文档内容
第 02 讲 期中复习专题：解答题之易错经典题
目录
【考点一 等腰三角形与直角三角形的判定和性质】............................................................................................1
【考点二 垂直平分线于角平分线的判定和性质】................................................................................................7
【考点三 解一元一次不等式（组）】..................................................................................................................16
【考点四 解一元一次不等式（组）中的错解复原问题】..................................................................................19
【考点五 一元一次不等式（组）实际应用问题】..............................................................................................24
【考点六 几何图形中的平移和旋转作图问题】..................................................................................................28
【考点七 几何图形中的平移和旋转求解问题】..................................................................................................37
【考点一 等腰三角形与直角三角形的判定和性质】
例题：（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在 中， ，直线l经过顶点C，过A，B两点
分别作l的垂线 ， ，垂足分别为E，F， ．求证：
(1) ；
(2) 与 有怎样的位置关系？请说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2) ，见解析．
【知识点】全等三角形的性质、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余，证明
是解答的关键．
（1）证明 ，利用全等三角形的对应角相等可得结论；
（2）根据直角三角形的两个锐角互余证明 即可得结论．
【详解】（1）证明：∵ 于E点， 于F点
∴在 与 中
∴
∴ ；
（2） ，理由如下：在直角三角形 中，
∴
∴
∵E、C，F三点共线
∴
∴ ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，在 中， ， ， ，动点 、
同时从 、 两点出发，分别在 、 边上匀速移动，点 的运动速度为 ，点 的运动速度为
，当点 到达点 时， 、 两点同时停止运动，设点 的运动时间为 ．
(1)当t为何值时， 为等边三角形？
(2)当t为何值时， 为直角三角形？
【答案】(1)
(2) 或
【知识点】等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了含 角的直角三角形、等边三角形的判定，本题的关键是用含 的代数式表示出 、
，熟练掌握等边三角形的判定，当不确定哪个是直角时注意分类讨论的思想方法．
（1）用含 的代数式表示出 、 ，由于 ，当 时， 为等边三角形，列式求解即
可；
（2）分两种情况进行讨论：当 时， 时，利用直角三角形中，含 角的边的关系，
列式求解即可．
【详解】（1）解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，点 的运动速度为 ，
∴ ，
∵点 的运动时间为 ，
∴ ， ，
∴ ，当 时， 为等边三角形，
即 ，
解得： ；
∴当 时， 为等边三角形；
（2）解：若 为直角三角形，
①当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ；
②当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ；
综上所述，当 或 时， 为直角三角形．
2．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在 ， ，D为 上的一点， ，在
的右侧作 ，使得 ， ，连接 ， 交 于点O，若 ．
(1)判断 的形状，并说明理由．
(2)求 的度数．
【答案】(1) 是等边三角形，理由见解析
(2)
【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到
．（1）根据已知条件证明 ，可得 ，再根据 ，可得 ，然后
证明 是等边三角形即可；
（2）证明 是等边三角形，进而根据三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】（1）解： 是等边三角形；
理由如下：
，
，即 ，
在 和 中，
，
，
，
又 ，
，
，
，
又 ，
，
是等边三角形；
（2）解： 是等边三角形，
，
又 ， ，
是等边三角形，
， ，
在 中，
．
3．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在 中， ，点 为 上一点，过点 作
于点 ．(1)当 平分 ，且 时，求 的度数；
(2)当点 是 中点， ，且 的面积为 ，求 的长．
【答案】(1) ；
(2)4．
【知识点】三角形角平分线的定义、直角三角形的两个锐角互余、根据三角形中线求面积
【分析】此题考查了角平分线的定义，三角形中线的性质，直角三角形两锐角互余，等面积法．
（1）根据角平分线的定义及直角三角形的性质求解即可；
（2）由点 是 中点得 ，然后根据 求解即可．
【详解】（1）解：∵ 平分 ， （已知）
∴ ，（角平分线的定义）
∵ ，（已知）
∴ ，（垂直的定义）
∴ （三角形内角和推论）；
（2）解：∵点 是 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
4．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图1，等边 与等边 的顶点B，C，D三点在一条直线
上，连接 ，两线相交于点F．(1)求证： ；
(2)求 的度数；
(3)如图2，连接 ，
①求证： 是 的平分线，
②若 ， ，求 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①见解析；②6
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角
形的判定和性质
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌
握等边三角形的性质，证明 是解题的关键．
（1）由 证明 即可；
（2）由全等三角形的性质得 ，再由又 ， ，
，可得 ，，即可求解；
（3）①过点C作 ， ，垂足分别为 ， ，则 ， 由全等的性质
可得 ，再由 可得 ，得到 ，从而得出 是
的平分线，求得 ，推导得出 ，即可求解；
②在线段 上取一点G，使 ，连接 ，由等边三角形的性质可得 ， ，
， ，再证明 ，从而可得 ，再求解即可．
【详解】（1）证明： 和 都是等边三角形，
， ， ，
，
；
（2）解：如图，设 交 于点O，
由（1）可知， ，
，又 ， ， ，
，
；
（3）①证明：过点C作 ， ，垂足分别为 ， ，
则 ，
由（1）可知 ，
，
又 ，
，
，
是 的平分线，
，
，
是 的平分线，，
解：②在线段 上取一点G，使 ，连接 ，
由（2）可知， ，
是等边三角形，
， ，
是等边三角形，
， ，
，从而 ，
在 和 中，
，
，
，， ，
，
【考点二 垂直平分线于角平分线的判定和性质】
例题：（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，人教版八年级上册数学教材P 数学活动中有这样一
53
段描述：如图，四边形 中， ， ．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝
形”．
(1)试猜想直线 与线段 有什么关系？并证明你的猜想；
(2)过点D作 交 于点E，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)直线 垂直平分 ，见解析
(2)6
【知识点】两直线平行内错角相等、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定
【分析】此题考查了垂直平分线的判定、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识．
（1）根据垂直平分线的判定求解即可；
（2）由 ，得 ，而 ，所以 ，则
．
【详解】（1）直线 垂直平分
证明：∵
∴点D在 的垂直平分线上
又∵
∴点B在 的垂直平分线上
∴ 是 的垂直平分线；
（2）解： ，
．
由（1）知， ，
，
．
，
，
．
【变式训练】1．（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在 中， 平分 于 ，
连接 ，交 于点 ．
(1)求证： 是线段 的垂直平分线；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者
AAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含 度角的直角三角形：
（1）根据垂直定义可得 ，从而可得 ，再利用角平分线的定义可得
，然后利用 可证 ，从而利用全等三角形的性质可得 ，
，再利用线段垂直平分线判定定理即可解答；
（2）利用角平分线的定义可得 ，然后在 中，利用含 度角的直角三角形的性质可得
， ，再利用（1）的结论可得 ，从而可得 ，最后在
中，利用含 度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 是线段 的垂直平分线；（2）解：∵在 中， 平分 ，则 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在 中， 、 分别垂直平分 和 ，交 于
、 两点， 与 相交于点F．
(1)若 的长为 ，则 的周长为________ ；
(2)若 ，求 的度数；
(3)判断点F是否在 的垂直平分线上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点F在 的垂直平分线上，理由见解析
【知识点】等边对等角、线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟记线段的垂直平分线上的点到线
段的两个端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到 ，再根据三角形周长公式计算即可；
（2）根据三角形内角和定理得到 ，根据等腰三角形的性质计算即可；
（3）连接 ，证明 即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ 分别垂直平分 和 ，
∴ ，
∴ 的周长．
∵ ，
∴ 的周长为 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 分别垂直平分 和 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：点F在 的垂直平分线上，理由如下：
连接 ，
∵ 分别垂直平分 和 ，
∴ ，
∴ ，
∴点F在 的垂直平分线上．
3．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在 中， ， ， ，若点P
从点C出发，以每秒 的速度沿折线 方向运动一周，当P点到达终点C时停止运动，设运
动时间为 秒（ ）．
(1)若P点在边 上且满足 ，则此时 ________；
(2)若P点恰好在 的角平分线上，求此时 的值；
(3)在P点运动的过程中，当 为何值时， 是等腰三角形，直接写出 的值．
【答案】(1)(2)
(3) 或 或12或13
【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定
理
【分析】（1）设 ，则 ，在 中，依据 ，列方程求解即可得
到t的值．
（2）过P作 于D，设 ，则 ，在 中， ，列方程求
解即可得到t的值．
（3）分四种情况：当P在 上且 时，当P在 上且 时，过C作 于D，当
P在 上且 时，当P在 上且 时，分别依据等腰三角形的性质即可得到t的值．
【详解】（1）解：如图，设 ，则 ，
∵ ， ， ，
，
在 中， ，
，
解得： ，
,
，
故答案为： ；
（2）如图，过P作 于D，
平分 ，∵ ，
∴ （ ）
∴ ，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得： ，
（3）①如图，当P在 上且 时，
；
②如图，当P在 上且 时，过C作 于D，
，，
在 中， ，
，
；
③如图，当P在 上且 时，，
；
④如图，当P在 上且 时，
，而 ，
，
，
是 的中点，即 ，
；
综上所述，当 或 或12或13
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定以
及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第（3）题的关键．
4．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图1，图2，在 中， 为 的平分线上一
点．
(1)如图1，当点 在线段 上时， 平分 ，分别交 于点 ，求 的度数；
(2)如图2，当点 在 的外部时，过点 作 ，交 于点 ，交 的延长线于
点 ，且 ．
①连接 ．求证：点 在 的垂直平分线上；
②若 ，则 ．【答案】(1)
(2)①证明见解析，②2
【知识点】角平分线的性质定理、全等三角形综合问题、三角形的外角的定义及性质、直角三角形的两个
锐角互余
【分析】（1）根据直角三角形性质得 ，根据角平分线定义得 ，
，根据三角形外角性质得 ；
（2）①连接 ，如图所示，根据角平分线性质得 ，结合 ，
得 ，得 ，即得点 在线段 的垂直平分线上；②求出 ，根据
，得 ，得 ，得 ，即得
．
【详解】（1）解：∵在 中， ，
∴ ，
∵ 平分 平分 ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）①证明：连接 ，如图所示：
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴点 在 的垂直平分线上；②解：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质、三角形外角性质、角平分线定义和性质、
全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线判定等知识，解答本题的关键是添加辅助线，构造全等三角形
解决问题．
【考点三 解一元一次不等式（组）】
例题：（23-24八年级下·江西吉安·期中）解不等式（组）：
(1) ；
(2) ，并把它的解集表示在数轴上．
【答案】(1)
(2) ，见解析
【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题考查解一元一次不等式和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知
几个不等式的解集的公共部分的找法是解题关键．
（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后在数轴上表
示出不等式组的解集即可．
【详解】（1）解：去括号，得 ，
移项得： ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
（2）解不等式 ，得 ，解不等式 ，得 ，
则不等式组的解集为 ．
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【变式训练】
1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）解不等式组 ，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，数轴见解析
【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，根据解一元一次不等式组的
步骤，求出不等式组的解集，并按要求将解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解： ，
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
所以不等式组的解集为： ．
数轴表示如下：
．
2．（24-25八年级上·浙江·期中）解下列不等式（组）．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式组及解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式（组）的步骤是解
题的关键．
（1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可．（2）分别解两个不等式，再按照“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确
定不等式的解集即可．
【详解】（1）解： ，
，
．
（2）解： ，
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
所以不等式组的解集为 ．
3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）（1）解不等式 ；并将其解集表示在数轴上．
（2）解不等式组 ．
【答案】（1） ，数轴见详解；（2）
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组是解题的关键；
（1）解不等式，并在数轴上表示即可求解；
（2）分别解不等式，在数轴上表示出解集，找出解集的公共部分即可；
【详解】（1） ，
，
不等式解集为： ；
（2）
解不等式①得：
解不等式②得； ，不等式组的解集为： ；
4．（24-25八年级上·浙江·期中）（1）解不等式： ，并将解集表示在下列数轴上；
（2）解不等式组：
【答案】（1） ，数轴表示见解析；（2）
【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查的是解一元一次不等式和解一元一次不等式组，
（1）不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解，然后在数轴表示即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】解：（1）
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得， ，
数轴表示如下：
（2）
解不等式①得： ，
解不等式②得： ；
∴不等式组的解解集为 ．
【考点四 解一元一次不等式（组）中的错解复原问题】
例题：（23-24七年级下·广西百色·期中）【阅读理解】
下面是某同学解不等式组 的部分解答过程，请认真阅读并完成任务．
解：解不等式①：
移项，得 第1步，合并同类项，得 第2步，
两边都除以 ，得 第3步．
【任务一】
（1）该同学的解答过程中第______步出现了错误，错误的原因是______，不等式①的正确解集是______；
【任务二】
（2）解不等式②；
（3）写出该不等式组的解集，并写出不等式组的非负整数解．
【答案】（1）3，不等式两边都除以负数，不等号的方向没有改变， ； （2） ；（3）不等式
组的解集为 ，不等式组的非负整数解为0，1
【知识点】不等式的性质、求不等式组的解集
【分析】本题考查的是不等式的性质、解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）根据不等式的性质，不等式两边都除以负数，不等号的方向改变即可得出答案；
（2）根据 一元一次不等式的步骤计算即可得出答案；
（3）由（1）（2）即可得出不等式组的解集，再写出非负整数解即可．
【详解】解：（1）该同学的解答过程中第3步出现了错误，错误的原因是不等式两边都除以负数，不等号
的方向没有改变，正确解集为：
（2）解不等式②：
（3）不等式组的解集为 ，
故不等式组的非负整数解为0，1．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·广西贺州·期中）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读，并完成相应任务，
解不等式：
解： …第一步
…第二步
…第三步
…第四步
…第五步
(1)任务1：第二步是依据______进行变形的，第______步开始出现错误的，错误的原因是____________；
(2)任务2：请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式时还需要注意的事项给其他同学一条建议．
【答案】(1)乘法分配律；三；移项没有变号(2)去分母时，不含分母的项也要乘以最小公倍数；去括号时，括号前是负号要注意改变各项符号；移项时
要变号；不等式两边同乘以或除以一个负数不等号要变向
【知识点】求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤：①去分母；②
去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
（1）根据解不等式的步骤分析即可．
（2）根据解不等式的步骤，提出一条合理建议即可．
【详解】（1）解： …第一步
…第二步
…第三步
…第四步
…第五步
第二步是依据乘法分配律进行变形的，第三步开始出现错误的，错误的原因是移项没有变号；
（2）任务2：去分母时，不含分母的项也要乘以最小公倍数；去括号时，括号前是负号要注意改变各项符
号；移项时要变号；不等式两边同乘以或除以一个负数不等号要变向．（答案不唯一）
2．（23-24八年级下·江西抚州·期中）下面是小颖同学解一元一次不等式 的解答过程，请
认真阅读并完成相应任务．
解：去分母得， 第 步
去括号得， 第 步
移项得， 第 步
合并同类项得， 第 步
两边都除以 ，得 第 步
任务一：填空：
（ ）以上运算步骤中，第 步去括号依据的运算律是 ；
（ ）第 步移项的依据是 ；
（ ）第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：请写出正确的解答过程．
【答案】任务一：（ ）乘法分配律；（ ）不等式的性质；（ ） ；去分母时，每一项都要乘以最小
公倍数，第 步中 没有乘以最小公倍数 ；任务二：见解析．
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一
次方程（三）——去分母、不等式的性质
【分析】任务一：（ ）根据乘法分配律即可求解；
（ ）根据不等式的性质即可求解；（ ）根据去分母时漏乘最小公倍数即可求解；
任务二：按照解一元一次不等式的步骤解答即可求解；
本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
【详解】解：任务一：
（ ）第 步去括号依据的运算律是乘法分配律，
故答案为：乘法分配律；
（ ）第 步移项的依据是不等式的性质，
故答案为：不等式的性质；
（ ）第 步开始出现错误，这一步错误的原因是，去分母时，每一项都要乘以最小公倍数，第 步中
没有乘以最小公倍数 ，
故答案为： ；去分母时，每一项都要乘以最小公倍数，第 步中 没有乘以最小公倍数 ；
任务二：去分母得， ，
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为 得， ．
3．（23-24八年级下·山东枣庄·期中）解不等式组 ．
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
………………第1步
…………………第2步
……………………………第3步
…………………………………第4步
(1)任务一：该同学的解答过程第______步出现了错误，错误原因是______；不等式①的正确解集是______；
(2)任务二：解不等式②，求出该不等式组的解集，并在数轴上表示出来．
【答案】(1)4；不等式的基本性质应用错误；
(2)不等式②的解： ；不等式组的解集： ；图见解析；
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题考查解一元一次不等式，求不等式组的解集．熟练掌握不等式的性质是解题的关键，注意不
等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向要发生改变．
（1）系数化1时，系数小于0，不等号的方向要发生改变，由此得解；
（2）移项，合并同类项，系数化1，求出不等式②的解集，进而得出不等式组的解集即可．在数轴上表示不等式解集的时候，要注意能取到端点用实心点表示，否则用空心点表示．
【详解】（1）解：第3步为 ，
根据不等式性质，两边同除以 ，不等号要改变方向，故第4步应为 ，
错误原因是不等式的基本性质应用错误．
（2）解：
．
故不等式解集为： ．
数轴表示为：
4．（23-24七年级下·山西晋城·期中）解不等式或不等式组：
(1)解不等式： ．
(2)解不等式组
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
第1步
第2步
第3步
第4步
任务一：．该同学的解答过程第 步出现了错误，错误原因是 ，不等式①的正确解集是 ；
任务二：．解不等式②，并写出该不等式组的解集．
【答案】(1)
(2)任务一：4，不等式的两边同时除以 ，不等号的方向没有发生改变；
任务二：
【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，一元一次不等式组的求解，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）根据去分母，去括号，移项合并同类项得顺序进行解答即可；
（2）分别对不等式①②求解，即可判断原题哪一步错误，并得出正确结果．【详解】（1）解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
（2）任务一： 4，不等式的两边同时除以 ，不等号的方向没有发生改变； ；
任务二： ，
，
，
；
所以不等式组的解集为： ．
【考点五 一元一次不等式（组）实际应用问题】
例题：（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）某中学决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球
和足球．已知购买 个篮球和 个足球共需 元；购买 个篮球和 个足球共需 元．
(1)求篮球和足球的单价．
(2)学校计划采购篮球、足球共 个，并要求篮球不少于 个，且总费用不超过 元．那么有哪几种购
买方案？
【答案】(1)篮球的单价为 元，足球的单价为 元
(2)共有四种购买方案．方案一：采购篮球 个，采购足球 个；方案二：采购篮球 个，采购足球 个；
方案三：采购篮球 个，采购足球 个；方案四：采购篮球 个，采购足球 个
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意、正确列出二元一次方
程组和一元一次不等式组是解题的关键．
（1）设购买一个篮球需要 元，购买一个足球需要 元，根据“购买 个篮球和 个足球共需 元；购
买 个篮球和 个足球共需 元”，列出二元一次方程组求解即可；
（2）设采购篮球 个，则采购足球 个，根据“要求篮球不少于 个，且总费用不超过 元”，
列出一元一次不等式组，解不等式组得出 的取值范围，根据 为整数，得出方案情况即可．
【详解】（1）解：设购买一个篮球需要 元，购买一个足球需要 元，
由题意得： ，
解得： ，答：篮球的单价为 元，足球的单价为 元；
（2）解：设采购篮球 个，则采购足球 个，
∵要求篮球不少于 个，且总费用不超过 元，
∴ ，
解得： ，
∵ 为整数，
∴ 的值可为 ， ， ， ，
∴ ，则 ； ，则 ； ，则 ； ，则 ，
答：共有四种购买方案．方案一：采购篮球 个，采购足球 个；方案二：采购篮球 个，采购足球
个；方案三：采购篮球 个，采购足球 个；方案四：采购篮球 个，采购足球 个．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·全国·期中）某企业为了改善污水处理条件，决定购买 A，B 两种型号的污水处理设
备共8台，其中每台的价格、月处理污水量如下表：
A型 B型
价格/（万元/台） 8 6
月处理污水量/（吨/月） 200 180
经预算，企业最多支出 57万元购买污水处理设备，且要求设备月处理污水量不低于1490 吨．
(1)企业有哪几种购买方案？
(2)哪种购买方案更省钱？
【答案】(1)企业有2种购买方案，购买A型设备3台，B型设备5台；购买A型设备4台， B型设备4台
(2)购买A型设备3台， B型设备5台时更省钱
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、求一元一次不等式组的整数解、方案问题(二元一次方程组的应
用)
【分析】本题主要考查对于一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．
（1）设购买A型设备x台，则B型设备 台，根据“企业最多支出 57万元购买污水处理设备，且要
求设备月处理污水量不低于1490 吨”列出不等式组进行求解即可；
（2）求出当 和 时所需费用进行比较即可．
【详解】（1）解：设购买A型设备x台，则B型设备 台，
由题意得，
解得∵ ，且x为正整数，
∴x可取3和4，
故当购买A型设备3台，则B型设备5台；购买A型设备4台，则B型设备4台．
答：企业有2种购买方案，购买A型设备3台，B型设备5台；购买A型设备4台， B型设备4台．
（2）解：当 时， （万元）
当 时， （万元）
∵ ，
∴当购买A型设备3台， B型设备5台时更省钱．
2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖
水会变的更甜．我们把含糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度，甜度越大糖水越甜．小观现在有一杯质
量为100克的糖水，其中含有a克糖（ ）；他试了一下感觉不够甜，又向其中添加了10克糖，
并搅拌至完全溶解．
(1)原来的甜度为 ，加糖后的甜度为 ．
(2)根据加糖前后的甜度，请你利用不等式的基本性质证明加糖后确实变甜了．
(3)要使糖水口感好，又比较健康，甜度应不低于 ，又不超过 ．如果上述操作后甜度符合要求，那
么a应该在什么范围？
【答案】(1) ，
(2)见解析
(3)
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、用一元一次不等式解决实际问题、列代数式
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关
系，用含a的代数式表示出原来的甜度及加糖后的甜度；（2）作差后，找出 ；（3）根据
各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．（1）根据甜度公式计算即可得到含a的代数式表示出原
来的甜度及加糖后的甜度；
（2）二者作差后，可得出 ，结合 ，进而可证出加糖后确实变甜了；
（3）根据加糖后的甜度不低于 又不超过 ，可列出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的
取值范围．
【详解】（1）解：根据题意得：原来的甜度为 ，加糖后的甜度为 ；
（2）解：加糖前的甜度为 ，加糖后的甜度为 ，，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴加糖后确实变甜了；
（3）解：根据题意得： ，
解得： ，
∴a的取值范围为 ．
3．（24-25八年级上·广东广州·期中）春晚吉祥物“龙辰辰”发布后，某超市及时订购了甲、乙两种“龙
辰辰”布偶．每个甲种布偶的售价比乙种布偶贵10元，小明买2个甲种布偶和3个乙种布偶共花了270元．
(1)甲、乙两种布偶每个的售价分别为多少元？
(2)已知甲、乙两种布偶每个的进价分别为44元和36元，该超市共购进甲、乙两种布偶200个，全部销售
完后共获利不少于3040元，则至少购进甲种布偶多少个？
【答案】(1)甲、乙两种布偶每个的售价分别为 元
(2)至少购进甲种布偶 个以确保利润不少于 元
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是列出方程组或不等式；
（1）设甲种布偶售价 元、乙种布偶售价 元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设购进甲种布偶 个，根据题意列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设甲种布偶每个售价 元、乙种布偶每个售价 元，
根据题意得： ，
解得： ，
答： 甲、乙两种布偶每个的售价分别为 元；
（2）解：设购进甲种布偶 个，
根据题意，每个甲种布偶的利润为： （元），
每个乙种布偶的利润为： （元），
全部销售完后共获利为： ，
解得： ，答：至少购进甲种布偶 个以确保利润不少于 元．
4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）为了迎接“亚东会”的到来及提高学生的身体素质，哈美佳外
校准备从某体育用品商店一次性购买若干个雪圈儿和雪地足球（每个雪圈儿的价格相同，每个雪地足球的
价格相同），若购买2个雪圈儿和3个雪地足球共需310元，购买5个雪圈儿和2个雪地足球共需500元．
(1)每个雪圈儿和雪地足球各需多少元？
(2)根据学校的实际情况，需从该商店一次性购买雪圈儿和雪地足球共60个，要求购买雪圈儿和雪地足球
的总费用不超过4020元，那么最多可以购买多少个雪圈儿？
【答案】(1)每个雪圈儿80元，雪地足球50元
(2)34个
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，
是解题的关键：
（1）设每个雪圈儿的价格为 元，每个雪地足球的价格为 元，根据购买2个雪圈儿和3个雪地足球共需
310元，购买5个雪圈儿和2个雪地足球共需500元，列出方程组进行求解即可；
（2）设购买 个雪圈儿，根据购买雪圈儿和雪地足球的总费用不超过4020元，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设每个雪圈儿的价格为 元，每个雪地足球的价格为 元，由题意，得：
，解得： ；
答：每个雪圈儿80元，雪地足球50元；
（2）设购买 个雪圈儿，由题意，得：
，
解得： ，
答：最多可以购买34个雪圈儿．
【考点六 几何图形中的平移和旋转作图问题】
例题：（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是
， ， ，（按要求画出图形，并回答）(1)画出 关于点 成中心对称的 ，此时点 坐标为______；
(2)将 以点 为旋转中心逆时针旋转 ，画出旋转后对应的 ，此时点 坐标为______．
【答案】(1)图见解析， ；
(2)图见解析， ．
【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、求绕原点旋转90度的点的坐标、画旋转图形
【分析】本题考查了作图 旋转变换，解题的关键是根据旋转变换的定义作出变换后的对应点．
（1）延长 到点 ，使 ，延长 到点 ，使 ，依次连接 ，则 即
为所求；
（2）作出点 ， ， 以点 为旋转中心逆时针旋转 的对应点 ， ，
，依次连接 、 、 ，则 即为所求．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
由图可知，点 坐标为 ，
故答案为： ；
（2）解：如图， 即为所求；
由图可知，点 的坐标为 ，故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在
平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是 ．
(1) 向左平移3个单位得到的 ，则点A，B，C的对应点 的坐标分别为 （______），
（______）， （______）．
(2)画出 绕点 顺时针旋转 后得到的 ．
(3)求线段 的长．
【答案】(1)图见解析； ， ， ．
(2)图见解析
(3)
【知识点】勾股定理与网格问题、平移(作图)、由平移方式确定点的坐标、画旋转图形
【分析】此题考查了旋转和平移的作图，勾股定理、点的坐标等知识．
（1）分别找到点A，B，C向左平移3个单位得到的对应点 ，顺次连接得到 ，再写出坐标
即可；
（2）分别找到点A，B，C绕点 顺时针旋转 后的对应点 ，顺次连接即可；
（3）利用勾股定理进行解答即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求，点A，B，C的对应点 的坐标分别为 ，
， ．故答案为： ， ， ．
（2）如图， 即为所求，
（3） ，
即线段 的长为 ．
2．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是 ，
， ．(1)以点C为旋转中心将 旋转 ，画出旋转后的 ；
(2)将 平移，使点A的对应点 的坐标为 ，画出平移后的 ；
(3)若将 绕某一点旋转可以得到 ，则旋转中心的坐标为________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【知识点】平移(作图)、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、画旋转图形、求绕某点（非原点）旋转
90度的点的坐标
【分析】坐标与图形变换—旋转和平移：
（1）找到点A，B，C的对应点，再顺次连接，即可求解；
（2）找到点A，B，C的对应点，再顺次连接，即可求解；
（3）根据旋转的性质解答即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
（2）解：如图， 即为所求；
（3）解：因为将 绕点 旋转可以得到 ，
所以旋转中心的坐标为 ．
故答案为：
3．（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，已知 三个顶点的坐标分别为 ，
在给出的平面直角坐标系中：(1)点 绕 点顺时针方向旋转 后所对应 的坐标是___________；
(2)作出 关于原点 成中心对称的 ；并直接写出 的坐标；
(3)求出 的面积．
【答案】(1)
(2)见解析，
(3)3
【知识点】画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标、利用网格求三角形面积
【分析】本题主要考查图形在平面直角坐标系中的变换，解题的关键是点的坐标．
（1）作 绕点 顺时针旋转 得 ，进而得到 的坐标；
（2） 关于原点 成中心对称的 ，则点 ， ， 与点 ， ， 的坐标
关系是横纵坐标变为原来的相反数，由此即可求解；
（3）利用割补法即可求解．
【详解】（1）解： 绕点 顺时针旋转 ，如图所示，
由图可得点 ，
故答案为： ．（2）解：根据 关于原点 成中心对称的 ，作图如下，
∵ 关于原点 成中心对称的
∴ 与点 的坐标关系是横纵坐标变为原来的相反数，
∴ ．
（3）解：
4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是
， ， ．
(1)将 以点C为旋转中心旋转 ，画出旋转后对应的 ；
(2)平移 ，若点A的对应点 的坐标为 ，画出平移后对应的 ；
(3)若将 绕某一点旋转可以得到 ；请直接写出旋转中心的坐标；
(4)在 轴上找一点 ，使 最短，直接写出 点坐标．【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)
【知识点】线段问题(轴对称综合题)、找旋转中心、旋转角、对应点、平移(作图)、写出直角坐标系中点的
坐标
【分析】本题考查了旋转、平移作图，轴对称的性质，坐标与图形；
（1）根据旋转的性质找到 的对应点，顺次连接，即可求解；
（2）根据平移的性质找到 的对应点，顺次连接，即可求解；
（3）连接旋转前后的对应点即可找出旋转中心；
（4）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则点 即为所求点，根据坐标系写出点的坐标，
即可求解．
【详解】（1）解： 即为所求
（2）解：如图所示， 即为所求（3）解：点 即为所求，
（4）解：如图所示，点 即为所求，【考点七 几何图形中的平移和旋转求解问题】
例题：（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，将 绕点A逆时针旋转 ，得到 ， 与
相交于点O，点B的对应点D恰好落在 边上，且点A，B，E在同一条直线上．
(1)求证： 平分 ；
(2)求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】根据旋转的性质求解、等边对等角、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质，根据题目的已知
条件并结合图形进行分析是解题的关键．
（1）根据旋转的性质可得： ， ，然后利用等边对等角可得 ，从而可得 ，
即可解答；
（2）根据旋转的性质可得： ，求出 ，然后求出 ，
然后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）证明：如图：由旋转得： ， ，
，
，
平分 ；
（2）解：如图，
由旋转得： ，
∴ ，
由（1）得， ，
∴ ．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图， 中， ，点 是 内一点，将 旋转后
能与 重合
(1)旋转中心是点______；
(2)若 ，求旋转角的度数．
【答案】(1)
(2)旋转角的度数为
【知识点】根据旋转的性质求解、等边对等角、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查的旋转的性质，等腰三角形的定义，掌握旋转的性质是解题的关键．（1）根据旋转的性质，结合题意即可求解；
（2）根据等边对等角，三角形内角和定理得到 的角度，由旋转的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵将 旋转后能与 重合，
∴旋转中心是点 ，
故答案为： ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵将 旋转后能与 重合，
∴旋转角为 ，旋转角的度数为 ．
2．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，在 中， ，将 绕着点 逆时旋转得到
，点 ， 的对应点分别为 ， ．点 落在 上，连接 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、等边对等角、化为最简二次根式
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质：
（1）根据三角形的内角和定理得到 ，根据旋转的性质得到 ， ，根
据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到 ，根据旋转的性质得到 ， ，根据勾股定理即可得
到结论．
【详解】（1）解：在 中， ， ，
，
将 绕着点 逆时针旋转得到 ，
， ，
；
（2）解： ， ， ，，
将 绕着点 逆时针旋转得到 ，
， ，
，
．
3．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，点P是等边 内的一点，且 将
绕点B逆时针旋转60度，使点A与边 上的点C重合，得到 ．
(1)求点P与点D之间的距离；
(2)连接 ，试判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1)点P与点D之间的距离是10
(2) 是直角三角，理由见解析
【知识点】等边三角形的判定和性质、判断三边能否构成直角三角形、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理，熟练掌握旋转性质和勾股
定理的逆定理是解答的关键．
（1）连接 ，根据旋转性质得到 ， ，可证明 是等边三角形，进而利用等边三
角形的性质得到 即可求解；
（2）先由旋转性质得到 ，在 中，推导出 ，利用勾股定理的逆定理
可得结论．
【详解】（1）解：连接 ，
∵将 绕点B逆时针旋转60度，得到 ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
即点P与点D之间的距离是8；（2）解： ．理由为：
∵将 绕点B逆时针旋转60度，得到 ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ．
4．（24-25八年级上·河南南阳·期中）同学们在学了“第13章三角形全等和等腰三角形”的知识之后，掌
握了两种证明线段相等的方法，即看两条线段若在同一个三角形中，常证明其所在的三角形为等腰三角形，
若两条线段在不同的三角形中，常证明两个三角形全等．请同学们尝试利用上述方法解决下面的问题：
如图（1）， 中， ，垂足为D， 平分 ，交 于点E，交 于点
F；
(1)求证： ；
(2)将图（1）中的 沿 向右平移到 的位置，使点 落在 边上，其它条件不变，如图
（2）所示．试猜想： 与 有怎样的数量关系？请证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)猜想： ．证明见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、利用平移的性
质求解
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等角对等边、图形的平移等知识．
（1）利用余角和对顶角的性质得到 ，即可证明结论；
（2）证明 ，则 ，由（1）可知 ，即可证明猜想成立．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 于D，
∴ ，
∴∴ ；
（2）猜想： ．
证明：如图，
∵ ，
∴ ．
∵ 于D，
∴ ，
∴ ，即 ．
由平移的性质可知： ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ 即
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
由（1）可知 ，
∴ ．
