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专题5.26《分式与分式方程》全章复习与巩固 （培优篇）
（专项练习）
一、单选题
1．若x取整数，则使分式 的值为整数的x值有（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
2．下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
3．若代数式 有意义，则x的取值范围是( )
A．x＞﹣1且x≠1 B．x≥﹣1 C．x≠1 D．x≥﹣1且x≠1
4．已知 ，则分式 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
5．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的
式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁
6．已知关于 的分式方程 的解是非正数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若数a使关于x的不等式组 无解，且使关于x的分式方程
有正整数解，则满足条件的整数a的值之积为（ ）A．28 B．﹣4 C．4 D．﹣2
8．若整数 使关于 的不等式组 ，有且只有45个整数解，且使关于 的方
程 的解为非正数，则 的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 或
9．使得关于x的不等式组 有且只有4个整数解，且关于x的分式方程
+ =-8的解为正数的所有整数a的值之和为（ ）
A．11 B．15 C．18 D．19
10．若数a使关于x的不等式组 的解集为x＜﹣2，且使关于y的分式方
的解为负数，则符合条件的所有整数a的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
11．已知关于 的分式方程 有整数解，且关于 的不等式组 有
且只有 个整数解，则符合条件的整数 的个数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
12．“ ”汶川大地震导致某段铁路隧道被严重破坏，为尽快抢修其中一段1200米的铁
路，施工队每天比原计划多修10米，结果提前4天开通列车，设原计划每天修x米，则下
面列出的方程正确的是
A． B． C． D．二、填空题
13．已知 ＝3，则代数式 的值为___．
14．不改变分式的值,把分式 中分子、分母各项系数化成整数为________.
15． 为常数，且对任何实数 都有 成立，则 =
_________ .
16．若关于x的方程 有增根，则m的值是_____
17．已知非零实数x，y满足 ，则 的值等于_________．
18．要使关于 的方程 的解是正数， 的取值范围是___．.
19．若关于 的分式方程 无解，则 ________．
20．当x取_____时，分式 有意义．
21．对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中的较大值，如：
，故 __________；按照这个规定，方程 的解为
__________．
三、解答题
22．计算．
(1) (2) ．
(3) (4) ．23．解方程：
24．先化简，再求值： ，请在﹣2≤m≤1的范围内取一个自己喜
欢的数代入求值．
25．阅读：
对于两个不等的非零实数a、b，若分式 的值为零，则x＝a或x＝b．
又因为 ，
所以关于x的方程x a＋b有两个解，分别为x＝a，x＝b．
1 2
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程x q的两个解分别为x＝﹣2、x＝3，则p＝ ，q＝ ；
1 2
（2）方程x 8的两个解中较大的一个为 ；
（3）关于x的方程2x 2n＋2的两个解分别为x、x（x＜x）．求 的值．
1 2 1 226．自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲
客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16 000元采购A型商品的件数是用7 500
元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．
(1)求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
(2)若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的
件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，
且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数解析
式，并写出m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品
的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】首先把分式转化为 ，则原式的值是整数，即可转化为讨论 的整数
值有几个的问题．
【详解】
,
当 或 或 或 时， 是整数，即原式是整数．
当 或 时，x的值不是整数，当等于 或 是满足条件．
故使分式 的值为整数的x值有4个，是2，0和 ．
故选B．【点拨】本题主要考查了分式的值是整数的条件，把原式化简为 的形式是解决本
题的关键．
2．A
【解析】
【详解】
试题分析：选项A为最简分式；选项B化简可得原式= = ；选项C
化简可得原式= = ；选项D化简可得原式= = ，故
答案选A.
考点：最简分式.
3．D
【解析】
【分析】此题需要注意分式的分母不等于零，二次根式的被开方数是非负数．
【详解】
依题意，得
x+1≥0且x-1≠0，
解得 x≥-1且x≠1．
故选D．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．函数自变量的范围一般
从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
4．A
【解析】
【分析】将两个式子作差，利用分式的减法法则化简，即可求解．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查分式的大小比较，掌握作差法是解题的关键．
5．D
【解析】
【详解】
【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．
【详解】∵
=
=
=
=
= ，
∴出现错误是在乙和丁，
故选D．
【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键.
6．A
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m的范围即可
【详解】
，
方程两边同乘以 ，得
，
移项及合并同类项，得
，
分式方程 的解是非正数， ，
，
解得， ，
故选A．
【点拨】此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则求出m的值
7．B
【解析】
【详解】
解：不等式组整理得： ，由不等式组无解，得到3a﹣2≤a+2，解得：a≤2，分式
方程去分母得：ax+5=﹣3x+15，即（a+3）x=10，由分式方程有正整数解，得到x= 且
x≠5，即a+3=1，5，10，解得：a=﹣2，2，7．综上，满足条件a的为﹣2，2，之积为﹣
4，
故选B．
【点拨】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本
题的关键．
8．B
【解析】
【分析】先解不等式组，根据不等式组的整数解确定 的范围，结合 为整数，再确定 的
值，再解分式方程，根据分式方程的解为非正数，得到 的范围，注意结合分式方程有意义的条件，从而可得答案．
【详解】
解：
由①得：
由②得： ＞ ，
因为不等式组有且只有45个整数解，
＜
＜
＜
＜
为整数，
为
，
而 且
又
综上： 的值为：
故选B．
【点拨】本题考查的是由不等式组的整数解求参数系数的问题，考查分式方程的解为非正
数，易错点是疏忽分式方程有意义，掌握以上知识是解题的关键．
9．A
【解析】
【分析】解不等式组得到a的范围，再把分式方程化简，表示为方程的解，再根据方程的解为正数，算出a的各值即可.
【详解】
由不等式组
得 ，
∵ 有且只有4个整数解,
∴-1＜ ，
解得4＜ ，
解分式方程 + =-8，
得 = ，
∵解为正数
∴8-a＞0且 ，即a＜8且 ，
∴a=5，6，即所有整数a的值之和为5+6=11，
故选A.
【点拨】此题主要考察含参不等式组的解法与分式方程的解法的综合问题，需要熟练运用
才可以解出此题.
10．C
【解析】
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组的解集为x＜﹣2确定出a的范围，再由分式
方程的解为负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出符合条件的a
的个数．
【详解】
解：解不等式组 ，得： ，由不等式组的解集为x＜﹣2，得到2a+4≥﹣2，
解得：a≥﹣3；
分式方程 去分母得：1﹣y﹣a＝﹣3（y+1），
解得：y＝ ，
由分式方程的解为负数以及分式有意义的条件，得 ，
解得：a＜4且a≠2；
∴﹣3≤a＜4且a≠2，
∴a＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，
∴符合条件的所有整数a的个数为6个；
故选：C．
【点拨】此题主要考查分式方程与不等式组的求解运用，解题的关键是熟知分式方程与不
等式组的解法．
11．C
【解析】
【分析】解出分式方程，根据题意确定 的范围，解不等式组，根据题意确定 的范围，
根据分式不为0的条件得到 ，根据题意计算即可．
【详解】
解： ，
方程两边同乘 ，得
整理得， ，
由题意得， 是整数，且 ，即 ，
解得： ， ，0，2，3；
解不等式组 得： ，关于 的不等式组 有且只有4个整数解，
，
，
则符合条件的所有整数为： ，0，2，3，
符合条件的整数 的个数有4个，
故选： ．
【点拨】本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解分式方程、一
元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．
12．C
【解析】
【分析】根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
【详解】
由题意可得，
，
故选C．
【点拨】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的
分式方程．
13．4
【解析】
【分析】由 ＝3，得 =3即y-x=3xy，然后代入代数式，进行消元，即可得到结
论．
【详解】
解：由 ＝3，得 =3即y-x=3xy，x-y=-3xy，
则 = = =4故答案为：4
【点拨】本题主要考查了分式的求值，解题的关键在于能够利用整体代入的思想求解．
14．
【解析】
【分析】根据题意可知，为了把各项系数化成整数，上下式分别乘以10，可得到答案.
【详解】
从分析可知： ＝ ，可见，各项系数都化成整数了，
故答案为 .
【点拨】本题主要考查了分式的概念与性质，上下式共同乘以相同的数，分式值不变．
15．1 ；
【解析】
【详解】
解：∵ ，∴ ，∴
，∴ ，解得： ，∴ =1．故答案为1．
16．0．
【解析】
【详解】
方程两边都乘以最简公分母（x－2），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根
就是使
最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出m的值：
方程两边都乘以（x－2）得，2－x－m=2（x－2）．
∵分式方程有增根，∴x－2=0，解得x=2．
∴2－2－m=2（2－2），解得m=0．
17．4
【解析】【分析】由条件 变形得，x-y=xy，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值．
【详解】
由 得：xy+y=x，即x-y=xy
∴
故答案为：4
【点拨】本题是求代数式的值，考查了整体代入法求代数式的值，关键是根据条件 ，
变形为x-y=xy，然后整体代入．
18． 且a≠-3.
【解析】
【详解】
分析：解分式方程，用含a的式子表示x，由x＞0，求出a的范围，排除使分母为0的a的
值.
详解： ，
去分母得，(x＋1)(x－1)－x(x＋2)＝a，
去括号得，x2－1－x2－2x＝a，
移项合并同类项得，－2x＝a＋1，
系数化为1得，x＝ .
根据题意得， ＞0，解得a＜－1.
当x＝1时，－2×1＝a＋1，解得a＝－3；
当x＝－2时，－2×(－2)＝a＋1，解得a＝3.
所以a的取值范围是a＜－1且a≠－3.
故答案为a＜－1且a≠－3.
点睛：本题考查了由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，这种问题的一般解法是：
①根据未知数的范围求出字母的范围；②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整
式方程中，求出对应的字母系数的值；③综合①②，求出字母系数的范围.
19．1或-2．【解析】
【分析】先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件得出一个a值，
再根据分式方程无解的条件得出另外的a值即可．
【详解】
解： ，
去分母得： x(x-a)﹣x(x-1)＝3( x-1)，
整理得：（a+2）x＝3，
∴当a+2＝0，即a＝-2时，方程无解；
当a+2≠0，由分式方程无解即有增根，可得x﹣1＝0或x＝0，
把x＝1代入（a+2）x＝3，
解得：a＝1，
把x＝0代入（a+2）x＝3，
方程无解；
综上，a的值为1或-2．
故答案为：1或-2．
【点拨】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关
键．
20．x≠0且x≠±1
【解析】
【详解】
分析：要想使分式有意义，那么分式的分母就不能为0，据此列出关于x的不等式组，解不
等式组即可求得x的取值范围．
详解：由题意可知，只有当： 时，原分式才有意义，解得： ，即当
x≠0且x≠±1时，原分式有意义．
故答案为x≠0且x≠±1．
点睛：本题主要考查了分式有意义的条件，要求掌握．对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．解此类问题，只要令分式中分母不等于0，求得字母的取值即可．
本题的难点在于，题中是一个繁分式，需一层一层分析，x是 的分母，所以x≠0；
x﹣ 是 的分母，所以x﹣ ≠0；1﹣ 又是整个分式的分母，因此1﹣
≠0．繁分式的有关知识超出初中教材大纲要求，只在竞赛中出现．
21． 5 或
【解析】
【分析】按照规定符号可求得 5；根据 与 的大小关系化简所求方程，求出
解即可．
【详解】
5；
故答案为：5；
当 ，即 时，方程化简得： ，
去分母得： ，
整理得： ，即
解得： ，
经检验： 是分式方程的解；
当 ，即 时，方程化简得： ，
去分母得： ，
整理得： ，
解得： (不合题意，舍去)或 ，
经检验： 是分式方程的解；
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．弄清题中的新定义是解本题的关键．
22．(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】（1）首先通分计算括号里面，进而根据分式的除法运算计算即可；
（2）根据分式的加减乘除混合运算顺序进行计算，注意进行因式分解和约分；
（3）首先通分计算括号里面，再根据分式的除法运算法则进行计算，注意进行因式分解和
约分；
（4）根据分式的加减法法则进行计算，注意通分．
(1)
原式
；
(2)
原式
；
(3)原式
；
(4)
原式
．
【点拨】本题考查了分式的混合运算，需掌握的知识点：分式的混合运算的顺序和法则，
分式的约分、通分以及因式分解；熟练掌握分式的混合运算顺序和因式分解是解决问题的
关键．
23．（1） ；（2）无解
【解析】
【分析】（1）找出最简公分母为 ，去分母后转化为整式方程，求出整式方程的解
得到 的值，代入检验即可得到原分式方程的解；
（2）找出最简公分母为 ，去分母后转化为整式方程，求出整式方程的解得到
的值，代入检验即可得到原分式方程的解．
【详解】
解：（1）
去分母得： ，
整理得：解得： ，
经检验 是原方程的根，
∴原方程的解为：x=-3；
（2）
去分母得： ，
整理得： ，
解得： ，
经检验 是增根，原分式方程无解．
【点拨】此题考查了分式方程的解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方
程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
24． ；当m=0时，原式为1，当m=-1时，原式为3
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由分式有意义的条件选取使
分式有意义的m的值，代入计算即可．
【详解】
解：原式=
=
=
= ，
∵m≠±2且m≠1，
∴取m=0或m=-1，
则原式= ；
当m=-1时，原式= ．【点拨】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法
则及分式有意义的条件．
25．（1）﹣6，1；（2）7；（3）
【解析】
【分析】（1）根据题干可知，p为两根之积，q为两根之和，代入计算即可；
（2）根据题意求出两个解，从而可得出答案；
（3）首先求出x、x，然后代入 计算即可．
1 2
【详解】
解：（1）由已知可得p＝（﹣2）×3＝﹣6，q＝（﹣2）＋3＝1，
故答案为﹣6，1；
（2）∵ab＝7，a＋b＝8，
∴a＝1，b＝7或a＝7，b＝1
故答案为7；
（3）∵ ，
∴ ，
；
∴2x﹣1＝n＋3或2x﹣1＝n﹣2，
∴ 或 ，
又∵x＜x，
1 2
∴ ， ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查分式的解，读懂题意并能灵活应用是关键．
26．（1）一件B型商品的进价为150元，一件A型商品的进价为160元；（2）
80≤m≤125；（3）m＝80时，最大利润为(18 300－80a)元．【解析】
【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．根据
16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，列出方程即可解决
问题；
（2）根据总利润=两种商品的利润之和，列出式子即可解决问题；
（3）设利润为w元．则w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500，分三种情形
讨论即可解决问题．
【详解】
解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．
由题意： ，解得x=150，经检验x=150是分式方程的解．
答：一件B型商品的进价为150元，一件A型商品的进价为160元．
（2）因为客商购进A型商品m件，所以客商购进B型商品（250﹣m）件．
由题意：v=80m+70（250﹣m）=10m+17500，∵80≤m≤250﹣m，∴80≤m≤125，
∴v=10m+17500（80≤m≤125）；
（3）设利润为w元．则w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500：
①当10﹣a＞0时，w随m的增大而增大，所以m=125时，最大利润为（18750﹣125a）元．
②当10﹣a=0时，最大利润为17500元．
③当10﹣a＜0时，w随m的增大而减小，所以m=80时，最大利润为（18300﹣80a）元，
∴当0＜a＜10时，最大利润为（18750﹣125a）元；当a=10时，最大利润为17500元；当
a＞10时，最大利润为（18300﹣80a）元．
【点拨】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，
学会构建方程或一次函数解决问题，属于中考常考题型．
