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专题 5.1 认识分式
典例体系 （本专题共 8 7 题 3 0 页）
一、知识点
1.分式的定义：
A
B
一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式，A为分子，B为分母。
2.与分式有关的条件
①分式有意义：分母不为0（
B≠0
）
②分式无意义：分母为0（
B=0
）{A=0¿¿¿¿
③分式值为0：分子为0且分母不为0（ ）
{A>0¿¿¿¿ {A<0¿¿¿¿
④分式值为正或大于0：分子分母同号（ 或 ）
{A>0¿¿¿¿ {A<0¿¿¿¿
⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（ 或 ）
⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）
⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）
3.分式的基本性质
（1）分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
A A⋅C A A÷C
= =
字母表示：
B B⋅C
，
B B÷C
，其中A、B、C是整式，C¿0。
（2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，
A −A −A A
= =− =−
即：
B −B B −B
注意：在应用分式的基本性质时，要注意C¿0这个限制条件和隐含条件B¿0。
4.分式的约分
1)．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2)．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
3)．两种情形：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后
约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4)．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
约分时。分子分母公因式的确定方法：
1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.
2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.
3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.
5.分式的通分
1)．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
（依据：分式的基本性质！）
2)．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
通分时，最简公分母的确定方法：
1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.
2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.
3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.二、考点点拨与训练
考点1:分式的定义
典例：（2020·河南洛宁·期中）下列各式： ， ， ， 中，是分式的共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】
解： ， ， 这三个式子分母中都含有字母，因此是分式．
故选：C
方法或规律点拨
本题考查了分式的定义，注意 中，π表示圆周率，是常数，所以 不是分式，是整式．
巩固练习
1．（2020·扬州市梅岭中学月考）在代数式 中，分式的个数为
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解析】 的分母中均不含有字母，因此它们是整式，不是分式，
分母中含有字母，因此是分式，共2个，
故选：A．
2．（2020·吉林期末）在代数式 中，分式共有( )．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】解：代数式 是分式，共3个，
故选：B．
3．（2020·吉林长春·期末）下列各式是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A，B，D均为整式，C选项中分母含有字母且值不为0，是分式.
4．（2020·河南遂平·期中）下列各式中，属于分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、虽是分数形式，但分母中不含有字母，不是分式，故选项A错误；
B、分母中含有未知量，故B正确；
C、分母中不含字母，不是分式，故选项C错误；
D、分母中不含字母，因此是整式，不是分式，故选项D错误．
故选：B．
5．（2020·南阳市油田教育教学研究室期末）下列式子中是分式的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 、 、 的分母中不含有字母，属于整式， 的分母中含有字母，属于分式．
故选C．
6．（2020·四川巴州·期末）在式子 、 、 、 、 中，分式有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
式子 、 、 中的分母中不含有字母，是整式，不属于分式，
式子 、 中的分母中含有字母，属于分式，共有2个．
故选：B．
7．（2020·四川南江·期末）下列各式 ， ， ， ， ， 中，是分式的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】解： ， ， ， ， ， 中，是分式的有 ， ， ， ，
共计4个．
故选：D．8．（2020·山东青州·期中）在式子 ， ， ， ， ， 中，分式的个数有（
）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】解：根据分式的定义， 是分式，其它的都不是分式，
故选B．
9．（2020·广西平桂·期末）下列式子中，属于分式的是 ( ) ．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解： 是分式； 、 、 是整式；
故选：D．
10．（2020·西藏日喀则·期末）下列各式： ， ， ， ， 其中分式共有几个（
）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】 、 、 的分母不含未知数，故不是分式；
、 符合分式定义，故为分式；
故选：B．
考点2：分式有（无）意义的条件
典例：（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）写出一个分式，使它分别满足下列条件：
（1）当 时，它没有意义． （2）当 时，它有意义．
【答案】（1） ；（2）
【解析】解：（1）当 时，分母为0，分式无意义，故分式可以为 ；
（2）当 时，分母不为0，分式有意义，故分式可以为 ．
方法或规律点拨本题考查了分式有、无意义的条件，当分式分母为0时，分式无意义，当分式分母不等于0时，分式有意
义．
巩固练习
1．（2020·河北灵寿·期末）若分式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵分式 有意义，
∴ ，即： ，
故选A．
2．（2019·河北南宫·期末）若分式 有意义， 的值可以是（ ）
A．1 B．0 C．2 D．－2
【答案】C
【解析】由题意知： ，
解得： ， ， ，
故选：C．
3．（2020·山东青州·期中）若分式 无意义,则x的值是( )
A．0 B．1 C．-1 D．
【答案】D
【解析】根据题意得，|x|-1≠0，所以x≠±1，故选D.
4．（2020·河南唐河·初二期末）下列说法错误的是（ ）
A．当 时，分式 有意义 B．当 时，分式 无意义
C．不论 取何值，分式 都有意义 D．当 时，分式 的值为0
【答案】C
【解析】解：A选项当 ，即 时，分式 有意义，故A正确；
B选项当 ，即 时，分式 无意义，故B正确；C选项当 ，即 时，分式 有意义，故C错误；
D选项当 ，且 即 时，分式 的值为0，故D正确.
故选C.
5．（2020·全国其他）要使分式 有意义，则 应满足的条件是___．
【答案】x≠1
【解析】解：当1-x≠0时，分式 有意义，即当x≠1时，分式 有意义．.
故答案为x≠1．
6．（2020·吉林期末）要使分式 有意义，则x的取值范围为_____．
【答案】x≠﹣2
【解析】
由题意可知：x+2≠0，
∴x≠﹣2，
故答案为x≠﹣2.
7．（2020·广西百色·期末）要使式子 有意义，则 的取值范围为________．
【答案】
【解析】解：由题意得，
x-2020≠0，
解得：x≠2020．
故答案为：x≠2020．
8．（2020·广西平桂·期末）若分式 无意义，则实数x的值是 ．
【答案】2.
【解析】根据题意得：x-2=0，即x=2．
9．（2020·安徽泗县·初二期末）当 ______时，分式 无意义．
【答案】
【解析】由题意得3x-4=0，
解得：x= ，故答案为：= ．
10．（2020·全国初二课时练习）若分式 无意义，则 的值等于_____．
【答案】
【解析】 分式 无意义，则 ．解得 ，
．
故答案是 ．
考点3：分式的值为零
典例：（2020·衡阳县井头镇大云中学期末）若分式 的值为零，则x=______．
【答案】x=-2
【解析】由分式的值为零的条件得x 2-4=0，2x-4≠0，
由x2-4=0，得x=2或x=-2，
由2x-4≠0，得x≠2，
综上，得x=-2，
故答案为-2．
方法或规律点拨
本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握是解题的关键.若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分
子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
巩固练习
1．（2020·辽宁灯塔·期末）若分式 的值为零，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：由分式 的值为零，
可得： 且
故选D．2．（2020·河南遂平·期末）若分式 的值为零，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：由题意可知： 且x+2≠0，
解得：x=2，
故选B．
3．（2020·吉林期末）若分式 的值为0，则x的值是（ ）
A．±3 B．﹣3 C．3 D．0
【答案】C
【解析】根据题意,得 ,
,即 ,
解得x=3.
故选C.
4．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）若分式 的值为零，则x的值是（ ）
A．±1 B．1 C．﹣1 D．0
【答案】C
【解析】解：∵分式 的值为零，
∴ ，解得x＝﹣1．
故选：C．
5．（2020·黄石经济技术开发区教研室学业考试）使分式 的值等于零的x的值是( )
A．1或6 B．2或3 C．3 D．2
【答案】C
【解析】由题意得
x2-5x+6=0且x-2≠0，
解之得
x=3.故选C.
6．（2020·四川郫都·期末）若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【答案】B
【解析】∵分式 的值为零，
∴ ，
解得：x=1，
故选B．
7．（2019·广西玉林·期末）若分式 的值为零，则x的值为________．
【答案】1
【解析】根据题意，得|x|-1=0，且x+1≠0，解得x=1．
8．（2020·扬州市梅岭中学月考）当x＝_____时，分式 的值为0．
【答案】1
【解析】∵分式 的值为0，
∴ ，
解得： ．
故答案为：1．
9．（2020·安徽临泉·期末）若分式 的值为0，则x的值是_________．
【答案】2．
【解析】∵分式 的值为0，
∴x2﹣2x＝0，且x≠0，
解得：x＝2．
故答案为2．
10．（2021·四川简阳·月考）使分式 的值等于零的x是 ．【答案】6．
【解析】分式 的值等于
解得：
故答案为
11．（2020·北京海淀·人大附中月考）当 _____时，代数式 的值为 ．
【答案】
【解析】∵代数式 的值为 ，
∴ ，
解得： ；
故答案是2．
考点4：根据分式值的符号求字母参数的范围
典例：（2020·北京市通州区第二中学初一月考）分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫
做分式不等式．
小亮在解分式不等式 ＞0时，是这样思考的：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不
等式可转化为下面两个不等式组：
① 或②
解不等式组①，得x＞3，
解不等式组②，得x＜－ .
所以原分式不等式的解集为x＞3或x＜－ .
请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式 ＜0.
【答案】 5时，分式的值为正数；正确，但不符合题意
C．当0＜x＜5时，分式的值为负数；当x=0是分式没有意义，当x＜0时，分式的值为负数，原说法错误，
符合题意．
D．当x=5时，分式的值为0；正确，但不符合题意．
故选：C．3．（2020·山西初二月考）如果分式 的值为正数，则 的范围是（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】B
【解析】解：∵分式 的值为正数
∴ 或
解得： 或
故选B．
4．（2020·射阳县第二初级中学初二期中）分式 的值为负数，则a的取值范围是___________．
【答案】a<4且
【解析】∵分式 的值为负数，
∴3a-12<0， ,
解得a<4且
故答案为：a<4且
5．（2020·北京清华附中初二期中）如果分式 的值大于 ，那么 的取值范围是_______．
【答案】a＜2
【解析】解：∵分式 的值大于0，
∴a−2＜0，
解得：a＜2；
故答案为：a＜2．
6．（2019·重庆一中初二月考）若分式 的值为负数，则 的取值范围是_________．
【答案】
【解析】解：∵ 的值为负数
∴∵
∴
∴ ．
故答案是：
7．（2019·四川青羊·树德中学初二期中）若分式 值为正， 应满足的条件：__________．
【答案】x＞5或x＜-3.
【解析】解：由题意可知：
或 ，
∴x＞5或x＜-3
故答案为：x＞5或x＜-3.
8．（2019·南通市启秀中学初二期中）若分式 的值为负数，则 的取值范围是__________．
【答案】 且
【解析】解：∵分式 的值为负数，
∴ ，解得 且 ，
∴ 的取值范围是： 且 .
故答案为： 且 .
考点5：分式的基本性质
典例：（2020·陕西城固·初二期末）下列代数式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：A. ，故本选项变形错误；B. ，故本选项变形错误；
C. ，故本选项变形错误；
D. ，故本选项变形正确，
故选D.
方法或规律点拨
本题考查了分式的基本性质.熟练应用分式的基本性质对分式进行约分和通分是解题的关键.
巩固练习
1．（2021·浙江长兴·开学考试）分式 可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
故选项A、B、C均错误，选项D正确，
故选：D．
2．（2020·山东青州·期中）下列分式的变形正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A. （x≠0），故该选项错误，不符合题意，
B. ，故该选项错误，不符合题意，
C. ，变形正确，故该选项符合题意，
D. （x≠0），故该选项错误，不符合题意，
故选：C．
3．（2020·广西平桂·期末）下列变形正确的是（ ）．A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，故A错误；
，故B错误；
，没有规定c的取值，故C错误；
，故D正确；
故选：D．
4．（2020·福建宁化·期末）下列各式中，化简正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：A． ，该项化简不正确；
B． ，该项化简不正确；
C． ，该项化简不正确；
D． ，该项化简正确；
故选：D．
5．（2020·福建南平·初三二模）下列变形正确的是( )
A． ＝ B．
C． -1= D． =
【答案】D
【解析】解：A. ≠ ，故A错误；B. ＝ 故B错误；
C. ﹣1＝ ，故C错误；
D. = ，故D正确．
故选D．
6．（2019·张掖市育才中学期末）下列等式从左到右的变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：A、根据分式基本性质知道 ，故选项错误；
B、 ，其中a≠0，故选项正确；
C、等式的右边是左边的平方，显然不成立，故选项错误；
D、根据分式的基本性质可得： （b≠0），故选项错误；
故选B．
7．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A．分子乘以b，分母乘以a，所以 ，故A错误；
B． 1，故B错误；
C． 1，故C正确；
D． ，故D错误．
故选C．
8．（2020·浙江慈溪·初一期末）不改变分式 的值，把它的分子与分母中各项的系数化为整数，
其结果正确的是( )A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ．
故答案为：C．
9．（2020·河南卫辉·初二期中）不改变分式 的值，把分子、分母中各项系数化成整数，那么结
果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：分子分母都乘以6，得原式= ，
故选：D．
10．（2019·山西初二月考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解： ，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项正确；
，故D选项错误．
故选：C．
11．（2020·山东沂水·初二期末）不改变分式的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，则______.
【答案】
【解析】解：分子分母都乘以3，得 ，
故答案为： ．
12．（2020·全国初二课时练习）不改变分式的值，把 的分子与分母中各项系数都化为整数
为_______．
【答案】 ．
【解析】 ．
故答案为： ．
考点6：约分
典例：（2020·江苏沭阳·初二期末）下列分式中，最简分式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
直接利用分式的性质分别判断得出答案．
解：A、 ＝ ＝ ，故原式不是最简分式，不合题意；
B、 ＝ ＝ ，故原式不是最简分式，不合题意；
C、 ＝ ，故原式不是最简分式，不合题意；
D、 ，是最简分式，符合题意．
故选：D．方法或规律点拨
此题考查最简分式问题，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视
的问题．
巩固练习
1．（2020·广东郁南·初二期末）下列约分正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：A、原式=x4，故选项错误；
B、原式=1，故选项错误；
C、原式= ，故选项正确；
D、原式= ，故选项错误．
故选：C．
2．（2020·淮阳第一高级中学初中部期末）下列属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、 = ，故该项不符合题意；
B、 不能化简，故该项符合题意；
C、 = ，故该项不符合题意；
D、 = ，故该项不符合题意；
故选：B.
3．（2020·南阳市油田教育教学研究室期末）下列分式中，不是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】解：A、 是最简分式，不符合题意;
B、 不是最简分式，符合题意;
C、 是最简分式，不符合题意;
D、 是最简分式，不符合题意;
故选：B.
4．（2020·山东青州·期中）下列各式中的最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A： = = ，故不是最简分式；
B： = ，故不是最简分式；
C： 无法再进一步化简，故是最简分式；
D： ，故不是最简分式；
故选：C.
5．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）下列分式是最简分式的是（ ）
A． ； B． ； C． ； D．
【答案】C
【解析】A、 = ，不是最简分式，不合题意；
B、 = ，不是最简分式，不合题意；
C、 无法化简，是最简分式，符合题意；D、 = ，不是最简分式，不合题意.
故选：C
6．（2020·江苏常州·初二期末）分式 可化简为（ ）
A．x﹣y B． C．x+y D．
【答案】C
【解析】原式＝ ＝x+y．
故选：C．
7．（2020·福建宁德·初二期末）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：A、 ，故不是最简分式，不合题意；
B、 ，故不是最简分式，不合题意；
C、 ，故不是最简分式，不合题意；
D、 是最简分式，符合题意．
故选：D．
8．（2020·广西岑溪·初一期末）下列四个分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、 ＝ ，不是最简分式，不合题意；
B、 ＝ ，不是最简分式，不合题意；
C、 ，是最简分式，符合题意；D、 ，不是最简分式，不合题意；
故选：C．
9．（2020·全国初二课时练习）下列分式 ， ， ， ， ，其中最
简分式的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】 ，
，
其中 不能化简，所以是最简分式.
故选：A．
10．（2020·全国初二课时练习）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、 ，分子分母含有公因式x，故A不合题意；
B、 ＝ 含有公因式 ，故B不合题意；
C、 含有公因式2，故C不合题意；
D、 分子，分母中不含有公因式，故D符合题意；
故选：D．
11．（2020·全国初二课时练习）计算 的结果为（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】A【解析】原式= .
故选A.
12．（2020·全国初二课时练习）化简 的结果是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
故选：D．
13．（2020·全国初二课时练习）在分式 ， ， ， 中，最简分式有________
个.
【答案】3
【解析】解：分式 ， ， 再不能约分化简，为最简分式．
分式： = ，不符合题意.
14．（2020·甘肃甘谷·初二期末）化简： __________； __________．
【答案】
【解析】解： ；
故答案为： ； ．
15．（2020·四川青白江·初二期末）化简分式 的结果为_____．
【答案】
【解析】解：原式＝
＝ ．故答案为: ．
考点7：通分
典例：（2020·全国初二课时练习）将下列式子进行通分．
（1） 和
（2） 和
（3） 和
（4） 和
【答案】（1） ， ；（2） ， ；（3） ， ；（4） ，
．
【解析】解：（1）两式的最简公分母为10a2b3c，
故 = = ，
= = ；
（2）两式的最简公分母为6x2y，
故 = = ，
= = ，
（3）两式的最简公分母为8ab2c2，
故 = =
= = ，
（4）两式的最简公分母为y2-1，
故 ，．
方法或规律点拨
解答此题的关键是求出最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分．
巩固练习
1．（2020·全国初二课时练习）对分式 通分后， 的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵a2-b2=(a+b)(a-b)，
∴分式 的最简公分母是 ，
∴通分后， = ．
故选：B．
2．（2019·东安县舜德学校初二期中）下列各题中，所求的最简公分母，错误的是（ ）
A． 与 最简公分母是
B． 与 最简公分母是
C． 与 最简公分母是
D． 与 最简公分母是
【答案】D
【解析】解：A、正确；
B、正确；
C、最简公分母是（m＋n）（m－n）＝m2－n2，故正确；
D、最简公分母是ab（x－y），故选项错误．
故选：D
3．（2020·湖北武汉·初二期末）把 通分，下列计算正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】把 通分，最简公分母为 ，
故
故选B．
4．（2020·全国初二课时练习） 与 通分的结果是_______．
【答案】
【解析】 ， ，
最简公分母为 ，
通分后分别为 ．
故答案为： ．
5．（2020·青岛超银中学初二月考）把分式 与 进行通分时，最简公分母为_____．
【答案】(x﹣y)2(x+y)
【解析】解：把分式 与 进行通分时，
x2﹣y2=(x+y)(x﹣y)，
故最简公分母为：(x﹣y)2(x+y)．
故答案为：(x﹣y)2(x+y)．
6．（2020·山东槐荫·初二期中）若 =2，则 =_____
【答案】【解析】 =2，得x+y=2xy
则 = = ，
故答案为 .
7．（2018·四川渠县·初二期末）对分式 和 进行通分，它们的最简公分母是________．
【答案】
【解析】解：分式 和 的最简公分母是 ，
故答案为： .
8．（2019·全国课时练习）通分： 、 、 .
【答案】 ； ； .
【解析】解：最简公分母是 .
；
；
.
9．（2019·全国课时练习）通分： 、 、 .
【答案】 ； ；
.
【解析】∵ ，
，∴最简公分母是 ，
；
；
.
10．（2019·福建同安·初二月考）通分：（1） ， ；（2） ， ．
【答案】（1） , ；（2） , ．
【解析】（1）∵ 和 的最简公分母是abc，
∴ ， ；（2）∵ 和 的最简公分母是 ，
∴ = ， =
11．（2019·全国初二）把下列各式通分：
(1)x−y与 ；
(2) , 与 .
【答案】(1) x−y= ， ；
(2) ; ； ；
【解析】(1)最简公分母：x+y，
x−y= ；
；
(2)最简公分母：3(a+3)(a−3)2；
，
，
.
