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第 03 课 正方形的性质与判定
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角都相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【答案】D
【解析】
【分析】
对于四边形的性质我们从：①边；②角；③对角线三个方面去理解，因此，只需要根据正方形、矩形的这
三个方面性质的不同，即可解答．
解：根据正方形和矩形的性质对比分析：
①边：有对边与邻边：正方形与矩形对边性质相同，没有区别；邻边性质不同，正方形邻边相等，矩形邻
边不相等；
②角：正方形与矩形内角性质相同，对角相等、邻角互补、四个角都是直角；
③对角线：正方形与矩形对角线都相等且互相平分，但正方形对角线相互垂直，而矩形对角线不具有这个
特征；
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形和矩形的性质，解决本题的关键是熟记正方形和矩形的性质．
2．如图，已知正方形ABCD的边长为5 ，E为BC边上的一点，∠EBC=30°，则BE的长为 ( )
A． cm B．2 cm C．5 cm D．10 cm
【答案】D【解析】
试题解析：设
根据勾股定理，
故选D.
3．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个
条件可以是（ ）
A．BC＝CD B．AB＝CD C．∠D＝90° D．AD＝BC
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正方形的判定方法即可判定；
解：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴当BC＝CD时，四边形ABCD是正方形，
其余条件均不能推导得出四边形ABCD是正方形，
故选：A．
【点睛】
本题考查正方形的判定，解题的关键是记住正方形的判定方法．
4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边
作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
∵四边形ABCD是正方形，M为边AD的中点，∴DM= DC=1．
∴ ．∴ME=MC=
∴ED=EM－DM= ．
∵四边形EDGF是正方形，∴DG=DE= ．
故选D．
5．如图，菱形ABCD中， ，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】C
【解析】
【分析】
根据菱形得出AB=BC，得出等边三角形ABC，求出AC长，根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4，求
出即可：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC．
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC=AB=4．
∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16．
故选C．6．如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点
E，则DE的长是 ( )
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】C
【解析】
【分析】
连接AE,根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt AFE≌Rt ADE,在直角 ECG中，根据勾股定理求出
DE的长. △ △ △
连接AE，
∵AB=AD=AF,∠D=∠AFE=90°，
由折叠的性质得：Rt ABG≌Rt AFG，
在 AFE和 ADE中△， △
∵A△E=AE，△AD=AF，∠D=∠AFE，
∴Rt AFE≌Rt ADE，
∴EF△=DE， △
设DE=FE=x，则CG=3，EC=6−x.
在直角 ECG中，根据勾股定理，得：
(6−x)2+△9=(x+3)2，
解得x=2.
则DE=2.
【点睛】
熟练掌握翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定与性质是本题的解题关键.7．如图，边长分别为 和 的两个正方形 和 并排放在一起，连接 并延长交 于点 ，交
于点 ，则
A． B． C．2 D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=∠CGE=45°，再求出∠GDT=45°，从而得到△DGT是等腰直
角三角形，根据正方形的边长求出DG，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的 倍求解即可．
∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，
∴∠ADB=∠CGE=45°，
∴∠GDT=180°-90°-45°=45°，
∴∠DTG=180°-∠GDT-∠CGE=180°-45°-45°=90°，
∴△DGT是等腰直角三角形，
∵两正方形的边长分别为4，8，
∴DG=8-4=4，
∵ ，GT=DT，
∴ ．
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等腰直角三角形的判定与性质．
8．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S、S、S、S．则S-S +S +S 等于（ ）
1 2 3 4 1 2 3 4
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解析】
【分析】
本题先根据正方形的性质和等量代换得到判定全等三角形的条件, 再根据全等三角形的判定定理和面积相
等的性质得到S 、S 、 、 与△ABC的关系, 即可表示出图中阴影部分的面积和.本题的着重点是等量
代换和相互转化的思想.
解：如图所示, 过点F作FG⊥AM交于点G, 连接PF.
根据正方形的性质可得: AB=BE, BC=BD,
∠ABC+∠CBE=∠CBE+∠EBD=90 ,即∠ABC=∠EBD.
在△ABC和△EBD中,
AB=EB，∠ABC=∠EBD, BC=BD
所以△ABC≌△EBD(SAS),故S = ,同理可证,△KME≌△TPF,
△FGK≌△ACT,因为∠QAG=∠AGF=∠AQF=90 , 所以四边形AQFG是矩形, 则QF//AG, 又因为QP//AC,
所以点Q、P, F三点共线, 故S +S = , S = . 因为∠QAF+∠CAT=90 ,∠CAT+∠CBA=90 ,所以
∠QAF=∠CBA, 在△AQF和△ACB中, 因为
∠AQF=∠ACB,AQ=AC,∠QAF=∠CAB
所以△AQF≌△ACB(ASA), 同理可证△AQF ≌△BCA,故S﹣S+S +S = = 3 4 =6,
1 2 3 4
故本题正确答案为B.
【点睛】
本题主要考查正方形和全等三角形的判定与性质.
二、填空题
9．若正方形的边长为a，则它的对角线长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，可得正方形的相邻两边与对角线正好构成一个等腰直角三角形，对角线是斜边，结合勾股定理
计算可得答案．
解：∵正方形的相邻两边与对角线正好构成一个等腰直角三角形，对角线是斜边；
∵正方形的边长为a，
∴对角线长是 ．
故答案为：
【点睛】
本题考查了正方形的性质和勾股定理，熟知正方形的两邻边与对角线构成一个等腰直角三角形是解题的关
键．
10．如图所示，已知四边形ABCD是菱形，则只需补充条件：________(用字母表示)就可以判定四边形
ABCD是正方形．(填一个即可)
【答案】答案不唯一，如∠ABC＝90°或AC＝BD等
【解析】
【分析】
根据正方形的判定方法解答即可.
∵四边形ABCD是菱形，
∴当添一个角是90º时，菱形ABCD为正方形，∴这个条件可以是：∠A=90°．
故答案为∠A=90°（或AC=BD）．
【点睛】
此题主要考查了正方形的判定，正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻
边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四
边形，再用1或2进行判定．
11．在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是___________．
【答案】22.5°##22.5度
【解析】
【分析】
由AB=AE，在正方形中可知∠BAC=45°，进而求出∠ABE，又知∠ABE+∠EBC=90°，故能求出∠EBC．
解：∵正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，
∴∠BAC=45°，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=67.5°，
∵∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠EBC=22.5°，
故答案为：22.5°．
【点睛】
本题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是正确求出∠ABE的度
数．
12．在 中，已知 、 为对角线，现有以下四个条件：① ；② ；③
；④ ．从中选取两个条件，可以判定 为正方形的是_________．（写出一组即
可）
【答案】①③或①④或②③或②④
【解析】
【分析】
根据矩形、菱形、正方形的判定作出选择即可．①③：∵在 中， ，
∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
又∵ ，
∴四边形ABCD是正方形（对角线互相垂直矩形是正方形）；
①④：∵在 中， ，
∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
又∵ ，
∴四边形ABCD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）；
②③：∵在 中， ，
∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），
又∵ ，
∴四边形ABCD是正方形（对角线垂直的矩形是正方形）；
②④：∵在 中， ，
∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），
又∵ ，
∴四边形ABCD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）；
故答案为：①③或①④或②③或②④．
【点睛】
本题主要考查特殊平行四边形的判定，熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定是解答本题的关键．
13．如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作 ，垂足为点F．若 ，
，则正方形ABCD的面积为___．
【答案】196
【解析】
【分析】
连接AE可得AE=CE，勾股定理求出EF，DF=EF，求出AD可得答案．
解：连接AE，如图，∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=EC=10，
∵EF⊥AD，AF=6，
∴EF= ，
∴DF=EF=8，AD=8+6=14，
∴正方形ABCD的面积为 196，
故答案为：196．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题
的关键．
14．作正方形 中对角线 的平行线 ，点E在直线 上，且四边形 是菱形，贴
_______．
【答案】 或
【解析】
【分析】
根据题意，分类画出图形并利用等腰三角形的性质和30º直角三角形的判定求解即可；
解：1）如图：过点C作CH⊥BF，
∵AC//BF，
∴
∵正方形 ，对角线为AC，
∴ ,设 ，则 ， ，
∵四边形 是菱形，
∴
∴ ,
∴
2)如图，过点C作CH⊥BF，
∵AC//BF，
∴
∵正方形 ，对角线为AC，
∴ ,
设 ，则 ， ，
∵四边形 是菱形，
∴
∴ ,
∴ ,
∴ ,
故答案为： 或【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，30º直角三角形的判定和等腰直角三角形的性质，根据题意
分类作出图形及利用等腰直角三角形性质及30º直角三角形的判定求解是解题的关键．
三、解答题
15．如图，若四边形 的对角线 与 相交于点O，且 ，则四边形
是正方形吗？
【答案】四边形 是正方形．
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定推出四边形是平行四边形，求出AC＝BD，得出四边形是矩形，根据勾股定理的逆
定理求出AC⊥BD，根据正方形的判定推出即可．
解：四边形ABCD是正方形，
理由是：∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∵ ，
∴OA2＋OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
即AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定的应用，主要考查学生的
推理能力，注意：对角线互相垂直的矩形是正方形，难度适中．16．如图，在正方形ABCD中， ， ， ，图中有几个直角三角形？你是如何判断的？与
同伴进行交流．
【答案】四个三角形都是直角三角形，见解析
【解析】
【分析】
根据正方形的性质和勾股定理的逆定理可判断结果．
图中 ， ， 分别有一个角为正方形的内角，是直角；
是正方形，
,
，
, ，
也是直角三角形
故图中共有 个直角三角形．
【点睛】
本题考查了正方形的性质和勾股定理及其逆定理，解题的关键是根据题干条件求出相应线段的长度的平方．
17．如图，M、N分别是正方形 的边 的中点， 与 交于点P，连结 ，求证：
．【答案】见解析
【解析】
【分析】
延长 交于Q，根据正方形性质可得AD=DC=CB，∠D=∠NCB=90°，由M、N分别是 的中
点，可得DM=AM= ，CN= ，可证DM=CN，可证 DMC≌ CNB（SAS），∠BPC=90°，再证
△ △
CDM≌ QAM（AAS），可得CD=QA，在Rt QBP中，AP为斜边中线，AP= =AB．
△ △ △
证明：延长 交于Q，
在正方形 中，AD=DC=CB，∠D=∠NCB=90°，
∵M、N分别是正方形 的边 的中点，
∴DM=AM= ，CN=
∴DM=CN，
在 DMC和 CNB中，
△ △
，
∴ DMC≌ CNB（SAS），
∴△∠DCM=∠△CBN，
∵∠DCM+∠PCB=90°
∴∠CBP+∠PCB=∠DCM+∠PCB=90°，
∴∠BPC=180°-∠PCB-∠CBP=180°-（∠PCB+∠CBP）=90°
在△CDM和△QAM中，
∴△CDM≌△QAM（AAS），
∴CD=QA，
在Rt△QBP中，AP为斜边中线，
∴AP= =AB．
【点睛】
本题考查正方形性质，中点定义，三角形全等判定与性质，直角三角形斜边中线性质，掌握正方形性质，
中点定义，三角形全等判定与性质，直角三角形斜边中线性质是解题关键．
18．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
【答案】（1）见解析（2）成立
【解析】
【分析】
（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB和△CFD全等，从而证出CE=CF．
（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得
∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG和△FCG全等，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．
解：（1）在正方形ABCD中，BC=CD，∠B=∠CDF=90°，
∵ ，
∴△CBE △CDF（SAS）．
∴CE=CF．
（2）GE=BE+GD成立．
理由：∵由（1）得：△CBE △CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°，CE＝CF．
∵∠GCE＝∠GCF， GC＝GC，
∴△ECG △FCG（SAS）．
∴GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．
【点睛】
本题考查了以下内容：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；解决本题的关键是理解题意，灵活
运用全等三角形的性质与判定．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．下列命题中正确的是( )
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
B．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
C．一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；
D．对角线相等的四边形是矩形
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，本选项说法是假命题；
B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，本选项说法是真命题；
C、一个角为90°且一组邻边相等的平行四边形是正方形，本选项说法是假命题；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，本选项说法是假命题；
故选：B．
【点睛】
本题考查了特殊四边形的判定，命题，熟练掌握特殊四边形的判定是解题的关键．
2．如图，在正方形 中，点 、 分别在 ， 上，且 ，连接 ， ，则下列结论中
不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
正方形的四边相等，四个角都是直角，且BF=CE，很容易证明△ABF≌△BCE，从而判断结论的正误．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴△ABF≌△BCE，
∴ ，
故D正确；
∵△ABF≌△BCE，
∴ ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ ，
∴ ，故C正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故B正确；
综上，B，C，D一定正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
3．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝AE，Rt△FEG的两直角边EF，EG分别交BC，
DC于点M，N．若正方形ABCD边长为6，则重叠部分四边形EMCN的面积为（ ）
A．18 B．12 C．9 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
过点E作EG⊥DC于点G，EH⊥BC于点H，证明 GEN≌ HEM，得到 计
△ △
算即可．
过点E作EG⊥DC于点G，EH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是正方形，∴AC平分∠BCD，AD⊥CD，AB⊥BC，∠BCD=90°，
∴EG=EH，四边形EHCG是矩形，
∴四边形EHCG是正方形，
∴∠HEG=90°，
∵∠MEN=90°，
∴∠HEM=∠GEN=90°-∠MEG，
∴ GEN≌ HEM，
∵△AE=EC，△
∴ =9，
故选C．
【点睛】
本题考查了正方形的判定和性质，三角形全等，角平分线的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
4．如图，将正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，使边AB，AC在BF处重合，折痕为BE，BG．若正方形
ABCD的边长为6，E是AD边的中点，则CG的长是（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
由点E为AD的中点可得AE＝DE＝3，设CG＝x，DG＝CD−CG＝6−x，由折叠性质可得EF＝AE＝3，FG
＝CG＝x，利用勾股定理即可求解．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD＝6，∠D＝90°，∵点E是AD边的中点，
∴AE＝DE＝3，
∵正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，
∴EF＝AE＝3，FG＝CG，
设CG＝x，则：
DG＝CD−CG＝6−x，FG＝CG＝x，
∴EG＝EF＋FG＝3＋x，
在Rt△DEG中，DE2＋DG2＝EG2，
即32＋（6−x）2＝（3＋x）2，
解得：x＝2，
∴CG＝2，
故选：C．
【点睛】
本题考查折叠的性质，正方形的性质等知识点，解题的关键是将Rt△DEG各边表示出来．
5．如图，四边形 是边长为6的正方形，D点坐标为（4，－1）， ，直线 过A、C两点，
P是 上一动点，当 的值最大时，P点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正方形的性质，点E关于直线l的对称点E′的坐标为（1，1），连接DE′，与直线l的交点即为P点，
此时 的值最大，根据待定系数法求得直线PD解析式，然后与直线l的解析式联立，解方程组即可求得P的坐标．
解：∵四边形 是边长为6的正方形，
∴AC垂直平分OB，直线l为y=-x+6，
∴点E关于直线l的对称点 在OB上，
∵ ，B（6,6），
∴ ，
∴ （1,1），
连接 ，与直线l的交点即为P点，此时 的值最大，如图，
设直线PD解析式为：y=kx+b，
将D（4，-1）， （1,1）代入解析式得：
，
解得 ，
∴直线PD解析式为： ，
解 ，得 ，
∴当 的值最大时，P点的坐标为（13，-7），故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用、正方形的性质、解题的关键是学会利用对称，根据两点之间线段最短，解决
最小值问题，根据三角形的两边之差小于第三边，确定最大值问题，属于中考常考题型．
6．如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将 DCE沿DE对折至 DFE，延长EF
交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②△BG＝2AG；③S D△GF＝48；
△
④S BEF＝ ．其中所有正确结论的个数是（ ）
△
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
①根据正方形的性质和折叠的性质可得AD＝DF，∠A＝∠GFD＝90°，于是根据“HL”判定
Rt ADG≌Rt FDG；②再由GF+GB＝GA+GB＝12，EB＝EF， BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方
程△求出AG＝△4，BG＝8，即可判断；③根据①即可求出三角形D△GF的面积；④结合①可得AG＝GF，根据
等高的两个三角形的面积的比等于底与底的比即可求出三角形BEF的面积．
解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠C＝∠A＝90°，
由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFG＝180°－∠DFE＝90°，
∴∠DFG＝∠A＝90°，
在Rt ADG和Rt FDG中，
△ △
，
∴Rt ADG≌Rt FDG（HL），
故①△正确； △②∵正方形边长是12，
∴BE＝EC＝EF＝6，
设AG＝FG＝x，则EG＝x+6，BG＝12﹣x，
由勾股定理得：EG2＝BE2+BG2，
即：（x+6）2＝62+（12﹣x）2，
解得：x＝4，
∴AG＝GF＝4，BG＝8，BG＝2AG，
故②正确；
③∵Rt△ADG≌Rt△FDG，
∴S DGF＝S ADG＝ ×AG•AD＝ ×4×12＝24，
△ △
故③错误；
④∵S GBE＝ BE•BG＝ ×6×8＝24，
△
∵GF＝AG＝4，EF＝BE＝6，
∴ ，
∴ ，
故④正确．
综上可知正确的结论的是3个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质等知识，灵活运用性质解决
问题是本题的关键．
7．如图，正方形ABCD，CEGF，且B．C．E三点共线，M为AG的中点．若AB＝3，CE＝1，则CM的
长为（ ）A．2.5 B． C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
连接AC、GC，根据正方形的性质，得出 ， ，
，再根据勾股定理求出 ，最后根据直角三角形斜边上中
线等于斜边的一半，求出结果即可．
解：连接AC、GC，如图所示：
∵四边形ABCD和CEGF都是正方形，
∴ ，AB=BC=3，CE=EG=1，
AC平分∠BCD，CG平分∠ECF，
∴ ， ，
∴ ，
， ，
∴ ，
∵ 为AG的中点，
∴ ．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，是解题的关键．
8．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点P是对角线BD上一点，连接AP并延长交CD于点F，过点P
作PE⊥AF交BC于点E，连接AE；若 ，则AE的长为（ ）
A．10 B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
过P作 ，交AD于点M，交BC于点N，根据正方形性质及 求得 ．再证明
，得到 ， ，最后在 中，运用勾股定理，求得AE的长．
解：如图，过P作 ，交AD于点M，交BC于点N，
∵正方形ABCD，点P是对角线BD上一点，
∴ ，
∵正方形ABCD， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
∵正方形ABCD， ，
∴ ，∴四边形MDCN是矩形，
∵ ．
∵PE⊥AF，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵正方形ABCD，
∴ ，
∵矩形MDCN，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ．
在 与 中，
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵正方形ABCD，边长为8，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，通过构造全等三角形和勾股定理，求得AE的长度，其中作适合的辅助线构造
全等三角形，是解题的关键．
二、填空题
9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，以AB为一条边向三角形外部作正方形ABDE，P为DE
上一点，则四边形ACBP的面积为_____．
【答案】14
【解析】
【分析】
根据勾股定理求得AB，然后分别求解 和 的面积即可．
解：由勾股定理可得： ，
由题意可得： ， ，
∴ 的长度等于 底边 上的高，
∴ ，
∴
故答案为：14
【点睛】
此题考查了勾股定理，以及正方形的性质，解题的关键是掌握勾股定理正确求得AB的长度．
10．如图，正方形 的边长为 ，点 是 中点，将 沿 翻折至 ，延长 交边 于
点 ，则 的长为______．【答案】
【解析】
【分析】
如图所示，连接EG，先求出 ，由折叠的性质可得EF=DE=CE=1，∠AFE=∠D=90°，
AF=AD=2，证明Rt△EFG≌Rt△ECG得到FG=CG，设FG=CG=x，则BG=BC-CG=2-x，AG=AF+FG=2+x，
在Rt△ABG中， ，则 由此求解即可．
解：如图所示，连接EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∵E是CD的中点，
∴ ，
由折叠的性质可得EF=DE=CE=1，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=2，
∴∠EFG=90°，
在Rt△EFG和Rt△ECG
，
∴Rt△EFG≌Rt△ECG（HL），
∴FG=CG，
设FG=CG=x，则BG=BC-CG=2-x，AG=AF+FG=2+x，
在Rt△ABG中， ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角
形是解题的关键．
11．如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠CEB和∠CFD都是直角且点C，E，F三点共线，BE＝
2，则阴影部分的面积是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
只需要证明△BEC≌△CFD得到CF=BE，EC=DF，利用勾股定理求出EC，再由 求解即可．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°，
∵∠CEB=∠DFC=90°，
∴∠BCE+∠EBC=90°，∠BCE+∠DCF=90°，
∴∠EBC=∠DCF，∴△BEC≌△CFD（AAS），
∴CF=BE，EC=DF，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形面积，熟练掌握全等三角形的性质与判
定条件是解题的关键．
12．如图，在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，E 为 AC 上一点，连接 EB、ED，延长 BE交 AD 于
F．当∠BED＝120°时，则∠ABF 的度数为__________°．
【答案】15
【解析】
【分析】
由四边形ABCD是正方形，易证得 BEC≌△DEC，然后根据全等三角形的性质知对应角相等，即
△
∠BEC=∠DEC= ∠BED，又由对顶角相等、三角形的一个内角的补角是另外两个内角的和求得
∠EFD=∠BEC+∠CAD．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴BC=CD，∠EAB=∠ECB=∠ECD=45º，∠ABC=90º，
∵在 BEC 与 DEC 中，
△ △
∴△BEC ≌ DEC(SAS) ，
△
∴∠BEC=∠DEC= ∠BED ，∵∠BED=120º ，
∴∠BEC=60º=∠AEF ，
∵∠BEC=∠BAE+∠ABF
∴∠ABF =60º-45º=15º
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与
性质是解答本题的关键．
13．如图，C为AB上任意一点，分别以AC、BC为边在AB同侧作正方形ACDE、正方形BCFG，设
∠AFC=α，则∠BDC为_________（用含α的代数式表示）．
【答案】90°-α
【解析】
【分析】
由“SAS”可证 ACF≌△DCB，得出∠CAF=∠BDC，再由直角三角形的性质即可求解．
解：∵四边形A△CDE和四边形BCFG是正方形，
∴AC=CD，CF=CB，∠ACF=∠DCB=90°，
∴∠CAF+∠AFC=90°，
在 ACF和 DCB中，
△ △
，
∴△ACF≌△DCB（SAS），
∴∠CAF=∠BDC，
∵∠AFC=α，
∴∠CAF=90°-∠AFC=90°-α，
∴∠BDC=90°-α，故答案为：90°-α．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题
的关键．
14．如图，正方形ABCD的边长为15，P为BC边上一点，PB＝2PC，把△PAB沿PA边翻折，点B落在B
1
处，设PB 的延长线交CD于Q，则PQ＝_______．
1
【答案】13
【解析】
【分析】
如图，连接AQ，由折叠的性质可得PB'=PB=10，AB=AB'=15，由“HL”可证Rt ADQ≌Rt AB'Q，可得
DQ=B'Q，由勾股定理可求解． △ △
解：如图，连接AQ，
∵PB=2PC，BC=15，
∴PB=10，PC=5
∵把 PAB沿PA边翻折，点B落在B′处，
∴PB'△=PB=10，AB=AB'=15，
∴AB'=AD，AQ=AQ，
∴Rt ADQ≌Rt AB'Q（HL）
∴DQ△=B'Q， △
∵PQ2=CQ2+PC2，
∴（10+DQ）2=（15-DQ）2+25，∴DQ=3，
∴PQ=10+3=13，
故答案为：13
【点睛】
本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出
DQ的长是本题的关键．
15．如图，已知正方形 的边长为1，点 是边 的中点，将 沿直线 翻折，使得点 落
在同一平面内的点 处，联结 并延长交射线 于点 ，那么 的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】
过B作BH⊥AF于H，连接EC交BM于G，可证明 ，即可得到 ，利用面积法求出
EG的长度即可．
过B作BH⊥AF于H，连接EC交BM于G
∵正方形 的边长为1，点 是边 的中点，∴
∴
∵将 沿直线 翻折，
∴EC⊥BM， ,
∵BH⊥AF,
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为： ．
【点睛】
本题考查正方形的性质、折叠问题、等腰直角三角形，解题的关键是正确的作出辅助线，证明 ．
三、解答题
16．如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AB＝3 ，BE＝2，求四边形AECF的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【解析】
【分析】
（1）利用正方形的性质证明 再结合BE＝DF，从而可得结论；
（2）先利用正方形的性质证明 再求解EF的长，再利用四边形AECF的面积
，即可得到答案．
(1)
证明： 正方形ABCD，
(2)
如图，连结AC，
正方形ABCD，∴四边形AECF的面积
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，掌握
“正方形的对角线相等且互相垂直平分”是解本题的关键．
17．如图，正方形ABCD中， ．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)若 ，且 ，则 _______．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质可得 ，然后问题可求证；
（2）由（1）可知 ，由 可求证；
（3）连接DE，由（2）及勾股定理可得 ，然后可得 ，进而问题可求解．
(1)
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ （SAS）；
(2)
证明：由（1）可知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ；
(3)
解：连接DE，如图所示：
由（2）可知 ，
∵ ，
∴由勾股定理得： ，
∵AD=DC=AB=6，
∴在Rt△ADE中，由勾股定理得： ，
∴ ；
故答案为： ．【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定、正方形的性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定、
正方形的性质及勾股定理是解题的关键．
18．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说
明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．
【答案】(1) 或 或 或
(2)①15，15；② ，理由见解析(3) cm或
【解析】
【分析】
（1）根据折叠的性质，得 ，结合矩形的性质得 ，进而可得
；
（2）根据折叠的性质，可证 ，即可求解；
（3）由（2）可得 ，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设
分别表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解．
(1)
解：
(2)
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90
由折叠性质得：AB=BM，∠PM°B=∠BMQ=∠A=90°
∴BM=BC
①
∴
②(3)
当点Q在点F的下方时，如图，
，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)
由（2）可知，
设
，
即
解得：
∴ ；
当当点Q在点F的上方时，如图，cm，DQ =3cm，
由（2）可知，
设
，
即
解得：
∴ ．
【点睛】
本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的
关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·湖南衡阳·中考真题）下列命题为假命题的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形D．有一组邻边相等的矩形是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据矩形、菱形、正方形判定方法，一一判断即可．
解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，本选项不符合题意．
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题，本选项不符合题意．
C、有一个内角是直角的平行四边形可能是长方形，是假命题，应该是矩形，推不出正方形，本选项符合
题意．
D、有一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，本选项不符合题意．
故选：C．【点睛】
本题考查命题与定理，矩形、菱形、正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法，属
于中考常考题型．
2．（2022·重庆·中考真题）如图，在正方形 中， 平分 交 于点 ，点 是边 上一点，
连接 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用正方形的性质得到 ， ， ，利用角平分线的定义求得
，再证得 ，利用全等三角形的性质求得 ，最后利用
即可求解．
解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∵ 平分 交 于点 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故选：C
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定方
法是解题的关键．
3．（2021·内蒙古呼和浩特·中考真题）在平面直角坐标系中，点 ， ．以 为一边在第一象
限作正方形 ，则对角线 所在直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
过点 作 轴于点 ，先证明 ，再由全等三角形对应边相等的性质解得 ，
最后由待定系数法求解即可．
解：正方形 中，过点 作 轴于点 ，
设直线 所在的直线解析式为 ，
代入 ， 得
，
故选：A．【点睛】
本题考查待定系数法求一次函数的解析式，涉及正方形性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考
点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4．（2021·江苏泰州·中考真题）如图,P为AB上任意一点,分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、
正方形PBEF,设 ,则 为（ ）
A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣ α
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可得 ，从而 即可．
∵四边形APCD和四边形PBEF是正方形，
∴AP=CP，PF=PB， ，
∴ ，
∴∠AFP=∠CBP，
又∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定方法是解
题的关键．
5．（2022·重庆·中考真题）如图，在正方形 中，对角线 、 相交于点O． E、F分别为 、
上一点，且 ，连接 ， ， ．若 ，则 的度数为（ ）
A．50° B．55° C．65° D．70°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方形的性质证明△AOF≌△BOE（SAS），得到∠OBE=∠OAF，利用OE=OF，∠EOF=90°，求出
∠OEF=∠OFE=45°，由此得到∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，进而得到∠CBE的度数．
解：在正方形 中，AO=BO，∠AOD=∠AOB=90°，∠CBO=45°，
∵ ，
∴△AOF≌△BOE（SAS），
∴∠OBE=∠OAF，
∵OE=OF，∠EOF=90°，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∵ ，
∴∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，
∴∠CBE=∠CBO+∠OBE=45°+20°=65°，
故选：C．
【点睛】
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记正方形的性质是解题的关键．
二、填空题
6．（2020·江苏镇江·中考真题）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则
∠BPC的度数为_____°．【答案】135
【解析】
【分析】
由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可
求解．
解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠ACB＝∠BAC＝45°
∴∠2+∠BCP＝45°
∵∠1＝∠2
∴∠1+∠BCP＝45°
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP
∴∠BPC＝135°
故答案为：135．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键．
7．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且
分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________．
【答案】1
【解析】
【分析】连接AG，EG，根据线段垂直平分线性质可得AG=EG，由点E是CD的中点，得CE=4，设BG=x，则
CG=8-x，由勾股定理，可得出（8-x）2+42=82+x2，求解即可．
解：连接AG，EG，如图，
∵HG垂直平分AE，
∴AG=EG，
∵正方形ABCD的边长为8，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8，
∵点E是CD的中点，
∴CE=4，
设BG=x，则CG=8-x，
由勾股定理，得
EG2=CG2+CE2=（8-x）2+42，AG2=AB2+BG2=82+x2，
∴（8-x）2+42=82+x2，
解得：x=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质、线段垂直平分线的
性质、勾股定理及其运用是解题的关键．
8．（2022·山西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，
且 ，连接EF交边AD于点G．过点A作 ，垂足为点M，交边CD于点N．若 ，
，则线段AN的长为_________【答案】
【解析】
【分析】
连接AE、AF、EN，首先可证得 ，AE=AF，可证得 垂直平分EF，可得
EN=FN，再根据勾股定理即可求得正方形的边长，再根据勾股定理即可求得AN的长．
解：如图：连接AE、AF、EN，
四边形ABCD是正方形
设AB=BC=CD=AD=a， ，
在 与 中，
，，
是等腰三角形，
又 ，
垂直平分EF，
，
又 ，
，
在 中， ，
，
解得a=20，
， ，
在 中， ，
，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，
勾股定理，证得 垂直平分EF是解决本题的关键．
三、解答题
9．（2021·山东·冠县育才双语学校八年级阶段练习）如图，在正方形 的外侧，作等边角形 ，
连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
【答案】(1)见解析；(2)15°．
【解析】
【分析】(1)利用正方形的性质得到AB=CD，∠BAD=∠CDA，利用等边三角形的性质得到AE=DE，
∠EAD=∠EDA=60°即可证明；
(2)由AB=AD=AE，得到△ABE为等腰三角形，进而得到∠ABE=∠AEB，且∠BAE=90°+60°=150°，再利
用三角形内角和定理即可求解．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，且∠BAD=∠CDA=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=DE，且∠EAD=∠EDA=60°，
∴∠BAE=∠BAD+∠EAD=150°，∠CDE=∠CDA+∠EDA=150°，
∴∠BAE=∠CDE，
在△BAE和△CDE中:
，
∴ ．
(2)∵AB=AD，且AD=AE，
∴△ABE为等腰三角形，
∴∠ABE=∠AEB，
又∠BAE=150°，
∴由三角形内角和定理可知：
∠AEB=(180°-150°)÷2=15°．
故答案为：15°．
【点睛】
此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，第二问中能得出△ABE是等腰三角形且
∠BAE=150°是解题关键．
10．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探
究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：(1)【问题一】如图①，正方形 的对角线相交于点 ，点 又是正方形 的一个顶点， 交
于点 ， 交 于点 ，则 与 的数量关系为_________；
(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线 、 经过正方形 的对称中心 ，直线 分
别与 、 交于点 、 ，直线 分别与 、 交于点 、 ，且 ，若正方形 边长为
8，求四边形 的面积；
(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形 的顶点 在正方形 的边 上，顶
点 在 的延长线上，且 ， ．在直线 上是否存在点 ，使 为直角三角形？若存在，
求出 的长度；若不存在，说明理由．【答案】(1)
(2)16
(3) 或
【解析】
【分析】
（1）由正方形的性质可得 ， ，根据ASA可证 ，由
全等三角形的性质可得结论；
（2） 过点O作 交AD于点M，交BC于点N，作 交AB于点T，交CD于点R，证明
△
进而证明 ；
（3） 分别求出 ， 由勾股定理可得方程，求出x的值即可．
(1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠
∵ 是对角线，
∴∠ ，
∴∠ ，
∵四边形 是正方形，
∴∠ ，
∴∠
又∠
∴ ，
∴
∴
故答案为:(2)
过点O作 交AD于点M，交BC于点N，作 交AB于点T，交CD于点R，如图，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴
又∠A=90°
∴四边形ATOM是正方形，
∴
同（1）可证
△
∴
(3)
∵四边形 均为正方形，
∴ ∠
∵CG在CD上，
∴
又CE在BC的延长线上，
∴
设 则
在 中，在 中，
延长AD，CE交于点Q，则四边形 是矩形，
∴
∴ ，
在 中，
若 为直角三角形，则有，
△
即
整理得，
解得，
∴ 或
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，勾股定理等知识，正确作出辅助
线是解答本题的关键
