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第 03 讲 平面直角坐标系与一次函数
1.平面直角坐标系
（1）为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x轴和 y轴分割而成的
四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。
（原点既属于x轴又属于y轴）
（2）点的坐标的概念
①对于平面内任意一点 P,过点 P分别 x轴、y轴向作垂线，垂足在上 x轴、y轴
对应的数 a，b 分别叫做点 P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点 P 的
坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
②坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上⇔ y=0，x为任意实数
点P(x,y)在y轴上⇔x=0，y为任意实数
③两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上⇔x与y( )
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x与y( )④和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的（ ）坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的（ ）坐标相同。
⑤关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称⇔（
）
坐标相等，（ ）坐标互为相反数；
点P与点p’关于y轴对称⇔（
）
坐标相等，（ ）坐标互为相反数；
⇔横、纵坐标均互为相反数;
点P与点p’关于原点对称
点 A （ -3 ， B（0，6） C （ 2 ， - D （ 2 ，
0） 7） 3）
关于x轴对称
点
关于 y轴对称
点
关于原点对称
点
2.一次函数的图像及性质
一般地，如果y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数．特
别地，当b＝0 时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k是常数，k≠0)，这时，y
叫做x的正比例函数．
（1）由定义知：y是x的一次函数⇔它的解析式是 y ＝ k x ＋ b，其中k、b是常数，
且k≠0.
(2)一次函数解析式y＝kx＋b(k≠0)的结构特征：
①k≠0；②x的次数是1；③常数项b可为任意实数．
它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.
（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
(3)正比例函数解析式y＝kx(k≠0)的结构特征：①k≠0；②x的次数是1；③没有常数项或者说常数项为0.
温馨提示：
正比例函数是一次函数，但一次函数 不一定是正比例函数，只有
当b=0时，它才是正比例函数。
3.一次函数图象与系数
相关知识：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，图象位置由k、b确定。
K的作用：
(1)图像方向
K的值 图像方向（从左往右） 增减性（y 随 x 的增大
的变化情况）
K>0
K<0
|K|
与图像与x轴之间的夹角关系
(2)
|K|
越大，图像与x轴之间的夹角越_______。
当两个函数的k相等时，则两个函数图像_______。
当两个函数的k相乘=-1时，则两个函数图像_______。
当k=______或______时，函数图像与x轴的夹角______度。
(3)b的作用：决定图像与________________________。
正比例函数中的b=_____，所以正比例函数图像必经过______点。4.K,b结合看图像
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与k、b符号的关系：
(1)k＞0，b＞0⇔图象经过第_________________象限．
(2)k＞0，b＜0⇔图象经过第_________________象限．
(3)k＜0，b＞0⇔图象经过第_________________象限．
(4)k＜0，b＜0⇔图象经过第_________________象限．
5.利用点的坐标求两点距离长度的公式是：
A（x ,y ） B(x ,y )
a b a b
AB=
6.线段中点坐标公式：
A（x ,y ） B(x ,y )，C是线段AB的中点，则C( , )
a b a b
例题1
点P（3，﹣4）在平面直角坐标系中所在的象限是（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例题2
如果点 在直角坐标系的x轴上，那么P点坐标为（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，-4）
例题3
（1）在平面直角坐标系中，若点 与点 之间的距离是5，则 的值是（ ）
A．4 B．6 C．4或6 D．4或－6
（2）在平面直角坐标系中，AB=5，且AB∥y轴，若点A的坐标为（-4，3），点B的坐标是（
）
A．（0， 0） B．(-4，8) C．(-4，-2) D．(-4，8)或（-4，-2）
例题4
（1）在直角坐标系中，点A，点B关于y轴对称，点A的坐标（2，－8），则点B的坐标是
（ ）
A．（2，8） B．（－2，－8） C．（－2，8） D．（8，2）
（2）在平面直角坐标系中，已知点A(﹣2，7)，且点B和点A关于x轴对称，则点B的坐标
为（ ）
A．(﹣2，﹣7) B．(2，7) C．(2，﹣7) D．(﹣7，﹣2)
例题5
若函数y＝（2m+6）x+m2﹣9是关于x的正比例函数，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0例题6
（1）一次函数 的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）对于一次函数 ，下列结论正确的是（ ）
A． 随 的增大而减小
B．该函数图象不经过第四象限
C．该函数图象与 轴交点坐标是
D．该函数图象与 轴所成的锐角是45°
（3）直线 和 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．例题7
（1）若一次函数 的图象过点 ， ，则方程 的解（ ）
A． B． C． D．
（2）若一次函数 的图像与 轴分别交于 两点，则 的面积为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
例题8
（1）已知点（－3，y ）、（4，y ）在函数 y＝2x＋1 图像上，则y 与y 的大小关系是（
1 2 1 2
）
A．y ＞y B．y ＝y C．y ＜y D．无法确定
1 2 1 2 1 2
（2）在平面直角坐标系中，若点 ， ， 都在直线 上，则 ， ，
的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
例题9
将一次函数 的图象进行上下平移，使得平移之后的图象经过点 ，则平移之后图
象的解析式为_______．
例题10西安市出租车白天的收费起步价为9元，即路程不超过3公里时收费9元，超过部分每公里
收费2元．如果乘客白天乘坐出租车的路程为x（x＞3）公里，乘车费为y元，那么y与x之
间的关系式为_________．
例题11
甲、乙两车从A城出发沿一条笔直公路匀速行驶至B城在整个行驶过程中，甲、乙两车离开
A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）A、B两城相距 ______千米，乙车比甲车早到______小时；
（2）求出点C坐标，并解释其实际意义；
（3）两车都在行驶的过程中，当甲、乙两车相距40千米时， ______．
例题12
郑州市政府为民生办实事，将污染多年的“贾鲁河”进行绿化改造，现需要购买大量的景观
树．某苗木种植公司给出以下收费方案：
方案一：购买一张会员卡，所有购买的树苗按七折优惠；
方案二：不购买会员卡，所有购买的树苗按九折优惠．
设该市购买的景观树树苗棵数为x棵，方案一所需费用y ＝k x+b ，方案二所需费用y ＝k x，
1 1 1 2 2
其函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题．（1）k ＝ ，b ＝ ；
1 1
（2）求每棵树苗的原价；
（3）求按照方案二购买所需费用的函数关系式y ＝k x，并说明k 的实际意义；
2 2 2
（4）若该市需要购买景观树600棵，采用哪种方案购买所需费用更少？请说明理由．
例题13
如图，在平面直角坐标系中将 向下平移3个单位长度得到直线 ，直线 与 轴交于点
；直线 ： 与 轴、 轴交于 、 两点．
（1）填空：点 的坐标为___________，点 的坐标为__________．（2）直线 的表达式为___________．
（3）在直线 上是否存在点 ，使 ？若存在，则求出点 的坐标；若不存在，请
说明理由．
1.在平面直角坐标系中，若点M（﹣2，3）与点N（﹣2，y）之间的距离是5，那么y的值是
（ ）
A．﹣2 B．8 C．2或8 D．﹣2或8
2.在平面直角坐标系中，点P 关于y轴的对称为点P ，则点P 的坐标是（ ）
1 1
A． B． C．(-3，-4) D．
3．若 和 两点关于 轴对称，则 的值是（ ）
A．2 B．-2 C．3 D．4
4.关于一次函数y＝﹣x﹣3，下列结论正确的是（ ）
A．图象过点(﹣1，1) B．图象在y轴上的截距为3
C．y随x的增大而增大 D．图象经过第二、三、四象限
5．在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而减小，则一次函数y＝kx+k在平面直角坐
标系中的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
6.已知两个一次函数y ＝ax+b与y ＝bx+a，它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是下列
1 2
选项中的（ ）
A． B．
C． D．
7.正比例函数y＝kx（k≠0）的图像经过第一、三象限，则一次函数y＝x﹣k的图像大致是
（ ）A． B．
C． D．
8.两个一次函数 和 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
9.已知点P（m，n）在第四象限，则直线y=nx+m图象大致是下列的（ ）
A． B． C． D．
10.已知点A(﹣3，y )和B(﹣2，y )都在直线y＝﹣ x﹣b上，则y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A．y ＞y B．y ＜y C．y ＝y D．大小不确定
1 2 1 2 1 2
11.已知点A（﹣2，y ），B（3，y ）在一次函数y＝kx+b的图象上，该一次函数的图象与直
1 2
线y＝﹣3x平行，则y __y ．（填“＜”、“＞”、“＝”）
1 212.已知一次函数 ，当 时，因变量y的最大值为7，则 _______．
13.若点 ， 都在正比例函数 的图象上，则 __________ （填“ ”
或“ ”）．
14.已知一次函数y＝kx＋b的图象不经过第三象限，且点（1，y ），（﹣1，y ）在该函数图
1 2
像上，则y ，y 的大小关系是y ____y （用“＞、＜、＝”连接）
1 2 1 2
15.已知 将l向下平移3个单位长度得到的直线解析式为_________；
16.对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论错误的是（ ）
A．函数的图象不经过第三象限
B．函数的图象与x轴的交点坐标是(2，0)
C．函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象
D．若两点A (1，y )，B (3，y )在该函数图象上，则y ＜y
1 2 1 2
17.现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深
度y（米）与注水时间x（小时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，
则水的深度为______m．18．从地面竖直向上抛射一个小球，在落地之前，物体向上的速度 （m/s）是运动时间
（s）的一次函数．经测量，该物体的初始速度（ 时物体的速度）为25m/s，经过2s物体
的速度为5m/s．
（1）请求出 与 之间的函数关系式（不要求写出 的取值范围）；
（2）经过多长时间，物体将达到最高点？（此时物体的速度为0）
19.狗头枣产于陕西省延安市一带，久负盛名，其性味甘平，有润心肺、止咳、补五脏、治虚
损的功效，已成为革命圣地延安最为著名的特产．某经销商购进了一批狗头枣，根据以往的
销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：当单价为38元/千克时，每天可以销售50
千克，单价每下调1元，销量就会增加2千克，若设单价下调了x元/千克，销售量为y千克．（1）y与x之间的关系式为 ；
（2）当售价为28元/千克，这天的销售量是多少？
（3）如果这批狗头枣的进价是20元/千克，某天的售价定为30元/千克，则这天的销售利润
是多少元？
20.如图，某校学习小组在做实验中发现：在弹簧限度内测得这个弹簧的长度y（cm）与悬挂
的物体的质量x（kg）间有下面的关系：
物体的质量x/kg 0 1 2 3 4 5 …
弹簧的长度y/cm 10 12 14 16 18 20 …
（1）由表格知；弹簧原长为______cm；所挂物体每增加1kg，弹簧伸长______cm；
（2）直接写出：在弹性限度内，弹簧长度y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）的
函数关系式： ______．
（3）当所挂物体质量为8kg时，求弹簧的长度．
21.如图，某校学习小组在做实验中发现：在弹簧限度内测得这个弹簧的长度y（cm）与悬挂
的物体的质量x（kg）间有下面的关系：
物体的质量x/kg 0 1 2 3 4 5 …
弹簧的长度y/cm 10 12 14 16 18 20 …
（1）由表格知；弹簧原长为______cm；所挂物体每增加1kg，弹簧伸长______cm；（2）直接写出：在弹性限度内，弹簧长度y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）的
函数关系式： ______．
（3）当所挂物体质量为8kg时，求弹簧的长度．
22.A、B两地相距300千米，甲、乙两车先后从A地出发到B地．如图，线段OC表示甲车离
A地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线DEF表示乙车离A地距离y（千
米）与x（小时）之间的函数关系．根据图象回答下列问题．
（1）求线段EF对应的函数解析式；
（2）乙车到达B地后，甲车距B地多少千米？
（3）求点P的坐标，并说出点P坐标的实际意义．
23．甲、乙两人分别从同一公路上的A，B两地同时出发骑车前往C地，两人行驶的路程y
（km）与甲行驶的时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）A，B两地相距 km；乙骑车的速度是 km/h；
（2）请分别求出甲、乙两人在0≤x≤6的时间段内y与x之间的函数关系式；
（3）求甲追上乙时用了多长时间．24.在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，
执行海巡任务，最终达到C岛．设该海巡船行驶x（h）后，与B港的距离为y（km），y与x
的函数关系如图所示．
（1）填空：A、C两港口间的距离为______km， ______h；
（2）求 与 的函数关系式；
（3）在 岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为15km，求该海巡船
能接受到该信号的时间有多长？
25.某通讯公司推出①，②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租
费，且两种收费方式的通讯时间x（分）与费用y（元）之间的函数关系如图所示．
（1）有月租的收费方式是 （填“①”或“②”），月租费是 元．
（2）分别写出①，②两种收费方式中y与自变量x之间的函数表达式．① ；② ．
（3）当通讯时间是多少分钟时，两种收费方式的费用一样？
（4）如果某用户一个月通讯时间是350分钟，请说明应该选择哪种收费方式更经济实惠．26.如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′；
（2）请直接写出点A′、B′、C′的坐标；
（3）在y轴上找一点P使得PA+PB最小，画出点P所在的位置．（保留作图痕迹）
27.已知一次函数的解析式为y＝2x+5，该图象过点A（﹣2，a），B（b，﹣1）．
（1）求a，b的值，并画出该一次函数的图象；
（2）在y轴上是否存在点C，使得AC+BC的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，
说明理由．
（3）点P为坐标轴上一点，若S ＝S 时，请直接写出点P的坐标．
△OBP △AOB
28．如图，已知A（1，2），B（3，1），C（4，3）.（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A B C ；
1 1 1
（2）请直接写出点A ，B ，C 的坐标；
1 1 1
（3）直线m平行于x轴，在直线m上求作一点P使得△ABP的周长最小，请在图中画出P点.
29.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），△AOB为等腰直角三角形，∠AOB
＝90°，则点B的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2 D．（﹣1.5，3）
30.如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y＝x上运动，已知直线y＝x与x轴的夹角
为45°，则当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（ ，﹣ ）C．（﹣ ，﹣ ） D．（﹣ ，﹣ ）31.如图，点 ， 的坐标分别为 ， ， 为坐标平面内一动点，且 ，点 为
线段 的中点，连接 ，当 取最大值时，点 的纵坐标为____．
32．如图，直线y＝kx+4与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且AB＝2 ．
（1）求点A的坐标；
（2）求k的值；
（3）C为OB的中点，过点C作直线AB的垂线，垂足为D，交x轴正半轴于点P，试求点P
的坐标及直线CP的函数表达式．33.已知直线 ：y＝mx﹣3m（m≠0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线 ：y＝﹣ x+4与
y轴交于点C．
（1）如图1，若 ＝6，求A、B两点坐标．
（2）在（1）的条件下，直线 上是否存在点P使得 ＝ ？若存在，求出点P坐标；
若不存在，说明理由．
（3）当m为何值时，△ABC为等腰三角形？请直接写出m的值．34.如图，直线l ：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l ：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B
1 2
（﹣1，5），直线l 与l 交于点C（2，m）．
1 2
（1）填空：k＝ ；b＝ ；m＝ ；
（2）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存
在，请说明理由．
（3）若动点P在射线DC上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，连接AP，设点P的运动
时间为t秒．是否存在t的值，使△ACP和△ADP的面积比为1：3？若存在，直接写出t的值；
若不存在，请说明理由．
