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第 02 讲 实数
1.实数 有理数和无理数统称为实数。
2.无理数的概念
无限不循环小数叫做无理数
如π=3.1415926…，
，－1.010010001…，都是无理数。
对无理数概念的理解主要抓住以下几点
①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；
② 凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如 、 等。
3.确定一个无理数的整数部分、小数部分的方法
确定一个无理数的整数部分，一般采用估算法估算到个位，确定其小数部分，
首先确定其整数部分，然后用这个数减去它的整数部分即是小数部分。4.在数轴上表示无理数
每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每个点都表示一
个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的因此，数轴正好可以被实数填满。
在数轴上找到确定的无理数的点一般是构造直角三角形，借助勾股定理求解。
5．平方根的概念
如果一个数 的平方等于 ，即 ，那么这个数 叫做 的平方根，
也叫二次方根。即若 ，则 就称为 的平方根。
6．平方根的性质
①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
②零有一个平方根，它是零本身；
③负数没有平方根。
7．平方根的表示方法
一个正数 的正的平方根，用符号“ ”表示， 叫做被开方数，
2 叫做根指数；正数 的负平方根用符号“ ”表示，根指数是 2 时，通常略
去不写，所以这两个平方根记作 。
8．算术平方根
正数 的正的平方根，也叫做 的算术平方根，记作 （ ），
0的平方根叫做0的算术平方根。因此，0的算术平方根为0，即 。9．开平方的小数点移动规律
如果被开方数的小数点，向右或向左每移动两位，它的平方根的小数点就相
应地向右或向左移动一位。
10．立方根
定义 如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根（也称作a的三次方
根）．
即：若 ，则x称为a的立方根，记作 ，其中a是被开方数，3是根指数．
11．表示方法
3
a的立方根表示为“√a”，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3 是根指
数．
注意：这里的“3”不能省略．
12.性质
任何数都有立方根，且只有一个立方根（这与平方根的性质不同）．
正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0．例题1
(1)4的算术平方根是（ ）
A．-2 B．2 C． D．
例题2
下列判断正确的是（ ）
A． B． 的算术平方根是3
C．27的立方根是±3 D．正数a的算术平方根是
例题3
（1）若 有意义，则a能取的最小整数为（ ）
A．0 B．﹣4 C．4 D．﹣8（2）函数 中，自变量x的取值范围是__________．
例题4
（1）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
（2）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
例题5
在给出的一组数 ， ， ， ， ， 中，是无理数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
例题6
（1）估算 的值是在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
（2）如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A． +1 B． -1 C．- +1 D．- -1例题7
（1）计算 的结果是___．
（2）如果 +（2﹣b）2＝0，那么 ＝___．
例题8
计算
1.16的算术平方根是( )
A．4 B．-4 C． D．8
2.下列各式中计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.下列实数中最大的是（ ）
A．1 B． C．3 D．4.下列实数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0.1010010001
5.在π， ，- ， ，3.1416中，无理数的个数是( )个．
A．2 B．4 C．5 D．6
6.对于任意实数x，下列代数式都有意义的是（ ）
A． B． C． D．
7.下列各数中，不是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列实数﹣ ， ，|﹣3|， ， ， ，0.4040404…（每相邻两个4之间一个0）中，
无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10.下列计算正确的是（ ）
A． B． ＝±3 C． D．
11．如图，已知直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，以点 为圆心， 为半径画
弧，交 轴正半轴于点 ，则点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
12．下列结论正确的是（ ）
A．无限小数是无理数 B．无限不循环小数是无理数
C．有理数就是有限小数 D．无理数就是开方开不尽的数
13．下列四个数中，与 最接近的数是（ ）
A．2 B．3 C．2.5 D．2.6
14，下列说法正确的是（ ）
A．负数没有立方根
B． ＝±4
C．无理数包括正无理数、负无理数和零
D．实数和数轴上的点是一一对应的
15．若二次根式 有意义，则x的取值范围是( )
A．x＞ B．x≥ C．x≤ D．x≤5
16.如图， ，则数轴上点 所表示的数为（ ）．A． B． C． D．
17.如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，2），以点A为圆心，线段AB长为半
径画弧，交x轴正半轴于点C，点C的横坐标是（ ）
A． B．2 C． D．
18.下列运算中错误的是（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤
A．②③ B．①④ C．②④ D．③⑤
19.若 ，则化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
20.若 =2.938， =6.329，则 =______．
21．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b＝ ，如3※2＝
，那么6※3＝_____．
22．若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是_________23.计算：
（1） （2）
24.观察：∵ ＜ ＜ ，即2＜ ＜3，∴ 的整数部分为2，小数部分为 ﹣2，请你
观察上述式子规律后解决下面问题．
（1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分，例如：[ ]＝0，[π]＝3，填空：[ +2]＝
；[5﹣ ]＝ ．
（2）如果5+ 的小数部分为a，5﹣ 的小数部分为b，求a2﹣b2的值．25.阅读下面的文字，解答问题．
例如：∵ ，即 ，∴ 的整数部分为2，小数部分为 2，请解答：
（1） 的整数部分是 ；
（2）已知：8 的小数部分是m，8 小数部分是n，且（x﹣1）2＝m＋n，请求出满足
条件的x的值．26．在解决问题：“已知a＝ ，求3a2﹣6a﹣1的值”．
∵a＝ ＝ ＝ +1，
∴a﹣1＝
∴（a﹣1）2＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴3a2﹣6a＝3，
∴3a2﹣6a﹣1＝2．
请你根据小明的解答过程，解决下列问题：
（1）化简： ；
（2）若a＝ ，求2a2﹣12a﹣1的值．27．已知：x+3的平方根是±3，3x+y﹣1的立方根是3．
（1）求x、y的值，
（2）求x+y的算术平方根．
28．按要求解决下列问题：
（1）化简下列各式：
= ， = ， = ， = ，…
（2）通过观察，归纳写出能反映这个规律的一般结论，并证明．29.小明在解决问题：已知a＝ ，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
∵a＝ ．
∴a﹣2＝﹣ ．
∴(a﹣2)2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2(a2﹣4a)+1＝2×(﹣1)+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： ＝ ；
（2）计算： +…+ ；
（3）若a＝ ，求2a2﹣8a+1的值．
