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专题5.25《分式与分式方程》全章复习与巩固 （巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
1．若分式 有意义，则 应满足的条件是（ ）
A． B． ≥2 C．x≠2 D．x≤2
2．下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式中，是分式的有（ ）
， ， ，﹣ ， ， ， ．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．化简 的结果为（ ）
A． B．a﹣1 C．a D．1
5．化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
7．已知关于x的分式方程 + =1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3
8．若关于x的方程 =3的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m＜ 且m≠C．m＞﹣ D．m＞﹣ 且m≠﹣
9．用换元法解分式方程 时，如果设 ，将原方程化为关于 的整
y
式方程，那么这个整式方程是
A． B． C． D．
10．某化肥厂计划在规定日期内生产化肥120吨,由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，
实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等．设原计划每天生产x吨化肥，那么适合x
的方程是（ ）
A． = B． C． D．
11．对于实数 、 ，定义一种新运算“ ”为： ，这里等式右边是实数运
算．例如： ．则方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
12．不改变分式 的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．每到四月，许多地方的杨絮、柳絮如雪花漫天飞舞，人们不堪其忧，据测定，杨絮纤
维的直径约为 ，该数值用科学记数法表示为___________．
14．若分式 的值为0，则x的值是_________．
15．分式 与 的最简公分母是__________．
16．关于x的分式方程 有解，则字母a的取值范围是_____．
17．如图，点A，B在数轴上，它们所表示的数分别是－4， ，且点A到原点的距离是点B到原点距离的2倍，则x＝________．
18．若 ，对任意正整数n都成立，则a-b= .
19．小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简 ÷ ”，其中
“▲”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是 ，则“▲”处的式子为____．
20．对于正数x，规定f(x)＝ ，例如f(3)＝ ＝ ，f( )＝ ＝ ，计算：f(2020)
＋f(2019)＋…＋f(1)＋f( )＋f( )＋…+ f( )＋f( )＝_________．
三、解答题
21．计算：
(1) (2)
(3) (4)
22．解分式方程
(1) (2)23．先化简，再求值： ，其中
24．已知关于x的分式方程 + ＝ ．
(1)若方程有增根，求k的值．
(2)若方程的解为负数，求k的取值范围．
25．某工厂急需生产一批健身器械共500台，送往销售点出售．当生产150台后，接到通
知，要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的1.4倍，一共
用8天刚好完成任务．
（1）原来每天生产健身器械多少台？
（2）运输公司大货车数量不足10辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车次完成
这批健身器械的运输．已知每辆大货车一次可以运输健身器械50台，每辆车需要费用
1500元；每辆小货车一次可以运输健身器械20台，每辆车需要费用800元．在运输总费用
不多于16000元的前提下，请写出所有符合题意的运输方案？哪种运输方案的费用最低，
最低运输费用是多少？
26．学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．在相距 个单位长度的直线跑道 上，
机器人甲从端点 出发，匀速往返于端点 、 之间，机器人乙同时从端点 出发，以大
于甲的速度匀速往返于端点 、 之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、
在端点处相遇这两种．【观察】
①观察图 ，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为 个单位
长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为 ____ _个单位长度；
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为 个单位长度，则他
们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为 ____ _个单位长度；
【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为 个单位长度，他们第
二次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为 个单位长度．兴趣小组成员发现了 与
的函数关系，并画出了部分函数图象（线段 ，不包括点 ，如图 所示）．
① ＝ ____ _；
②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图 中补全函数图象；
【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为 个单位长度，他们第
三次迎面相遇时，相遇地点与点 之间的距离为 个单位长度．若这两个机器人第三次迎
面相遇时，相遇地点与点 之间的距离 不超过 个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，
相遇地点与点 之间的距离 的取值范围是 ____ _．（直接写出结果）参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】
解：由分式 有意义，则有： ，
∴ ；
故选C．
【点拨】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
2．B
【解析】
【详解】
A． ≠ ，故A不成立；
B． = ，故B成立；
C． 不能约分，故C错误；
D． ，故D不成立．
故选B．3．B
【解析】
【详解】
是多项式，是整式； 是分式； 是整式； 是分式； 是分式；
，是整式； 是分式，所以分式共有4个，
故选B.
4．B
【解析】
【分析】
根据同分母分式加减法的运算法则进行计算即可求出答案．
【详解】
解：原式=
=
=a－1
故选：B．
【点拨】本题考查了同分母分式加减法的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，
本题属于基础题型．
5．C
【解析】
【详解】
试题解析：原式
故选C.
6．A
【解析】【详解】
试题分析：选项A为最简分式；选项B化简可得原式= = ；选项C
化简可得原式= = ；选项D化简可得原式= = ，故
答案选A.
考点：最简分式.
7．C
【解析】
【详解】
试题解析：分式方程去分母得：m-3=x-1，
解得：x=m-2，
由方程的解为非负数，得到m-2≥0，且m-2≠1，
解得：m≥2且m≠3．
故选C.
考点：分式方程的解．
8．B
【解析】
【分析】
先去分母解方程，根据方程的解为正数列不等式即可
【详解】
解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，
整理得：2x=﹣2m+9，解得：x= ，
已知关于x的方程 =3的解为正数，
所以﹣2m+9＞0，解得m＜ ，
当x=3时，x= =3，解得：m= ，
所以m的取值范围是：m＜ 且m≠ ．故答案选B．
【点拨】本题考查含参数的分式方程解法，不等式，分式有意义条件，掌握含参数的分式
方程解法，不等式，分式有意义条件是解题关键．
9．A
【解析】
【分析】
换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是 ，设
，换元后整理即可求得．
【详解】
解：把 代入方程 ，得： ．
方程两边同乘以y得： ．
故选A．
【点拨】用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为
易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
10．C
【解析】
【分析】
关键描述语是：实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，等量关系为：原计划生
产120吨的时间=实际生产180吨的时间．
【详解】
原计划生产120吨的时间为 ,实际生产180吨的时间为 .那么所列方程为 .
故选C.
【点拨】本题考查的是由实际问题抽象出分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.
11．B
【解析】
【分析】
根据题中的新运算法则表达出方程，再根据分式方程的解法解答即可．
【详解】解：
∴方程表达为：
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
故选：B．
【点拨】本题考查了新定义的运算法则的计算、分式方程的解法，解题的关键是理解题中
给出的新运算法则及分式方程的解法．
12．D
【解析】
【详解】
根据分式的基本性质，分子、分母同时乘以6，得
原式= ，
故选D.
13．1.15×10−5
【解析】
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记
数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的
个数所决定．
【详解】
＝1.15×10−5．
故答案为：1.15×10−5．
【点拨】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为
由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．2．
【解析】
【分析】
直接利用分式为零的条件分析得出答案．【详解】
∵分式 的值为0，
∴x2﹣2x＝0，且x≠0，
解得：x＝2．
故答案为2．
【点拨】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
15．2a2b2
【解析】
【详解】
与 的分母分别是2a2b、ab2，故最简公分母是2a2b2，
故答案为 2a2b2.
【点睛】本题考查了最简公分母的确定，确定最简公分母的关键是：各分母所含的所有因
式的最高次幂的积即为最简公分母.
16．a≠5，a≠0
【解析】
【详解】
试题分析：方程
去分母得：5（x﹣2）=ax，
去括号得：5x﹣10=ax，
移项，合并同类项得：
（5﹣a）x=10，∵关于x的分式方程 有解，∴5﹣a≠0，x≠0且x≠2，即a≠5，
系数化为1得：x= ，∴ ≠0且x≠0且x≠2，即a≠5，a≠0，综上所述：关于x的分
式方程 有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0，
故答案为a≠5，a≠0．
考点：分式方程的解．
17．【解析】
【分析】
先分别表示出点A到原点的距离，点B到原点的距离，然后根据题意列出关于x的方程，
解方程即可求得答案.
【详解】
∵点A、B在数轴上，它们所对应的数分别是-4与 ，
∴点A到原点的距离为4，点B到原点的距离是 ，
又∵点A到原点的距离是点B到原点距离的2倍，
∴4= ，
∴x=-1或x= ，
检验：当x=-1（舍）或x= 时，5x+1≠0，
∴分式方程的解为x=-1（舍）或x= ，
故答案为： .
【点拨】本题考查了数轴、分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系正确列出方程是解
题的关键.
18． -
【解析】
【详解】
∵ = ,
∴2n(a+b)+a-b=1，即 ，
解得：a= ，b=- .19．
【解析】
【分析】
根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【详解】
根据题意得： ,
则“▲”处的式子为 .
故答案是： .
【点拨】考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．2020
【解析】
【分析】
根据运算规则可得：f(3)+ f( )=1，据此可推出结果.
【详解】
根据运算规则可得：f(3)+ f( )=1，f(2020)＋f( )=1，
所以，f(2020)＋f(2019)＋…＋f(1)＋f( )＋f( )＋…+ f( )＋f( )＝1 2020=2020
×
故答案为2020
【点拨】本题考查了分式的加减，找出规律是解题的关键.
21．(1)
(2)m-n
(3)1
(4)-1
【解析】
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，
(1)
解： = ；
(2)
解： = ；
(3)
解： = ；
(4)
解： = ．
【点拨】本题考查了同分母分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本
题属于基础题型．
22．(1)
(2)无解
【解析】
【分析】
（1）先去分母，移项、合并同类项，系数化为1，再验根，即得到答案．
（2）先去分母，移项、合并同类项，系数化为1，再验根，即得到答案．
(1)
解：
等式两边同时乘 ，即得：
整理，得：
经检验 是原方程的根，
所以原方程的解为 ．
(2)等式两边同时乘 ，即得：
整理得：
解得： ．
经检验 是增根，故原方程无解．
【点拨】本题考查解分式方程．掌握解分式方程的方法是解题关键．注意解分式方程要验
根．
23． ，
【解析】
【分析】
先利用平方差公式和完全平方公式对原式进行分解因式化简，然后代入值计算即可得到答
案.
【详解】
解：原式＝
＝
当 时，
原式＝
【点拨】本题主要考查了因式分解，分式的化简求解，解题的关键在于能够熟练掌握因式
分解的方法.
24．(1)k的值为6或﹣8
(2)k＜﹣1，且k≠﹣8
【解析】
【分析】
（1）分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到最简公分母为0，代入
整式方程计算即可求出k的值．（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x，根据解为负数求出k的
范围即可；
(1)
分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k，
由这个方程有增根，得到x＝1或x＝﹣1，
将x＝1代入整式方程得：k＝6，
将x＝﹣1代入整式方程得：k＝﹣8，
则k的值为6或﹣8．
(2)
分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k，
去括号合并得：7x﹣1＝k，即x＝ ，
根据题意得： ＜0，且 ≠1且 ≠﹣1，
解得：k＜﹣1，且k≠﹣8．
【点拨】本题考查分式方程的解得情况，解分式方程的基本方法是一化二解三检验，分式
方程的增根是使最简公分母为0的未知数的值．
25．（1）原来每天生产健身器械50台；（2）方案一：当m=8时，n=5，费用为：16000
元；方案二：当m=9时，n=3,费用为：15900元，方案二费用最低．
【解析】
【分析】
（1）设原来每天生产健身器械x台，根据等量关系是150台所用天数+余下350台改速后
工作天数=8列分式方程，解分式方程与检验即可；
（2）设运输公司用大货车m辆，小货车n辆，根据题意列方程与不等式组
解不等式组求出m的范围8≤m 10，方案一：当m=8时，n=5，费
用为： 16000元，方案二：当m=9时，n=3,费用为15900元即可．
【详解】
解：（1）设原来每天生产健身器械x台，根据题意得：
解这个方程得x=50，
经检验x=50是原方程的根，并符合实际
答原来每天生产健身器械50台；
（2）设运输公司用大货车m辆，小货车n辆
根据题意
由②得 ④，
把④代入③得
解得m≥8
∵m 10
∴8≤m 10
方案一：当m=8时，n=25-20=5，
费用为：8×1500+5×800=12000+4000=16000元；
方案二：当m=9时，n=3,
费用为9×1500+3×800=13500+2400=15900元，
方案二费用最低．
【点拨】本题考查列分式方程解应用题，与列不等式组解决方案设计问题，掌握列分式方
程解应用题的方法与步骤，列不等式组解决方案设计问题是解题关键．
26．【观察】：① ；② ；【发现】：① ；②见解析；【拓展】：0＜x≤12或
48≤x≤72．
【解析】
【分析】
[观察]①设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；
②此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；
[发现]①当点第二次相遇地点刚好在点B时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为
，根据题意列方程即可得到结论；②设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为 ，根据题意列函数解析式即可得到
结论；
[拓展]由题意列不等式即可得到结论．
【详解】
[观察]①∵相遇地点与点 之间的距离为 个单位长度，
∴相遇地点与点 之间的距离为 个单位长度，
设机器人甲的速度为 ，
∴机器人乙的速度为 ，
∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为 ，
机器人乙从相遇地点到点 再返回到点 所用时间为 ，而 ，
∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，
机器人乙从第一次相遇地点到点 ，返回到点 ，再返回向 时和机器人甲第二次迎面相
遇，
设此时相遇点距点 为 个单位，
根据题意得， ，
，
故答案为 ；
②∵相遇地点与点 之间的距离为 个单位长度，
∴相遇地点与点 之间的距离为 个单位长度，
设机器人甲的速度为 ，
∴机器人乙的速度为 ，
∴机器人乙从相遇点到点 再到点 所用的时间为 ，
机器人甲从相遇点到点 所用时间为 ，而 ，∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点 ，再到点 ，
返回时和机器人乙第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点 为 个单位，
根据题意得， ，
，
故答案为 ；
[发现]①当点第二次相遇地点刚好在点 时，
设机器人甲的速度为 ，则机器人乙的速度为 ，
根据题意知， ，
，
经检验： 是分式方程的根，
即： ，
故答案为 ；
②当 时，点 在线段 上，
∴线段 的表达式为 ，
当 时，即当 ，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点 返回向点
时，
设机器人甲的速度为 ，则机器人乙的速度为 ，
根据题意知， ，
，
即： ，
补全图形如图2所示，[拓展]①如图，
由题意知， ，
∴y=5x，
∵0＜y≤60，
∴0＜x≤12；
②如图，
∴ ，
∴y=-5x+300，
∵0≤y≤60，
∴48≤x≤60，
③如图，由题意得， ，
∴y=5x-300，
∵0≤y≤60，
∴60≤x≤72，
∵0＜x＜75，
∴48≤x＜72，
综上所述，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是0＜x≤12或48≤x≤72，
故答案为0＜x≤12或48≤x≤72．
【点拨】本题考查了一次函数的应用，两点间的距离，分式方程的应用，一元一次方程的
应用，正确的理解题意是解题的关键．
