遇．
方法总结：利用二元一次方程(组)与一次函数图象的联系解决实际问题，如果确定交点
坐标，那么常用两个函数表达式构造方程组求解．
探究点三：利用二元一次方程组和一次函数解决几何问题
在平面直角坐标系中，直线l 经过点(2，3)和(－1，－3)，直线l 经过原点，且与直
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线l 交于点(－2，a)．
1
(1)试求a的值；
(2)试问(－2，a)可看成是怎样的二元一次方程组的解？
(3)设交点坐标为P，直线l 与y轴交于点A，你能求出△APO的面积吗？试试看．
1
解析：(1)利用待定系数法先求出直线l 的关系式，因为点(－2，a)为l 和l 的交点，所
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以把代入直线l 的关系式，可求出a；
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(2)要想知道(－2，a)是怎样的二元一次方程组的解，已知(－2，a)是直线l 和直线l 的
1 2
交点坐标，故需求出直线l 的关系式；
2
(3)在直角坐标系内画出直线l 的图象，利用三角形面积计算公式，进一步求出△APO面
1
积．
解：(1)设直线l 对应的函数关系式为y＝kx＋b.
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由题意，得解得故直线l 对应的函数关系式为y＝2x－1.又因为点(－2，a)是直线l 和
1 1
直线l 的交点，所以把代入y＝2x－1，得a＝2×(－2)－1＝－5.
2
(2)设直线l 对应的函数关系式为y＝kx(因为直线l 过原点)．因为(－2，－5)是直线
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l 和直线l 的交点，故把代入y＝kx，解得k＝.
1 2 2 2
故直线l 对应的函数关系式为y＝x.
2
故(－2，－5)可看成是二元一次方程组的解．
(3)在平面直角坐标系内画出直线l，l 的图象如图，可知点A(0，－1)，故S ＝×1×2
1 2 △APO
＝1.
方法总结：此题在待定系数法的应用上有所创新，并且把一次函数的图象和三角形面积
第 2 页 共 3 页巧妙地结合起来，既考查了基本知识，又不局限于基本知识．三、板书设计
利用二元一次方程组确定一次函数表达式的一般步骤：
三、板书设计
利用二元一次方程组确定一次函数表达式的一般步骤：
1．用含字母的系数设出一次函数的表达式：y＝kx＋b(k≠0)；
2．将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组；
3．解这个二元一次方程组得k，b的值，进而得到一次函数的表达式．
通过教学，进一步理解方程与函数的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互
转化．通过对本节课的探究，培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力．
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