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专题5.23 三元一次方程组（知识讲解）
【学习目标】
1．理解三元一次方程(或组)的含义；
2．会解简单的三元一次方程组；
3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.
【要点梳理】
要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
1.三元一次方程的定义
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程．如 x+y-z＝1，
2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．
特别说明：
(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次
数是1次．
(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．
2．三元一次方程组的定义
一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
特别说明：
(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量
即可．
（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立
三元一次方程组求解．
要点二、三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的一般步骤
(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组
中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一
元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
特别说明：
（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为
“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．
其思想方法是：
（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．
要点三、三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤
1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知
数；
2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
4．解这个方程组，求出未知数的值；
5．写出答案(包括单位名称)．
特别说明：
(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结
果是否合理，不符合题意的应该舍去．
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
【典型例题】
类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
1、下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．
解： A选项：4个未知数，错误；
B选项：2个未知数，错误；
C选项，有三个未知数，每个方程的次数是1，是三元一次方程组，正确；
D选项，方程的次数为2，错误；
故选：C．
【点拨】本题考查三元一次方程组的定义，是基础题．清楚三元一次方程组必须满足
“三元”和“一次”两个要素是关键．
举一反三：
【变式1】下列方程组中，不是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三元一次方程组的定义，含有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组，找不不符合定义的选项即
可．
解：三元一次方程组要同时满足三个条件：①含有三个未知数；②所含未知数的项的
次数都是1；③是整式方程.由定义可得：
A、B、C选项都符合定义，而D选项中的xy，yz项的次数是2，不符合三元一次方程
组的定义.
故选：D.
【点拨】考查三元一次方程组的定义，解题关键利用三元一次方程组的定义，即要同
时满足三个条件：①含有三个未知数；②所含未知数的项的次数都是1；③是整式方程.
【变式2】下列方程中属于三元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三元一次方程的定义：含有三个未知数，并且最高项的次数是1的整式
方程，由此进行判断．
解：A选项：只有2个未知数，故不是三元一次方程；
B选项：最高项的次数为2，故不是三元一次方程；
C选项： ，是三元一次方程；
D选项：化简后2有2个未知数，故不是三元一次方程；
故选：C.
【点拨】考查了三元一次方程的定义，判断一个方程是不是三元一次方程需要注意以
下几点：①方程中含有三个未知数，与对应；②方程中所含三个未知数的项的次数都是
1，与“一次”对应；③等号两边的代数式都是整式；④判断一个方程是不是三元次方程，
先要对这个方程进行整理；⑤三元一次方程都能整理成 的
形式.
类型二、三元一次方程组的解法
2、解下列方程组（或不等式）：（1） （2）
（3） （4）
【答案】① ② ③ ④
【分析】直接利用加减消元法解二元一次方程组即可；
先将方程整理成一般形式，再利用加减消元法解方程组即可；
先将三元方程组化为二元方程组解出x，z的值再代入方程求出y的值；
先将方程整理成一般形式，再利用加减消元法解方程组即可.
解：（1）
解：将①式乘以3加上②式乘以5，得34x=68，得x=2，
将x=2代入①式，得6+5y=11，
得y=1，
∴
（2）
解：先将二元一次方程组整理成一般式形式得 ，
将①式加上②式，得4y=28，解得y=7，
将y=7代入①式，得3x-7=8，得x=5，
∴（3）
解：将①式加上②式，得， ，④
将 ②减去③式，得， ，⑤
将④式乘以2减去⑤式，得9x=27，x=3
将x=3代入④式，得15-2z=14，解得z=0.5
将x=3，z=0.5代入①式，得9-y+0.5=3，解得y=6.5，
∴
（4）
解：将二元一次方程组整理成一般式，得 ，
将①式减去②式，得4y=0，解得y=0，
将y=0代入①式，得5x=15.解得x=3，
∴
【点拨】本题主要考查解二元一次方程组，解三元一次方程组，加减消元法是解题的
关键.
举一反三：
【变式1】已知：x+2y﹣z＝9，2x﹣y+8z＝18，求x+y+z的值．
【答案】9
【分析】将方程①乘以3，然后与方程②相加，可得x+y+z的整数倍的值，从而求得
x+y+z的值.
解：x+2y﹣z＝9①，2x﹣y+8z＝18②，
①×3，得3x+6y﹣3z＝27③，
③+②得5x+5y+5z＝45，两边同时除以5，得x+y+z＝9，
∴x+y+z的值为9.
故答案为：9.
【点拨】本题考查解三元一次方程组.
【变式2】在等式 中，当 时， ；当 时， ； 时，
．求 、 、 的值．
【答案】 ， ，
【分析】根据题意代入列出三元一次方程组，故可求解．
解：把 ， ； ， ； ， 分别代入 得
，解得
∴ ， ， ．
【点拨】此题主要考查三元一次方程组的运用，解题的关键是根据题意列出方程组．
【变式3】已知 ．当 时， ；当 时， ；当 时，
．
（1）求 、 、 的值；
（2）求 时， 的值．
【答案】（1）a=2，b=-3，c=4；（2）18
【分析】（1）代入后得出三元一次方程组，求出方程组的解即可．（2）把x=-2代入
求得即可．
解：（1）∵ ．当 时， ；当 时， ；当 时，∴代入得： ，
解得： ；
（2）∵ ，
∴当 时，
．
【点拨】本题考查了解三元一次方程组的应用，能根据题意得出三元一次方程组是解
此题的关键，难度适中．
类型三、三元一次方程组的应用
3、有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购
甲4件、乙10件、丙1件共需33元，则此人购甲、乙、丙各1件共需多少元？
【答案】6元
【分析】设甲、乙、丙3种商品的单价分别是 元、 元、 元，由题意列方程组得：
，然后求得 的值．
解：设甲、乙、丙3种商品的单价分别是 元、 元、 元．
由题意列方程组得 ，
由① ② 得： ，
∴此人购甲、乙、丙各1件共需6元．
【点拨】本题考查了三元一次方程组的应用，解题时认真审题，弄清题意，再列方程
解答，此题难度不大，考查方程思想．
举一反三：
【变式1】购买甲、乙、丙三种不同品种的练习本各四次，其中，有一次购买时，三种练习本同时打折，四次购买的数量和费用如下表：
购买各种练习本的数量（单位：本）
购买总费用（单
购买次数
位：元）
甲 乙 丙
第一次 2 3 0 24
第二次 4 9 6 75
第三次 10 3 0 72
第四次 10 10 4 88
（1）第______次购物时打折；练习本甲的标价是_____元/本，练习本乙的标价是
______元/本，练习本丙的标价是______元/本；
（2）如果三种练习本的折扣相同，请问折扣是打几折？
（3）现有资金100.5元，全部用于购买练习本，计划以标价购进练习本36本，如果购
买其中两种练习本，请你直接写出一种购买方案，不需说明理由．
【答案】（1）四；6； 4； 2.5；
（2）八折；
（3）①购进甲种练习本3本，丙种练习本33本；②购进乙种练习本7本，丙种练习
本29本.
【分析】
（1）根据表格可得第四次购物打折，设练习本甲的标价是a元/本，练习本乙的标价
是b元/本，练习本丙的标价是c元/本，根据总价=单价×数量与表格中的数据得到三元一次
方程组进行求解；
（2）设打m折，根据总价×折扣率×数量，列出方程即可求解；
（3）设购进甲种练习本x本，乙种练习本x本，丙种练习本x本，根据只购进两种练
习本分别列出二元一次方程组进行求解，若解为正整数，满足题意.
解：（1）观察表格中的总费用与购买数量可得第四次购物打折，
设练习本甲的标价是a元/本，练习本乙的标价是b元/本，练习本丙的标价是c元/本，
由表格得 ，解得
故练习本甲的标价是6元/本，练习本乙的标价是4元/本，练习本丙的标价是2.5元/本（2）设打m折，由题意得
解得m=8，故打八折；
（3）设购进甲种练习本x本，乙种练习本x本，丙种练习本x本，
则①只购进甲、乙两种练习本，则 ，解得 ，不符合题意，
舍去；
则②只购进甲、丙两种练习本，则 ，解得 ，
则③只购进乙、丙两种练习本，则 ，解得 ，
综上：有两种方案：①购进甲种练习本3本，丙种练习本33本；②购进乙种练习本7
本，丙种练习本29本.
【点拨】此题主要考查方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方
程求解.
【变式2】某农场300名职工耕种51公顷田地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种
植植物每公顷所需的劳动力人数及设备资金如下表：
农作物品 每公顷需劳动 每公顷需设备资
种 力 金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工
都有工作，而且投入的资金正好够用？
【答案】种植水稻、棉花和蔬菜的面积分别为15公顷、20公顷和16公顷
【分析】设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜为z公顷，根据题意可得等量关系：
①三种农作物的投入资金＝67万元；②三种农作物所需要的人力＝300名职工；③三种农
作物的公顷数＝51公顷，根据等量关系列出方程组并求解即可．
解：设种植水稻、棉花和蔬菜的面积分别为x公顷、y公顷和z公顷，根据题意得 ，解得
答：种植水稻、棉花和蔬菜的面积分别为15公顷、20公顷和16公顷.
【点拨】此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，抓住题目中的关
键语句，找出等量关系，设出未知数，列出方程组．
【变式3】一方有难八方支援，某市政府筹集抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现
有甲、乙、丙三种车型可供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均
满载）
(1)若全部物资都用甲、乙两种车来运送，需运费8200元，则分别需甲、乙两种车各
几辆？
(2)为了节约运费，该市政府共调用16辆甲、乙，丙三种车都参与运送物资，试求出
有几种运送方案，哪种方案的运费最省？其费用是多少元？
【答案】（1）需甲车型8辆，需车型10辆；（2）有二种运送方案：①甲车型6辆，
乙车型5辆，丙车型5辆；②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；方案②运费最省，
最少运费是7800元．
【分析】
（1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费8200元，总吨数是120，列出方程组，再进
行求解即可；
（2）设甲车有x辆，乙车有y辆，则丙车有z辆，列出等式，再根据x、y、z均为正
整数，求出x，y的值，从而得出方案，再根据根据三种方案得出运费解答即可；
解：（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，
得： 解得 ，答：需甲车型8辆，需车型10辆；
（2）设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得： ，
消去z得 ，
因x，y是非负整数，且不大于16，得y=0，5，10，15，
由z是非负整数，解得 ， ， ，
有二种运送方案：
①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆，
运费为：400×6+500×5+600×5=7900，
②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆，
运费为：400×4+500×10+600×2=7800，
所以方案②运费最省，最少运费是7800元．
【点拨】本题考查了三元一次方程组和三元一次方程的应用，将现实生活中的事件与
数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解．利用整体思想和未知数的实际意义通过筛
选法可得到未知数的具体解，这种方法要掌握.
