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第 03 讲 平面直角坐标系与一次函数
1.平面直角坐标系
（1）为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x轴和 y轴分割而成的
四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。
（原点既属于x轴又属于y轴）
（2）点的坐标的概念
①对于平面内任意一点 P,过点 P分别 x轴、y轴向作垂线，垂足在上 x轴、y轴
对应的数 a，b 分别叫做点 P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点 P 的
坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
②坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上⇔ y=0，x为任意实数
点P(x,y)在y轴上⇔x=0，y为任意实数
③两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上⇔x与y( )
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x与y( )④和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的（ ）坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的（ ）坐标相同。
⑤关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称⇔（
）
坐标相等，（ ）坐标互为相反数；
点P与点p’关于y轴对称⇔（
）
坐标相等，（ ）坐标互为相反数；
⇔横、纵坐标均互为相反数;
点P与点p’关于原点对称
点 A （ -3 ， B（0，6） C （ 2 ， - D （ 2 ，
0） 7） 3）
关于x轴对称
点
关于 y轴对称
点
关于原点对称
点
2.一次函数的图像及性质
一般地，如果y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数．特
别地，当b＝0 时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k是常数，k≠0)，这时，y
叫做x的正比例函数．
（1）由定义知：y是x的一次函数⇔它的解析式是 y ＝ k x ＋ b，其中k、b是常数，
且k≠0.
(2)一次函数解析式y＝kx＋b(k≠0)的结构特征：
①k≠0；②x的次数是1；③常数项b可为任意实数．
它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.
（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
(3)正比例函数解析式y＝kx(k≠0)的结构特征：①k≠0；②x的次数是1；③没有常数项或者说常数项为0.
温馨提示：
正比例函数是一次函数，但一次函数 不一定是正比例函数，只有
当b=0时，它才是正比例函数。
3.一次函数图象与系数
相关知识：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，图象位置由k、b确定。
K的作用：
(1)图像方向
K的值 图像方向（从左往右） 增减性（y 随 x 的增大
的变化情况）
K>0
K<0
|K|
与图像与x轴之间的夹角关系
(2)
|K|
越大，图像与x轴之间的夹角越_______。
当两个函数的k相等时，则两个函数图像_______。
当两个函数的k相乘=-1时，则两个函数图像_______。
当k=______或______时，函数图像与x轴的夹角______度。
(3)b的作用：决定图像与________________________。
正比例函数中的b=_____，所以正比例函数图像必经过______点。4.K,b结合看图像
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与k、b符号的关系：
(1)k＞0，b＞0⇔图象经过第_________________象限．
(2)k＞0，b＜0⇔图象经过第_________________象限．
(3)k＜0，b＞0⇔图象经过第_________________象限．
(4)k＜0，b＜0⇔图象经过第_________________象限．
5.利用点的坐标求两点距离长度的公式是：
A（x ,y ） B(x ,y )
a b a b
AB=
6.线段中点坐标公式：
A（x ,y ） B(x ,y )，C是线段AB的中点，则C( , )
a b a b
例题1
点P（3，﹣4）在平面直角坐标系中所在的象限是（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】
根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】
解：∵3＞0，﹣4＜0，
∴点P（3，﹣4）所在的象限是第四象限．
故选：D．
例题2
如果点 在直角坐标系的x轴上，那么P点坐标为（ ）
A．（0，2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，-4）
【答案】B
【分析】
因为点 在直角坐标系的 轴上，那么其纵坐标是0，即 ， ，进而可求得点 的
横纵坐标．
【详解】
解： 点 在直角坐标系的 轴上，
，
，
把 代入横坐标得： ．
则 点坐标为 ．
故选：B．
例题3
（1）在平面直角坐标系中，若点 与点 之间的距离是5，则 的值是（ ）
A．4 B．6 C．4或6 D．4或－6
【答案】D
【分析】根据纵坐标相同的点平行于x轴，再分点N在点M的左边和右边两种情况讨论求解．
【详解】
解：∵点M（−1，3）与点N（x，3）的纵坐标都是3，
∴MN x轴，
当点N在点M的左边时，x＝−1−5＝−6，
当点N在点M的右边时，x＝−1＋5＝4，
综上所述，x的值是−6或4，
故选：D．
（2）在平面直角坐标系中，AB=5，且AB∥y轴，若点A的坐标为（-4，3），点B的坐标是（
）
A．（0， 0） B．(-4，8) C．(-4，-2) D．(-4，8)或（-4，-2）
【答案】D
【分析】
根据AB∥y轴，点A的坐标为（-4，3），可得点B的横坐标为-4，设点B的纵坐标为m，由AB=5，可得
，解绝对值方程即可．
【详解】
解：∵AB∥y轴，点A的坐标为（-4，3），
∴点B的横坐标为-4，
设点B的纵坐标为m，
∵AB=5，
∴ ，
解得 或 ，
∴B点坐标为（-4，-2）或（-4，8），
故选D．
例题4
（1）在直角坐标系中，点A，点B关于y轴对称，点A的坐标（2，－8），则点B的坐标是
（ ）
A．（2，8） B．（－2，－8） C．（－2，8） D．（8，2）
【答案】B【分析】
根据关于y轴对称纵坐标不变，横坐标变为相反数的特征解答即可．
【详解】
解：∵点A，点B关于y轴对称，点A的坐标（2，－8），
∴点B的坐标是（－2，﹣8）
故选：B
（2）在平面直角坐标系中，已知点A(﹣2，7)，且点B和点A关于x轴对称，则点B的坐标
为（ ）
A．(﹣2，﹣7) B．(2，7) C．(2，﹣7) D．(﹣7，﹣2)
【答案】A
【分析】
直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变纵坐标改变符号即可得出答案．
【详解】
解：因为点A的坐标是（﹣2，7），
所以点A关于x轴对称的点B坐标为（﹣2，﹣7），
故选：A．
例题5
若函数y＝（2m+6）x+m2﹣9是关于x的正比例函数，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0
【答案】A
【分析】
根据正比例函数的定义求解即可．
【详解】
解：由题意得：m2﹣9＝0，
解得：m＝3或m＝-3，
∵2m+6≠0，
∴m≠-3，
∴m＝3，
故选：A．
例题6（1）一次函数 的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】
根据一次函数的图像与性质解答即可.
【详解】
∵ <0，6>0，
∴图像经过一、二、四象限，不经过第三象限.
故选C．
【点睛】
本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y=kx+b（k为常数，k≠0），当k＞0，b＞0，y=kx+b的图象在
一、二、三象限；当k＞0，b＜0，y=kx+b的图象在一、三、四象限；当k＜0，b＞0，y=kx+b的图象在一、
二、四象限；当k＜0，b＜0，y=kx+b的图象在二、三、四象限．解题关键是掌握一次函数图象与系数的关
系．
（2）对于一次函数 ，下列结论正确的是（ ）
A． 随 的增大而减小
B．该函数图象不经过第四象限
C．该函数图象与 轴交点坐标是
D．该函数图象与 轴所成的锐角是45°
【答案】D
【分析】
由题意根据一次函数的性质以及函数图象与坐标轴的交点的求法逐项进行判断即可．
【详解】
解：A. ， 随 的增大而增大，选项错误；
B. ，该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，选项错误；
C. 该函数图象与 轴交点坐标是 ，选项错误；D. 该函数图象与 轴正方向所成的锐角是45°，选项正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查一次函数的性质，注意掌握在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随
x的增大而减小．
（3）直线 和 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据各个图象的位置判断k、b的正负，比较即可.
【详解】
A、直线 解析式中，k>0，b>0，直线 解析式中， b<0，-k>0，即k<0，矛盾；
B、直线 解析式中，k>0，b>0，直线 解析式中， b>0，-k<0，即k>0，一致；
C、直线 解析式中，k<0，b>0，直线 解析式中， b>0，-k<0，即k>0，矛盾；D、直线 解析式中，k<0，b>0，直线 解析式中， b<0，-k<0，即k>0，矛盾；
故选：B
【点睛】
本题考查一次函数的性质，解题的关键是正确确定待定系数k与b的正负，本题属于基础题型．
例题7
（1）若一次函数 的图象过点 ， ，则方程 的解（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据方程 是一次函数 与 轴交点的横坐标进行求解即可．
【详解】
解：∵一次函数 经过点（-3，0），
∴方程 的解为 ，
故选D．
（2）若一次函数 的图像与 轴分别交于 两点，则 的面积为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
【答案】A
【分析】
先求出点A、B的坐标，然后利用三角形的面积公式计算，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，
∵ ，
令 ，则 ；令 ，则 ，
∴点A为（ ，0），点B为（0， ），
∴OA=2，OB=4，
∴ 的面积为： ；故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数与坐标轴的交点，以及三角形的面积公式，解题的关键是正确的求出一次函数与坐标
轴的交点坐标．
例题8
（1）已知点（－3，y ）、（4，y ）在函数 y＝2x＋1 图像上，则y 与y 的大小关系是（
1 2 1 2
）
A．y ＞y B．y ＝y C．y ＜y D．无法确定
1 2 1 2 1 2
【答案】A
【分析】
把自变量的值代入解析式求出函数值即可比较．
【详解】
当x=-3时，y=2x＋1=-2×（-3）+1=7；
当x=4时，y=2x＋1=-2×4+1=-7；
故y ＞y
1 2
故选A．
【点睛】
此题主要考查一次函数的函数值大小比较，解题的关键是把自变量x的值代入解析式求解．
（2）在平面直角坐标系中，若点 ， ， 都在直线 上，则 ， ，
的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据 得y随x的增大而减小，据此可得结论．
【详解】
解：∵ 中∴y随x的增大而减小，
∵
∴
故选：C
【点睛】
此题主要考查发一次函数的图象上点的坐标特征，以及一次函数的性质，关键是掌握 时，y随x在增
大而增大，函数从左向右上升； 时，y随x在增大而减小，函数从左向右下降；直线上任意一点的坐
标都满足函数关系式 ．
例题9
将一次函数 的图象进行上下平移，使得平移之后的图象经过点 ，则平移之后图
象的解析式为_______．
【答案】
【分析】
根据一次函数图像平移规律：上加下减，左加右减，进行解答即可．
【详解】
解：设一次函数平移后的解析式为： ，
∵移之后的图象经过点 ，
∴ ，
解得： ，
∴平移之后图象的解析式为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了一次函数的平移，熟练掌握函数图像的平移规律：上加下减，左加右减是解本题的关键．
例题10
西安市出租车白天的收费起步价为9元，即路程不超过3公里时收费9元，超过部分每公里
收费2元．如果乘客白天乘坐出租车的路程为x（x＞3）公里，乘车费为y元，那么y与x之
间的关系式为_________．
【答案】【分析】
根据乘车费用=起步价+超过3千米的付费即可得出．
【详解】
解：依题意有： ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题
乘车费用=起步价+超过3千米的付费．
例题11
甲、乙两车从A城出发沿一条笔直公路匀速行驶至B城在整个行驶过程中，甲、乙两车离开
A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）A、B两城相距 ______千米，乙车比甲车早到______小时；
（2）求出点C坐标，并解释其实际意义；
（3）两车都在行驶的过程中，当甲、乙两车相距40千米时， ______．
【答案】（1）300，1；（2）点C（2.5，150），甲车出发2.5小时乙车追上甲车，此时两车行驶了150千
米；（3） 或
【分析】
（1）根据函数图象中的数据，可以解答本题；
（2）根据函数图象中的数据，可以求得甲乙的速度，然后即可得到甲车出发多长时间与乙车相遇，从而
求出点C的坐标，及点C的实际意义；
（3）根据题意和（2）中的结果，可以得到相应的方程，解方程即可求解．【详解】
解：（1）由图象可得，
A，B两城相距300千米，乙车比甲车早到5-4=1（小时），
故答案为：300，1；
（2）由图象可得，乙车在C点追上甲车，
甲车的速度为300÷5=60（千米/时），乙车的速度为300÷（4-1）=100（千米/时），
设甲车出发a小时后，乙车追上甲车，
60a=100（a-1），
解得a=2.5，
∴60×2.5=150（千米），
∴点C（2.5，150），甲车出发2.5小时乙车追上甲车，此时两车行驶了150千米；
（3）由题意可得，|60t-100（t-1）|=40，
解得t= 或t= ，
故答案为： 或 ．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
例题12
郑州市政府为民生办实事，将污染多年的“贾鲁河”进行绿化改造，现需要购买大量的景观
树．某苗木种植公司给出以下收费方案：
方案一：购买一张会员卡，所有购买的树苗按七折优惠；
方案二：不购买会员卡，所有购买的树苗按九折优惠．
设该市购买的景观树树苗棵数为x棵，方案一所需费用y ＝k x+b ，方案二所需费用y ＝k x，
1 1 1 2 2
其函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题．（1）k ＝ ，b ＝ ；
1 1
（2）求每棵树苗的原价；
（3）求按照方案二购买所需费用的函数关系式y ＝k x，并说明k 的实际意义；
2 2 2
（4）若该市需要购买景观树600棵，采用哪种方案购买所需费用更少？请说明理由．
【答案】（1）21，3000；（2）每棵树苗的原价30元；（3）y =27x，k 的实际意义是：每棵树苗打九折
2 2
后的价格；（4）该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少．理由见解析
【分析】
（1）根据题意和函数图象中的数据，可以得到k 和b 的值；
1 1
（2）根据（1）中的结果和题意，可以计算出每棵树苗的原价；
（3）根据函数图象中的数据和题意，可以得到函数关系式y =k x，并说明k 的实际意义；
2 2 2
（4）将x=600代入y 和y ，然后比较大小，即可解答本题．
1 2
【详解】
解：（1）由图象可得，
函数y =k x+b ，过点（0，3000），（200，7200），
1 1 1
则 ，
解得： ，
故答案为：21，3000；
（2）由（1）可得，每棵树苗按七折优惠的价格是21元，
∴每棵树苗的原价是21÷0.7=30（元），
即每棵树苗的原价30元；
（3）∵方案二中的树苗打九折优惠，
∴按照方案二购买的每棵树苗的价格为30×0.9=27（元），
∵方案二：不购买金卡，所有购买的树苗按九折优惠，当x=0时，y =0，
2
∴y =27x，
2
k 的实际意义是：每棵树苗打九折后的价格；
2
（4）该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少，
理由：由（1）（3）可知，y =21x+3000，y =27x，
1 2
当x=600时，y =21×600+3000=15600，y =27×600=16200，
1 2
∵15600＜16200，
∴该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
例题13
如图，在平面直角坐标系中将 向下平移3个单位长度得到直线 ，直线 与 轴交于点
；直线 ： 与 轴、 轴交于 、 两点．
（1）填空：点 的坐标为___________，点 的坐标为__________．
（2）直线 的表达式为___________．
（3）在直线 上是否存在点 ，使 ？若存在，则求出点 的坐标；若不存在，请
说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或
【分析】
（1）分别令 即可求得 、 两点的坐标；
（2）根据一次函数图象的平移特点求解即可；
（3）根据等底不同高，以及三角形的面积关系即可求得点 的坐标，进而代入（2）的解析式中即可求得点 的坐标．
【详解】
（1） 直线 ： 与 轴、 轴交于 、 两点，
令 ，则 ,令 ，则
故答案为：
（2） 向下平移3个单位长度得到直线 ，则 的解析式为 ；
故答案为： ；
（3）
将 代入 ，得 ，
将 代入 ，得 ，
的坐标为 或
【点睛】
本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的平移问题，一次函数图象上点的坐标特点，掌握以
上知识是解题的关键．
1.在平面直角坐标系中，若点M（﹣2，3）与点N（﹣2，y）之间的距离是5，那么y的值是（ ）
A．﹣2 B．8 C．2或8 D．﹣2或8
【答案】D
【分析】
根据点M（﹣2，3）与点N（﹣2，y）之间的距离是5，可得 ，由此求解即可．
【详解】
解：∵点M（﹣2，3）与点N（﹣2，y）之间的距离是5，
∴ ，
∴ 或 ，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
2.在平面直角坐标系中，点P 关于y轴的对称为点P ，则点P 的坐标是（ ）
1 1
A． B． C．(-3，-4) D．
【答案】B
【分析】
根据关于 轴对称点的坐标特点（纵坐标不变，横坐标互为相反数）即可求解．
【详解】
解：点 关于y轴的对称为点 ，
故选：B
【点睛】
此题考查关于 轴对称的点，解题的关键是熟知关于 轴对称点的坐标特点．
3．若 和 两点关于 轴对称，则 的值是（ ）
A．2 B．-2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
关于y轴对称的点的纵坐标是相等的，横坐标是相反数，根据这两点建立方程求解即可．【详解】
解：∵点A和点B关于y轴对称，
∴
解得a=3；b=-1，
∴a-b=4，
故选：D．
【点睛】
本题考查关于坐标轴对称的点坐标数字中的参数的求解，掌握关于对称轴对称的点的坐标特点是本题解解
题关键．
4.关于一次函数y＝﹣x﹣3，下列结论正确的是（ ）
A．图象过点(﹣1，1) B．图象在y轴上的截距为3
C．y随x的增大而增大 D．图象经过第二、三、四象限
【答案】D
【分析】
根据一次函数的性质对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
解：A、当x=-1时，y=-（-1）-3=-2，
∴一次函数y=-x-3的图象经过点（-1，-2），选项A不符合题意；
B、∵b=-3，
∴一次函数y=-x-3的图象在y轴上的截距为-3，选项B不符合题意；
C、∵k=-3＜0，
∴y随x的增大而减小，选项C不符合题意；
D、∵k=-3＜0，b=-3，
∴一次函数y=-x-3的图象经过第二、三、四象限，选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析四
个选项的正误是解题的关键．
5．在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而减小，则一次函数y＝kx+k在平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而减小，可得k＜0，从而可以判断一次函数图像经过第二、
三、四象限，由此求解即可．
【详解】
解：∵正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而减小，
∴k＜0，
∴一次函数y＝kx+k与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴一次函数y＝kx+k的图像经过第二、三、四象限，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了正比例函数的性质，一次函数的性质，解题的关键在于能够求出k＜0．
6.已知两个一次函数y ＝ax+b与y ＝bx+a，它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是下列
1 2
选项中的（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
先由一次函数y ＝ax+b图象得到字母系数的符号，再与一次函数y ＝bx+a的图象相比较看是否一致．
1 2
【详解】
解：A、∵一次函数y ＝ax+b的图象经过一二四象限，
1
∴a＞0，b＞0；
由一次函数y ＝bx+a图象可知，b＜0，a＞0，两结论矛盾，故错误；
2
B、∵一次函数y ＝ax+b的图象经过一三四象限，
1
∴a＞0，b＜0；
由y 的图象可知，a＞0，b＜0，两结论不矛盾，故正确；
2
C、∵一次函数y ＝ax+b的图象经过一二四象限，
1
∴a＜0，b＞0；
由y 的图象可知，a＞0，b＞0，两结论矛盾，故错误；
2
D、∵一次函数y ＝ax+b的图象经过一二四象限，
1
∴a＜0，b＞0；
由y 的图象可知，a＜0，b＝0，两结论相矛盾，故错误．
2
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数 的图象有四种情况：①当k>0，b>0时，函
数 经过一、二、三象限；②当k>0，b<0时，函数 经过一、三、四象限；③当k<0，b>0时，函数 经过一、二、四象限；④当k<0，b<0时，函数 经过二、三、四象限，解题的关键是
掌握一次函数图像与系数的关系．
7.正比例函数y＝kx（k≠0）的图像经过第一、三象限，则一次函数y＝x﹣k的图像大致是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
先根据正比例函数 的图象经过第一、第三象限判断出 的符号，再根据一次函数的性质即可得出结
论．
【详解】
解： 正比例函数 的图象经过第一、第三象限，
∴ ，
，
一次函数 的图象经过一、三、四象限．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟知一次函数 中，当 ，
时函数的图象在一、二、三象限．当 ， 时函数的图象在一、三、四象限．
8.两个一次函数 和 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先设定一个为一次函数y ＝ax+b的图象，再考虑另一条的a，b的符号，进而判断是否矛盾，据此逐项
1
分析即可．
【详解】
A、如果过第一、二、三象限的图象是y ，由y 的图象可知，a＞0，b＞0；由y 的图象可知，a＞0，b＜
1 1 2
0，两结论相矛盾，故错误，不符合题意；
B、如果过第一、三、四象限的图象是y ，由y 的图象可知，a＞0，b＜0；由y 的图象可知，a＞0，b＜
1 1 2
0，两结论不矛盾，故正确，符合题意；
C、如果过第一、二、三象限的图象是y ，由y 的图象可知，a＞0，b＞0；由y 的图象可知，a＞0，b＜
1 1 2
0，两结论相矛盾，故错误，不符合题意；
D、如果过第二、三、四象限的图象是y ，由y 的图象可知，a＜0，b＜0；由y 的图象可知，a＜0，b＞
1 1 2
0，两结论相矛盾，故错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象性质，掌握它的性质是解题的关键．一次函数 的图象有四种情况：①
当 时，函数 经过一、二、三象限；②当 时，函数 经过一、三、四
象限；③当 时，函数 经过一、二、四象限；④当 时，函数 经过二、
三、四象限．
9.已知点P（m，n）在第四象限，则直线y=nx+m图象大致是下列的（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
∵点P（m,n）在第四象限,
∴m>0,n<0，∴图像经过一、二、四象限，
故选D .
10.已知点A(﹣3，y )和B(﹣2，y )都在直线y＝﹣ x﹣b上，则y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A．y ＞y B．y ＜y C．y ＝y D．大小不确定
1 2 1 2 1 2
【答案】A
【分析】
先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据-3＜-2即可得出结论．
【详解】
解：∵一次函数y=- x-b中，k=- ＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵-3＜-2，
∴y ＞y ．
1 2
故选：A．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出一次函数的增减性是解答此题的关键．
11.已知点A（﹣2，y ），B（3，y ）在一次函数y＝kx+b的图象上，该一次函数的图象与直
1 2
线y＝﹣3x平行，则y __y ．（填“＜”、“＞”、“＝”）
1 2
【答案】＞
【分析】
根据一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣3x平行，可得 ，则一次函数y＝kx+b中，y随x增大而
减小，由此即可得到答案．
【详解】
解：∵一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣3x平行，
∴ ，
∴一次函数y＝kx+b中，y随x增大而减小，
∵-2<3，
∴ ，
故答案为：＞．
【点睛】本题主要考查了一次函数函数值比较大小，解题的关键在于能够根据题意得到 ．
12．已知一次函数 ，当 时，因变量y的最大值为7，则 _______．
【答案】
【分析】
根据一次函数的增减性得到当x=m时，y=7，代入函数解析式求解即可．
【详解】
解：∵ ，k=2>0，
∴y随着x的增大而增大，
∵当 时，因变量y的最大值为7，即当x=m时，y=7，
∴2m-4=7，
解得m= ，
故答案为： ．
【点睛】
此题考查一次函数的增减性：当k>0时y随x的增大而增大，当k<0时y随x的增大而减小．
13.若点 ， 都在正比例函数 的图象上，则 __________ （填“ ”
或“ ”）．
【答案】
【分析】
由正比例函数 可得y随x的增大而减小，然后根据点 ， 即可求解．
【详解】
解：∵正比例函数 ， ，
∴y随x的增大而减小，
∴点 ， 都在正比例函数 的图象上，且 ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】
此题考查了正比例函数的增减性，解题的关键是熟练掌握正比例函数的增减性．
14．已知一次函数y＝kx＋b的图象不经过第三象限，且点（1，y ），（﹣1，y ）在该函数
1 2
图像上，则y ，y 的大小关系是y ____y （用“＞、＜、＝”连接）
1 2 1 2
【答案】＜
【分析】
由一次函数y=kx+b的图象不经过第三象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出k＜0，利用一次函数的
性质可得出y随x的增大而减小，结合1＞-1，即可得出y ＜y ．
1 2
【详解】
解：∵一次函数y=kx+b的图象不经过第三象限，
∴k＜0，
∴y随x的增大而减小．
又∵点（1，y ）和（-1，y ）均在函数图象上，1＞-1，
1 2
∴y ＜y ．
1 2
故答案为：＜．
【点睛】
本题考查了一次函数图象与系数的关系以及一次函数的性质，牢记“k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、
四象限”是解题的关键．
15.已知 将l向下平移3个单位长度得到的直线解析式为_________；
【答案】
【分析】
直接利用一次函数平移规律得出平移后的解析式．
【详解】
解： 将 向下平移3个单位长度得到的直线解析式是： ，即 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了一次函数图象的平移，熟悉平移规律是解题关键．
16.对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论错误的是（ ）A．函数的图象不经过第三象限
B．函数的图象与x轴的交点坐标是(2，0)
C．函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象
D．若两点A (1，y )，B (3，y )在该函数图象上，则y ＜y
1 2 1 2
【答案】D
【分析】
根据一次函数的性质，以及函数图象与坐标轴的交点的求法即可判断．
【详解】
解：A、函数经过一、二、四象限，不经过第三象限，故A选项正确．
B、当y=0时，x=2，则函数图象与x轴交点坐标是（2，0），故B选项正确；
C、函数的图象向下平移4个单位长度得y=-2x+4-4=-2x，故C选项正确；
D、一次项系数小于0，则函数值随自变量的增大而减小，
∵1＜3，
∴y ＞y ，故D选项错误；
1 2
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增
大而减小．
17.现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深
度y（米）与注水时间x（小时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，
则水的深度为______m．
【答案】3.2
【分析】根据函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；联立两个函数解析式，即可求交点P的坐标，点P的
纵坐标即为所求．
【详解】
解：设y 为甲池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是y =k x+b ，
1 1 1 1
∴ ，
解得： ，
即y =- x+4 （0≤x≤3），
1
设y 乙池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是y =k x+b ，
2 2 2 2
∴ ，
解得 ，
即y =2x+2 （0≤x≤3）；
2
令y =y ，则- x+4=2x+2，
1 2
解得：x= ，
y=2× +2= ，
∴P（ ， ），
∴当甲、乙两池中水的深度相同时，则水的深度为 米，即3.2米．
故答案为：3.2．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求一次函数表达式，一次函数的交点问题等内容；解答本题的
关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质解答．18．从地面竖直向上抛射一个小球，在落地之前，物体向上的速度 （m/s）是运动时间
（s）的一次函数．经测量，该物体的初始速度（ 时物体的速度）为25m/s，经过2s物体
的速度为5m/s．
（1）请求出 与 之间的函数关系式（不要求写出 的取值范围）；
（2）经过多长时间，物体将达到最高点？（此时物体的速度为0）
【答案】（1）v与t之间的函数关系式为v=-10t+25；（2）经过2.5秒，物体将达到最高点．
【分析】
（1）设v与t之间的函数关系式为v=kt+b，由待定系数法求出其解就可以得出结论；
（2）根据（1）的一次函数的解析式的性质就可以求出结论．
【详解】
解：（1）设v与t之间的函数关系式为v=kt+b，
由题意，得 ，
解得： ．
故v与t之间的函数关系式为v=-10t+25；
（2）物体达到最高点，说明物体向上的速度为0，则
0=-10t+25，
解得t=2.5．
答：经过2.5秒，物体将达到最高点．
【点睛】
本题是一次函数的应用，考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数的性质的运用，解答时
求出一次函数的解析式是关键．
19.狗头枣产于陕西省延安市一带，久负盛名，其性味甘平，有润心肺、止咳、补五脏、治虚
损的功效，已成为革命圣地延安最为著名的特产．某经销商购进了一批狗头枣，根据以往的
销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：当单价为38元/千克时，每天可以销售50
千克，单价每下调1元，销量就会增加2千克，若设单价下调了x元/千克，销售量为y千克．
（1）y与x之间的关系式为 ；
（2）当售价为28元/千克，这天的销售量是多少？
（3）如果这批狗头枣的进价是20元/千克，某天的售价定为30元/千克，则这天的销售利润是多少元？
【答案】（1） ；（2）79千克；（3）这天销售利润是660元
【分析】
（1）根据当单价为38元/千克时，每天可以销售50千克，单价每下调1元，销量就会增加2千克，进行
求解即可；
（2）当售价为28元/千克时，则单价下调了10元，由此代入（1）中所求关系式求解即可；
（3）先根据题意求出x的值，从而求出y的值，然后根据利润=（售价-进价）×数量求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得： ．
（2）当售价为28元/千克时，则单价下调了10元，
∴当 时，销售量 （千克）；
（3）当售价定为30元/千克时，则 ，
∴ ，
（元）．
答：这天销售利润是660元．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意正确列出关系式进行求解．
20.如图，某校学习小组在做实验中发现：在弹簧限度内测得这个弹簧的长度y（cm）与悬挂
的物体的质量x（kg）间有下面的关系：
物体的质量x/kg 0 1 2 3 4 5 …
弹簧的长度y/cm 10 12 14 16 18 20 …
（1）由表格知；弹簧原长为______cm；所挂物体每增加1kg，弹簧伸长______cm；
（2）直接写出：在弹性限度内，弹簧长度y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）的
函数关系式： ______．
（3）当所挂物体质量为8kg时，求弹簧的长度．
【答案】（1）10；2；（2） ；（3）26cm【分析】
(1)由表格可得弹簧原长以及所挂物体每增加1kg弹簧伸长的长度；
(2)由(1)中结论可求出弹簧总长y(cm)与所挂重物x(kg)之间的函数关系式；
(3)让x=8时，求出y的值即可．
【详解】
(1)由表可知：弹簧原长为10cm，所挂物体每增加1kg弹簧伸长2cm，
故答案为：10，2；
(2)弹簧总长y(cm)与所挂重物x(kg)之间的函数关系式为 ；
(3)当x=8kg时，代入 ，解得 cm．
即弹簧总长为26cm．
【点睛】
本题考查了一次函数的关系式及函数值，关键在于根据图表信息列出等式，然后变形为函数的形式．
21.如图，某校学习小组在做实验中发现：在弹簧限度内测得这个弹簧的长度y（cm）与悬挂
的物体的质量x（kg）间有下面的关系：
物体的质量x/kg 0 1 2 3 4 5 …
弹簧的长度y/cm 10 12 14 16 18 20 …
（1）由表格知；弹簧原长为______cm；所挂物体每增加1kg，弹簧伸长______cm；
（2）直接写出：在弹性限度内，弹簧长度y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）的
函数关系式： ______．
（3）当所挂物体质量为8kg时，求弹簧的长度．
【答案】（1）10；2；（2） ；（3）26cm
【分析】
(1)由表格可得弹簧原长以及所挂物体每增加1kg弹簧伸长的长度；
(2)由(1)中结论可求出弹簧总长y(cm)与所挂重物x(kg)之间的函数关系式；
(3)让x=8时，求出y的值即可．
【详解】
(1)由表可知：弹簧原长为10cm，所挂物体每增加1kg弹簧伸长2cm，故答案为：10，2；
(2)弹簧总长y(cm)与所挂重物x(kg)之间的函数关系式为 ；
(3)当x=8kg时，代入 ，解得 cm．
即弹簧总长为26cm．
【点睛】
本题考查了一次函数的关系式及函数值，关键在于根据图表信息列出等式，然后变形为函数的形式．
22.A、B两地相距300千米，甲、乙两车先后从A地出发到B地．如图，线段OC表示甲车离
A地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线DEF表示乙车离A地距离y（千
米）与x（小时）之间的函数关系．根据图象回答下列问题．
（1）求线段EF对应的函数解析式；
（2）乙车到达B地后，甲车距B地多少千米？
（3）求点P的坐标，并说出点P坐标的实际意义．
【答案】（1）y＝110x﹣195；（2）30千米；（3）点P坐标的实际意义是：甲出发3.9小时，在距A地
234千米处，乙追上甲
【分析】
（1）设EF的解析式为y=kx+b，将E（2.5，80），F（4.5，300）代入即可得EF的解析式为y=110x-195；
（2）由图可得甲的速度为60（千米/时），乙4.5小时到达B，乙车到达B地后，甲车距B地30（千米）；
（3）由甲的速度为60千米/时，可得OC解析式为y=60x，从而解得P（3.9，234），即可得到答案．
【详解】
解：（1）设EF的解析式为y=kx+b，将E（2.5，80），F（4.5，300）代入得：
，解得 ，∴EF的解析式为y=110x-195；
（2）由图可得甲的速度为 =60（千米/时），
乙4.5小时到达B，此时甲行驶4.5×60=270（千米），
∴乙车到达B地后，甲车距B地300-270=30（千米）；
（3）由甲的速度为60千米/时，可得OC解析式为y=60x，
解 得 ，
∴P（3.9，234），
∴点P坐标的实际意义是：甲出发3.9小时，在距A地234千米处，乙追上甲．
【点睛】
本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，理解特殊点的实际意义．
23．甲、乙两人分别从同一公路上的A，B两地同时出发骑车前往C地，两人行驶的路程y
（km）与甲行驶的时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）A，B两地相距 km；乙骑车的速度是 km/h；
（2）请分别求出甲、乙两人在0≤x≤6的时间段内y与x之间的函数关系式；
（3）求甲追上乙时用了多长时间．
【答案】（1）20；5；（2）甲、乙两人在0≤x≤6的时间段内y与x之间的函数关系式分别为 ，
；（3）甲追上乙用了4小时的时间
【分析】
（1）根据图象可直接求出A、B两地的相距距离，然后由图象可知乙行驶10km所需的时间为2小时，由
此问题可求解；（2）设甲、乙两人在0≤x≤6的时间段内y与x之间的函数关系式分别为 、 ，然后把点
代入求解即可；
（3）由题意可联立（2）中的两个函数关系式进行求解即可．
【详解】
解：（1）由图象可知：A、B两地的相距20km；乙骑车的速度为（30-20）÷2=5km/h；
故答案为20；5；
（2）设甲、乙两人在0≤x≤6的时间段内y与x之间的函数关系式分别为 、 ，则由图象可把
点 代入甲的函数关系式得： ，解得： ，
∴甲的函数关系式为 ；
把点 代入乙的函数关系式得： ，解得： ，
∴乙的函数关系式为 ；
（3）由（2）可联立关系式得：
，解得： ，
∴甲追上乙用了4小时的时间．
【点睛】
本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据函数图象得到基本信息．
24.在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，
执行海巡任务，最终达到C岛．设该海巡船行驶x（h）后，与B港的距离为y（km），y与x
的函数关系如图所示．（1）填空：A、C两港口间的距离为______km， ______h；
（2）求 与 的函数关系式；
（3）在 岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为15km，求该海巡船
能接受到该信号的时间有多长？
【答案】（1）85，1.7；（2） ； ；（3）0.6h
【分析】
（1）把A到B、B到C间的距离相加即可得到A、C两个港口间的距离，再求出海巡船的速度，然后根据时
间=路程÷速度，计算即可求出a值；
（2）分0＜x≤0.5和0.5＜x≤1.7两段，利用待定系数法求一次函数解析式求解即可；
（3）根据函数解析式求出距离为15km时的时间，然后相减即可得解．
【详解】
解：（1）由图可知，A、B港口间的距离为25，B、C港口间的距离为60，
所以，A、C港口间的距离为：25+60=85(km)，
海巡船的速度为：25÷0.5=50(km/h)，
∴a=85÷50=1.7(h)．
故答案为：85，1.7；
（2）当0＜x≤0.5时，设y与x的函数关系式为：y=kx+b，
∵函数图象经过点（0，25），（0.5，0），
∴ ，
解得 ，
所以，y=-50x+25；
当0.5＜x≤1.7时，设y与x的函数关系式为：y=mx+n，
∵函数图象经过点（0.5，0），（1.7，60），
∴ ，
解得 ，所以，y=50x-25；
故y= ；
（3）由-50x+25=15，
解得x=0.2，
由50x-25=15，
解得x=0.8．
所以，该海巡船能接受到该信号的时间为0.6h．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量，比较简单，
理解题目信息是解题的关键．
25.某通讯公司推出①，②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租
费，且两种收费方式的通讯时间x（分）与费用y（元）之间的函数关系如图所示．
（1）有月租的收费方式是 （填“①”或“②”），月租费是 元．
（2）分别写出①，②两种收费方式中y与自变量x之间的函数表达式．① ；② ．
（3）当通讯时间是多少分钟时，两种收费方式的费用一样？
（4）如果某用户一个月通讯时间是350分钟，请说明应该选择哪种收费方式更经济实惠．
【答案】（1）①，30；（2） ， ；（3）当通讯时间是300分钟时，两种收费方式的
费用一样；（4）选择有月租的收费方式更经济实惠
【分析】
（1）根据当通讯时间为零的时候的函数值可以得到哪种方式是有月租的，哪种方式没有，有多少；（2）设有月租的函数解析式为 ，无月租的函数解析式为 ，由图象可分别把点
代入求值即可；
（3）由题意可联立有月租的函数解析式和无月租的函数解析式进行求解即可；
（4）分别求出当x=350时，两种收费方式的费用，进而问题可求解．
【详解】
解：（1）由图象可得：有月租费的收费方式是①，月租费是30元；
故答案为①，30；
（2）由图象可得：点 ，
有月租的函数解析式为 ，无月租的函数解析式为 ，代入得：
，解得： ，
∴两种收费方式的解析式分别为 ， ，
故答案为 ， ；
（3）由题意得：
，解得： ，
∴当通讯时间是300分钟时，两种收费方式的费用一样；
（4）由（2）可得：
当x=350时，有月租的收费为 ，无月租的收费为 ，
∵70＞65，
∴选择有月租的收费方式更经济实惠．
【点睛】
本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
26.如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′；
（2）请直接写出点A′、B′、C′的坐标；
（3）在y轴上找一点P使得PA+PB最小，画出点P所在的位置．（保留作图痕迹）
【答案】（1）见解析；（2）A′（2，3）、B′（3，1）、C′（-1，-2）；（3）见解析
【分析】
（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接可得；
（2）根据所作图形可得点的坐标；
（3）利用轴对称的性质进行求解即可．
【详解】
解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）A′、B′、C′三点的坐标分别为（2，3）、（3，1）、（-1，-2）；
（3）如图所示，点P即为所求，PA+PB的最小值为线段A'B的长．
【点睛】
本题主要考查了利用轴对称变换作图，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对
称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．27.已知一次函数的解析式为y＝2x+5，该图象过点A（﹣2，a），B（b，﹣1）．
（1）求a，b的值，并画出该一次函数的图象；
（2）在y轴上是否存在点C，使得AC+BC的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，
说明理由．
（3）点P为坐标轴上一点，若S ＝S 时，请直接写出点P的坐标．
△OBP △AOB
【答案】（1）a＝1，b＝﹣3；作图见解析；（2）存在， ；（3）（5,0），（﹣5,0），（0,
），（0, ﹣ ）．
【分析】
（1）利用待定系数法即可求出a、b的值，利用描点法画一次函数的图像即可；
（2）存在．作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′，交y轴于点C，点C即为所求．求出直线BA′的解析式
即可解决问题；
（3）先用割补法求出△AOB的面积，然后分点P在x轴和在y轴上分别求出点P的坐标即可．
【详解】
解：（1）∵直线y＝2x+5，过点A（﹣2，a），B（b，﹣1），
∴a＝2×（﹣2）+5＝1，﹣1＝2b+5，
解得：a＝1，b＝﹣3，
一次函数如图所示：（2）存在．作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′，交y轴于点C，点C即为所求．
∵A（﹣2,1），
∴A′（2,1），B（﹣3，﹣1），
设直线BA′的解析式为： ，把A′（2,1），B（﹣3，﹣1）代入
求得 ，
∴直线BA′的解析式为：
∴ ．
（3）设直线y＝2x+5与y轴交于点D，可得D（0,5），
∴S ＝S －S ＝ ，
△AOB △DOB △AOD
当点P在x轴上时，S ＝ ，
△OBP
解得：OP＝5或OP＝﹣5
∴点P的坐标为：（5,0），（﹣5,0）
当点P在y轴上时，S ＝ ，
△OBP解得：OP＝ 或OP＝﹣ ，
∴点P的坐标为：（0, ），（0, ﹣ ），
综上所述：点P的坐标为：（5,0），（﹣5,0），（0, ），（0, ﹣ ），
【点睛】
本题考查一次函数图像上点的特征，轴对称最短问题，割补法求三角形的面积等，解题的关键是熟练掌握
基本知识，属于中考常考题型．
28．如图，已知A（1，2），B（3，1），C（4，3）.
（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A B C ；
1 1 1
（2）请直接写出点A ，B ，C 的坐标；
1 1 1
（3）直线m平行于x轴，在直线m上求作一点P使得△ABP的周长最小，请在图中画出P点.
【答案】（1）见解析；（2）A （﹣1，2）；B （﹣3，1）；C （﹣4，3）；（3）见解析
1 1 1
【分析】
（1）首先确定A、B、C三点关于y轴的对称点位置，再连接即可；
（2）根据所画出的图形写出点的坐标；
（3）根据轴对称进行画图即可．
【详解】
解：（1）如图1所示：（2 ）A （﹣1，2）；B （﹣3，1）；C （﹣4，3）；
1 1 1
（3）如图2所示：作点B关于直线m的对称点的B ，连接AB ，交于x轴于P点，故为所求．
【点睛】
此题主要考查直角坐标系与轴对称图形的作图与性质，解题的关键是熟知对称性的运用．
29.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），△AOB为等腰直角三角形，∠AOB
＝90°，则点B的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2 D．（﹣1.5，3）
【答案】B【分析】
分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则可证明△AOC≌△OBD，从而易得点B的坐标．
【详解】
分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，如图
∵A点坐标为(3，2)
∴OC=3，AC=2
∵AC⊥x轴，BD⊥x轴
∴∠ACO=∠BDO=∠AOB=90°
∴∠BOD+∠AOC=90°，∠BOD+∠OBD=90°
∴∠AOC=∠OBD
∵△AOB为等腰直角三角形，且∠AOB=90°
∴AO=OB
在△AOC与△OBD中
∴△AOC≌△OBD（AAS）
∴OD=AC=2，BD=OC=3
∴点B的坐标为(－2，3)
故选：B
【点睛】
本题考查了图形与坐标，全等三角形的判定与性质，关键是作辅助线证明两个三角形全等．30.如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y＝x上运动，已知直线y＝x与x轴的夹角
为45°，则当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（ ，﹣ ）C．（﹣ ，﹣ ） D．（﹣ ，﹣ ）
【答案】C
【分析】
过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，先根据垂线段最短得出当点B与点D重合时线段AB最
短，再根据直线OB的解析式为y=x得出△AOD是等腰直角三角形，故OE= OA=1，由此可得出结论．
【详解】
解：过点A作AD⊥OB于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，
∵垂线段最短，
∴当点B与点D重合时线段AB最短．
∵直线OB的解析式为y=x，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴OE= OA= ，
∴D（- ，- ）．故选：C．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是
解答此题的关键．
31.如图，点 ， 的坐标分别为 ， ， 为坐标平面内一动点，且 ，点 为
线段 的中点，连接 ，当 取最大值时，点 的纵坐标为____．
【答案】
【分析】
根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在AB的延长线上时，AC最大，根
据中点坐标公式可得结论．
【详解】
解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=2，
∴C在⊙B上，且半径为2，∴当C在AB的延长线上时，AC最大，
过点C作CD⊥x轴，
∵点 ， 的坐标分别为 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ．
∵CD⊥x轴，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，即 ，
解得： ，
∴C点的纵坐标为 ，
∵点 为线段 的中点，
∴点 的纵坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了坐标和图形的性质，动点线段最值问题，勾股定理等知识，确定AC为最大值时点C的位置是解
题的关键．
32．如图，直线y＝kx+4与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且AB＝2 ．
（1）求点A的坐标；
（2）求k的值；
（3）C为OB的中点，过点C作直线AB的垂线，垂足为D，交x轴正半轴于点P，试求点P
的坐标及直线CP的函数表达式．【答案】（1） ；（2） ；（3） ，直线CP的解析式为
【分析】
（1）由题意可把x=0代入直线解析式求得点B的坐标，则有OB=4，然后根据勾股定理可得OA=2，则可得
点A的坐标；
（2）由（1）可把点A的坐标代入解析式求解即可；
（3）由题意易得OC=OA=2，然后可证△AOB≌△COP，进而可得OP=OB=4，最后问题可求解．
【详解】
解：（1）把x=0代入直线y＝kx+4可得：y＝4，
∴ ，
∴OB=4，
在Rt△AOB中，AB＝2 ，由勾股定理可得： ，
∴ ；
（2）由（1）可把点 代入直线y＝kx+4得：
，解得： ；
（3）∵点C为OB的中点，OB=4，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵∠AOB=∠COP=90°，∴△AOB≌△COP（AAS），
∴OP=OB=4，
∴ ，
设直线CP的解析式为 ，则把点 ， 代入得：
∴ ，解得： ，
∴直线CP的解析式为 ．
【点睛】
本题主要考查一次函数与几何的综合及勾股定理，熟练掌握一次函数与几何的综合及勾股定理是解题的关
键．
33.已知直线 ：y＝mx﹣3m（m≠0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线 ：y＝﹣ x+4与
y轴交于点C．
（1）如图1，若 ＝6，求A、B两点坐标．
（2）在（1）的条件下，直线 上是否存在点P使得 ＝ ？若存在，求出点P坐标；
若不存在，说明理由．
（3）当m为何值时，△ABC为等腰三角形？请直接写出m的值．
【答案】（1）A（3，0）、B（0，-4）；（2）存在，点P坐标为（ ，2）或（ ，-2）；（3）m的值为
或 或-3或【分析】
（1）先确定点A（3，0），点B（0，-3m），根据 ＝6，列式计算得到m的值，根据图像确定m的
值即可完成计算．
（2）设点P的坐标为（n， ），运用分类思想和图形面积分割法计算即可．
（3）运用等腰三角形三边中腰的分类求解即可．
【详解】
（1）∵y＝mx﹣3m（m≠0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点A（3，0），点B（0，-3m），
∵ ＝6，
∴ ，
∴ ，
解得m= 或m= （舍去），
∴点B（0，-4）；
（2）存在点P使得 ＝ .理由如下：
∵点P在直线y＝﹣ x+4上，
不妨设点P的坐标为（n， ），
当点P位于AC上时，如图1所示，
由（1）得点A（3，0），点B（0，-4），
∵y＝﹣ x+4与y轴交于点C，
∴点C（0，4），
与x轴的交点为（3，0），
故该直线也过点A（3，0），∴CB=4-（-4）=8，OA=3，
过点P作PD⊥y轴，垂足为D，
则PD=n，
∵ ＝ =6，
∴ = - = =6，
∴ ，
解得n= ，
∴点P的坐标为（n， ）即点P的坐标为（ ， ）；
当点P位于CA上时，如图2所示，
由（1）得点A（3，0），点B（0，-4），
∵y＝﹣ x+4与y轴交于点C，
∴点C（0，4），
与x轴的交点为（3，0），故该直线也过点A（3，0），
∴CB=4-（-4）=8，OA=3，
过点P作PD⊥y轴，垂足为D，
则PD=n，
∵ ＝ =6，
∴ = + = =18，
∴ ，
解得n= ，
∴点P的坐标为（n， ）即点P的坐标为（ ，- ）；
综上所述，点P的坐标为（ ， ）或（ ，- ）；
（3）∵点A（3，0），点B（0，-3m），点C（0，4），
∴ ， ， ，
∵△ABC是等腰三角形，
当AB=AC时即 ，
∴ ，
解得m= 或m= （舍去），
当AB=BC时即 ，
∴ ，
解得m= ，
当AC=BC时即 ，
∴ ，∴4+3m=5或4+3m=-5，
解得m= 或m= ，
综上所述，当△ABC是等腰三角形时，m的值为 或 或-3或 ．
【点睛】
本题考查了一次函数与坐标轴的交点，坐标与线段的关系，两点间的距离公式，等腰三角形的判定和性质，
图形面积的分割法计算，数学的分类思想，熟练掌握坐标与线段的关系，灵活运用分类思想，图形面积分
割法计算是解题的关键．
34.如图，直线l ：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l ：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B
1 2
（﹣1，5），直线l 与l 交于点C（2，m）．
1 2
（1）填空：k＝ ；b＝ ；m＝ ；
（2）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存
在，请说明理由．
（3）若动点P在射线DC上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，连接AP，设点P的运动
时间为t秒．是否存在t的值，使△ACP和△ADP的面积比为1：3？若存在，直接写出t的值；
若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ，4，2；（2）存在，点E的坐标为 ；（3）存在， 或
【分析】
（1）先把点B的坐标代入求解l 的解析式，进而可得b的值，则有点C的坐标，然后再利用待定系数法求
2
解即可；
（2）作点C关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点E，连接EC，则此时△BCE的周长最小，然后可求直线 的解析式，进而问题可求解；
（3）由题意可得： ，则可分，①当点P在线段DC上时，满足△ACP和△ADP的面积比为1：3，②
当点点P在线段DC外时，满足△ACP和△ADP的面积比为1：3，然后根据同底等高问题可进行求解．
【详解】
解：（1）∵直线l ：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），
2
∴ ，解得： ，
∴直线l ：y＝﹣x+4，
2
∵直线l ：y＝﹣x+4经过点C（2，m），
2
∴ ，
∴点C（2，2），
把点C（2，2）代入直线l ：y＝kx+1可得： ，
1
解得： ，
故答案为 ，4，2；
（2）存在，理由如下：
作点C关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点E，连接EC，如图所示：
∵C（2，2），B（﹣1，5），
∴ ， ，
由轴对称的性质可得 ，∴ ，
要使△BCE的周长最小，则B、E、C三点共线，则设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当y=0时，则有 ，解得： ，
∴当△BCE的周长最小时，则点E的坐标为 ；
（3）存在，理由如下：
由题意可得： ，则可分，
①当点P在线段DC上时，满足△ACP和△ADP的面积比为1：3，
∵△ACP和△ADP的高相同，则有面积比转化为底之比，
∴ ，即 ，
令y=0时，则有 ，解得： ，
∴ ，
∵C（2，2），
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当点P在线段DC外时，满足△ACP和△ADP的面积比为1：3，同理可得 ，
∴ ，
∴ ，即 ；
综上所述：当△ACP和△ADP的面积比为1：3， 或 ．【点睛】
本题主要考查一次函数与几何的综合及轴对称的性质，熟练掌握一次函数与几何的综合及轴对称的性质是
解题的关键．
