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第 02 讲 期中复习专题：解答题之易错经典题
目录
【考点一 等腰三角形与直角三角形的判定和性质】............................................................................................1
【考点二 垂直平分线于角平分线的判定和性质】................................................................................................7
【考点三 解一元一次不等式（组）】..................................................................................................................16
【考点四 解一元一次不等式（组）中的错解复原问题】..................................................................................19
【考点五 一元一次不等式（组）实际应用问题】..............................................................................................24
【考点六 几何图形中的平移和旋转作图问题】..................................................................................................28
【考点七 几何图形中的平移和旋转求解问题】..................................................................................................37
【考点一 等腰三角形与直角三角形的判定和性质】
例题：（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在 中， ，直线l经过顶点C，过A，B两点
分别作l的垂线 ， ，垂足分别为E，F， ．求证：
(1) ；
(2) 与 有怎样的位置关系？请说明理由．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，在 中， ， ， ，动点 、
同时从 、 两点出发，分别在 、 边上匀速移动，点 的运动速度为 ，点 的运动速度为
，当点 到达点 时， 、 两点同时停止运动，设点 的运动时间为 ．
(1)当t为何值时， 为等边三角形？
(2)当t为何值时， 为直角三角形？
2．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在 ， ，D为 上的一点， ，在
的右侧作 ，使得 ， ，连接 ， 交 于点O，若 ．(1)判断 的形状，并说明理由．
(2)求 的度数．
3．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在 中， ，点 为 上一点，过点 作
于点 ．
(1)当 平分 ，且 时，求 的度数；
(2)当点 是 中点， ，且 的面积为 ，求 的长．
4．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图1，等边 与等边 的顶点B，C，D三点在一条直线
上，连接 ，两线相交于点F．
(1)求证： ；
(2)求 的度数；
(3)如图2，连接 ，
①求证： 是 的平分线，
②若 ， ，求 的长度．
【考点二 垂直平分线于角平分线的判定和性质】
例题：（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，人教版八年级上册数学教材P 数学活动中有这样一
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段描述：如图，四边形 中， ， ．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝
形”．(1)试猜想直线 与线段 有什么关系？并证明你的猜想；
(2)过点D作 交 于点E，若 ， ，求 的长．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在 中， 平分 于 ，
连接 ，交 于点 ．
(1)求证： 是线段 的垂直平分线；
(2)若 ，求 的长．
2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在 中， 、 分别垂直平分 和 ，交 于
、 两点， 与 相交于点F．
(1)若 的长为 ，则 的周长为________ ；
(2)若 ，求 的度数；
(3)判断点F是否在 的垂直平分线上，并说明理由．
3．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在 中， ， ， ，若点P
从点C出发，以每秒 的速度沿折线 方向运动一周，当P点到达终点C时停止运动，设运
动时间为 秒（ ）．(1)若P点在边 上且满足 ，则此时 ________；
(2)若P点恰好在 的角平分线上，求此时 的值；
(3)在P点运动的过程中，当 为何值时， 是等腰三角形，直接写出 的值．
4．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图1，图2，在 中， 为 的平分线上一
点．
(1)如图1，当点 在线段 上时， 平分 ，分别交 于点 ，求 的度数；
(2)如图2，当点 在 的外部时，过点 作 ，交 于点 ，交 的延长线于
点 ，且 ．
①连接 ．求证：点 在 的垂直平分线上；
②若 ，则 ．
【考点三 解一元一次不等式（组）】
例题：（23-24八年级下·江西吉安·期中）解不等式（组）：
(1) ；
(2) ，并把它的解集表示在数轴上．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）解不等式组 ，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
2．（24-25八年级上·浙江·期中）解下列不等式（组）．
(1) ；
(2) ．
3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）（1）解不等式 ；并将其解集表示在数轴上．（2）解不等式组 ．
4．（24-25八年级上·浙江·期中）（1）解不等式： ，并将解集表示在下列数轴上；
（2）解不等式组：
【考点四 解一元一次不等式（组）中的错解复原问题】
例题：（23-24七年级下·广西百色·期中）【阅读理解】
下面是某同学解不等式组 的部分解答过程，请认真阅读并完成任务．
解：解不等式①：
移项，得 第1步，
合并同类项，得 第2步，
两边都除以 ，得 第3步．
【任务一】
（1）该同学的解答过程中第______步出现了错误，错误的原因是______，不等式①的正确解集是______；
【任务二】
（2）解不等式②；
（3）写出该不等式组的解集，并写出不等式组的非负整数解．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·广西贺州·期中）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读，并完成相应任务，
解不等式：
解： …第一步
…第二步
…第三步
…第四步
…第五步
(1)任务1：第二步是依据______进行变形的，第______步开始出现错误的，错误的原因是____________；
(2)任务2：请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式时还需要注意的事项给其他同学一条建议．
2．（23-24八年级下·江西抚州·期中）下面是小颖同学解一元一次不等式 的解答过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：去分母得， 第 步
去括号得， 第 步
移项得， 第 步
合并同类项得， 第 步
两边都除以 ，得 第 步
任务一：填空：
（ ）以上运算步骤中，第 步去括号依据的运算律是 ；
（ ）第 步移项的依据是 ；
（ ）第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：请写出正确的解答过程．
3．（23-24八年级下·山东枣庄·期中）解不等式组 ．
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
………………第1步
…………………第2步
……………………………第3步
…………………………………第4步
(1)任务一：该同学的解答过程第______步出现了错误，错误原因是______；不等式①的正确解集是______；
(2)任务二：解不等式②，求出该不等式组的解集，并在数轴上表示出来．
4．（23-24七年级下·山西晋城·期中）解不等式或不等式组：
(1)解不等式： ．
(2)解不等式组
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
第1步
第2步第3步
第4步
任务一：．该同学的解答过程第 步出现了错误，错误原因是 ，不等式①的正确解集是 ；
任务二：．解不等式②，并写出该不等式组的解集．
【考点五 一元一次不等式（组）实际应用问题】
例题：（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）某中学决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球
和足球．已知购买 个篮球和 个足球共需 元；购买 个篮球和 个足球共需 元．
(1)求篮球和足球的单价．
(2)学校计划采购篮球、足球共 个，并要求篮球不少于 个，且总费用不超过 元．那么有哪几种购
买方案？
【变式训练】
1．（23-24七年级下·全国·期中）某企业为了改善污水处理条件，决定购买 A，B 两种型号的污水处理设
备共8台，其中每台的价格、月处理污水量如下表：
A型 B型
价格/（万元/台） 8 6
月处理污水量/（吨/月） 200 180
经预算，企业最多支出 57万元购买污水处理设备，且要求设备月处理污水量不低于1490 吨．
(1)企业有哪几种购买方案？
(2)哪种购买方案更省钱？
2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖
水会变的更甜．我们把含糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度，甜度越大糖水越甜．小观现在有一杯质
量为100克的糖水，其中含有a克糖（ ）；他试了一下感觉不够甜，又向其中添加了10克糖，
并搅拌至完全溶解．
(1)原来的甜度为 ，加糖后的甜度为 ．
(2)根据加糖前后的甜度，请你利用不等式的基本性质证明加糖后确实变甜了．
(3)要使糖水口感好，又比较健康，甜度应不低于 ，又不超过 ．如果上述操作后甜度符合要求，那
么a应该在什么范围？
3．（24-25八年级上·广东广州·期中）春晚吉祥物“龙辰辰”发布后，某超市及时订购了甲、乙两种“龙
辰辰”布偶．每个甲种布偶的售价比乙种布偶贵10元，小明买2个甲种布偶和3个乙种布偶共花了270元．
(1)甲、乙两种布偶每个的售价分别为多少元？
(2)已知甲、乙两种布偶每个的进价分别为44元和36元，该超市共购进甲、乙两种布偶200个，全部销售
完后共获利不少于3040元，则至少购进甲种布偶多少个？
4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）为了迎接“亚东会”的到来及提高学生的身体素质，哈美佳外
校准备从某体育用品商店一次性购买若干个雪圈儿和雪地足球（每个雪圈儿的价格相同，每个雪地足球的价格相同），若购买2个雪圈儿和3个雪地足球共需310元，购买5个雪圈儿和2个雪地足球共需500元．
(1)每个雪圈儿和雪地足球各需多少元？
(2)根据学校的实际情况，需从该商店一次性购买雪圈儿和雪地足球共60个，要求购买雪圈儿和雪地足球
的总费用不超过4020元，那么最多可以购买多少个雪圈儿？
【考点六 几何图形中的平移和旋转作图问题】
例题：（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是
， ， ，（按要求画出图形，并回答）
(1)画出 关于点 成中心对称的 ，此时点 坐标为______；
(2)将 以点 为旋转中心逆时针旋转 ，画出旋转后对应的 ，此时点 坐标为______．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在
平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是 ．
(1) 向左平移3个单位得到的 ，则点A，B，C的对应点 的坐标分别为 （______），
（______）， （______）．
(2)画出 绕点 顺时针旋转 后得到的 ．
(3)求线段 的长．
2．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是 ，
， ．(1)以点C为旋转中心将 旋转 ，画出旋转后的 ；
(2)将 平移，使点A的对应点 的坐标为 ，画出平移后的 ；
(3)若将 绕某一点旋转可以得到 ，则旋转中心的坐标为________．
3．（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，已知 三个顶点的坐标分别为 ，
在给出的平面直角坐标系中：
(1)点 绕 点顺时针方向旋转 后所对应 的坐标是___________；
(2)作出 关于原点 成中心对称的 ；并直接写出 的坐标；
(3)求出 的面积．
4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是
， ， ．(1)将 以点C为旋转中心旋转 ，画出旋转后对应的 ；
(2)平移 ，若点A的对应点 的坐标为 ，画出平移后对应的 ；
(3)若将 绕某一点旋转可以得到 ；请直接写出旋转中心的坐标；
(4)在 轴上找一点 ，使 最短，直接写出 点坐标．
【考点七 几何图形中的平移和旋转求解问题】
例题：（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，将 绕点A逆时针旋转 ，得到 ， 与
相交于点O，点B的对应点D恰好落在 边上，且点A，B，E在同一条直线上．
(1)求证： 平分 ；
(2)求 的度数．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图， 中， ，点 是 内一点，将 旋转后
能与 重合
(1)旋转中心是点______；(2)若 ，求旋转角的度数．
2．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，在 中， ，将 绕着点 逆时旋转得到
，点 ， 的对应点分别为 ， ．点 落在 上，连接 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ， ，求 的长．
3．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，点P是等边 内的一点，且 将
绕点B逆时针旋转60度，使点A与边 上的点C重合，得到 ．
(1)求点P与点D之间的距离；
(2)连接 ，试判断 的形状，并说明理由．
4．（24-25八年级上·河南南阳·期中）同学们在学了“第13章三角形全等和等腰三角形”的知识之后，掌
握了两种证明线段相等的方法，即看两条线段若在同一个三角形中，常证明其所在的三角形为等腰三角形，
若两条线段在不同的三角形中，常证明两个三角形全等．请同学们尝试利用上述方法解决下面的问题：
如图（1）， 中， ，垂足为D， 平分 ，交 于点E，交 于点
F；
(1)求证： ；
(2)将图（1）中的 沿 向右平移到 的位置，使点 落在 边上，其它条件不变，如图
（2）所示．试猜想： 与 有怎样的数量关系？请证明你的结论．
