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专题 5.1 认识分式
分式的基本概念
【例1】在代数式 ， ， ， ， 中，分式的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解： ， ， 是分式，共3个，
故选： ．
【变式训练1】在 ， ， ， ， ， 中，分式的个数有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：式子 ， ， 是分式，共3个，
故选： ．
【变式训练2】下列各式： ， ， ， ， ， 中，分式
共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：下列各式： ， ， ， ， ， 中，分式
有： ， ， ，共有3个，
故选： ．
【变式训练3】下列代数式中，属于分式的是
A． B． C． D．【解答】解：上列代数式中，属于分式的是： ，
故选： ．
有意义的条件
【例2】分式 有意义的条件是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知： ，
，
故选： ．
【变式训练1】要使分式 有意义，则 应满足的条件是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得： ，
解得： ，
故选： ．
【变式训练2】要使分式 有意义，则 值满足的条件是
A． B． C． D． 为所有实数
【解答】解： 分式 有意义，
．
解得 ．
故选： ．
【变式训练3】 取何值时，下列分式有意义：
（1）
（2）
（3） ．
【解答】解：（1）要使 有意义，得 ．
解得 ，
当 时， 有意义；
（2）要使 有意义，得
．
解得 ，
当 时， 有意义；
（3）要使 有意义，得
．
为任意实数， 有意义．
分式的值为0
【例3】若分式 的值为零，则 等于
A． B．2 C． 或2 D．2或3
【解答】解：由题意可得： ，
解得： ，
故选： ．
【变式训练1】若分式 的值等于0，则 的值是
A．1 B． C．3 D．
【解答】解： ， ，
，
故选： ．【变式训练2】要使式子 值为0，则
A． B． C． D． 且
【解答】解： ， ，
且 ，
故选： ．
【变式训练3】若 ， 为实数，且 ，求 的值．
【解答】解： ，
，
解得 ，
．
故 的值是
分式的值
【例4】若 ，则 的值为 7 ．
【解答】解： ，即 ，
，即 ，
原式 ，
故答案为：
【变式训练1】若 ，则 的值为
A． B． C． D．【解答】解： ，
，
，
，
故选： ．
【变式训练2】已知 ，则 的值为 ．
【解答】解： ，
，
，
故答案为： ．
【变式训练3】若 ，求分式 的值．
【解答】解： ，设 ， ， ，
原式
．
扩大倍数
【例5】把分式 中的 、 都扩大2倍，则分式的值
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．不变 D．扩大4倍
【解答】解： ，
分式 ，中的 ， 都扩大2倍，则分式的值不变，
故选： ．
【变式训练1】若将分式 中的 ， 都扩大10倍，则分式的值
A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的
C．缩小为原来的 D．不改变
【解答】解：分式 中的 ， 都扩大10倍后得 ，
分式的值不变．
故选： ．
【变式训练2】把下列分式中 ， 的值都同时扩大到原来的10倍，那么分式的值保持不
变是A． B． C． D．
【解答】解： 、 ，分式的值保持不变，故此选项符合题意；
、 ，分式的值改变，故此选项不符合题意；
、 ，分式的值改变，故此选项不符合题意；
、 ，分式的值改变，故此选项不符合题意；
故选： ．
【变式训练3】将分式 中的 ， 同时扩大4倍，则分式的值
A．扩大4倍 B．扩大2倍
C．缩小到原来的一半 D．保持不变
【解答】解：分别用 和 去代换原分式中的 和 ，得：
，
可见新分式是原分式的4倍．
故选： ．
约分
【例6】下列各分式化简后与 相等的是
A． B．
C． D．【解答】解： ． 不能再进一步约分，不符合题意；
． 不能再进一步约分，不符合题意；
． 不能再进一步约分，不符合题意；
． ，符合题意；
故选： ．
【变式训练1】小丽在化简分式 时， 部分不小心滴上小墨水，请你推测，
部分的式子应该是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
故 部分的式子应该是 ．
故选： ．
【变式训练2】下列约分正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解： ，故此选项不符合题意；
的分子分母中不含有公因式，不能进行约分，故此选项不符合题意；的分子分母中不含有公因式，不能进行约分，故此选项不符合题意；
，正确，故此选项符合题意；
故选： ．
【变式训练3】下列运算中正确的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解： 、 ，本选项错误；
、 分子分母没有公因式，不能约分，本选项错误；
、 ，本选项正确；
、 分子分母没有公因式，不能约分，本选项错误，
故选： ．
【例7】约分：
（1） ；（2） ．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【变式训练1】先约分，再求值： ，其中 ，
【解答】解：原式
把 ， 代入
原式 ．最简分式
【例8】下列各分式中，是最简分式的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、原式 ，不符合题意；
、原式 ，不符合题意；
、原式为最简分式，符合题意；
、原式 ，不符合题意．
故选： ．
【变式训练1】下列各式是最简分式的是
A． B． C． D．
【解答】解： ． ，此选项不符合题意；
． ，此选项不符合题意；
． 是最简分式，符合题意；
． ，此选项不符合题意；
故选： ．
【变式训练2】下列分式中，是最简分式的是
A． B． C． D．
【解答】解： ． ，不是最简分式，不符合题意；． ，不是最简分式，不符合题意；
． 是最简分式，符合题意；
． ，不是最简分式，不符合题意；
故选： ．
【变式训练3】下列分式中，属于最简分式的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、 ，不是最简分式，不符合题意；
、 ，最简分式，符合题意；
、 ，不是最简分式，不符合题意；
、 ，不是最简分式，不符合题意；
故选： ．
最简公分母
【例9】① ， 都是分式；②分式的基本性质之一可以表示为 ；③ 是最简分
式；④ 与 的最简公分母是 ．以上四个结论中正确的有
A．③④ B．①④ C．① D．③
【解答】解：① 都是分式， 是整式，原结论错误；
②分式的基本性质之一可以表示为 且 ，原结论错误；③ 是最简分式，原说法正确；
④ 与 的最简公分母是 ，原说法错误；
故选： ．
【变式训练1】分式 与 的最简公分母是
A． B． C． D．
【解答】解：在分式 与 中，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂
的积即最简公分母为： ，
故选： ．
【变式训练2】下列说法正确的是
A．形如 的式子叫分式
B．分式 不是最简分式
C．分式 与 的最简公分母是
D．当 时，分式 的值不存在
【解答】解： ．当 中不含有字母时， 不是分式，故本选项不符合题意；
．分式 是最简分式，故本选项不符合题意；
．分式 与 的最简公分母是 ，故本选项不符合题意；
．当 时， ，即分式 的值不存在，故本选项符合题意；
故选： ．【变式训练3】下列说法正确的是
A．若分式 的值为0，则
B． 是分式
C． 与 的最简公分母是
D．
【解答】解： 、若分式 的值为0，则 且 ，所以 ，不符合
题意；
、 的分母中含有字母，是分式，符合题意；
、 与 的最简公分母是 ，不符合题意；
、当 时，该等式不成立，不符合题意．
故选： ．
列代数式
【例10】甲乙两个码头相距 千米，某船在静水中的速度为 千米 时，水流速度为 千米
时，则船一次往返两个码头所需的时间为 小时．
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意得： ．
故选： ．
【变式训练1】小兰家距学校 ，她步行的速度是 ，而骑自行车比步行快，则她骑自行车从家到学校需 ．
A． B． C． D．
【解答】解：由题知，从家到学校的路程为 ，骑自行车的速度为 ，
她骑自行车从家到学校需 ，
故选： ．
【变式训练2】绿化队原来用漫灌方式浇绿地， 天用水 吨．现在改用喷灌方式，可使同
样 吨的水量多用5天．漫灌方式每天的用水量是喷灌方式每天用水量的
A． B． C． D．
【解答】解：漫灌方式每天的用水量为 吨，喷灌方式每天的用水量为 吨，
根据题意，得 ．
故选： ．
【变式训练3】一位作家用了 天写完了一部小说的上集，又用了 天写完下集，这部小说
（上、下集）共120万字，这位作家平均每天的写作量是
A． 万字 天 B． 万字 天
C． 万字 天 D． 万字 天
【解答】解：根据题意得：
这位作家平均每天的写作量是 万字 天．
故选： ．
分式的值为正负性的讨论
【例11】若分式 的值为正数，则 的取值范围是A． B． C． D． 且
【解答】解：由于分式 的值为正数，
所以 ，
即 ，
故选： ．
【变式训练1】若分式 的值为正数，则 需满足的条件是
A． 为任意实数 B． C． D．
【解答】解： 分式 的值为正数，
恒为正数，
，
．
故选： ．
【变式训练2】若分式 的值是负数，则 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解： 分式 的值是负数，
，，
故选： ．
【变式训练3】若分式 的值为负数，则 的取值范围是
A． 为任意数 B． C． D．
【解答】解： ，分式的值为负数，
，
．
故选： ．
分式的整数解
【例12】能使分式 值为整数的整数 有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解： ，
当 或 时， 是整数，即原式是整数．
解得： 或1或8或 ；4个，
故选： ．
【变式训练1】若 表示一个整数，则整数 可取值的个数是
A．2个 B．3个 C．4个 D．8个
【解答】解： 表示一个整数且 是整数，
或 或 或 ．
当 ，则 ．
当 ，则 ．
当 ，则 （不合题意，故舍去）．
当 ，则 （不合题意，故舍去）．
当 ，则 ．当 ，则 ．
当 ，则 （不合题意，故舍去）．
当 ，则 （不合题意，故舍去）．
综上，整数 的取值有 、 、0、 ．
故选： ．
【变式训练2】对于非负整数 ，使得 是一个正整数，则 的个数有
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解答】解：
，
为非负整数，分式的结果为正整数，
取值为0，1，3，9，
的个数有4个，
故选： ．
【变式训练3】若 为整数，则能使 也为整数的 有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解： ，
能使 也为整数的 有： 或 或 ，
故选： ．
