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专题5.1 认识分式（知识讲解）
【学习目标】
1. 理解分式的概念，明确一个代数式是分式的条件；
2. 能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.
3. 能用分式表示现实情境中的数量关系
【要点整理】
要点一、分式的概念
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式.其中A
叫做分子，B叫做分母.
分式与分数的类比理解：
1、分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个
整式相除的商.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.
2、分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数
更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.
3、分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，
如 是分式，与 有区别， 是整式，即只看形式，
要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件
1.分式有意义的条件：分母不等于零.
2.分式无意义的条件：分母等于零.
3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.
特别指出
（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、
讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.
（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的
值不等于零.
（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.
【典型例题】
类型一、分式的判断1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
．
【答案】整式： ；分式：
【分析】根据分式的定义和整式的定义分析即可，一般地，如果 、 （ 不等于
零）表示两个整式，且 中含有字母，那么式子 就叫做分式，其中 称为分子， 称为
分母．
解：整式： ；
分式：
【点拨】本题考查了分式与整式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．
举一反三：
【变式】在式子① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ 中，分式有______个．
【答案】4
【分析】根据分式的定义，形如 (A、B是整式，且B中含有字母，B 0)的式子叫做
分式，紧扣定义，便可判断出有4个式子是分式．
解：① ，② ，④ ，⑤ 这4个式子都符合分式的定义，
③ ，⑥ 的分母都不含字母，不符合分式的定义，
综上，分式有4个．
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
类型二、分式的规律问题
2、观察以下等式：第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______________________；
(2)写出你猜想的第n个等式：____________（用含n的等式表示），并证明.
【答案】(1) ；
(2) ，证明见解析；
【分析】（1）根据前4个等式得出第五个等式即可；
（2）通过观察减号后面的数字规律，再结合每个式子找到分母之间的关系，最后通过
化简即可证明．
解：（1）通过观察可得： ；
(2) ．
证明：左边=
= =右边，
∴ ．
【点拨】本题主要考查数字类变化规律，仔细观察每个式子中对应位置的数字，并找
到相关系数关系是解题的关键．
举一反三：【变式】给定一列分式： ， ， ， ， ， 其中 ，根据你发现的
规律，试写出第 个分式______．
【答案】
【分析】用后面项除以前面项求出结果，归纳总结得到第 个分式即可．
解：给定一列分式： ， ， ， ， ， 其中 用任意一个分式做除
法，去除它后面一个分式得到的结果是 ；
根据你发现的规律，试写出第 个分式 ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
类型三、按要求构造分式
3、把甲，乙两种饮料按质量比 混合在一起，可以调制成一种混合饮料．调
制 这种混合饮料需多少甲种饮料？
【答案】调制1kg这种混合饮料需 甲种饮料．
【分析】可设调制1kg这种混合饮料需a kg甲种饮料，根据甲种饮料千克数：溶液总
质量=甲种饮料质量：甲乙两种饮料质量和，列出方程计算即可求解．
解：设调制1kg这种混合饮料需a kg甲种饮料，依题意有
a：1=x：（x+y），
解得a= ．故调制1kg这种混合饮料需 甲种饮料．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，此题重点是能够根据所给比值分析得出等
量关系．
举一反三：
【变式】已知a2﹣3a﹣1＝0，则a2+ ＝_____．
【答案】11
【分析】a2﹣3a﹣1＝0两边同时除以a得 ，即可得 ，再给两边同
时平方有 ，开方得 ，移向即得 ．
解：∵a2﹣3a﹣1＝0，且a≠0，
∴
∴
∴
∴
∴ ．
故答案为：11．
【点拨】本题考查了已知式子值求代数式的值，将已知式子通过计算化简为所求代数
式的形式是解题的关键．
类型四、分式有意义的条件
4、 已知x，y满足 ，你能求出 的值吗？如果能，
请写出过程，如果不能，请说明理由
【答案】能，过程见解析
【分析】先根据二次根式和分式有意义的条件求出x、y的值，然后代值计算即可．
解：∵ 要有意义，∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴解得 ，
∴ ，
∴
．
【点拨】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，积的乘方和同底数幂乘法的
逆运算，熟知相关知识是解题的关键．
举一反三：
【变式】要使代数式 有意义，则x的取值范围是______．
【答案】 且
【分析】由分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，即可得到答案．
解： 有意义，则有：
，
解得 且
故答案为： 且 ．
【点拨】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是
解题的关键．
类型五、分式无意义的条件5、已知分式 ，当 时，分式的值为0；当 时，分式没有意义，求
的值．
【答案】6
【分析】根据分式的值为0，即分子等于0，分母不等于0，从而求得 的值；根据分
式没有意义，即分母等于0，求得 的值，从而求得 的值．
解： 时，分式的值为0，
，
．
时，分式没有意义，
，
．
．
【点拨】本题考查了分式，解题的关键是注意：分式的值为0，则分子等于0，分母不
等于0；分式无意义，则分母等于0．
举一反三：
【变式】使分式 无意义的 的取值是_______ ．
【答案】1或0或1
【分析】根据分式无意义的条件即可求出答案．
解：由分式有意义的条件可知：x+1≠0，x≠0，x﹣1≠0，
∴使分式无意义的x＝﹣1，0，1，
故答案为：﹣1或0或1．
【点拨】本题考查分式无意义的条件即分母为零，解题的关键是熟练运用分式无意义
的条件．
类型六、分式的值为零的条件
6、 在什么条件下，下列分式的值为0？
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2） ，且【分析】（1）分式的值为0的条件：分子等于0，分母不等0，再列方程或不等式，
从而可得答案；
（2）分式的值为0的条件：分子等于0，分母不等于0，再列方程或不等式，从而可
得答案.
解：（1）由 的值为0可得：
且 ，
解得：
（2）由 的值为0可得：
且 ，
解得： 且
【点拨】本题考查的是分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件列方程或不等
式是解题的关键.
举一反三：
【变式】若分式 的值为0，则 的值为 ．
【答案】﹣2
【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不为零，进而得出答案．
解：由题意，得
a2﹣4＝0且a﹣2≠0，
解得a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点拨】本题考查了分式为零的条件，要使分式的值为零，必须同时满足分子为零，
且分母不为零．
类型七、分式的求值
7、已知 ，求 的值．
【答案】3【分析】先根据 得到 ，再由 ，把 代入到
中求解即可．
解：∵ ，
∴
∵ ，
∴
∴原式 ．
【点拨】本题主要考查了分式的求值，解题的关键在于能够熟练掌握分式的基本性质．
举一反三：
【变式】实数m满足 ，且 ，那么 ______．
【答案】
【分析】由题意易得 且 ，进而分类讨论求解即可．
解：∵实数m满足 ，且 ，
∴ 且 ，
当 时，则有： ，当 时，则有： ，
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查分式的值，解题的关键是得到m的范围及分类讨论思想．
类型八、分式的值为正负时未知数的取值范围
8、 仔细阅读下面的材料并解答问题：
例题：当x取何值时，分式 的值为正？
解：依题意得 ＞0，则有① 或② ，
解不等式组①得 ，解不等式组②得不等式组无解
故
所以当 ，分式 的值为正．
依照上面方法解答问题：
（1）当x取何值时，x2﹣3x的值为负？
（2）当x取何值时，分式 的值为负？
【答案】（1） ；（2） ，且 ．
【分析】（1）先利用因式分解将 变形为 ，再参照例题可得两个
不等式组，解不等式组即可得；
（2）先将分式 变形为 ，再根据分式有意义的条件可得 ，且
，然后参照例题可得两个不等式组，解不等式组即可得．
解：（1）依题意得： ，即 ，
则有① 或② ，解不等式组①得： ，解不等式组②得：不等式组无解，
故 ，
所以当 时， 的值为负；
（2） ，
为分式的分母，
，
解得 ，且 ，
依题意得 ，即 ，
，
，
则有③ 或④ ，
解不等式组③得： ，解不等式组④得：不等式组无解，
故 ，
所以当 ，且 时，分式 的值为负．
【点拨】本题考查了一元一次不等式组的应用、因式分解、分式的值等知识点，读懂
例题的思路，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．
举一反三：
【变式】若分式 的值大于零，则x的取值范围是 ______．
【答案】 且
【分析】由已知可得分子x+2＞0，再由分式的分母不等于零，得到x﹣1≠0，进而求出
x的取值．
解：∵分式 的值大于零，∴x+2＞0，
∴x＞﹣2，
∵x﹣1≠0，
∴x≠1，
故答案为x＞﹣2且x≠1．
【点拨】本题考查分式的值；熟练掌握分式求值的特点，特别注意分式的分母不等于
零这个隐含条件是解题的关键．
类型九、分式的为整数时未知数的整数值
9、已知分式 的值为正整数，a为整数，求a的值．
【答案】0或1或2
【分析】先化简分式，然后根据分式的值为正整数， a为整数，进行求解即可得到答
案．
解： ，
∵分式 的值为正整数，a为整数，
∴ 或 或 或 ，
解得， 或 或 或 ．
∵ 时，原分式无意义（舍去），
∴a的值为0或1或2．
【点拨】本题主要考查了分式的化简，根据分式的值的情况求解参数，分式有意义的
条件等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解。
举一反三：
【变式】若分式 的值为正整数，则整数x的值为________．
【答案】0，1，2，5
【分析】先求分式 的值为正数时，x的取值范围，再在范围内求使分式 的值
为正整数的整数x的值．
解：当x+1＞0，即x＞-1时，分式 的值为正数，要使分式 的值为正整数，只有x+1=1或2或 3或6，
解得x=0或1或2或5．
故答案为：0或1或2或5．
【点拨】本题考查了分式的值的探究，分式的值为正整数，需要从分式的意义，分母、
分子的取值，综合考虑．
类型十、判断分式的变形是否正确
10、不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号．
① ；② ；③ ；④ ．
【答案】① ；② ；③ ；④
【分析】分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，
分式的值不变，利用分式的基本性质逐一分析即可得到答案.
解：① ；
② ；
③ ；
④
【点拨】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质解决分式的三个符号问
题是解题的关键.
举一反三：
【变式】填空：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不，从而求出答案．
解：（1） ；
（2） ．
故答案为：（1） ；（2） ．
【点拨】本题考查了分式的基本性质，一定要熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，
是一道基础题．
类型十一、判断分式的变形成立的条件
11、填空
（1） ， ； （2） ， ．
【答案】（1） ， ；（2）a，
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
解：（1）因为 的分母 除以x才能化为y，为保证分式的值不变，根据分式的基
本性质，分子也需除以x，即
．
同样地，因为 的分子 除以 才能化为 ，所以分母也需除以 ，
即 ．
所以，括号中应分别填： 和 ．
（2）因为 的分母 乘a才能化为 ，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘a，即
．
同样地，因为 的分母 乘b才能化为 ，所以分子也需乘b，即
．
所以，括号中应分别填：a和 ．
【点拨】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于
0的整式，分式的值不变．
举一反三：
【变式】如果 成立，则a的取值范围是_______．
【答案】
【分析】根据分式的基本性质：分子分母同时除以一个不为0的数，分式的值不变，
进行求解即可得到答案．
解：由题意得， ，
解得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进
行求解．
类型十二、利用分式的基本性质判断分式值的变化
12、下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．【答案】（1） ；（2） ；（3）
；（4） ．
【分析】根据分式的基本性质判断即可；
解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【点拨】本题主要考查了分式的基本性质，准确分析判断是解题的关键．
举一反三：
【变式】已知 ，则 的值为_________．
【答案】
【分析】由已知得到 ，整体代入求解即可．
解：由已知 ，得： ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是将已知正确变形．
类型十三、将分式的分子分母最高次幂化为正数
13、不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．① ；② ；③ ；④ ．
【答案】① ；② ；③ ；④
【分析】分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，
分式的值不变，从而可得分式的三个符号，同时改变两个，分式的值不变，根据分式的基
本性质：①改变分式的分子与分式本身的符号，可得答案；②改变分式的分母与分式本身
的符号，可得答案；③改变分式的分子与分母的符号，可得答案；④改变分式的分子与分
母的符号，可得答案.
解：① ；
② ；
③ ；
④
【点拨】本题考查的是利用分式的基本性质把分子分母的最高次项的系数化为正数，
掌握变形的方法是解题的关键.
举一反三：
【变式】若不改变分式的值，使分子与分母的最高次项的符号为正，则 ＝
______．
【答案】
【分析】根据分式的基本性质解答．
解：原式＝ ．
【点拨】本题考查分式的应用，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．类型十四、将分式的分子分母各项化为整数
14、利用分式的基本性质把下列各式的分子、分母中各项的系数都变为整数．
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据分式的基本性质，分子分母都乘以最小公倍数12，分式的值不变；
（2）根据分式的基本性质，分子分母都乘以最小公倍数50，分式的值不变．
解：（1）原式 ；
（2）原式
【点拨】本题主要考查分式的基本性质的应用，分式的基本性质是分式约分和通分的
依据，需要熟练掌握．
举一反三：
【变式1】不改变分式的值，把分式 中的分子、分母中各项的系数都化为整
数，且使系数的绝对值最小，则所得的结果为______．
【答案】
【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得
答案．
解：解: = = ，
故答案为： ．【点拨】本题考查分式的基本性质，方法是在分子与分母各个分数的最简公分母．
