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第05讲 二元一次方程组
1.二元一次方程与二元一次方程组的基本概念
①含有____个未知数，并且所含未知数的项的次数都是____的方程叫做二元一
次方程．
② 含 有 ____ 个 未 知 数 的 两 个 一 次 方 程 所 组 成 的 一 组 方 程 ， 叫 做
_____________________．
③适合一个二元一次方程的____________________，叫做这个二元一次方程的
________．
④二元一次方程组中各个方程的________，叫做这个二元一次方程组的解．
⑤解方程组的基本思路是________，主要方法有_________法和____________法．
2.二元一次方程与一次函数
①方程 2x+y=5 的解有________个，请写出其中的四组解____________，在直角
坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们______一次函数y=5－2x的图象
上（此空填“在”或“不在”）.
②在一次函数y=5－2x的图象上任取一点，它的坐标________方程2x+y=5(此空
填“适合”或“不一定适合”）.③以方程 2x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数________的图象相
同.
3.二元一次方程组应用
列二元一次方程组解题的步骤
(1)审：找出问题中的等量关系(两个)
(2)设：直接或间接设两个未知数
(3)列:列方程组;
(4)解：解方程组，并检验是否符合题意；
(5)答:写出答案例题1
已知关于x，y的方程组 的解为 ，则m，n的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将 代入方程组,再解方程组可得.
【详解】
将 代入方程组中得： ，解得： ．
故选A
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的解法.
例题2
已知关于x、y的方程组 与 有相同的解，则a和b的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由关于x、y的方程组 与 有相同的解可得： ，求得 ，然后代入原
方程组可求解．【详解】
解：由关于x、y的方程组 与 有相同的解可得：
，解得： ，把 代入 和 得： ；
故选C．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
例题3
己知x,y满足方程组 ，则x+y的值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．3
答案．A
【分析】
直接把两式相加即可得出结论．
【详解】
， +②得，4x+4y=20，解得x+y=5．
故选A．
【点睛】
本题考查的是解二元一次方程组，熟知利用加减法解二元一次方程组是解答此题的关键．
例题4甲、乙两名同学在解方程组 时，甲解题时看错了m，解得 ；乙解题时看
错了n，解得 ．请你以上两种结果，求出原方程组的正确解．
答案：n = 3 , m = 4，
【详解】
试题分析：
由题意可知 是方程 的解，由此即可求得n的值； 是方程 的解，由此看
求得m的值；这样即可得到正确的原方程组，再解方程组，即可求得原方程组的正确解；
试题解析：
由题意可知 是方程 的解，
∴ ，解得n=3；
是方程 的解，
∴ ，解得m=4；
∴原方程组为： ，解此方程组得 ，
∴m=4，n=3，原方程组的解为： .
点睛：在本题中“甲、乙两名同学在解方程组 时，甲解题时看错了m，解得 ”这句话的含义是：“ ”是关于 的二元一次方程“ ”的解.
例题5
如图，在平面直角坐标系中，直线l ： 与直线l ： 交于点A( ，b)，则关于
1 2
x、y的方程组 的解为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
试题解析：∵直线l ：y=x+3与直线l ：y=mx+n交于点A（-1，b），
1 2
∴当x=-1时，b=-1+3=2，
∴点A的坐标为（-1，2），
∴关于x、y的方程组 的解是 .
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解方程组的解与函数图象的交点
坐标的关系．
例题6
我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，
屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5
尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”设绳子长为 尺，木条长为尺，则根据题意所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意找见关键文字描述，转化成对应的二元一次方程，列二元一次方程组即可．
【详解】
解：∵用根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，且绳子长为 尺，木条长为 尺
∴
又∵绳子对折再量木条，木条剩余1尺
∴
∴列式为：
故答案为:
【点睛】
本题考查二元一次方程组的相关知识点，能根据文字部分进行数学等量关系的转化是解题关键．
例题7
某水果店11月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18
元/千克．12月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元/千克，乙种水果20元/千克．
（1）若该店12月份购进这两种水果的数量与11月份都相同，将多支付货款300元，求该店
11月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？
（2）若12月份将这两种水果进货总量减少到120千克，设购进甲种水果a千克，需要支付
的货款为w元，求w与a的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若甲种水果不超过90千克，则12月份该店需要支付这两种水果的
货款最少应是多少元？
【答案】（1）该店5月份购进甲种水果100千克，购进乙种水果50千克；（2）w＝﹣10a+2400；（3）
12月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元．【分析】
(1)设该店5月份进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据总价＝单价×购进数星，即可得出关于x、y
的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果(120-a)千克，根据总价＝单价×购进
数量，即可得出w关于a的函数关系式；
(3)根据甲种水果不超过90千克，可得出a的取值范固，再利用一次函数的性质即可解决最值问题.
【详解】
解：（1）设该店11月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，
根据题意得： ，
解得 ，
答：该店5月份购进甲种水果100千克，购进乙种水果50千克；
（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120﹣a）千克，
根据题意得：w＝10a+20（120﹣a）＝﹣10a+2400；
（3）根据题意得，a≤90，由（2）得，w＝﹣10a+2400，
∵﹣10＜0，w随a的增大而减小，
∴a＝90时，w有最小值w ＝﹣10×90+2400＝1500（元）．
最小
答：12月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用、以及一次函数的应用，解題的关键是:(1)找准等量关系，正确列出二元
一次方程组:(2)根据各数之间的关系，找出w关于a的函数关系式.
例题8
第25个世界读书日，为了感觉阅读的幸福，体味生命的真谛，分享读书的乐趣．某学校举办
了“让读书成为习惯，让书香飘满校园---阅读•梦飞翔”的主题活动，为此特为每个班级订购
了一批新的图书，七年级 订购《曾国藩家书》2套和《凡尔纳三部曲》1套，总费用为135
元，八年级订购《曾国藩家书》1套和《凡尔纳三部曲》1套，总费用为105元，
（1）求《曾国藩家书》和《凡尔纳三部曲》每套各多少元？（2）学校准备再购买《曾国藩家书》和《凡尔纳三部曲》共20套，总费用不超过960元，
购买《曾国藩家书》的数量不超过《凡尔纳三部曲》3倍，问学校有几种购买方案？哪种购
买方案的费用最低？最低是多少元？
【答案】（1）《曾国藩家书》每套30元，《凡尔纳三部曲》每套75元；（2）有四种购买方案，其中
《曾国藩家书》15套，《凡尔纳三部曲》5套总费用最小，825元
【分析】
（1）设《曾国藩家书》每套x元，《凡尔纳三部曲》每套y元，由题意可得： ，解方程组即
可；
（2）设《凡尔纳三部曲》为y套，由题意可得： ，解不等式组求出5≤y≤8，分别
求出当y=5， y=6， y=7， y=8时方案，设总费用为W元，由题意可得W=45y+600，45>0，W随y的增大
而增大，在四种方案中，当y=5时W有最小值，求出即可．
【详解】
解：（1）设《曾国藩家书》每套x元，《凡尔纳三部曲》每套y元，由题意可得：
，
解得 ，
∴《曾国藩家书》每套30元，《凡尔纳三部曲》每套75元；
（2）设《凡尔纳三部曲》为y套，由题意可得： ，
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
解得5≤y≤8，
当y=5时,20-y=15；当y=6时,20-y=14；当y=7时,20-y=13；当y=8时,20-y=12，
∴有四种购买方案，
分别是①《曾国藩家书》15套，《凡尔纳三部曲》5套；②《曾国藩家书》14套，《凡尔纳三部曲》6套；
③《曾国藩家书》13套，《凡尔纳三部曲》7套；
④《曾国藩家书》12套，《凡尔纳三部曲》8套；
设总费用为W元，由题意可得W=30(20-y)+75y=45y+600，
∵45>0，W随y的增大而增大，
∴在四种方案中，当y=5时W有最小值，最小值为45×5+600=825元．
【点睛】
本题考查列二元一次方程组解应用题，及利用不等式组进行方案设计，利用一次函数的性质求最值，解题
关键是构造不等式组进行方案设计．
1. 解下列方程
（1）
答案：
【分析】
方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】解： ，
②×2，得4x-2y=6③，
①+③，得7x=14，
解得：x=2，
把x=2带入②，得 4-y=3，
解得：y=1，
则原方程组得解是 ．
【点睛】
本题考查二元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解题关键.
（2）
答案：
【分析】
利用加减消元法求解．
整理得： ，
①×2+②得：11x=22，
解得：x=2，代入①中，
解得：y=3，
∴方程组的解为： ．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算以及二元一次方程组，解题的关键是掌握运算法则和加减消元法．（3）
答案：
【分析】
利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】
解：
②×3＋①，得
5x=25
解得：x=5
将x=5代入②，得
5－y=3
解得：y=2
∴该方程组的解为 ．
【点睛】
此题考查的是解二元一次方程组，掌握利用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．
（4）
答案：（1） ；
【分析】
（1）由题意利用加减消元法由 得出y的值，进而将y的值代入②可得x的值；
【详解】解：（1） ，
由 可得： ，
解得： ，
将 代入②可得： ，
解得： ，
所以方程组的解为： ；
【点睛】
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握运用加减消元法进行求解是解题的关键．
2．若-2amb4与5an+2b2m+n可以合并成一项，则mn的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．2
答案：C
【分析】
根据-2amb4与5an+2b2m+n可以合并成一项，可得同类项，根据同类项的定义，可得m、n的值，根据乘方，可
得答案．
【详解】
解：由-2amb4与5an+2b2m+n可以合并成一项，得
，
解得 ，
mn=20=1．
故选C．
【点睛】
本题考查合并同类项，零指数幂，利用同类项得出m、n的值是解题的关键．3．若 是关于x、y的方程2x+ay＝6的解，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：B
【分析】
把x＝2，y＝1代入方程得出关于a的方程，求出即可．
【详解】
解：∵ 是关于x、y的方程2x+ay＝6的解，
∴4+a＝6，
解得：a＝2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的解，熟知方程解的定义是解题的关键．
4.已知方程组 的解为 ，则直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点在平面直角
坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案D
【分析】
要求两直线的交点，就是联立解析式构成的方程组的解．
【详解】
解：∵方程组 的解为 ，
∴直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点坐标为（3，﹣1），
∵x＝3＞0，y＝﹣1＜0，
∴交点在第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查两直线交点坐标问题，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系，本题属于
基础题型．
5.方程组 的解适合方程x+y＝2，则k值为( )
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣
答案：C
【详解】
试题解析：解： ，①+②得，x+y=k+1，
由题意得，k+1=2，
解答，k=1，
故选C．
考点：二元一次方程组的解．
6.关于x、y的方程组 则y用含x的代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】
试题解析： ，
由①得：m=3-x，
把m=3-x代入②解得：y=7-2x．
故选B．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．7.二元一次方程组 的解和二元一次方程 的解相同，则 ___________
答案：2
【解析】
两式相加得:
2x=4a
x=2a
把x=2a代入 得y=-a
把 代入 得
5×2a+3×（-a）=14
解得a=2
故答案为2.
8.若关于x，y的二元一次方程组 的解中x和y互为相反数，则 ______.
答案：-2
【解析】
【分析】
因为x和y的值互为相反数，所以有x=-y，把它代入方程1中，将直接求出x和y，然后把所求结果代入方
程2中，解答k值．
【详解】
解： 因为x和y互为相反数，所以 ，
把 代入方程 中，
得 ，
所以 .
把 ， 代入方程 ，
得 ，解得 .
故答案为：-2
【点睛】
当给出的未知数较多时，应选择只含有2个未知数的2个方程组成方程组先求解．
9.已知关于x，y的方程组 的解满足方程 ，求m的值
答案：
【分析】
先解关于x，y二元一次方程组，求得用m表示的x，y的值后，再代入3x+2y=17，建立关于m的方程，解
出m的数值．
【详解】
解：
，
得 ，
解得 ，
，
得 ，
解得 ，
将 ， 代入 中，
得 ，
解得 .
【点睛】
本题实质是解三元一次方程组，先用m表示的x，y的值后，再求解关于m的方程，解方程组关键是消元．
10.已知关于x，y的二元一次方程组 和 有相同的解，求 的值.
答案：【解析】
【分析】
先求出方程组 的解，再代入方程组 即可求出a、b的值，进一步代入式中即可求解．
【详解】
解：解方程组
得
把 代入方程组
得
解得
则
【点睛】
考查了同解方程组，解答此题的关键是要弄清题意，方程组有相同的解及说明方程组（1）的解也适合
（2），不要盲目求解，造成解题过程复杂化．
11.已知关于x，y的方程组 与 的解相同，求 的值.
答案：
【解析】
【分析】
由题意可得出方程组 与 的解相同.先解 ，把解代入 ，
求出a、b的值，再代入式中计算出结果即可．【详解】
解：因为关于x，y的方程组 与 的解相同，
所以方程组 与 的解相同.
解方程组 得
把 代入
得
解得
所以 .
【点睛】
本题考查了方程组解的意义、方程组的解法和有理数的乘方运算，解决本题的关键是理解两个方程组解相
同的意义，求出a、b的值．
12.小明在解方程组 时，得到的正确解是 小英解这个方程组时，由于把c抄
错而得到的解是 求方程组中a，b，c的值.
答案： ， ， .
【解析】【分析】
把小明求得的解代入方程组的第二个方程可求出c的值，代入第一个方程可以得到a、b的方程，再把小英
的解代入第一个方程得到关于a、b的值，组成一个关于a、b的方程组，求解即可．
【详解】
解：依题意，可知 是原方程组的解，
代入cx-3y=-2可得：c+3=-2，解得c=-5，
代入ax+by=2可得a-b=2①，
由题意，可知 是方程 的解，
代入ax+by=2可得2a-6b=2，即a-3b=1②，
由①②得关于a，b的方程组
解得
综上可知， ， ， .
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的解，把两组x、y的值代入合适的方程得到关于a、b的值是解题的关键．
13.先阅读，再解方程组.
解方程组 时，可由①得 ③，然后再将③代入②，得 ，解得
，从而进一步得 这种方法被称为“整体代入法”.请用上述方法解方程组
答案：
【分析】
观察方程组的特点，把 看作一个整体，得到 ，将之代入②，进行消元，得到
，解得 ，进一步解得 ，从而得解.
【详解】
解： 由①，得 ，③
把③代入②，得 ，解得 .
把 代入③，得 ，解得 .
故原方程组的解为
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的特殊解法：整体代入法.解方程（组）要根据方程组的特点灵活运用选择合适
的解法.
14.有若干只鸡和兔在同一笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，问：笼子
中各有多少只鸡和兔？若设有x只鸡、y只兔，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【分析】
根据等量关系：鸡的只数+兔的只数=35，2×鸡的只数+4×兔的只数=94，可列出方程组．
【详解】
∵鸡有2只脚，兔有4只脚，∴可列方程组为： ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用－鸡兔同笼问题，解决本题的关键是根据鸡和兔的总只数，鸡和兔的总
足数得到相应的等量关系
15.某市举办中学生足球赛，按比赛规则，每场比赛都要分出胜负，胜1场得3分，负一场扣
1分，菁英中学队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x，负的场数为y，则可列方
程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据“胜1场得3分，负一场扣1分”以及“菁英中学队在8场比赛中得到12分”列出关于x，y的二元一
次方程组即可．
【详解】
解：若设该队胜的场数为x，负的场数为y，
依题意得： ．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、设出未知数、找出合适的等量关系是解答本题的关键．
16.中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在（孙子算经）中记载了这样一个问题，
大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车
可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】
根据若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，即可得出关于x、y的二元
一次方程组，继而求解．
【详解】
解：设共有x辆车，y人，
根据题意得出：
故选A．
【点睛】
本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
17.天虹商场现销售某品牌运动套装，上衣和裤子一套售价500元．若将上衣价格下调5%，将
裤子价格上调8%，则这样一套运动套装的售价提高0.2%．设上衣和裤子在调价前单价分别
为x元和y元，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据“上衣和裤子一套售价500元．若将上衣价格下调5%，将裤子价格上调8%，则这样一套运动套装的
售价提高0.2%”列方程组即可．
【详解】
解：根据题意可列方程组为
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等
量关系，列方程组．
18．如图，已知函数 和 图象交于点M，则根据图象可知，关于x、y的二元
一次方程组 的解为____________．
【答案】
【分析】
一次函数y=ax+b和y=cx+d交于点（-5，7）；因此点（-5，7）必为两函数解析式所组方程组的解．
【详解】
解：由图可知：直线y=ax+b和直线y=cx+d的交点坐标为（-5，7）；
因此关于x、y的二元一次方程组
的解为： ，
故答案为： ．
【点睛】
考查了一次函数与二元一次方程（组）方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，
而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的
交点坐标．19.某厨具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如下表：
进价（元/台） 售价（元/台）
电饭煲 200 250
电压锅 160 200
一季度，厨具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问厨具店在该买
卖中赚了多少钱？
【答案】1400元；
【分析】
通过审题，表格显示了两种商品的进价和售价；
题目给出两种电器的总数量和进货的总花费；设其中一个电器购进x台，则另一种电器购进（30-x）台，
由购进总费用可以求各种电器的数量，然后再分别乘以每种电器的利润，最后把各种电器的利润相加起来；
【详解】
解：每件电饭锅的利润：250-200=50（元）；每件电压锅的利润：200-160=40（元）
设购进的电饭煲x台，则购进的电压锅（30-x）台．
由题意得：200x+160（30-x）=5600
解得：x=20
则电压锅：30-20=10（台）
总利润=50×20+40×10=1400 （元）
答：厨具店在该买卖中赚了1400元．
20.进入12月以来某些海鱼的价格逐渐上涨，某农贸市场水产商户老王只好在进货数量上做
些调整．12月份前两周两种海鱼的价格情况如下表：
鲅鱼价格 带鱼价格
第一周 8元/千克 18元/千克
第二周 10元/千克 20元/千克
（1）老王第一周购进了一批鲅鱼和带鱼，总货款是1700元，若按第二周的价格购进与上周
相同数量的鲅鱼和带鱼，则需多花300元，求老王第一周购进鲅鱼和带鱼分别是多少千克；
（2）若第二周将这两种鱼的进货总量减少到120千克，设购进鲅鱼a千克，需要支付的货款
为w元，则w与a的函数关系式为_____；（3）在（2）的条件下，若购进鲅鱼不超过80千克，则第二周老王购进这两种鱼的总货款最
少应是多少元？
【答案】（1）老王第一周购进鲅鱼100千克，购进带鱼50千克；（2）w＝﹣10a+2400；（3）第二周老
王购进这两种鱼的总货款最少应是1600元．
【分析】
（1）设老王第一周购进鲅鱼x千克，购进带鱼y千克，根据“总货款是1700元，若按第二周的价格购进
与上周相同数量的鲅鱼和带鱼，则需多花300元”列方程组解答即可；
（2）根据总价＝单价×购进数量，即可得出w关于a的函数关系式；
（3）根据购进鲅鱼不超过80千克，可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】
解：（1）设老王第一周购进鲅鱼x千克，购进带鱼y千克，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：老王第一周购进鲅鱼100千克，购进带鱼50千克；
（2）由题意，得w＝10a+20（120﹣a）＝﹣10a+2400；
故答案为：w＝﹣10a+2400；
（3）根据题意，得a≤80，由（2）得，w＝﹣10a+2400，
∵﹣10＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝80时，w有最小值，w ＝﹣10×80+2400＝1600（元），
最小
答：第二周老王购进这两种鱼的总货款最少应是1600元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，熟练一次函数的性质是解题
的关键．
21.根据市场调查，某厂某种消毒液的大瓶装(500g) 和小瓶装(250g) 两种产品的销售数量(按
瓶计算)比为2：5．该厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应分装大、小瓶两种产品
各多少瓶？【答案】这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶
【分析】
设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶，根据题意列出方程组，解方程组求出x，y的值，即可求解．
【详解】
解：设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶
由题意得
解得
答：这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系，准确列方程组进行计算是解题关键．
22.政府为应对新冠疫情，促进经济发展，对商家打折销售进行了补贴，不打折时，6个A商
品，5个B商品，总费用为114元，3个A商品，7个B商品，总费用为111元，打折后，小
明购买了9个A商品和8个B商品共用了141.6元．
（1）求出商品A，B每个的标价；
（2）若商品A，B的折扣相同，商店打几折出售这两商品？小明在此次购物中得到了多少优
惠？
【答案】（1）商品A的标价为9元，商品B的标价为12元；（2）八折；35.4元
【分析】
（1）设每个A商品的标价为x元，每个B商品的标价为y元，根据“不打折时，6个A商品，5个B商品，
总费用114元．3个A商品，7个B商品，总费用111元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即
可得出结论；
（2）设商店打m折出售这两种商品，根据“打折后，小明购买了9个A商品和8个B商品共用了141.6
元”，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再利用获得的优惠＝不打折时购买这些商
品所需费用﹣打折后购买这些商品所需费用，即可求出结论．
【详解】
解：（1）设每个A商品的标价为x元，每个B商品的标价为y元，依题意得： ，
解得： ．
答：每个A商品的标价为9元，每个B商品的标价为12元．
（2）设商店打m折出售这两种商品，
依题意得：9×9 8×12 141.6，
解得：m＝8，
9×9+12×8﹣141.6＝35.4（元）．
答：商店打8折出售这两种商品，小明在此次购物中得到了35.4元的优惠．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确
列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
23.一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众
多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情
况如表：
甲种货 乙种货
总量
车 车
（吨）
（辆） （辆）
第一次 4 5 31
第二次 3 6 30
（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
（2）现有45吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？
【答案】（1）每辆甲种货车能装货4吨，每辆乙种货车能装货3吨；（2）共有3种租车方案，方案1：租
用3辆甲种货车，11辆乙种货车；方案2：租用6辆甲种货车，7辆乙种货车；方案3：租用9辆甲种货车，
3辆乙种货车．
【分析】
（1）设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，根据两次满载的运输情况表中的数据，即可
得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，根据一次运送45吨货物且每辆均全部装满货物，即可得出关
于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租车方案．
【详解】
解：（1）设每辆甲种货车能装货x吨，每辆乙种货车能装货y吨，依题意，得：
解得： ．
答：每辆甲种货车能装货4吨，每辆乙种货车能装货3吨．
（2）设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车，
依题意，得： ，
∴ ，
又∵m，n均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车；
方案2：租用6辆甲种货车，7辆乙种货车；
方案3：租用9辆甲种货车，3辆乙种货车．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确
列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
