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第 02 讲 实数
1.实数 有理数和无理数统称为实数。
2.无理数的概念
无限不循环小数叫做无理数
如π=3.1415926…，
，－1.010010001…，都是无理数。
对无理数概念的理解主要抓住以下几点
①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；
② 凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如 、 等。
3.确定一个无理数的整数部分、小数部分的方法
确定一个无理数的整数部分，一般采用估算法估算到个位，确定其小数部分，
首先确定其整数部分，然后用这个数减去它的整数部分即是小数部分。4.在数轴上表示无理数
每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每个点都表示一
个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的因此，数轴正好可以被实数填满。
在数轴上找到确定的无理数的点一般是构造直角三角形，借助勾股定理求解。
5．平方根的概念
如果一个数 的平方等于 ，即 ，那么这个数 叫做 的平方根，
也叫二次方根。即若 ，则 就称为 的平方根。
6．平方根的性质
①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
②零有一个平方根，它是零本身；
③负数没有平方根。
7．平方根的表示方法
一个正数 的正的平方根，用符号“ ”表示， 叫做被开方数，
2 叫做根指数；正数 的负平方根用符号“ ”表示，根指数是 2 时，通常略
去不写，所以这两个平方根记作 。
8．算术平方根
正数 的正的平方根，也叫做 的算术平方根，记作 （ ），
0的平方根叫做0的算术平方根。因此，0的算术平方根为0，即 。9．开平方的小数点移动规律
如果被开方数的小数点，向右或向左每移动两位，它的平方根的小数点就相
应地向右或向左移动一位。
10．立方根
定义 如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根（也称作a的三次方
根）．
即：若 ，则x称为a的立方根，记作 ，其中a是被开方数，3是根指数．
11．表示方法
3
a的立方根表示为“√a”，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3 是根指
数．
注意：这里的“3”不能省略．
12.性质
任何数都有立方根，且只有一个立方根（这与平方根的性质不同）．
正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0．例题1
(1)4的算术平方根是（ ）
A．-2 B．2 C． D．
【答案】B
【详解】
试题分析：因 ，根据算术平方根的定义即可得4的算术平方根是2．故答案选B．
考点：算术平方根的定义．
(2) 的平方根是____．
【答案】±3
【详解】
∵ =9，
∴9的平方根是 .
故答案为 3.
例题2
下列判断正确的是（ ）A． B． 的算术平方根是3
C．27的立方根是±3 D．正数a的算术平方根是
【答案】D
【分析】
根据算术平方根、立方根的定义依次判断即可得．
【详解】
解：A． ，此选项错误；
B．9的算术平方根是3，此选项错误；
C．27的立方根是3，此选项错误；
D．正数a的算术平方根是 ，此选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查立方根、算术平方根，解题的关键是掌握立方根、算术平方根的定义．
例题3
（1）若 有意义，则a能取的最小整数为（ ）
A．0 B．﹣4 C．4 D．﹣8
【答案】B
【分析】
直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【详解】
解： 有意义，则 ，
解得： ，
故 能取的最小整数为： ．
故选： ．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
（2）函数 中，自变量x的取值范围是__________．
【答案】x≥-2且x≠1
【分析】
根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论．
【详解】
解：由题意可得
解得x≥-2且x≠1
故答案为：x≥-2且x≠1．
【点睛】
此题考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键．
例题4
（1）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据最简二次根式的定义即可求解．
【详解】
A. = ，故不是最简二次根式；
B. 是最简二次根式；
C. =2 ，故不是最简二次根式；
D. = ，故不是最简二次根式；故选B．
【点睛】
此题主要考查最简二次根式的判断，解题的关键是熟知最简二次根式的定义．
（2）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据二次根式的性质计算解即可．
【详解】
A． ＝9，此选项错误；
B． =-1，此选项正确；
C．（﹣ ）2＝2，此选项错误；
D． ＝5，此选项错误；
故选B．
【点睛】
本题主要考查二次根式的化简，是掌握二次根式的性质是解题的关键．
例题5
在给出的一组数 ， ， ， ， ， 中，是无理数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
【答案】B
【分析】
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】
0.3，3.14， 是有限小数，是有理数；
，是分数，是有理数；， 是无理数，共2个，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义．初中范围内学习的无理数有：含 的数等；开方开不尽的数；以及
0.1010010001…，等有这样规律的数．
例题6
（1）估算 的值是在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【答案】C
【详解】
∵25<27<36，
∴5< <6，
7 <8.
故选C.
（2）如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A． +1 B． -1 C．- +1 D．- -1
【答案】B
【详解】
试题解析：由勾股定理得：
∴数轴上点A所表示的数是
故选B.例题7
（1）计算 的结果是___．
【答案】
【分析】
根据二次根式的运算法则计算即可得出答案．
【详解】
解：
，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了二次根式的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．
（2）如果 +（2﹣b）2＝0，那么 ＝___．
【答案】 ##
【分析】
根据二次根式的性质和平方的非负性，可得 ，再代入 ，即可求解．
【详解】
解：∵ +（2﹣b）2＝0，
∴ ，
解得： ，∴ ．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简和二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
例题8
计算
【答案】 ；
【分析】
根据二次根式的混合运算法则计算；
【详解】
解：
=
=
= ；1.16的算术平方根是( )
A．4 B．-4 C． D．8
【答案】A
【分析】
根据算术平方根的定义即可求出结果．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了算术平方根的定义熟悉相关性质是解题的关键．
2.下列各式中计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
直接利用算术平方根、平方根以及立方根的定义分别化简求出答案．
【详解】
A、 ，此选项错误错误，不符合题意；
B、 ，此选项错误错误，不符合题意；
C、 ，此选项错误错误，不符合题意；
D、 ，此选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了算术平方根、平方根、立方根的概念，正确理解和灵活运用相关知识是解题关键．
3.下列实数中最大的是（ ）A．1 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据实数的大小比较法则先进行比较，即可得出选项．
【详解】
∵ ＜ ＜1＜3，
∴最大的数是3，
故选：C．
【点睛】
本题考查了实数的大小比较法则的应用，主要考查学生的理解能力和比较能力，题目是一道比较好的题目，
难度不大．
4.下列实数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0.1010010001
【答案】C
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的
统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
A、 =2是有理数，故A错误；
B、 是有理数，故B错误；
C、 是无理数，故C正确；
D、0.1010010001是有理数，故D错误；
故选C.
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： 等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
5.在π， ，- ， ，3.1416中，无理数的个数是( )个．
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的
统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：在所列实数中，无理数有π，- 这2个数，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像
0.1010010001…，等有这样规律的数．
6.对于任意实数x，下列代数式都有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据立方根、二次根式、负整数指数幂、分式有意义，对各选项举例判断即可．
【详解】
解：A、 ，x为任意实数，故该选项符合题意；
B、 ，x≥0，故该选项不符合题意；
C、 ，x≠0，故该选项不符合题意；
D、 ，x－2≠0，x≠2，故该选项不符合题意．
故选：A
【点睛】本题考查了二次根式的意义和立方根、负整数指数幂、分式的意义，熟练有意义的条件是解题的关键．
7.下列各数中，不是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据无理数，有理数的定义即可判断；
【详解】
解：A. 是无理数，故本选项不合题意；
B. 是无理数，故本选项不合题意；
C. 是无理数，故本选项不合题意；
D. 是有理数，故本选项符合题意；
故选择：D
【点睛】
此题主要考查了有理数，无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
如π， ，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
8．下列实数﹣ ， ，|﹣3|， ， ， ，0.4040404…（每相邻两个4之间一个0）中，
无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据算术平方根、立方根先化简，然后再根据无理数的概念“无限不循环小数”可直接进行排除选项．
【详解】
解：∵ ，
∴无理数的有： ， ，共两个；
故选B．
【点睛】本题主要考查无理数、立方根及算术平方根，熟练掌握无理数、立方根及算术平方根是解题的关键．
9．下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据算术平方根及二次根式的除法运算可直接进行排除选项．
【详解】
解：A、 ，原计算中不符书写规范，故不符合题意；
B、 ，原计算错误，故不符合题意；
C、 ，原计算错误，故不符合题意；
D、 ，正确，故符合题意；
故选D．
【点睛】
本题主要考查算术平方根及二次根式的除法运算，熟练掌握算术平方根及二次根式的除法运算是解题的关
键．
10.下列计算正确的是（ ）
A． B． ＝±3 C． D．
【答案】D
【分析】
根据算术平方根，二次根式的减法法则分别判断．
【详解】
解：A、 ，故错误；B、 =3，故错误；
C、 和 不能合并，故错误；
D、 ，故正确；
故选D．
【点睛】
此题主要考查了算术平方根，二次根式的减法，需要熟练掌握运算法则，属于基础题．
11．如图，已知直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，以点 为圆心， 为半径画
弧，交 轴正半轴于点 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据坐标轴上点的坐标特征得到 ， ，再利用勾股定理计算出 ，然后根据圆的半
径相等得到 ，进而解答即可．
【详解】
解：当 时， ，解得 ，则 ；
当 时， ，则 ，
所以 ，
因为以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴于点C，所以 ，
所以 ，
所以点C的坐标为：
故答案为B.
【点睛】
本题考查的知识点是一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是根据一次函数 ，（ ，且k，b
为常数）的图象是一条直线．
12．下列结论正确的是（ ）
A．无限小数是无理数 B．无限不循环小数是无理数
C．有理数就是有限小数 D．无理数就是开方开不尽的数
【答案】B
【分析】
根据无理数的定义判断分析即可；
【详解】
无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，故A错误；
无限不循环小数是无理数，故B正确；
无限循环小数也是有理数，故C错误；
开方开不尽的数是无理数，但不能说无理数就是开方开不尽的数，故D错误；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，准确分析判断是解题的关键．
13．下列四个数中，与 最接近的数是（ ）
A．2 B．3 C．2.5 D．2.6
【答案】D
【分析】
因为 ，所以对每个选项分别平方，确定即可；
【详解】，
；
；
；
；
∵6.76与7最接近，
∴2.6与 最接近，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了估算无理数的大小，准确分析判断是解题的关键．
14，下列说法正确的是（ ）
A．负数没有立方根
B． ＝±4
C．无理数包括正无理数、负无理数和零
D．实数和数轴上的点是一一对应的
【答案】D
【分析】
根据算术平方根的定义、立方根的定义、无理数的定义及实数与数轴的关系判断即可．
【详解】
解：A、负数有立方根，故选项A不符合题意；
B、 ，故选项B不符合题意；
C、无理数不包括零，故选项C不符合题意；
D、数轴上的点与实数一一对应，说法正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义、立方根的定义、无理数的定义及实数与数轴的关系，熟练掌握定义是解题
的关键,15．若二次根式 有意义，则x的取值范围是( )
A．x＞ B．x≥ C．x≤ D．x≤5
【答案】B
【分析】
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【详解】
解：由题意得，5x﹣1≥0，
解得，x≥ ，
故选B．
【点睛】
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
16.如图， ，则数轴上点 所表示的数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据勾股定理列式求出AB的长，即为AC的长，再根据数轴上的点的表示解答．
【详解】
由勾股定理得，AB＝ ，
∴AC＝ ，
∵点A表示的数是−1，
∴点C表示的数是 −1．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，是基础题，熟记定理并求出AB的长是解题的关键
17.如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，2），以点A为圆心，线段AB长为半
径画弧，交x轴正半轴于点C，点C的横坐标是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】
求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可
【详解】
解：∵A（-1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，
在Rt△AOB中，
由勾股定理得：AB= ，
∴AC=AB= ，
∴OC= −1．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，解此题的关键是熟练运用勾股定理求出OC的长．
18.下列运算中错误的是（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤
A．②③ B．①④ C．②④ D．③⑤【答案】C
【分析】
根据平方根、立方根及算术平方根的定义，即可求解．
【详解】
解：① ，正确；
② ，错误；
③ ，正确；
④ ，错误；
⑤ ，正确；
本题错误的有：②④，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了立方根、算术平方根、平方根的定义，解题注意平方根和算术平方根的区别：一个非负数
的平方根有两个，算术平方根有一个，是非负数．
19.若 ，则化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据二次根式与绝对值的非负性求出a,b的值，代入 即可求解.
【详解】
∵
∴b-3=0,a-4=0
∴a=4,b=3，∴ =
故选A.
【点睛】
此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知非负性的应用.
20.若 =2.938， =6.329，则 =______．
【答案】293.8
【分析】
将 变形为 = ×100, 再代入计算即可求解．
【详解】
解：
=
= ×100
=293.8.
故答案为293.8．
【点睛】
考查了立方根，关键是将 变形为 .
21．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b＝ ，如3※2＝
，那么6※3＝_____．
【答案】1.
【详解】试题解析：6※3= ．
故答案为：1
22．若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是_________
【答案】x≥2
【详解】
由题意得3x≥6，x≥2．
23.计算：
（1） （2）
【答案】（1） （2）
【分析】
(1)把 化成 ，再利用幂的运算法则以及平方差公式计算即可；
(2)根据实数的运算法则计算即可．
【详解】
(1)
；
(2)．
【点睛】
本题考查了实数的运算，平方差公式的应用．关键是明确实数混合运算的顺序，负整数指数、二次根式、
幂的运算法则．
24.观察：∵ ＜ ＜ ，即2＜ ＜3，∴ 的整数部分为2，小数部分为 ﹣2，请你
观察上述式子规律后解决下面问题．
（1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分，例如：[ ]＝0，[π]＝3，填空：[ +2]＝
；[5﹣ ]＝ ．
（2）如果5+ 的小数部分为a，5﹣ 的小数部分为b，求a2﹣b2的值．
【答案】（1）5，1；（2）a2﹣b2的值为2 ﹣7
【分析】
（1）根据题目中所给规律即可得结果；
（2）把无理数的整数部分和小数部分分别表示出来，再代入计算即可．
【详解】
解：（1）∵ ， ，
∴ 的整数部分为3， 的整数部分为3，
∴ ； ．
故答案为5、1．
（2）根据题意，得
，
，
．，
， ．
．
∴ 的值为 ．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是根据无理数的整数部分确定小数部分．
25.阅读下面的文字，解答问题．
例如：∵ ，即 ，∴ 的整数部分为2，小数部分为 2，请解答：
（1） 的整数部分是 ；
（2）已知：8 的小数部分是m，8 小数部分是n，且（x﹣1）2＝m＋n，请求出满足
条件的x的值．
【答案】（1）3；（2）0或2．
【分析】
（1）首先估算出 的大小，然后确定整数部分即可；
（2）根据 的整数部分即可求出8 和8 的整数部分，进而表示出小数部分m和n，最后代入
（x﹣1）2＝m＋n求x的值即可．
【详解】
解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分是3；
（2）∵ 的整数部分是3，
∴8 的的整数部分是4，∴8 的小数部分 ，
同理可得8 的整数部分是11，
∴8 的小数部分 ，
∴（x﹣1）2＝m＋n，
解得： ．
【点睛】
此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是正确得到m和n的值．
26．在解决问题：“已知a＝ ，求3a2﹣6a﹣1的值”．
∵a＝ ＝ ＝ +1，
∴a﹣1＝
∴（a﹣1）2＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴3a2﹣6a＝3，
∴3a2﹣6a﹣1＝2．
请你根据小明的解答过程，解决下列问题：
（1）化简： ；
（2）若a＝ ，求2a2﹣12a﹣1的值．
【答案】（1）﹣4﹣2 ；（2）-3．【分析】
（1）根据平方差公式计算；
（2）利用分母有理化把a化简，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
【详解】
解：（1） ＝ ＝﹣4﹣2 ；
（2）a＝ ＝ ＝3﹣2 ，
则2a2﹣12a﹣1
＝2（a2﹣6a+9﹣9）﹣1
＝2（a﹣3）2﹣19
＝2（3﹣2 ﹣3）2﹣19
＝﹣3．
【点睛】
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握分母有理化、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
27．已知：x+3的平方根是±3，3x+y﹣1的立方根是3．
（1）求x、y的值，
（2）求x+y的算术平方根．
【答案】（1）x=6，y=10；（2）4
【分析】
（1）根据立方根与平方根的意义求出x与y的值；
（2）求出x+y，再根据算术平方根的定义求出结果．
【详解】
解：（1）∵x+3的平方根是±3，
∴x+3=9，
∴x=6，
∵3x+y-1的立方根是3，
∴3x+y-1=27，
解得：y=10；（2）x+y=6+10=16，
∴x+y的算术平方根为4．
【点睛】
本题考查了立方根、算术平方根与平方根，正确理解相应的定义是解题的关键．
28．按要求解决下列问题：
（1）化简下列各式：
= ， = ， = ， = ，…
（2）通过观察，归纳写出能反映这个规律的一般结论，并证明．
【答案】（1）2， 4 ， 6 ， 10 ；（2） ，证明见解析．
【详解】
试题分析：（1）各式的分子和分母都乘以分母中含根号的式子，再化简；（2）根据（1）的答案总结规
律.
解：（1） =2， = =4 ， = =6 ， = =10 ；
（2）由（1）中各式化简情况可得 ．
证明如下： =2n ．
29.小明在解决问题：已知a＝ ，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
∵a＝ ．
∴a﹣2＝﹣ ．
∴(a﹣2)2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2(a2﹣4a)+1＝2×(﹣1)+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： ＝ ；
（2）计算： +…+ ；
（3）若a＝ ，求2a2﹣8a+1的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）3
【分析】
（1）根据小明的解答过程即可进行计算；
（2）结合（1）进行分母有理化，再合并即可得结果；
（3）根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．
【详解】
解：（1） ，
故答案为： ；
（2）原式
；
（3） ，
，
．答： 的值为3．
【点睛】
本题考查了分母有理化的应用，能求出 的值和正确变形是解此题的关键．
