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第 11 讲 反比例函数
第一部分 知识点梳理
1.反比例函数的概念
一般地，函数 （k是常数，k≠0）叫做反比例函数，其中k叫做比例系数．
反比例函数的三种形式① ；②y=kx-1 ； ③xy=k .
2.反比例函数的图象和性质
（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、
四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的
两支与坐标轴无限接近，但永远不相交．
（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
（3）注意：反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增
减情况．
当k>0时，在每个象限内（或x>0或x<0时）y随x的增大而减小，而不能笼统地说当k>0时，y随x的增
大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
k k>0 k<0
大致图象
所在象限 第一、三象限 第二、四象限
增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
对称性 轴对称图形（对称轴为直线y=x和y=-x），中心对称图形（对称中心为原点）
3. 待定系数法求反比例函数解析式的确定
①设反比例函数解析式为 （k≠0）；②把图象上一个点坐标x，y代入解析式，得到关于k的方程
③解这个方程求出待定系数k；④将所求得的k的值代回所设的函数解析式．
4. 反比例函数中|k|的几何意义
（1）反比例函数图象中有关图形的面积
S ＝|k| S ＝ S ＝
矩形PAOB △AOP △ACP
（2）涉及三角形的面积型
第 1 页 共 22 页当反比例函数与一次函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
①正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S =2S =|k|；
△ABC △ACO
② 如图②，已知一次函数与反比例函数 交于 A、B两点，且一次函数与 x轴交于点 C，则
S =S +S = + = ；
△AOB △AOC △BOC
③ 如图③，已知反比例函数 的图象上的两点，其坐标分别为 ， ，C为AB延
长线与x轴的交点，则S =S –S = – = ．
△AOB △AOC △BOC
5. 反比例函数与一次函数的综合
（1）涉及自变量取值范围型：当一次函数 与反比例函数 相交时，联立两个解析式，
得到方程组，解方程组得到交点坐标。针对 时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高
于反比例函数图象的部分所对应的x的范围. （交点分段，图高值大）
【例如】，如下图，当 时，x的取值范围为 或 ；
同理，当 时，x的取值范围为 或 ．
6. 反比例函数的实际应用
解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量
的取值范围．
第 2 页 共 22 页第二部分 考点突破
考点1反比例函数的相关概念
1．（2025·重庆·中考真题）反比例函数 的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数 的图象与坐标轴的交点个数是
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
3．（2025·山东·中考真题）取直线 上一点 ，①过点 作 轴的垂线，交 于点
；②过点 作 轴的垂线，交 于点 ；如此循环进行下去．按照上面的操作，若
点 的坐标为 ，则点 的坐标是 ．
4．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，若函数 的图象经过点 和
，则 的值是 .
5．（2024·陕西·中考真题）已知点 和点 均在反比例函数 的图象上，若 ，
则 0．
6．（2024·云南·中考真题）已知点 在反比例函数 的图象上，则 ．
考点2反比例函数的图象与性质
7．（2025·湖南·中考真题）对于反比例函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．点 在该函数的图象上
B．该函数的图象分别位于第二、第四象限
C．当 时， 随 的增大而增大
D．当 时， 随 的增大而减小
第 3 页 共 22 页8．（2025·浙江·中考真题）已知反比例函数 ．下列选项正确的是（ ）
A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小
C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大
9．（2025·天津·中考真题）若点 都在反比例函数 的图象上，则 ，
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·内蒙古·中考真题）已知点 ， 都在反比例函数 的图象上，则下列
结论一定正确的是（ ）
A． B．
C．当 时， D．当 时，
11．（2024·山东济宁·中考真题）已知点 在反比例函数 的图象上，
则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·浙江·中考真题）反比例函数 的图象上有 ， 两点．下列正确的选项是
（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
13．（2024·广西·中考真题）已知点 ， 在反比例函数 的图象上，若 ，
则有（ ）
A． B． C． D．
14．（2025·河北·中考真题）在反比例函数 中，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数 与 的大致图象
为（ ）
第 4 页 共 22 页A． B．
C． D．
16．（2022·贵州黔西·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则一
次函数 的图象经过的象限是（ ）
A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
17．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，取一根长 的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊
起来，在中点O的左侧距离中点 处挂一个重 的物体，在中点O的右侧
用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位： ）及弹簧秤的示数F
（单位：N）满足 ．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函
数图象大致是（ ）
A． B．
第 5 页 共 22 页C． D．
18．（2025·甘肃·中考真题）已知点 ， 在反比例函数 的图象上，如果 ，
那么 （请写出一个符合条件的k值）．
19．（2024·江苏徐州·中考真题）若点 、 、 都在反比例函数 的图象上，则
a、b、c的大小关系为 ．
20．（2024·内蒙古包头·中考真题）若反比例函数 ， ，当 时，函数 的最大值是 ，
函数 的最大值是 ，则 ．
21．（2025·重庆·中考真题）如图，点 为矩形 的对角线AC的中点， ， ， ， 是
上的点（ ， 均不与 ， 重合），且 ，连接 ， ．用 表示线段 的长度，点
与点 的距离为 ．矩形 的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 ， ．
(1)请直接写出 ， 分别关于 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围：
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数 ， 的图象，并分别写出函数 ， 的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出 时 的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过 ）．
考点3反比例函数k的几何意义
22．（2023·江苏南京·中考真题）在平面直角坐标系中，点 为原点，点A 在第一象限，且 ． 若
反比例函数 的图像经过点 ，则 的取值范围是 ．
23．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，反比例函数 的图象经过平行四边形 的
顶点 ， 在 轴上，若点 ， ，则实数 的值为 ．
第 6 页 共 22 页24．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的顶点O是坐标原点，顶
点A在反比例函数 的图象上，对角线 在 轴上．若菱形 的面积是 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
25．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数 经过 、 两点，过点 作 轴于点 ，
过点 作 轴于点 ，连接 、 、 ．若 ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
26．（2024·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲线 交于 两
点， 轴于点 ，连接 交 轴于点 ，结合图象判断下列结论： 点 与点 关于原点对称；
点 是 的中点； 在 的图象上任取点 和点 ，如果 ，那么 ；
．其中正确结论的个数是（ ）
第 7 页 共 22 页A． B． C． D．
27．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数 图象上的一点，连接 ，过点
O作 的垂线与反比例 的图象交于点B，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
28．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，点A在函数 的图象上，点B在函数 的图
象上，且 轴， 轴于点C，则四边形 的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
29．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中， ， 分别是横、纵轴正半轴上的动点，
四边形 是矩形，函数 的图象与边 交于点 ，与边 交于点 （ ， 不重合）．
给出下面四个结论：
第 8 页 共 22 页① 与 的面积一定相等；
② 与 的面积可能相等；
③ 一定是锐角三角形；
④ 可能是等边三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
30．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的
图象上，连接 ．若 ，则 ．
31．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ，
，过点 作 轴交 轴于点 ，点 为线段 上的一点，且 ．反比例函数
的图象经过点 交线段 于点 ，则四边形 的面积是 ．
32．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，点A是反比例函数 的图象上一点，过点A作 轴，
垂足为点C，延长 至点B，使 ，点D是y轴上任意一点，连接 ， ，若 的面积
是6，则 ．
第 9 页 共 22 页考点4反比例函数的实际应用
33．（2025·吉林长春·中考真题）在功 一定的条件下，功率 与做功时间 成反比例，
与 之间的函数关系如图所示．当 时， 的值可以为（ ）
A．24 B．27 C．45 D．50
34．（2025·湖北·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 （单位：A）与电阻
（单位： ）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻 大于 时，电流 可能是（ ）
A． B． C． D．
35．（2023·江苏南京·中考真题）甲、乙两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时
间t（单位：h）与行驶速度 v（单位：km/h）之间的函数图像是（ ）
A． B． C． D．
36．（2024·河北·中考真题）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x
度，则能使用y天．下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
第 10 页 共 22 页C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍
37．（2023·湖南怀化·中考真题）已知压力 、压强 与受力面积 之间有如下关系式：
．当F为定值时，下图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
38．（2025·辽宁·中考真题）在电压不变的情况下，电流 （单位： ）与电阻 （单位： ）是反比例
函数关系．当 时， ．则电流 与电阻 之间的函数表达式为 ．
39．（2025·四川成都·中考真题）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）．与电
阻R（Ω）之间的函数关系为 ，则电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而 （填“增大”或“减
小”）．
40．（2025·江苏连云港·中考）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压
强 是气球体积 的反比例函数．当 时， ．则当 时，
Pa．
41．（2024·山西·中考真题）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度
是载重后总质量 的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量 时，它的最快移动
速度 ；当其载重后总质量 时，它的最快移动速度 ．
42．（2024·海南·中考真题）某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：
A）与电阻R（单位： ）是反比例函数关系，即 ，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为
（V）．
第 11 页 共 22 页43．（2024·江苏连云港·中考真题）杠杆平衡时，“阻力 阻力臂 动力 动力臂”．已知阻力和阻力臂
分别为 和 ，动力为 ，动力臂为 ．则动力 关于动力臂 的函数表达式为 ．
44．（2023·江苏扬州·中考真题）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的
压强 是气球体积 的反比例函数，且当 时， ．当气球内的气体压强大于
时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 ．
45．（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔 的古代汲水工具（如
图①），有一横杆固定于桔槔上 点，并可绕 点转动．在横杆 处连接一竹竿，在横杆 处固定
的物体，且 ．若图中人物竖直向下施加的拉力为 ，当改变点 与点 的距离 时，横杆始终处
于水平状态，小星发现 与 有一定的关系，记录了拉力的大小 与 的变化，如下表：
点 与点 的距离 1 2 3
拉力的大小 300 200 150 120
(1)表格中 的值是 ；
(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画 与 之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，
描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
(3)根据以上数据和图象判断，当 的长增大时，拉力 是增大还是减小？请说明理由．
46．（2023·宁夏·中考真题）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压
第 12 页 共 22 页是气体体积 （ ）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)当气球内的气压超过 时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为
多少时气球不会爆炸（球体的体积公式 ， 取3）；
(2)请你利用 与 的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
47．（2023·浙江台州·中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液
体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度 （单位： ）的反比例函数，当密度计悬
浮在密度为 的水中时， ．
(1)求h关于 的函数解析式．
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时， ，求该液体的密度 ．
考点5反比例函数与几何综合
48．（2025·贵州·中考真题）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ，过
反比例函数图象上点 作 轴垂线，垂足为点 ，交 的图象于点 ，点 的横坐标为1．有以下结论：
第 13 页 共 22 页①线段AB的长为8；
②点 的坐标为 ；
③当 时，一次函数的值小于反比例函数的值．
其中结论正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
49．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，正比例函数 的图像与反比例函数
的图像交于A、B两点，点A的横坐标为 ．当 时， 的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
50．（2025·四川宜宾·中考真题）如图， 是坐标原点，反比例函数 与直线 交于点
，点 在 的图象上，直线 与 轴交于点 ．连结 ．若 ，则 的长为（
）
A． B． C． D．
51．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线 上，且
第 14 页 共 22 页点A在点B的右侧，点A的横坐标为 ， ，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
52．（2025·山东·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形 是面积
为4的正方形．若函数 的图象经过点 ，则满足 的 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
53．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数 的图象
交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的 和 ．当 ， 分别与x轴相切时，
切点分别为点C和点D，连接 ， ，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留 ）
54．（2025·陕西·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数 的图象交于 ，
两点，则 的值为 ．
55．（2025·广东深圳·中考真题）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数 与反比例函数
第 15 页 共 22 页相交于点 和点 ．若 的横坐标为1，则 的坐标为 ．
56．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比
例函数 的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为 ，连接 ，
若 ，则实数k的值为 ．
57．（2025·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲线
交于 ， 两点，过点A作直线 交x轴于点C，连接 ，则 的面积是 ．
58．（2025·青海·中考真题）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与反比例函数
（ 为常数 ）的图象在第二象限交于点 ．
第 16 页 共 22 页(1)求反比例函数的解析式；
(2)求 的面积．
59．（2025·四川泸州·中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象的一个交点
为 ．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)将一次函数 的图象沿 轴向下平移12个单位，与反比例函数 的图象相交于点 ，求
的值．
60．（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 的
图象的一个交点为 ，与x轴的交点为 ．
(1)求k的值；
(2)直线 与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若 ，求
直线 的函数表达式；
(3)P为x轴上一点，直线 交反比例函数的图象于点E（异于A），连接 ，若 的面积为2，求
点E的坐标．
第 17 页 共 22 页61．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴，y轴交于点A，B，与反
比例函数 的图象交于点C．已知点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，点D在反比例函
数 的图像上，纵坐标为2．
(1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标；
(2)连接 ，请直接写出四边形 的面积．
62．（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数
的图象相交于点A和 ，点A的横坐标为2．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出当 时x的取值范围；
(3)点C为x轴上一动点，连接 ，若 的面积为18，求点C的坐标．
63．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，一次函数 的图象交x轴于点A，交反比例函数
第 18 页 共 22 页的图象于点 ，将一次函数 的图象向下平移 个单位长度，所得
的图象交x轴于点C．
(1)求反比例函数 的表达式；
(2)当 的面积为3时，求m的值．
64．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，过原点 的直线与反比例函数 的图象交于 、 两
点，一次函数 的图象过点A与反比例函数交于另一点 ，与 轴交于点 ，其中
， ．
(1)求一次函数 的表达式，并求 的面积．
(2)连接 ，在直线 上是否存在点 ，使以 、 、 为顶点的三角形与 相似，若存在，求出
点 坐标；若不存在，请说明理由．
第 19 页 共 22 页65．（2025·甘肃·中考真题）如图，一次函数 的图象交x轴于点A，交反比例函数
的图象于点 ．将一次函数 的图象向下平移 个单位长度，所得的图
象交x轴于点C．
(1)求反比例函数 的表达式；
(2)当 的面积为3时，求m的值．
66．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象与一次函数
的图象相交于 、 两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)当 时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式 的解集；
(3)过直线 上的点C作 轴，交反比例函数的图象于点 ．若点 横坐标为 ，求 的面积．
第 20 页 共 22 页67．（2024·山东淄博·中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于
， 两点，与 ， 轴分别相交于点 ， ．且 ．
(1)分别求这两个函数的表达式；
(2)以点 为圆心，线段 的长为半径作弧与 轴正半轴相交于点 ，连接 ， ．求 的面积；
(3)根据函数的图象直接写出关于 的不等式 的解集．
68．（2025·广东·中考真题）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，
则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点．
(1)如图，点 是线段 的中外比点， ， ，求 的长．
(2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点 把线段 分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法）
(3)如图，动点 在第一象限内，反比例函数 的图象分别与矩形 的边 ， 相
交于点 ， ，与对角线 相交于点 ．当 是等腰直角三角形时，探究点 ， ， 是否分别为
， ， 的中外比点，并证明．
第 21 页 共 22 页69．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数 的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反
比例函数 的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数 的
图象交于点D，连接 ．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)若 是以 为底边的等腰三角形，求k的值．
70．（2025·四川德阳·中考真题）如图，已知菱形 ，点 在 轴上，反比例函数 的图象
经过菱形的顶点 ，连接 ， 与反比例函数图象交于点 ．
(1)求反比例函数解析式；
(2)求直线 的解析式和点 的坐标．
第 22 页 共 22 页
