文档内容
第 1 讲 实数与运算
第一部分：知识点梳理
知识点一：实数的分类
整数和分数统称为有理数；无限不循环小数小数叫做无理数；有理数和无理数统称为实数．
1.按定义分类： 2.按符号（正负）分类：
注意：（1）0是整数，但是既不属于正数，也不属于负数.
（2）在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有三类：
①开方开不尽的数，如 ， ，sin60°= 等；
②有特定意义的数，如圆π（或化简后含有π的数），如 等；
③无限不循环小数，如0.101 001 000 1…等；
知识点二：数轴、相反数、绝对值、倒数
1.数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 数轴上的点与实数是一一对应的．
2.相反数
(1)只有符号不同的两个数,叫做互为相反数,0的相反数是0.
(2)实数a,b互为相反数 .
3.绝对值
(1)在数轴上,表示一个数的点到原点的距离就是这个数的绝对值.
(2)一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0,
即: 绝对值具有非负性,即|a|≥0.
（3）几何意义： 表示a在数轴上表示的点与原点的距离，离原点越远的数的绝对值大.
4.倒数
(1)乘积为1的两个数,叫做互为倒数,实数a，b互为倒数 .
(2)非零实数a ( )的倒数是 ；零没有倒数. 特别地,倒数等于它本身的数是 .
第 1 页知识点三：科学计数法与近似数
1.科学记数法：把一个数表示成 的形式(其中 ,n为整数)，这种记数法叫做科学记数法．
(1) 的确定： 是整数位数只有一位的数，即 ；
(2) 的确定：
当原数的绝对值大于或等于10时， 等于原数的整数位数减1；
当原数的绝对值小于1时， 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一位非零数字前零的个数(含小数
点前的零)．
2.近似数：一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.
例：2.325（精确到0.01）≈ 2.33 ； 25679（精确到十位）≈ 25680 .
3.有效数字：从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字
例：0.000501的有效数字是 3 个； 0.05010的有效数字是 4 个.
知识点四：平方根、立方根、非负数
1.平方根
（1）平方根：若x2＝a，则x叫做a的平方根. （注意：负数没有平方根）
（2）算术平方根：如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，则正数x叫做a的算术平方根，记为 .
（3）表示：a的平方根记为 ，a的算术平方根记为 . 注意：0的平方根与算术平方根都是0
（4）性质：双重非负性
2.立方根： 定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根. 表示：a的立方根表示为 . 即x=
3.非负数：
(1)常见的非负数有 ， ， ；
(2)若几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0.例如：若 ，则有 .
知识点五：实数的运算
1.常见的实数运算
乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指数.
“奇负偶正”
指数、负整数指数幂：a≠0，则a0=1； 若a≠0，n为正整数，则 .
2.实数的运算定律与运算顺序
（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律、加法交换律、乘法交换律
、乘法结合律、 乘法分配律.
（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.
第 2 页3.实数的运算法则
(1)实数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
互为相反数的两个数相加得0；
③一个数同0相加，仍得这个数.
(2)实数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.
(3)实数乘法法则：
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，都得0；
②几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数的个数为奇数时，积是负数，当负
因数的个数为偶数时，积是正数；
③几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0.
(4)实数除法法则：
①除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.0不能作除数；
②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.
(5)乘方的运算法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何
正整数次幂都是0.
4.实数大小比较的方法：
（1）数轴比较法：在数轴上，右边的点所对应的数比左边大.
（2）作差法：当a－b＝0时，可知a＝b；当a－b＞0时，可知a＞b；当a－b＜0时，可知a＜b．
A A A
（3）作商法：若 =1，则A＝B；若 ＞1，则A＞B；若 ＜1，则A＜B(A，B＞0且B≠0).
B B B
（4）平方法：当a＞0，b＞0时，a＞b⇔√a＞√b．
（5）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则 .
（6）备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。
第 3 页第 2 讲 整式与因式分解
第一部分：知识点梳理
知识点一：代数式
1.代数式的概念
用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数与字母连接而成的式子叫做代数式.单独的一个数
或者一个字母也是代数式．
2.代数式的值
用具体数代替代数式中的字母,按运算顺序计算出的结果叫做代数式的值.求代数式的值分两步:第一步,
代数;第二步,计算.要充分利用“整体”思想求代数式的值.
知识点二：整式的有关概念
1．整式：单项式与多项式统称为整式．
2．单项式：含有数或字母的积的代数式叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．
单项式中的数字因式叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次
数．
例如：单项式 是的系数是-5，次数是6.
3．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做
常数项．多项式中次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．多项式中单项式的个数，就是这个多项
式的项数．
4．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．
5．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合
并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变．
知识点三：幂的运算
（1） am·an=am+n； (am)n=amn； (ab)n=anbn；
（2） am÷an= ；
（3） （ ） （ ）
知识点四：整式的加减运算
（1）整式的加减运算：整数的加减本质是合并同类项，如果有括号要先去括号，再合并同类项.
（2）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括
号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
（3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负
号，括到括号里的各项都改变符号.
知识点五：整式的乘除运算
（1）单项式 单项式：
①将单项式系数相乘作为积的系数；
②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为积的一个因式；
③单独出现的字母，连同它的指数，作为积的一个因式.
（2）单项式 多项式：m（a+b+c）=ma+mb+mc.
用单项式分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加；
（3）多项式 多项式：(a+b) (m+n)= am+an +bm +bn.
第 4 页先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
（4）单项式 单项式：
单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连
同它的指数作为商的因式.
（5）多项式 单项式
①先把这个多项式的每一项除以单项式，②再把所得的商相加.
知识点六：乘法公式
（1）平方差公式：
（2）完全平方公式：
(a+b) 2 =a2 +2ab+b2 (a−b) 2 =a2 −2ab+b2
，
( 或合在一起 )
知识点七：因式分解
1．因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．
注：整式乘法与因式分解是互逆运算.
2．因式分解的基本方法：
（1）提取公因式法： .
（2）公式法：运用平方差公式： .运用完全平方公式： .
3．分解因式的一般步骤
（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平
方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；
（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。
以上步骤可以概括为“一提，二套，三检查”。
知识点八：十字相乘法
1、如果二次三项式 中的常数项q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是
a与b的和，那么 就可以进行如下的因式分解，即
= x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
2、利用十字交叉线来把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
一般地， = x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)可以用十字交叉线表示
方法的特征是：“拆两头，凑中间”
口诀：“首尾分解，交叉相乘，求和凑中，横写因式”
注意：用十字相乘法分解因式，要注意避免这两种错误：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是
否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．
第 5 页第 3 讲 分式
第一部分：知识点梳理
知识点一：分式的有关概念
1. 分式的定义
（1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成 的形式，如果除式B中含有字母，那么称 为分式．
（2）分式 中，A叫做分子，B叫做分母．
【注】①若B≠0，则 有意义；②若B=0，则 无意义；③若A=0且B≠0，则 =0．
2. 分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
用式子表示为 或 ，其中A，B，C均为整式．
3. 约分及约分法则
（1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
（2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因
式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解
因式，然后约分．
4. 最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
5. 最简公分母：（若分母为单项式）通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作
为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
【注】若分母为多项式，则先将所有分母进行分解因式，再取每个因式的最高次幂的积作为公分母
6. 通分及通分法则
（1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这
一过程称为分式的通分．
（2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、
相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；若分母是多项式，则先分解因式，再通分．②再用分式的
基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与
原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；
第 6 页知识点二：分式的运算
1.分式的加减
①同分母：分母不变，分子相加减：
②异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减：
2.分式的乘除和乘方
①乘法：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母：
②除法：把除式的分子分母颠倒位置，与被除式相乘： （ ）
③乘方：分式的乘方要把分子，分母分别乘方: （ 为正整数）
3.分式的混合运算：先乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面．
第 7 页第 4 讲 二次根式
第一部分：知识点梳理
知识点一：二次根式的有关概念
1.二次根式的概念：形如
√a(a≥0)的式子叫做二次根式．其中符号“
”叫做二次根号，二次根号下
的数叫做被开方数．
【注】被开方数a只能是非负数．即要使二次根式 有意义，则a≥0．
2．最简二次根式：最简二次根式必须同时满足以下两个条件：
(1)被开方数不含分母（只能是整数或整式）
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
3.同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．
【例】 与 是同类二次根式，且 + = ．
知识点二：二次根式的性质
（1）√a≥ 0（a≥0） 双重非负性；
（2）(√a) 2 =a(a≥0)；
（3） ；
知识点三：二次根式的运算
（1）二次根式的加减
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二
次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
（2）二次根式的乘除
乘法法则： ；除法法则： ．
（3）二次根式的混合运算
在二次根式的运算中，实数的运算性质和法则同样适用．
二次根式的混合运算顺序是：先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．
第 8 页第 5 讲 一次方程（组）
第一部分：知识点梳理
知识点一：等式和方程的有关概念
1.等式的概念
用等号“=”来表示相等关系的式子,叫做等式.
2.等式的性质
（1）等式两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),所得结果仍是等式;
（2）等式两边同时乘(或除以)同一个数(除数不能是0),所得结果仍是等式.
3.方程的有关概念
（1）含有未知数的等式叫做方程.
（2）方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解,一元方程的解也叫做它的根.
（3）解方程：求方程的解的过程叫做解方程.
知识点二：一元一次方程及其解法
1.一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形
式为 ．
2.解一元一次方程的一般步骤
变形名称 具体做法 依据
去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 等式的性质
乘法分配律、去括号法
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号
则
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程
移项 移项法则
的另一边（注意：移项要变号）
合并同类项 把方程化成 的形式 合并同类项法则
在方程两边都除以未知数的系数 a，得到方程的解为
系数化为1 等式的性质
知识点三：二元一次方程（组）的相关概念
1.二元一次方程
含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．
使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．一般地,一个二元一次方程有无数
个解.
2.二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一
个量，其一般形式为
3.解二元一次方程组的解法
解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．
（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，
消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一
第 9 页次方程组为一元一次方程．
4.三元一次方程组
方程组含有三个不同的未知数,每个方程中含有未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的
方程组叫做三元一次方程组.
知识点四：一次方程（组）的应用
1.列方程（组）解应用题的一般步骤
（1）审题；
（2）设出未知数；
（3）根据等量关系列出方程（注意单位及换算）；
（4）解方程（组）；
（5）检验结果；
（6）作答．
2.一次方程（组）常见的应用题型
（1）销售打折问题：利润 售价-成本价；利润率= ×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．
（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；
贷款利息=贷款额×利率×期数．
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．
（4）行程问题：路程=速度×时间．
（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．
（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．
第 10 页第 6 讲 分式方程
第一部分：知识点梳理
知识点一、分式方程的概念
1. 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 如 等这样的方程叫做分式方程.
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，是判定一个方程为分式方程的依据。
知识点二、分式方程的解法
1. 解分式方程的基本思想：
将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形
时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，
所以解分式方程时必须验根（检验）.
2. 解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，
再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解；若最简
公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
3. 解分式方程的增根
（1）增根的定义：方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.
（2）产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为
0，对于整式方程来说, 求出的根成立, 而对于原分式方程来说，分式无意义, 所以这个根是原分式方程的
增根.
注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根。若这个整式方程
本身无解，当然原分式方程就一定无解。
知识点三、列分式方程解决问题
1.分式方程解应用题的一般步骤：
①审题（找等量关系）；
②设未知数；
③列分式方程；
④解分式方程；
⑤检验（检验是否为增根，是否符合实际问题）；
⑥答。
2.分式方程中常见等量关系：
（1）利润问题：总价=单价×数量，利润＝售价－进价；利润率＝利润/进价×100%；
（2）工程问题：工作总量＝工作效率×工作时间；
（3）行程问题：路程＝速度×时间.
第 11 页第 7 讲 不等式与不等式组
第一部分 知识点梳理
知识点1 不等式的概念及性质
1.不等式：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。能使不等式成立
的未知数的值，叫做不等式的解。
2.不等式的基本性质
理论依据 式子表示
不等式的两边同时加上（或减去）同一个数
性质1 若 ，则
（或式子），不等号的方向不变
不等式两边同时乘以（或除以）同一个正
性质2 若 ， ，则 或
数，不等号的方向不变
不等式两边同时乘以（或除以）同一个负
性质3 若 ， ，则 或
数，不等号的方向改变
3.不等式的解集及表示方法
（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不
等式的解集．（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数
轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解。
知识点2 一元一次不等式
1.一元一次不等式.不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1 次，这样
的不等式叫一元一次不等式。
2.解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤ 系数化为 1 （注意不
等号方向是否改变）。
知识点3 一元一次不等式组
1.一元一次不等式组.一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组。
2.一元一次不等式组的解集.一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等
式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
3.一元一次不等式组的解法.先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解
集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解。
4.几种常见的不等式组的解集 a，b是常数，且 ，关于x的不等式组的解集的四种情况如下表所示
（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：
不等式组
数轴表示 解集 口诀
（其 中）
同大取大
同小取小
第 12 页大小、小大中间找
无解 大大、小小取不了
知识点4 不等式（组）的实际应用
列不等式（组）解应用题的基本步骤：
①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案。
注意：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设
计型问题相联系，如最大利润、最优方案等。列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用
“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接。
【易错点归纳】
1. 不等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母。
2. 运用不等式的性质进行不等式变形时，要特别注意性质 2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，
必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数,不等号要改变方向。
3. 一元一次不等式满足的条件：
①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1。
4. 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。
第 13 页第 8 讲 一元二次方程
第一部分：知识点梳理
知识点一：一元二次方程的概念
1.一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c = 0(a≠0)
其中ax2，bx，c分别叫做二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
注意：最高次项的系数a≠0.
【判断一元二次方程的条件】
①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③整式方程.
3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的
解也叫做一元二次方程的根。
知识点二：一元二次方程的解法
1.直接开平方法：适合以下形式的方程：
① ② ③
2.配方法：
（1）化二次项系数为1； （2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程左边分解因式，整理成 的形式；
（5）运用直接开平方法解方程．
3.公式法：
（1）把方程化为一般形式，即 ； （2）求出判别式 的值；
（3）若当 时，用求根公式 求出方程的解．
4.因式分解法：
（1）基本思想是把方程化成 的形式，可得 或 ．
（2）步骤：
①将方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程，解这两个方程即可.
知识点三：一元二次方程根的判别式
1.根的判别式：一元二次方程 是否有实数根，由判别式 的符号决定.
2.根的判别式与根的情况的关系
当Δ=b2 -4ac＞0时,方程有两个不相等实数根.
当Δ=b2 -4ac＝0时,方程有两个相等的实数根.
当Δ=b2 -4ac＜0时,方程没有的实数根.
★特别地，当Δ=b2 -4ac≥0时，方程有两个实数根（方程有实数根）
知识点四：根与系数的关系（韦达定理）：
第 14 页若一元二次方程
ax2 +bx+c=0
的两个根为
x
1
,x
2，（前提是Δ=b2 -4ac≥0）
b c
x +x =− x ⋅x =
1 2 a 1 2 a
则 和 与系数a，b，c之间有如下关系： ，
常用变形：
1 1 x +x
1 2
+ =
x2 +x2 =(x +x ) 2 −2x x x x x x
1 2 1 2 1 2 ； 1 2 1 2 ； ；
知识点五：利用一元二次方程解决实际问题
1.列方程解应用题步骤：即审、设、列、解、验、答六步．
2.一元二次方程应用题的等量关系：
（1）传染问题：a (1+x)n=b
（2）变化率(增长率)问题：a (1±x)n=b （+代表增长，-代表下降）
（3）单循环问题： 每两个队之间比赛一场，每两人握手一次
双循环问题： 每两个队之间比赛两场，每两人互送礼物或贺卡
（4）利润问题：总利润=单件利润×销量； 单件利润=售价-进价； 利润率= ×100％．
1
（5）面积问题：长方形面积=长×宽，三角形面积= ×底×高，
2
如图1所示的矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积可通过平移转化为
图2的形式，则面积= ．
第 15 页第 9 讲 平面直角坐标系与函数基础
第一部分：知识点梳理
知识点1 平面直角坐标系
（1）对应关系：坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.
（2）坐标轴上的点：x轴，y轴上的点不属于任何象限.
知识点2 点的坐标特征
1.点的坐标的概念
点的坐标用（x，y）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号“，”隔开.
2.坐标轴上的点的特征
若点P(x,y)在x轴上，则纵坐标 y=0 【例】点A(2,0)在x轴上，点B(0,-3)在y轴上.
若点P(x,y)在y轴上，则横坐标x=0
3.坐标变换规律 (轴对称与中心对称)：已知点P(x,y)
（1）点P关于x轴对称的点的坐标 （ x ， - y ） ；
（2）点P关于y轴对称的点的坐标 （ - x ， y ） ．
（3）点P关于原点的对称点为 （ - x ， - y ） ．
可结合坐标系的图象进行推导 （口诀“关于谁，谁不变，关于原点都改变”）
4.点到坐标轴及原点的距离：已知点P(x,y)
|y|
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于
|x|
（2）点P(x,y)到y轴的距离等于
√x 2 +y 2
3）点P(x,y)到原点的距离等于
（
5.坐标系中常用的公式（★★★）
（1）中点公式：若 、 ，则AB中点C坐标为： ；
（2）两点间的距离公式：已知两点： 、 ，则 ．
6.点的平移特征：
不用记公式，根据在坐标系画图，即可得到。
【例】把点A(2，3)向右平移5个单位得到(7，3)； 把点A(2，3)向下平移5个单位得到(2，-2).
第 16 页知识点3 函数的有关概念
1.变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
2.函数的概念
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，
那么就说x是自变量，(y为因变量), y是x的函数。
知识点4 函数解析式及表示方法
1.函数的解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体
叫做自变量的取值范围。
2.函数自变量的取值范围：（★★★）
①整式：自变量的取值范围是全体实数
②分式：自变量的取值要使得分母不为0 (分母≠0)
③二次根式：自变量的取值要使得被开方数为非负数 (被开方数≥0)
3. 画函数图象的一般步骤：
（1）列表：列表得出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
4.函数图象上点的坐标与解析式之间的关系：
（1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。
（2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。
5.函数的三种表示法及其优缺点
（1）解析式法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，
这种表示法叫做解析法。
（2）列表法：把自变量x的一系列值和因变量y的对应值列成表格来表示函数关系，叫做列表法。
（3）图象法：用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
优点 缺点
准确反映整个变化过程中自变量与函数的 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实际问题中
解析法
关系 有的函数值不一定能用解析式表示
自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值
列表法
的对应关系，有局限性
图象法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 从图象中只能得到近似的数量关系
第 17 页第 10 讲 一次函数
第一部分 知识点梳理
1.一次函数：一般地，形如y=kx+b (k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数，其中k为比例系数。
2. 正比例函数：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫正比例函数。
特别地, 当一次函数y=kx+b中的b=0时, 得y=kx，即为正比例函数,所以正比例函数是特殊的一次函数。
3.正比例函数的图象与性质
正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．
k的符号 函数图象 图象的位置 性质
图象经过第一、三象
k>0 y随x的增大而增大
限
图象经过第二、四象
k <0 y随x的增大而减小
限
4.一次函数的图象与性质：
（1）一次函数图象的平移：
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，与直线y=kx平行，把y=kx平移可得到y=kx+b的图象.
当b＞0时，图象向上平移b个单位长度；
当b＜0时，图象向下平移|b|个单位长度. 规律为“上加 下减 ” .
注：若两直线y=kx+b 与y=kx+b 互相平行，则它们的斜率k相等,即k=k.
1 1 2 2 1 2
（2）一次函数的图象与性质 y=kx+b(k≠0)
k＞0 k＜0
一次函数的图象
与性质
直线从左向右上升 直线从左向右下降
增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减少
k决定直线的倾斜程度，|k|越大，直线越陡；若k相等，直线平行；
图象特征
b决定直线与y轴的交点(0，b).
当b＞0时，图象向上平移b个单位长度；
平移
当b＜0时，图象向下平移|b|个单位长度.
5.待定系数法求一次函数的解析式
（1）设，设出一次函数的一般形式y＝kx＋b(k≠0)．
（2）代，将已知点坐标代入解析式得出方程或方程组．
（3）解，解方程组求出待定系数k，b的值．
（4）写，写出该函数的解析式.
6.一次函数与方程、不等式的关系 （★数形结合思想）
（1）与一元一次方程的关系
第 18 页任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．
从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；
从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．
（2）与二元一次方程组的关系
求一次函数y=kx+b 与y=kx+b 图象的交点坐标，
1 1 2 2
①从函数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量x为何值时，两个函数的值相等，以及这两个
函数值是何值；
②从函数图象的角度看，要找到一个点，即两条直线的交点，交点坐标同时满足两个函数所对应的方程，
即联立方程组 的解就是两条直线的交点坐标；
（3）与一元一次不等式的关系
①从函数的角度看，解不等式kx＋b＞0（kx＋b＜0）就是寻求使得一次函数y=kx+b的值 大于 ( 或小于 0 )
时，相应的x的取值范围；
②从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴 上方 ( 或下方 ) 部分 的点的横坐标满足的条件。
即一次函数y＝kx＋b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围是kx＋b＞0的解集
一次函数y＝kx＋b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围是kx＋b＜0的解集
7. 一次函数图象与图形面积
解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两条直线
的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在坐标
轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法．
8.用一次函数解决实际问题的一般步骤
1.设定实际问题中的自变量与因变量；
2.通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；
3.确定自变量的取值范围；
4.利用函数性质解决问题；
5.检验所求解是否符合实际意义；
6.作答（要完整）．
第 19 页第 11 讲 反比例函数
第一部分 知识点梳理
1.反比例函数的概念
一般地，函数 （k是常数，k≠0）叫做反比例函数，其中k叫做比例系数．
反比例函数的三种形式① ；②y=kx-1 ； ③xy=k .
2.反比例函数的图象和性质
（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、
四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的
两支与坐标轴无限接近，但永远不相交．
（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
（3）注意：反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增
减情况．
当k>0时，在每个象限内（或x>0或x<0时）y随x的增大而减小，而不能笼统地说当k>0时，y随x的增
大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
k k>0 k<0
大致图象
所在象限 第一、三象限 第二、四象限
增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
对称性 轴对称图形（对称轴为直线y=x和y=-x），中心对称图形（对称中心为原点）
3. 待定系数法求反比例函数解析式的确定
①设反比例函数解析式为 （k≠0）；②把图象上一个点坐标x，y代入解析式，得到关于k的方程
③解这个方程求出待定系数k；④将所求得的k的值代回所设的函数解析式．
4. 反比例函数中|k|的几何意义
（1）反比例函数图象中有关图形的面积
S ＝|k| S ＝ S ＝
矩形PAOB △AOP △ACP
（2）涉及三角形的面积型
当反比例函数与一次函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
第 20 页①正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S =2S =|k|；
△ABC △ACO
② 如图②，已知一次函数与反比例函数 交于 A、B两点，且一次函数与 x轴交于点 C，则
S =S +S = + = ；
△AOB △AOC △BOC
③ 如图③，已知反比例函数 的图象上的两点，其坐标分别为 ， ，C为AB延
长线与x轴的交点，则S =S –S = – = ．
△AOB △AOC △BOC
5. 反比例函数与一次函数的综合
（1）涉及自变量取值范围型：当一次函数 与反比例函数 相交时，联立两个解析式，
得到方程组，解方程组得到交点坐标。针对 时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高
于反比例函数图象的部分所对应的x的范围. （交点分段，图高值大）
【例如】，如下图，当 时，x的取值范围为 或 ；
同理，当 时，x的取值范围为 或 ．
6. 反比例函数的实际应用
解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量
的取值范围．
第 21 页第 12 讲 二次函数
第一部分 知识点梳理
知识点一 二次函数的概念
形如 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．
其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。二次项系数a≠0，而b、c可以为零。
知识点二 二次函数的图象和性质（重点）
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线.
求抛物线的对称轴、顶点坐标的方法
(1)公式法：
， ∴对称轴是直线 ，顶点是
(2)配方法：运用配方法将解析式化为 的形式，得到对称轴是x=h，顶点为(h,k )
(3)运用抛物线的对称性：若抛物线上两点的纵坐标相等，则说明这两点是关于抛物线的对称轴对称的，
x +x
对称轴是这两点连线的垂直平分线,即直线 x= 1 2
2
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，a≠0）
a0 a0
图象
开口方向 向上 向下
b b
对称轴 x x
直线 2a 直线 2a
b 4acb2 b 4acb2
顶点坐标 , ,
2a 4a 2a 4a
b b
x x
2a 2a
在对称轴的左侧，即当 时，y 在对称轴的左侧，即当 时，y随
随x的增大而减小； x的增大而增大；
增减性
b b
x x
在对称轴的右侧，即当 2a 时，y 在对称轴的右侧，即当 2a 时，y
随x的增大而增大． 随x的增大而减小．
b b
x x
抛物线有最低点，当 2a 时，y有 抛物线有最高点，当 2a 时，y有
最大(小)值
4acb2 4acb2
y y
最小值， 最小值 4a 最大值， 最大值 4a
第 22 页知识点三 待定系数法求二次函数的解析式
二次函数的解析式 选用条件
一般式：y=ax2+bx+c 已知三个点
顶点式：y=a(x﹣h)2+k 已知抛物线的顶点(h,k )或对称轴或最值
交点式：y=a（x﹣x）（x﹣x） 已知抛物线与x轴的两个交点（x，0）（x，0）
1 2 1 2
注意隐含条件 抛物线的对称轴是直线 这一个方程，也可以由对称性得出另一点坐标。
1.若顶点在原点，可设为 y=ax2;
2.若对称轴是y轴,可设为y=ax2+c;
3.若抛物线过原点,可设为y=ax2+bx.
知识点四 二次函数图像的平移
二次函数y=ax2 的顶点坐标为（0，0），图象平移可以得到y=a(x-h)2+k,平移后的顶点坐标为(h，k).
其中，h决定左右平移，k决定上下平移.
平移规律：“ 左加右减 自变量 ，上加下减常数项 ”．
知识点五 二次函数y=ax2+bx+c与系数a,b,c的关系
（1）a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样.
a>0时，开口向上；a<0时，开口向下；|a|越大，抛物线的开口反而越小.
b
x=−
2a
（2）b和a共同决定对称轴的位置.由于对称轴是直线 ，所以
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．
(口诀:“左同右异”）
（3）常数项c决定抛物线与y轴交点，交点为（0，c）．
（4）抛物线与x轴交点个数：Δ=b2-4ac，当Δ＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
当Δ＝0时，抛物线与x轴有1个交点；当Δ＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（5）判断2a+b，2a-b的正负符号，例如对称轴为直线x=1，则 =1，可得2a+b=0
（6）判断a+b+c等式子的正负符号，需要代入特殊值.
①当x=1时，函数值y=a+b+c，若此时对应的函数值y在x轴的上方，则 a+b+c ＞ 0 ；
②当x=-1时，函数值y=a-b+c ③当x=2时，函数值y=4a+2b+c
（7）am2+bm和a+b的大小关系：两边同时加上c，即am2+bm+c，a+b+c，其中am2+bm+c是当x=m时的
函数值，a+b+c是当x=1时的函数值.
知识点六 二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.当图象与
x轴有交点时，令y=0，即ax2+bx+c=0，求出方程的解，就是函数图象与x轴交点的横坐标
2.若二次函数图象与x轴有交点，使用因式分解法可以把一般式y=ax2+bx+c化为交点式：y=a（x﹣x ）
1
（x﹣x），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x，0），（x，0）．
2 1 2
Δ=b2-4ac ax2+bx+c=0的根 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点 图象
第 23 页Δ>0 两个不相等的实数根 两个交点
Δ=0 两个相等的实数根 一个交点
Δ<0 无实数根 无交点
知识点七 二次函数的实际应用
（1）根据数量关系，列出二次函数的解析式，并求出自变量取值范围；
（2）利用配方法（或公式法）化为顶点式；
（3）结合函数图象，若对称轴在自变量取值范围内，则函数在顶点处取得最值；若不在范围内，则根据
函数的增减性确定。
常见二次函数的实际问题：
1.求最值(如销售问题最大利润、几何图形最大面积、最小周长等)
2.抛物线型（拱桥、投球、喷泉问题等）
3.图形运动的函数图象
第 24 页第 13 讲 平面几何初步、投影与视图
第一部分：知识点梳理
知识点1 直线、射线、线段
1.直线的性质：（1）两条直线相交，只有一个交点；
（2）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；
2.线段的性质：线段的基本事实： 两点之间，线段最短 .
3.线段的中点性质：若C是线段AB中点，则AC=BC= AB；AB=2AC=2BC．
4.两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交．
5.垂线的性质：
①两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直.
②基本事实：经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③垂线段性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短．
6.点到直线的距离：
从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．
如图所示，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，图中线
段AB的长度就是点A到直线l的距离.
知识点2 角的相关概念
1.角：有公共端点的两条射线组成的图形．
2.角平分线
（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC = ∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．
3.度、分、秒的运算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″． 1周角=2平角=4直角=360°．
4.余角和补角
（1）余角：∠1＋∠2＝90° ∠1与∠2互为余角；
（2）补角：∠1＋∠2＝180° ∠1与∠2互为补角．
⇔
（3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．
⇔
5.方向角和方位角：在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北
（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方
向．
知识点3 相交线
1.三线八角
两条直线a、b被第三条直线c所截，构成8个角，简称为“三线八角”，如图所
示：
∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；
∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；
∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角．
2.对顶角
第 25 页（1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这
种关系的两个角，互为对顶角．
（2）性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．
知识点4 平行线
1. 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
2. 平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行．（2）内错角相等，两直线平行．（3）同旁内角互补，两直线平行．
（4）平行于同一直线的两直线互相平行．（5）垂直于同一直线的两直线互相平行．
3. 平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等．（2）两直线平行，内错角相等．（3）两直线平行，同旁内角互补．
（补充：平行线分线段成比例）
4. 平行线间的距离
（1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．
（2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等．
5.常见平行线模型，主要模型：
做这类题型时，一般在拐点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如图：
知识点5 投影
1.投影的概念
一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影。照射光线叫做投影线，
投影所在的平面叫做投影面。
2.中心投影、平行投影、正投影
（1）中心投影：在点光源下形成的物体的投影叫做中心投影，点光源叫做投影中心。
（2）平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影。
（3）正投影：投射线与投影面垂直时的平行投影，叫做正投影。
第 26 页3.中心投影的概念：由一点发出的光线形成的投影叫做中心投影。（例如：手电筒、路灯、台灯等）
中心投影的特征：
（1）等高的物体垂直于地面放置时，在灯光的照射下，如图（1）所示，离点光源近的物体的影子短，
离点光源远的物体的影子长.
（2）等长的物体平行于地面放置时，在灯光的照射下，如图（2）所示，离点光源越近，物体的影子越
长，离点光源越远，物体的影子越短.
4.平行投影的概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影。（例如：太阳光）
平行投影的特征：
（1）等高的物体垂直地面放置时（图1），在太阳光下，它们的影子一样长。
（2）等长的物体平行于地面放置时（图2），它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长
度。
注意：
（1）图1中，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，相似三角形对应边成比例。
（2）已知物体影子可以确定光线，过已知物体顶端及影子顶端作直线，过其他物体顶端作此线的平行线，
便可求出同一时刻其他物体的影子。（理由：同一时刻光线是平行的光线下行成的）
（3）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例，即： ，利用上面的关
系式可以计算高大物体的高度，例如：旗杆、树、楼房的高度等。
5.正投影：
投射线与投影面垂直时的平行投影，叫做正投影。
立体图形的正投影：物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行
于投影面且过立体图形的最大截面全等。
知识点6 三视图
1.三视图的概念：一个物体在三个投影面内同时进行正投影，
第 27 页在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；
在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；
在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图。
物体的主视图、左视图、俯视图合称为三视图。
2.画几何体三视图的基本方法：
画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体
（1）确定主视图的位置，画出主视图；
（2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
（3）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”。
【注意】画物体的三视图时：看得见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线
画成虚线．
3.由三视图想象几何体的形状：
由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧
面，然后综合起来考虑整体图形。
4.由三视图计算几何体面积、体积：
利用三视图先想象出实物形状，标注好相应尺寸，然后计算面积、体积。
知识点7 几何体的展开图
1.常见几何体的展开图
几何体 立体图形 表面展开图 侧面展开图
圆柱
圆锥
三棱柱
第 28 页2. 正方体的展开图
正方体有11种展开图，分为四类：
第一类，中间四连方，两侧各有一个，共6种，如下图：
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共3种，如下图：
第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有1种，如图10；
第四类，两排各有三个，也只有1种，如图11。
第 29 页第 14 讲 三角形与全等三角形
第一部分：知识点梳理
知识点1：三角形的相关概念
1.三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形。（三角形具有稳定性）
2.三角形的三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确
定第三边的范围；③证明线段不等关系。
3.三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和 等于 18 0 °。
推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形
的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
知识点2：三角形中的重要线段
1.三角形中的重要线段
（1）三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
（4）三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
知识点3：角平分线的性质与判定
1.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等．
如图，已知OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，，则CD = CE．
2.角平分线的判定定理：角的内部，与角两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
知识点4：全等三角形的判定与性质（☆☆☆）
1. 全等三角形的判定定理：
（1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（边边边SSS）；
（2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（边角边SAS）；
（3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（角边角ASA）；
（4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（角角边AAS）；
（5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直
角边对应相等的两个直角三角形全等（斜边直角边HL）。
2.全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；
（2）全等三角形的周长相等，面积相等；
第 30 页（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线都相等。
知识点5：全等三角形的应用
1.通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形。
2.若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补
短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目。
3.利用全等三角形解决实际问题的方法：把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画
出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
第 31 页第 15 讲 等腰三角形
第一部分：知识点梳理
知识点一 等腰三角形
1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的
角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
2.性质： A
（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
（简称“三线合一”）。
3.对称性：
等腰三角形是轴对称图形，它通常有1条对称轴。
4.判定：
B D C
（1）定义法：两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形，即这两个角所对的边也相等（简称“等角对等
边”）.
【注意】等腰三角形的边有腰、底之分，角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰，角没
有明是顶角还是底角，需要分类讨论。
【总结】证明两个角相等的方法：
（1）如果角在同一个三角形中，先考虑“等边对等角”来证明.
（2）如果角不在同一个三角形中，可证明两个三角形全等来解决.
知识点二 等边三角形
1.定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形（也叫正三角形），它是特殊的等腰三角形。
2.性质：
A
（1）等边三角形的三条边相等；
（2）三个内角都相等，且每个内角都是60°；
（3）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴；
3.判定：
（1）定义法：三边相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形. B C
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
【补充】
（1）等边三角形具有等腰三角形的一切性质.
（2）等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．
知识点三 垂直平分线
1.垂直平分线的定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，
叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）。
2.垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
3.垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
第 16 讲 直角三角形
第一部分：知识点梳理
知识点一 直角三角形
第 32 页1.定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
2.性质：
（1）直角三角形两个锐角互余；
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
A
m
D
b
c
C B a
3.判定：
（1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
（3）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
4.直角三角形的面积公式： (c为斜边上的高，m为斜边长).
知识点二 勾股定理
1.文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2．
2.变式：a2=c2-b2，b2=c2-a2， c=√a2+b2,a=√c2-b2,b=√c2-b2.
【易错点】
（1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾
股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形；
（2）如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，
求解时必须进行分类讨论，以免漏解．
B
c（弦）
a
（勾）
A
C
b（股）
第 33 页知识点三 勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边.
2.勾股数
能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即满足关系a2+b2=c2的3个正整数a，b，c称为
勾股数.
3.常见的勾股数：
3，4，5； 6，8，10； 5，12，13；
7，24，25； 8，15，17； 9，40，41；
勾股数的扩展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数 k ( k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
第 34 页第 17 讲 相似三角形
第一部分 知识点梳理
知识点1 相似的有关概念
1.成比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 a ∶ b ＝ c ∶ d ，那么这四条
线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
2.比例中项：如果=，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项.
3.比例的性质
①如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc；
②如果 ad ＝ bc (a，b，c，d都不等于0)，那么＝.
4.黄金分割：如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果＝，那么称线段AB被点C黄
金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金分割比，＝≈0.618.
5.平行线分线段成比例（定理）：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
即： 。
知识点2 相似三角形的性质与判定（☆☆☆）
1.相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比
叫做相似比。
2.性质：
（1）相似三角形的对应角相等；
（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；
（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
3.判定：
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（2）三边对应成比例的两个三角形相似。
（3）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
（4）两角对应相等的两个三角形相似。
知识点3 相似多边形
1.相似多边形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的
比叫做它们的相似比。
2.相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应边成比例；（2）相似多边形的对应角相等；（3）相似多
边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方。
第 35 页知识点4 图形的位似
1.位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或
在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比。
2.位似图形的性质：（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图
形对应点的坐标的比 等于 k 或– k；（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或
相似比。
3.找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即
是位似中心。
4.画位似图形的步骤：（1）确定位似中心；（2）确定原图形的关键点；（3）确定位似比，即要将图形
放大或缩小的倍数；（4）作出原图形中各关键点的对应点；（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个
对应点。
知识点5 相似三角形的应用
1.利用影长测量物体的高度
①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比
相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决。
②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度。
2.利用相似测量河的宽度（测量距离）
①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直
线上。必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形。
②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度。
3.借助标杆或直尺测量物体的高度．
利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构
建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度。
第 36 页第 18 讲 锐角三角函数
第一部分：知识点梳理
知识点一 锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C=90°，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
正弦：sinA= ；
余弦：cosA= ；
正切：tanA= ．
根据定义求三角函数值时，一定要根据题目图形来理解，按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助
线来构造直角三角形.
知识点二 特殊角的三角函数值
α 30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα 1
知识点三 解直角三角形
1）在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已
知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2）解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：1）三边关系：a2+b2=c2； 2）两锐角关系：
∠A+∠B=90°；3）边与角关系：sinA=cosB= ，cosA=sinB= ，tanA= ； 4）sin2A+cos2A=1．
3）科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.
知识点四 解直角三角形的应用
1.仰角和俯角
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
2.坡度和坡角
第 37 页坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i= ．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，则i=tanα= ．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
3.方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．
如图，点OA、OB、OC方向角分别是北偏东30°、南偏东60°、北偏西45°(也称西北方向)
4.解直角三角形实际应用的一般步骤
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的三角函数sin、cos、tan，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
第 38 页第 19 讲 多边形与平行四边形
第一部分：知识点梳理
知识点1 多边形的内角和、外角和
1.多边形的内角和= (n-2)×180° ，其中n为多边形的边数
2.多边形的内角和公式推导：
如图所示，从n边形的一个顶点可以引出（n-3）条对角线，这（n-3）条对角
线把n边形分成（n－2）个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内
角和是(n-2)×180°.
3.多边形的外角和：任意多边形的外角和都等于360°，与边数的多少没有关系.
如图所示：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5就是五边形ABCDE的外角和，为360°.
知识点2 正多边形
1.定义：在平面内，各内角都相等，各边也都相等的多边形叫做正多边形.
360°
2.内角与外角：正n边形的每个内角= ，每一个外角= n 。
3.对称性：（1）正n边形是轴对称图形，有n条对称轴.
（2）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形，但不是是中心对称图形（例如正三角形，正五边
形）；
当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形。
知识点3 三角形的中位线
1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
2）性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
第 39 页平行四边形思维导图
平行四边形
1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. （记作“□ABCD” ）
2.平行四边形的性质：
①平行四边形的对边平行且相等。
②平行四边形的对角相等。
③平行四边形的对角线互相平分。
对称性
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
但一般的平行四边形不是轴对称图形.
3.平行四边形常见的结论：
（1）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成了两个全等的三角形；
（2）任一过平行四边形对称中心的直线把平行四边形分割为两个全等的图形；
（3）根据平行四边形的面积=底×高，由等面积法得S=AE·BC=AF·CD。
D A D
F
B E C
4.平行四边形的判定定理：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形.
第 40 页注意：（1）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形（反例：等腰梯形）；
（2）满足两组邻边分别相等或两组邻角分别相等不能判定四边形是平行四边形.
第 41 页第 20 讲 特殊的平行四边形
第一部分：知识点梳理
平行四边形思维导图
知识点一 矩形
1. 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2. 矩形的性质：
①矩形的四个角都是直角，对角线相等且互相平分.
②矩形是轴对称图形，有两条对称轴；
③矩形也是中心对称图形，对称轴的交点就是对称中心；
（矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性
质）；
3. 矩形的判定定理
（1）三个角是直角的四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形.
知识点二 菱形
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.菱形的性质：
①菱形的四条边都相等；
②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
③ 菱形面积 ＝ 对角线乘积的一半 .
3.菱形的判定定理：
①一组邻边相等的平行四边形是菱形。
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
③四条边相等的四边形是菱形。
知识点三 正方形
1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
第 42 页2.正方形的性质：
①四条边都相等，四个角都是直角。
②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
（正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形，它具有矩形、菱形的一切性质 ）
3.正方形的判定定理：
①有一组邻边相等的矩形是正方形；
②有一个角是直角的菱形是正方形；
③有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
特殊的平行四边形的关系图
知识点四 中点四边形
1.中点四边形：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫作中点四边形.
2.常见的中点四边形
（1）顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形；
（2）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形；
（3）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形；
（4）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形；
（5）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
3.中点四边形的形状取决于原四边形的两条对角线的位置关系和数量关系.
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形；
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形；
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形
第 43 页第 21 讲 圆
第一部分：知识点梳理
知识点一 与圆有关的概念
1.圆的定义
定义一 如图所示，将线段OP的一个端点O固定，使线段OP绕端点O在平面上旋转一周，另一个端点
P运动所形成的图形叫做圆，其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径.
定义二 圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径.
2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图所示的弦AC；
直径：经过圆心的弦叫做直径，如图所示的直径AB. 直径是圆内最长的弦。
3.弧、半圆、优弧、劣弧
（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称为弧；
（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如图 ；
（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示，如图 .
4.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
5.圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角。
6.弦心距：圆心到弦的距离，叫弦心距。
7.同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；等圆：半径相等的圆叫做等圆；同心圆：圆心相同，半径不
相等的两个圆叫做同心圆。
8.等弧：在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧。
知识点二 圆的相关性质及推理
1.圆的对称性
（1）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。其中任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；圆心是圆
的对称中心，将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性。
（2）圆是一个特殊的对称图形，它的许多性质都可以由它的对称性推出。
2.垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的推论
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
（3）如图，① AB 过圆心；② AB⊥CD；③ CE=DE；④ ；⑤
，只要已知其中两个结论，则可以推出另外三个结论，即“知二推三”.
解题技巧：关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的
垂线，构造直角三角形（如图Rt△COE）.
3.弧、弦、圆心角的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
第 44 页推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它
们所对应的其余各组量分别相等。
4.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
注意：圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两
个度数和为180°。
5.圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形。这个圆叫做
这个四边形的外接圆。
性质：（1）圆的内接四边形对角互补；（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
解题技巧：（1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；
（2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；
（3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等
弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等。
知识点三 点与圆、直线与圆的位置关系
1.点与圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：
P
r P r P
r
d d d
图1 图2 图3
(1)dr 点在⊙O外．
2.直线与圆的位置关系：
⇔ ⇔ ⇔
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下：
r r r
图示
d
d
d
公共点个数 2 1 0
公共点名称 交点 切点 -
直线名称 割线 切线 -
结论 d＜r 相交 d=r 相切 d＞r 相 离
⇔ ⇔ ⇔
3.切线的性质与判定
（1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；（3）切线
垂直于经过切点的半径。
（2）切线的判定
①定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切；
②数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时， 直线与圆相切；
第 45 页③判定定理法：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
▶切线判定常考的两种类型：
①直线与圆有明确的公共点时，连半径，证垂直；
②直线与圆没有公共点时，作垂直，证半径。
（3）切线长定理
定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
如图
∵PA，PB为⊙O的两条切线，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
知识点四 确定圆的条件
1.过一点作圆：经过一点A作圆，可以作无数个，如图所示：
2.过两点作圆：经过两点A、B作圆，也可以作无数个，如图所示：
3.过不在同一条直线上的三个点作圆
经过不在同一条直线上的三个点 A、B、C作圆，圆心到这三个点的距离相等，所以圆心在线段
AB、线段BC的垂直平分线的交点O处，以点O为圆心，以OA为半径作圆即可，这样的圆有且只有一
个，
结论： 不在同一条直线直线上的三个点可以确定一个圆 .
4.三角形的外接圆与内切圆
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O为△ABC的外心，△ABC为⊙O的一个内接三角形. 三角形的外心
是三条边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径.
A
O
B C
其中，锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，
钝角三角形的外心在三角形的外部，如图所示：
第 46 页三角形的外接圆与内切圆对比
图形 名称 性质 位置 角度关系
外心（三角形外接圆 到三角形三个顶点
外心不一定在
的圆心，三角形三边 的距离相等，都等 ∠BOC＝2∠A
三角形的内部
中垂线的交点） 于外接圆的半径
内心（三角形内切圆 到三角形三边距离
内心一定在三
的圆心，三角形三条 相等，都等于内切 ∠BOC＝90°+
角形的内部
内角平分线的交点） 圆的半径
∠A
知识点五 正多边形与圆
1. 圆内接正多边形的相关概念
正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 半径 R
中心：正多边形的外接圆的圆心。
中心角
半径：正多边形外接圆的半径。 O
中心角：正多边形每一边所对的圆心角。
边心距 r
边心距：中心到正多边形的一边的距离。
2.正多边形的对称性：
正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；
边数为偶数的正多边形，是中心对称图形，它的中心（外接圆的圆心）就是对称中心.
边数为奇数的正多边形，不是中心对称图形，例如正三角形，正五边形等.
3.正多边形的有关计算
(1)正n边形每一个内角= ； (2)正n边形每个中心角=每个外角= ；
知识点六 弧长、扇形面积、圆锥的公式（☆☆☆）
1.弧长公式
如图所示，若把圆周长看作是360°的圆心角所对的弧长，其长度为 ，那么 的圆心角所对
第 47 页的弧长公式为 ； 即弧长公式为
2.扇形面积公式
（1）由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形；
（2）扇形的面积公式：
在半径为 的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积(整个圆的面积)为 ；
所以 的圆心角所对的扇形面积公式 .
3. 圆锥的相关概念与公式
（1）圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线；
（2）把一个圆锥的侧面展开会得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于
圆锥的母线长. 如图，若圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为
.圆锥的底面半径r，高h，母线长l之间可构成一个直角三角形，由勾股定理 .
所以，圆锥的侧面积公式为 .
圆锥全面积公式：S = πrl+πr2 （即侧面积+底面积）
全
4.弧长、扇形面积、圆锥的公式归纳
P
2πr
O
l
R h
n°
l B O r A
（1）弧长公式： （其中l表示弧长，R是半径，n表示圆心角.）
（2）扇形面积公式：
（3）圆锥侧面积公式：S = πrl （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）
侧
（4）圆锥全面积公式：S = πrl+πr2 （即侧面积+底面积）
全
第 48 页第 22 讲 图形的变换（平移、轴对称与旋转）
第一部分：知识点梳理
知识点1 图形的平移
1.定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平
移不改变图形的形状和大小．
图形平移后，平移方向与平移距离的确定。图形平移后，原图形与新图形中的任意一对前后对应点的
射线方向就是原平移方向，这对对应点间的线段长度就是原平移距离。
2.平移的三要素： 一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．
3.平移的性质
图形平移的实质是图形上的每一点都沿着同一个方向移动了相同的距离。平移后的图形与原图形
①平移前后，对应线段平行（或在同条一直线上）且相等；
②平移前后，对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等；
③平移前后的图形全等．
【注意】平移、轴对称、旋转都全等变换，不改变图形的形状和大小.
知识点2 轴对称
1.轴对称图形
定义：把一个图形沿着某直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形是轴对称图形，
这条直线就是对称轴.
常见的轴对称图形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．
2.轴对称的性质
①成轴对称的两个图形全等；
②成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；
③成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称.
折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．
3.作某点关于某直线的对称点的一般步骤
①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；
②再将线段延长一倍，得到的端点就是所求作的对称点．
4.作已知图形关于某直线的对称图形的步骤
①找：找出原图形的关键点；
②作：作出关键点关于对称轴的对称点；
③连：按原图顺序依次连接相应的对称点；
④若原图关键点在对称轴上，则它的对称点也一定在对称轴上，且重合.
5.画对称轴
由轴对称的性质：任意一组对应点对应点的连线被对称轴垂直平分，可以作图.
具体步骤：找出任意一组对应点并连接，画出对应点所连线段的垂直平分线，即为对称轴.
轴对称图形与轴对称的对比
轴对称图形 轴对称
第 49 页图形
如果一个图形沿着某条直线对折后，直
如果两个图形对折后，这两个图形能够
线两旁的部分能够完全重合，那么这个
定义 完全重合，那么我们就说这两个图形成
图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做
轴对称，这条直线叫做对称轴
对称轴
对应线段相等 AB=AC AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′
性 对应角相等 ∠B=∠C ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
质
对应点所连的线段被对称轴垂直平分
轴对称图形是一个具有特殊形状的图 轴对称是指两个图形的位置关系，必须
区别
形，只对一个图形而言； 涉及两个图形；
知识点3 图形的旋转
1.定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫
旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．旋转过程中，这个图形上的每个点同时绕旋
转中心按照此方向旋转相同的角度.
2.旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．
3.性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
（2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前后的图形全等．
4.旋转作图步骤：
（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转
角）；
（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
（4）依次连接各对应点，得到旋转后的图形．
5.确定旋转中心：由旋转的性质可得，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂
直平分线上，即旋转中心是两组对应点所连线段的垂直平分线的交点.
【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变.所以在解答有关
旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形（等腰、等边）的性质的运用、锐角三角函
数建立的边角关系起着关键的作用．
知识点4 中心对称图形与中心对称
1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关
于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
中心对称是指两个图形的位置关系，涉及到两个图形，如图，△ABC与△A′B′C′关于点O对称
2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这
个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
常见的中心对称图形：平行四边形、矩形、正方形、正六边形、圆.（而正三角形不是中心对称图形）
第 50 页3.中心对称的性质：
中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质，成中心对称的两个图形中，对应点的连线经
过对称中心，且被对称中心平分，成中心对称的两个图形是全等图形.
4.确定对称中心的方法：
（1）连接任意一组对称点，连线的中点就是对称中心；
（2）连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心.
5.中心对称作图
（1）连接原图形的关键点与对称中心；
（2）延长所连接的线段，在延长线上分别找出关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到
对称中心的距离相等；
（3）将对称点按照原图形的顺序依次连接即可得到原图形关于对称中心对称的图形.
6.中心对称图形与中心对称对比
中心对称图形 中心对称
图形
如果一个图形绕某一点旋转180°后能与 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一
定义 它自身重合，我们就把这个图形叫做中 个图形重合，我们就把这两个图形叫做
心对称图形，这个点叫做它的对称中心 成中心对称
对应点 点A与点C，点B与点D 点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′
性
对应线段 AB=CD，AD=BC AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′
质
对应角 ∠A=∠C，∠B=∠D ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
中心对称图形是指具有某种特性的一个
区别 中心对称是指两个图形的关系
图形
把中心对称图形的两个部分看成“两个 把成中心对称的两个图形看成一个“整
联系
图形”，则这“两个图形”成中心对称 体”，则“整体”成为中心对称图形
知识点5 坐标变换规律 (轴对称与中心对称)：
已知平面直角坐标系的点P(x, y)
（1）点P关于x轴对称的点的坐标 （ x ， - y ） ；
（2）点P关于y轴对称的点的坐标 （ - x ， y ） ．
（3）点P关于原点的对称点为 （ - x ， - y ） ．
可结合坐标系的图象进行推导（ “关于谁，谁不变，关于原点都改变”）
第 51 页第 23 讲 尺规作图与命题、证明
第一部分：知识点梳理
知识点一 尺规作图
1.尺规作图的定义:在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图。
2.五种基本尺规作图
（1）作一条线段等于已知线段
已知：线段
求作：线段AB，使AB=a 图示：
作法： a
①作一条直线l
②在l上任取一点A，以点A为圆心，以线段 的长度
l
为半径画弧，交直线l于点B。 A B
线段AB 即为所求作的线段。
依据：圆上的点到圆心的距离等于半径.
（2）作一个角等于已知角
已知：∠AOB. 图示：
B
求作：∠DEF，使∠DEF=∠AOB.
作法：
①在∠AOB上以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别
交OA，OB于点P,Q； O A
②作射线EG,并以点E为圆心,OP长为半径画弧交EG
F
于点D;
③以点D为圆心,PQ长为半径画弧交第②步中所画弧于
点F; E D G
④作射线EF.∠DEF即为所求作的角
依据：1）三边分别相等的两个三角形全等；
2）全等三角形的对应角相等；
（3）作已知角的平分线
已知：∠AOB 图示：
求作：∠AOB的平分线OP. B
作法：
P
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB
M
于点N，M；
②分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径在角的
O A
N
内部画弧，两弧交于点P；
③作射线OP。射线OP即为所求作的角平分线.
依据：1）三边分别相等的两个三角形全等；
2）全等三角形的对应角相等；
（4）作线段的垂直平分线
第 52 页已知：线段AB。 图示：
求作：线段AB的垂直平分线 。
M
作法：
A B
①分别以点A,B为圆心,大于 的长为半径画弧,两弧
交于点M,N; N
②过点M,N作直线. 直线MN 即为线段AB的垂直平分
线.
依据：1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的
垂直平分线上；
2）两点确定一条直线.
（5）经过一点作已知直线的垂线
▶经过已知直线上的一点作这条直线的垂线
已知：直线l和l上一点O。 图示：
求作：直线l的垂线，使它经过点 。
作法：
M
①以点O为圆心,任意长为半径画弧,交直线 于A,B两
点; A O B l
N
②分别以点A,B为圆心,大于 的长为半径画弧,两弧
交于点M, N;
③连接MN. 直线MN即为所求作的垂线.
依据：1）等腰三角形“三线合一”；
2）两点确定一条直线.
▶经过已知直线外一点作这条直线的垂线
已知:直线l和l外一点M. 图示：
求作:直线l的垂线,使它经过点M.作法:
①在直线l的另一侧取点P;
M
②以点M为圆心,MP长为半径画弧,分别交直线 于A,B
两点;
l
A B
③分别以点A,B为圆心,大于 的长为半径画弧,两弧 P
N
交于点N;
④连接MN. 直线MN 即为所求作的垂线.
依据：1）等腰三角形“三线合一”；
2）两点确定一条直线.
知识点二 命题、定义、定理
1.定义:一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义。
2.命题：判断一件事情的语句叫做命题。
3.命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
4.命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”
后接的部分是结论。
第 53 页5.真命题、假命题
内容 举例 注意
如果题设成立，那么结论一定 对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一
真命题
成立的命题，叫做真命题 步步推理，最后得出正确结论
命题中题设成立时，不能保证 相等的角是对 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反
假命题 结论一定成立的命题，叫做假 顶角
例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可
命题
6.逆命题：把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题
的逆命题；每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。
7. 互逆命题
（1）如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中
一个定理叫做另一个定理的逆定理．
（2）任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理．
（3）角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都
是互逆定理．
8.公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依
据，这样的真命题叫做公理。
9.定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步
作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理。
公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据。
由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论。
10.反证法
（1）反证法的定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾
断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
（2）反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、
定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确。
第 54 页第 24 讲 统计与概率
第一部分：知识点梳理
知识点1：全面调查与抽样调查
1．全面调查与抽样调查的概念
①全面调查：为一特定目的而对所有考察对象进行的全面调查叫做全面调查（也称为普查）．
②抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象进行的调查叫做抽样调查．
2．调查的选取：当受客观条件限制，无法对所有个体进行全面调查时，往往采用抽样调查．
3．抽样调查样本的选取：1）抽样调查的样本要有代表性；2）抽样调查的样本数目要足够大．
4.调查的有关概念：
总体：所要考察对象的全体叫做总体． 个体：总体中的每一个考察对象叫做个体．
样本：从总体中抽取的部分个体叫做样本． 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量(不带单位).
知识点2：几种常见的统计图表
1．条形统计图：条形统计图就是用长方形的高来表示数据的图形．
特点：（1）能够显示每组中的具体数据；（2）易于比较数据之间的差别．
2．折线统计图：用几条线段连成的折线来表示数据的图形．
特点：易于显示数据的变化趋势．
3．扇形统计图：用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分
在总体中所占百分比的大小，这样的统计图叫扇形统计图．
百分比的意义：在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对扇形的圆心角的度数与360°的
比．扇形的圆心角=360°×百分比．
4．频数分布直方图
1）每个对象出现的次数叫频数．
2）每个对象出现的次数与总次数的比（或者百分比）叫频率，频数和频率都能够反映每个对象出现的频
繁程度．
3）频数分布表、频数分布直方图和频数折线图都能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况．
4）频数分布直方图的绘制步骤：①计算最大值与最小值的差；②决定组距与组数；③确定分点，常使分
点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点；④列频数分布表；⑤画频数分布直方图：用
横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频数分布直方图．
知识点3：数据分析（常见统计量：平均数、中位数、众数、方差）
1.平均数：一般地，如果有n个数 ， ，…， ，那么， 叫做这n个数的平
均数， 读作“x拔”。
2.加权平均数：如果n个数中， 出现f 次，x 出现f 次，…，x 出现f 次（ ），那
1 2 2 k k
么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为 ，这样求得的
平均数 叫做加权平均数，其中f，f，…，f 叫做权。
1 2 k
3．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）
叫做这组数据的中位数．
4．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
5.方差：在一组数据 ， ，…， 中，各数据与它们的平均数 的差的平方的平均数，叫做这组数据
第 55 页的方差。通常用“ ”表示，即 .
知识点4：事件类型
事件类型 定义 事件发生的概率
确 必然 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些
P(必然事件)=1
定 事件 事情称为必然事件。
事 不可能 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，
P(不可能事件)=0
件 事件 这些事情称为不可能事件。
不确定事件 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发生，这
0＜P(随机事件)＜1
（随机事件） 些事情称为不确定事件（又叫随机事件）。
知识点5：概率
1.定义：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，
记为P(A)。
2.概率的意义：它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，一个事件发生的概率是一个确定的数。
3.概率的计算公式：一般地，如果在一次试验中，共有n 种等可能的结果，事件 A 包含其中的m种结
果，那么事件A 发生的概率P(A) = .
4.求概率方法：
（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出
来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。
（2）列表法：当一次试验要涉及 2 个因素 （例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，应不
重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率。
（3）画树状图法：当一次试验要涉及 2 个或更多 的因素时（例如从口袋中一次取3个球），通常采用画
树状图来求事件发生的概率。
知识点6：频率与概率
1.用频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率 稳定在某个 常数 P 附近，因此，
用一个事件发生的频率 来估计这一事件发生的概率，即P（A）=P.
2.适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统
计频率来估计概率。
3.注意：概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，且随实验次数的增多，值越来越精确。
第 56 页
