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专题5.20 二元一次方程（组）与一次函数（知识讲解）
【学习目标】
1. 能用函数观点看一次方程（组），能用辨证的观点认识一次函数与一次方程的区别与联
系.
2. 在解决简单的一次函数的问题过程中，建立数形结合的思想及转化的思想．
【要点梳理】
要点一、一次函数与一元一次方程的关系
y kxb k b y
一次函数 （ ≠0， 为常数）.当函数 ＝0时，就得到了一元一次方程
kxb0 x kxb
，此时自变量 的值就是方程 ＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化
为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.
y kxb k b x
从图象上看，这相当于已知直线 （ ≠0， 为常数），确定它与 轴交点
的横坐标的值.
要点二、一次函数与二元一次方程组
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，
解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从
“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
特别说明：
1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，
两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组
y 2x4
的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数 与
y 2x4
3 13 3 13
y x 图象的交点为(3，－2)，则 就是二元一次方程组 y x 的解.
2 2 2 2
2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点
则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程
组就无解.如二元一次方程组 无解，则一次函数 y 3x5与 y 3x1的图
象就平行，反之也成立.
3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合
反之也成立.
要点三、待定系数法求一次函数的解析式
第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
第四步（写）：写出该函数的解析式。
要点四、方程组解的几何意义1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．
2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况：
根据交点的个数，看出方程组的解的个数；
根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．
3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的
解的个数．
【典型例题】
类型一、两直线的交点与二元一次方程组的解
1、如图，已知直线y=kx+b经过点A(5,0),B(1，4).
（1）求直线AB的解析式；（2）若直线y=2x-4与直线AB相交于点C，求点C的坐
标.
【答案】
【分析】
(1)利用待定系数法即可求得函数的解析式；
(2)解两个函数解析式组成方程组即可求解；
解：(1)根据题意得：
，解得 ，
则直线AB的解析式是 ；
(2)根据题意得：
，解得： ，
则C的坐标是 ；
【点拨】本题考查一次函数用待定系数法求解析式以及交点的求法.举一反三：
【变式1】已知直线y＝2x与y＝－x＋b的交点坐标为(1，a)，试确定方程组
的解和a、b的值．
【答案】
解：∵直线 过点（1，a），∴a=2，
∴交点坐标为（1，2），
∵ 过（1，2），
∴2=﹣1+b，解得：b=3，
∴方程组 的解为 ，
故答案为 ．
考点：一次函数与二元一次方程（组）．
【变式2】如图，直线l：y＝x＋1与直线l：y＝mx＋n相交于点P(1，b)．
1 2
(1)求b的值；
(2)不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解．
【答案】(1)2(2)
解：试题分析：(1)、将点P的坐标代入y=x+1即可得出答案；(2)、两个函数的交点坐
标就是以这两个一次函数所组成的二元一次方程组的解．
试题解析：(1)、∵(1，b)在直线y＝x＋1上，∴当x＝1时，b＝1＋1＝2.(2)、∵直线l：y＝x＋1与直线l：y＝mx＋n相交于点P(1，b)，
1 2
∴方程组 的解是 ．
点睛：本题主要考查的就是一次函数的交点与二元一次方程组的关系，属于简单题型．
解决这种问题的时候，我们首先根据待定系数法求出两个一次函数的解析式，然后将解析
式写成方程的形式，两个方程所形成的方程组的解就是两个函数的交点．如果两个一次函
数的解析式不明确时，如果交点坐标已知，那么方程组的解也是可以求出的．
【变式3】如图，已知直线 与x轴交于点A，与直线 交于点B．
（1）求点A、B两点的坐标；
（2）直接写出y＞y 时x的取值范围．
1 2
【答案】（1）A（2，0）, ;（2）当y＞y 时，x＞-1.
1 2
【分析】
(1)根据直线与x轴的坐标的特点，将y=0，代入解析式，即可求得点A的坐标；联立
两条直线解析式组成方程组，求得方程组的解，即可得到点B的坐标；
(2)由点B的坐标可知y＞y 时，x>-1.
1 2
解：(1)由y=- x+1，可知当y=0时，x=2，
1
∴点A的坐标是(2，0)，
∵y=- x+1与y=− x交于点B， ，解得
1 2∴B点的坐标是(-1， )；
(2) 由点B的坐标可知y＞y 时，x>-1.
1 2
故答案为：(1)A(2，0)，B(-1， )；(2) ；(3)x>-1.
【点拨】本题考查两条直线的交点，解决此题时，明确二元一次方程组与一次函数的
关系是解决此类问题的关键．
类型二、图象法解二元一次方程组
2、已知二元一次方程 ，通过列举将方程的解写成下列表格的形式：
-1 5 6
6 5 0
如果将二元一次方程的解所包含的未知数 的值对应直角坐标系中一个点的横坐标，
未知数 的值对应这个点的纵坐标，这样每一个二元一次方程的解，就可以对应直角坐标
系中的一个点，例如：方程 的解 的对应点是 ．
（1）表格中的 ________， ___________；
（2）通过以上确定对应点坐标的方法，将表格中给出的五个解依次转化为对应点的坐
标，并在所给的直角坐标系中画出这五个点；根据这些点猜想方程 的解的对应点
所组成的图形是_________，并写出它的两个特征①__________，②_____________；
（3）若点 恰好落在 的解对应的点组成的图形上，求 的值．
【答案】（1）0，-1；（2）见解析；（3）-6．【分析】
（1）根据题意，将m和n代入方程即可得解；
（2）将每个对应点的坐标在直角坐标系中进行描点，即可得出图形，然后观察其特征
即可；
（3）将点P代入即可得出 的值.
解：（1）根据表格，得 ，
∴m=0，n=-1；
（2）如图所示，即为所求：
该图形是一条直线；
①经过第一、二、四象限；②与y轴交于点（0，5）（答案不唯一）；
（3）把x=﹣2a，y= a-1代入方程x+y＝5中，得
-2a+（a-1）=5，
解之，得a=-6．
【点拨】此题主要考查二元一次方程和平面直角坐标系综合运用，熟练掌握，即可解
题.
举一反三：
【变式1】用图像法解二元一次方程组 .
【答案】 .
【分析】
由题意将二元一次方程组变形为一次函数，两个函数图像的交点即为二元一次方程组
的解.解：由 ，可得 ，
由 ，可得 ，
由此作图直线 和 的交点即为二元一次方程组的解，
所以二元一次方程组的解为 .
【点拨】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握利用图像法解二元一次方程组的方法
是解题的关键.
【变式2】用图象法解下列二元一次方程组：
（1）
（2） ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
先把各个方程化成一次函数的形式，再作出对应的函数图象，即可得到结果.
解：（1）由 得 ，
由 得 ，如图，在同一直角坐标系中，画出一次函数 和 的图象，它们的交
点坐标为（1，3）
所以原二元一次方程组的解为 ；
（2）由 得
由 得
如图，在同一直角坐标系中，画出一次函数 和 的图象，它们的
交点坐标为（2，-2）
所以原二元一次方程组的解为 .（1）由 得
由 得
如图，在同一直角坐标系中，画出一次函数 和 的图象，它们的交
点坐标为（1，3）
所以原二元一次方程组的解为 ；
（2）由 得
由 得
如图，在同一直角坐标系中，画出一次函数 和 的图象，它们的
交点坐标为（2，-2）所以原二元一次方程组的解为 .
【点拨】本题考查图象法解二元一次方程组，熟练掌握图象法解二元一次方程组的一
般步骤是解题关键.
【变式3】在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y＝2x－4，y＝x＋1的图像，根
1 2
据图像回答下列问题：
(1)求二元一次方程组 的解；
(2)求一元一次不等式组 的解集．
【答案】（1） ，（2）x＞2.
【解析】
【分析】
（1）在同一坐标系内作出函数y＝2x－4和y＝x＋1的图象，它们的交点坐标就是所
1 2
求；
（2）观察图象可知，直线y＝2x－4和y＝x＋1同时落在x轴上方的部分对应的x的
1 2
取值范围即为所求．
解：图像如图所示．
(1)由图像知，直线y＝2x－4与y＝x＋1的交点坐标为(5，6)，所以方程组
1 2的解为 ；
(2)由图像知，不等式组 的解集为x＞2.
【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程组、一次函数与一元一次不等式的关系，
准确画出函数图象、利用数形结合思想是解题的关键．
类型三、求直线围成的图形的面积
3、已知，直线y=2x+3与直线y=﹣2x﹣1.
（1）求两直线与y轴交点A，B的坐标；
（2）求两直线交点C的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【答案】（1）A（0，3），B（0，-1）；
（2）点C的坐标为（-1，1）；
（3）S = 2.
△ABC
【分析】
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）构建方程组确定交点坐标即可；
（3）过点C作CD⊥AB交y轴于点D，根据S = AB•CD计算即可.
△ABC
解：（1）在y=2x+3中，当x=0时，y=3，即A（0，3）；
在y=-2x-1中，当x=0时，y=-1，即B（0，-1）；
（2）依题意，得 ，解得 ；
∴点C的坐标为（-1，1）；
（3）过点C作CD⊥AB交y轴于点D；
∴CD=1；
∵AB=3-（-1）=4；
∴S = AB•CD= ×4×1=2.
△ABC
【点拨】本题考查两条直线平行或相交问题、三角形的面积等知识，解题的关键是熟
练掌握基本知识，学会利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．
举一反三：
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，
6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求k、b的值；
（2）请直接写出不等式kx+b﹣3x＞0的解集．
（3）若点D在y轴上，且满足S ＝2S ，求点D的坐标．
△BCD △BOC
【答案】（1）k=-1，b=4；（2）x＜1；（3）点D的坐标为D（0，﹣4）或D（0，12）．
【分析】
（1）用待定系数法求解；（2）kx+b＞3x，结合图象求解；（3）先求点B的坐标为
（4，0）．设点D的坐标为（0，m），直线DB：y＝- ，过点C作CE∥y轴，交
BD于点E，则E（1， ），可得CE，S ＝S +S ＝ ＝ |3﹣ |×4
△BCD △CED △CEB
＝2|3﹣ ，由S ＝2S 可求解.
△BCD △BOC
解：（1）当x＝1时，y＝3x＝3，
∴点C的坐标为（1，3）．
将A（﹣2，6）、C（1，3）代入y＝kx+b，
得：
解得： ；
（2）由kx+b﹣3x＞0，得
kx+b＞3x，
∵点C的横坐标为1，
∴x＜1；
（3）由（1）直线AB：y＝﹣x+4
当y＝0时，有﹣x+4＝0，
解得：x＝4，
∴点B的坐标为（4，0）．设点D的坐标为（0，m），
∴直线DB：y＝- ，
过点C作CE∥y轴，交BD于点E，则E（1， ），
∴CE＝|3﹣ |
∴S ＝S +S ＝ ＝ |3﹣ |×4＝2|3﹣ |．
△BCD △CED △CEB
∵S ＝2S ，即2|3﹣ |＝ ×4×3×2，
△BCD △BOC
解得：m＝﹣4或12，
∴点D的坐标为D（0，﹣4）或D（0，12）．
【点拨】考核知识点：一次函数的综合运用.数形结合分析问题是关键.
【变式2】已知一次函数 的图象经过点 ，且与正比例函数 的图
象相交于点 .
求：
（1）a的值；
（2）k，b的值；
（3）这两个函数图象与x轴所围成的三角形的面积.【答案】（1） （2） ， （3）
【分析】
（1）将 代入 ，可求a;.
（2）用待定系数法求出 ， .
（3）由（2）知一次函数表达式为 ，求出直线与坐标轴的交点坐标，再求三
角形面积.
解：（1）将 代入 ，得 .
（2）将 ， 代入 ，得 ， .解得 ， .
（3）由（2）知一次函数表达式为 ，当 时，x= ，即 与x轴
的交点的坐标为 ，设该交点为点B.所以
【点拨】考核知识点：求一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积.求出关键点坐标是
关键.
【变式3】如图，直线 分别与 轴、 轴交于A、B两点．过点B的直
线 交 轴于点C．点D 是直线 上的一点，连接CD．
（1）求AB的长和点D的坐标；
（2）求△BCD的面积．
【答案】（1） ，D的坐标为（﹣2，6）；（2）S =12
△BCD【分析】
（1）根据题意易求出点A的坐标和点B的坐标，再利用两点的距离公式即可求出AB
长；由点D(n，6)是直线l 上的一点，即可求出D点坐标．
1
（2）过点D作 轴，交BC于点E．由点D坐标可求出点E纵坐标，即可求出
DE的长．再由 交x轴于点C，即可求出C点坐标．最后利用三角形面积公式即
可．
解：（1）∵直线 ： 分别与x轴，y轴交于A，B两点，
令x=0，y=3；令y=0，即 ，解得 ．
∴点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，3)，
∴ ，
∵点D(n，6)是直线l 上的一点，
1
∴ ，解得：n=-2，
∴点D的坐标为(-2，6)．
（2）过点D作 轴，交BC于点E，如图所示．
∵点D的坐标为(-2，6)，
∴点E的横坐标为-2，
∵点E在直线 上，
∴ ，
∴ ．∵直线l： 交x轴于点C，
2
令y=0，即 ，解得 ．
∴点C的坐标为(-6，0)，
∴OC=6．
∴S = OC•DE= ×6×4=12．
△BCD
【点拨】本题考查一次函数在几何中的应用．掌握求一次函数与坐标轴的交点坐标，
两点的距离公式，函数图象上点的坐标符合其解析式是解答本题的关键．
类型四、求一次函数的解析式
4、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A（﹣2，6），
且与x轴相交于点B，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求k、b的值；
（2）若点D在y轴负半轴上，且满足S = S ，求点D的坐标．
△COD △BOC
【答案】（1）k=-1，b=4；（2）点D的坐标为（0，-4）．
解：分析：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，根据点A、C
的坐标，利用待定系数法即可求出k、b的值；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，设点D的坐标为（0，
m）（m＜0），根据三角形的面积公式结合S = S ，即可得出关于m的一元一次方
△COD △BOC
程，解之即可得出m的值，进而可得出点D的坐标．
详解：（1）当x=1时，y=3x=3，∴点C的坐标为（1，3）．
将A（﹣2，6）、C（1，3）代入y=kx+b，
得： ，
解得： ．
（2）当y=0时，有﹣x+4=0，
解得：x=4，
∴点B的坐标为（4，0）．
设点D的坐标为（0，m）（m＜0），
∵S = S ，即﹣ m= × ×4×3，
△COD △BOC
解得：m=-4，
∴点D的坐标为（0，-4）．
点睛：本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、待定系
数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定
系数法求出k、b的值；（2）利用三角形的面积公式结合结合S = S ，找出关于m
△COD △BOC
的一元一次方程．
举一反三：
【变式1】如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣ x+5的图象l 分别与x，y轴交
1
于A，B两点，正比例函数的图象l 与l 交于点C（m，4）．
2 1
（1）求m的值及l 的解析式；
2
（2）求S ﹣S 的值；
△AOC △BOC
（3）一次函数y=kx+1的图象为l，且1，l，l 不能围成三角形，直接写出k的值．
3 1 2 3【答案】（1）m=2，l 的解析式为y=2x；（2）S ﹣S =15；（3）k的值为 或
2 △AOC △BOC
2或﹣ ．
解：【分析】（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l 的解析式；
2
（2）过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2，再根据A
（10，0），B（0，5），可得AO=10，BO=5，进而得出S ﹣S 的值；
△AOC △BOC
（3）分三种情况：当l 经过点C（2，4）时，k= ；当l，l 平行时，k=2；
3 2 3
当1，l 平行时，k=﹣ ；故k的值为 或2或﹣ ．
1 3
【详解】（1）把C（m，4）代入一次函数y=﹣ x+5，可得
4=﹣ m+5，
解得m=2，
∴C（2，4），
设l 的解析式为y=ax，则4=2a，
2
解得a=2，
∴l 的解析式为y=2x；
2
（2）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2，
y=﹣ x+5，令x=0，则y=5；令y=0，则x=10，
∴A（10，0），B（0，5），
∴AO=10，BO=5，
∴S ﹣S = ×10×4﹣ ×5×2=20﹣5=15；
△AOC △BOC（3）一次函数y=kx+1的图象为l，且1，l，l 不能围成三角形，
3 1 2 3
∴当l 经过点C（2，4）时，k= ；
3
当l，l 平行时，k=2；
2 3
当1，l 平行时，k=﹣ ；
1 3
故k的值为 或2或﹣ ．
【点拨】本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系
数法求函数解析式、等腰直角三形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理
及分类讨论思想等．
【变式2】如图，已知一次函数 的图象经过A （－2，－1） ， B （1，3）
两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求该一次函数的解析式
（2）△AOB的面积
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）先把A点和B点坐标代入y＝kx＋b得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）令y＝0，即可确定D点坐标，根据三角形面积公式和△AOB的面积＝S ＋
△AOD
S 进行计算即可．
△BOD
解：（1）把A（－2，－1），B（1，3）代入y＝kx＋b得
，
解得 ，
所以一次函数解析式为 ；
（2）把x＝0代入 得 ，
所以D点坐标为（0， ），
所以△AOB的面积＝S ＋S ．
△AOD △BOD
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：①先设出函数的一般形式，如求
一次函数的解析式时，先设y＝kx＋b；②将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入
所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组，求出待定系数的
值，进而写出函数解析式．
【变式3】如图，正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，
2），一次函数图象经过点B（﹣2，﹣1），与y轴的交点为C，与x轴的交点为D．
（1）求一次函数解析式；
（2）求C点的坐标；
（3）求△AOD的面积．
【答案】（1）y=x+1；（2）C（0，1）；（3）1解：试题分析：（1）首先根据正比例函数解析式求得m的值，再进一步运用待定系
数法求得一次函数的解析式；
（2）根据（1）中的解析式，令x=0求得点C的坐标；
（3）根据（1）中的解析式，令y=0求得点D的坐标，从而求得三角形的面积．
试题解析：
（1）∵正比例函数y=2x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m，2），
∴2m=2，
m=1．
把（1，2）和（-2，-1）代入y=kx+b，得
解得：
则一次函数解析式是y=x+1；
（2）令x=0，则y=1，即点C（0，1）；
（3）令y=0，则x=-1．
则△AOD的面积= .
【点拨】运用了待定系数法求函数解析式、直线与坐标轴的交点的求法．
