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第 10 讲 一次函数
第一部分 知识点梳理
1.一次函数：一般地，形如y=kx+b (k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数，其中k为比例系数。
2. 正比例函数：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫正比例函数。
特别地, 当一次函数y=kx+b中的b=0时, 得y=kx，即为正比例函数,所以正比例函数是特殊的一次函数。
3.正比例函数的图象与性质
正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．
k的符号 函数图象 图象的位置 性质
图象经过第一、三象
k>0 y随x的增大而增大
限
图象经过第二、四象
k <0 y随x的增大而减小
限
4.一次函数的图象与性质：
（1）一次函数图象的平移：
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，与直线y=kx平行，把y=kx平移可得到y=kx+b的图象.
当b＞0时，图象向上平移b个单位长度；
当b＜0时，图象向下平移|b|个单位长度. 规律为“上加 下减 ” .
注：若两直线y=kx+b 与y=kx+b 互相平行，则它们的斜率k相等,即k=k.
1 1 2 2 1 2
（2）一次函数的图象与性质 y=kx+b(k≠0)
k＞0 k＜0
一次函数的图象
与性质
直线从左向右上升 直线从左向右下降
增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减少
k决定直线的倾斜程度，|k|越大，直线越陡；若k相等，直线平行；
图象特征
b决定直线与y轴的交点(0，b).
当b＞0时，图象向上平移b个单位长度；
平移
当b＜0时，图象向下平移|b|个单位长度.
5.待定系数法求一次函数的解析式
（1）设，设出一次函数的一般形式y＝kx＋b(k≠0)．
（2）代，将已知点坐标代入解析式得出方程或方程组．
（3）解，解方程组求出待定系数k，b的值．
（4）写，写出该函数的解析式.
6.一次函数与方程、不等式的关系 （★数形结合思想）
第 1 页 共 17 页（1）与一元一次方程的关系
任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．
从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；
从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．
（2）与二元一次方程组的关系
求一次函数y=kx+b 与y=kx+b 图象的交点坐标，
1 1 2 2
①从函数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量x为何值时，两个函数的值相等，以及这两个
函数值是何值；
②从函数图象的角度看，要找到一个点，即两条直线的交点，交点坐标同时满足两个函数所对应的方程，
即联立方程组 的解就是两条直线的交点坐标；
（3）与一元一次不等式的关系
①从函数的角度看，解不等式kx＋b＞0（kx＋b＜0）就是寻求使得一次函数y=kx+b的值 大于 ( 或小于 0 )
时，相应的x的取值范围；
②从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴 上方 ( 或下方 ) 部分 的点的横坐标满足的条件。
即一次函数y＝kx＋b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围是kx＋b＞0的解集
一次函数y＝kx＋b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围是kx＋b＜0的解集
7. 一次函数图象与图形面积
解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两条直线
的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在坐标
轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法．
8.用一次函数解决实际问题的一般步骤
1.设定实际问题中的自变量与因变量；
2.通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；
3.确定自变量的取值范围；
4.利用函数性质解决问题；
5.检验所求解是否符合实际意义；
6.作答（要完整）．
第 2 页 共 17 页第二部分 考点突破
考点1一次函数、正比例函数的相关概念
1．（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·吉林长春·中考真题）已知点 、 在同一正比例函数 的图象上，则
下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，过点 ， 的直线向上平移3个单位长度，平移
后的直线经过的点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·广西·中考真题）已知一次函数 的图象经过点 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
5．（2025·山东东营·中考真题）一次函数 的函数值 随 的增大而减小，当 时 的
值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
6．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的顶点 在 轴负半轴上，顶
点 在直线 上，若点 的横坐标是8，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·江苏苏州·中考真题）过 两点画一次函数 的图像，已知点A的坐标为 ，则
点B的坐标可以为 ．（填一个符合要求的点的坐标即可）
8．（2025·四川广安·中考真题）已知一次函数 ，当 时，y的值可以是 ．（写
出一个合理的值即可）
9．（2024·湖北·中考真题）铁的密度为 ，铁块的质量m（单位：g）与它的体积V（单位：
）之间的函数关系式为 ．当 时， g．
10．（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数 和 ，当 时，函数 的图象在
函数 的图象上方，则a的取值范围为
11．（2024·甘肃·中考真题）已知一次函数 ，当自变量 时，函数y的值可以是
第 3 页 共 17 页（写出一个合理的值即可）．
考点2正比例函数的图象与性质
12．（2024·山西·中考真题）已知点 都在正比例函数 的图象上，若 ，则
与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·陕西·中考真题）一个正比例函数的图象经过点 和点 ，若点A与点B关于原
点对称，则这个正比例函数的表达式为 （ ）
A． B． C． D．
14．（2024·上海·中考真题）若正比例函数 的图像经过点 ，则y的值随x的增大而
．（选填“增大”或“减小”）
15．（2024·天津·中考真题）若正比例函数 （ 是常数， ）的图象经过第一、第三象限，则
的值可以是 （写出一个即可）．
16．（2024·四川德阳·中考真题）正比例函数 的图象如图所示，则 的值可能是（ ）
A． B． C． D．
考点3一次函数的图象与性质
17．（2025·山东东营·中考真题）一次函数 的函数值y随x的增大而减小，当 时，y
的值可以是（ ）．
A．3 B．2 C．1 D．
18．（2025·安徽·中考真题）已知一次函数 的图象经过点M ，且y随x的增大而增大．
若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
19．（2024·山东德州·中考真题）已知 ， 是某函数图象上的两点，当 时，
．该函数的解析式可能是（ ）
A． B．
第 4 页 共 17 页C． D．
20．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小
C．当 时， D．它的图象经过第一、二、三象限
21．（2024·新疆·中考真题）若一次函数 的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
22．（2024·四川南充·中考真题）当 时，一次函数 有最大值6，则实数m的值
为（ ）
A． 或0 B．0或1 C． 或 D． 或1
23．（2024·江苏镇江·中考真题）点 、 在一次函数 的图像上，则
（用“ ”、“ ”或“ ”填空）．
24．（2025·江苏扬州·中考真题）已知 ，则一次函数 的图象不经过
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
25．（2023·山东淄博·中考真题）下列函数图象中，能反映 的值始终随 值的增大而增大的是( )
A． B．
C． D．
26．（2023·辽宁沈阳·中考真题）已知一次函数 的图像如图所示，则 ， 的取值范围是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
第 5 页 共 17 页27．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形
与正方形 的顶点均为整点．若只将正方形 平移，使其内部（不含边界）有且只有 ，
， 三个整点，则平移后点 的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
28．（2024·吉林长春·中考真题）已知直线 （ 、 是常数）经过点 ，且 随 的增大而减
小，则 的值可以是 ．（写出一个即可）
29．（2024·江苏南京·中考真题）已知点 与点 关于 轴对称，将点 向左平移3个单位长度得到
点 ．若 两点都在函数 的图象上，求点 的坐标．
30．（2025·天津·中考真题）将直线 向上平移 个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、
第一象限，则 的值可以是 （写出一个即可）．
31．（2024·西藏·中考真题）将正比例函数 的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式
为 ．
32．（2025·四川南充·中考真题）已知直线 与直线 的交点在 轴上，
则 的值是 ．
33．（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系 中，已知 ， ．直线 （k，b
为常数，且 ）经过点 ，并把 分成两部分，其中靠近原点部分的面积为 ，则k的值为
．
34．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线 的表达式为 ，点 的坐标
为 ，以 为圆心， 为半径画弧，交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ；以
为圆心， 为半径画弧，交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ；以 为圆心， 为
半径画弧，交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ；……按照这样的规律进行下去，点
的横坐标是 ．
第 6 页 共 17 页考点4一次函数与方程、不等式
35．（2022·贵州贵阳·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与
的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数 的图象中， 的值随着 值的增大而增大；
②方程组 的解为 ；
③方程 的解为 ；
④当 时， ．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
36．（2021·广西贺州·中考真题）直线 （ ）过点 ， ，则关于 的方程
的解为（ ）
A． B． C． D．
37．（2020·山东济宁·中考真题）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y=x+5和直线
y=ax+b,相交于点P ,根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是（ ）
第 7 页 共 17 页A．x=20 B．x=5 C．x=25 D．x=15
38．（2018·辽宁辽阳·中考真题）如图，直线y=ax+b(a≠0)过点A（0，4），B（-3，0），则方程ax+b=0
的解是（ ）
A．x=-3 B．x=4 C．x= D．x=
39．（2024·广东·中考真题）已知不等式 的解集是 ，则一次函数 的图象大致是
（ ）
A. B.
C. D.
40．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，直线 过点 ， ，则不等式
的解集是（ ）
第 8 页 共 17 页A． B． C． D．
41．（2023·内蒙古·中考真题）如图，直线 与双曲线 交于点 和点
，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
42．（2023·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 的
图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A. 随 的增大而增大 B.
C.当 时， D.关于 ， 的方程组 的解为
43．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数 的图象分别与x、y轴交于A、B两
点，若 ， ，则关于x的方程 的解为 ．
44．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点 和 ．
第 9 页 共 17 页(1)求k，b的值；
(2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值既小于函数 的值，也小于函数
的值，直接写出m的取值范围．
45．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，函数 与 的图象交于点
.
(1)求 ， 的值；
(2)当 时，对于 的每一个值，函数 的值既大于函数 的值，也大于函数
的值，直接写出 的取值范围.
46．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点 和
，与过点 且平行于x轴的线交于点C．
(1)求该函数的解析式及点C的坐标；
(2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小于4，直接写出
n的值．
考点5一次函数与几何综合
47．（2023·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，点B的坐标为 ，过点B分别作
x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线 与 交于点D．与y轴交于点E．动点M在
线段 上，动点N在直线 上，若 是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的
坐标为
第 10 页 共 17 页48．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在 中， ， ， ．点P在边
上，过点P作 ，垂足为D，过点D作 ，垂足为F．连接 ，取 的中点E．在点P
从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ．
49．（2025·安徽·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 与反比例函数
的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2．
(1)求a与k的值；
(2)设直线 与x轴、y轴的交点分别为C，D，求 的面积．
50．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象与一次函数
第 11 页 共 17 页的图象交于点 ， ．
(1)求反比例函数、一次函数的表达式；
(2)求 的面积．
51．（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于
点 ， ．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)利用图像，直接写出不等式 的解集为________；
(3)在x轴上找一点C，使 的周长最小，并求出最小值．
52．（2023·四川南充·中考真题）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点 ， ，
与x轴交于点C，与y轴交于点D．
第 12 页 共 17 页(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)点M在x轴上，若 ，求点M的坐标．
考点6一次函数的实际应用
53．（2025·内蒙古·中考真题）在闭合电路中，通过定值电阻的电流 （单位：A）是它两端的电压
（单位： ）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为 时，通过它的电流为（ ）
A． B． C． D．
54．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始 内只进水不出
水，在随后的 内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量 （单位： ）
与时间 （单位： ）之间的关系如图所示，当 时， 的值为（ ）
A．36 B．38 C．40 D．42
55．（2025·江苏苏州·中考真题）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下
声音传播的速度 与温度 部分对应数值如下表：
第 13 页 共 17 页温度 0 10 30
声音传播的速度 33
324 330 348
6
研究发现 满足公式 （ 为常数，且 ）．当温度t为 时，声音传播的速度v为
（ ）
A． B． C． D．
56．（2024·山西·中考真题）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长 是尾长 的一
次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（ ）
尾长 6 8 10
体长 45.5 60.5 75.5
A． B． C． D．
57．（2025·福建·中考真题）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：
在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即 ，其中k为常数，是
弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为 ，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧
的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹
簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克．
58．（2025·陕西·中考真题）研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积 与气体
温度 成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部
分数据如下表：
气体温度 … 25 30 35 …
气体体积 … 596 606 616 …
(1)求 与 的函数关系式；
(2)为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到 时停止加热．求停止加热时的气体温度．
59．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的
两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸
入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度
忽略不计）
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的
密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
第 14 页 共 17 页总结公式：当小铝块位于液面上方时， ；
当小铝块浸入液面后， ．
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数 与小铝块各自
下降的高度 之间的关系如图②所示．
【解决问题】
(1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数．
(2)当 时，求弹簧测力计A的示数 关于x的函数解析式．
(3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为 ，若使乙液体中的
小铝块所受的浮力也为 ，则乙液体中小铝块浸入的深度为 ，直接写出m，n的值．
60．（2025·云南·中考真题）请你根据下列素材，完成有关任务．
背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．
素材一 购买 个篮球与购买 个排球需要的费用相等；
素材二 购买 个篮球和 个排球共需 元；
素材三
第 15 页 共 17 页该校计划购买篮球和排球共 个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个
数不超过购买篮球个数的 倍．
请完成下列任务：
任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？
任务二 给出最节省费用的购买方案．
61．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图，折线 表示了距离s（米）与时间t（分）之间的函数关系．
(1)分别直接写出线段 所对应的函数表达式，并注明相应的t的取值范围；
(2)请你想象一个符合函数图象的实际情境，并用语言进行描述（不必描述具体的速度）．
62．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的
完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．
校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时
出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟
（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度
匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B
区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问
题：
(1)A，C两区相距__________米， __________；
(2)求线段 所在直线的函数解析式；
(3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可）
第 16 页 共 17 页63．（2025·山东·中考真题）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路
径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源
转型．
已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米．
(1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式；
(2)已知蓄水池的底面积为 万平方米，每立方米的水可供发电 千瓦时，求注水多长时间可供发电
万千瓦时？
64．（2024·山东济南·中考真题）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．
已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏
车棚共需投资21万元．
(1)求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？
(2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量
的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
第 17 页 共 17 页
