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专题5.22 二元一次方程（组）与一次函数（专项练习）（巩固
篇）
一、单选题
类型一、两直线的交点与二元一次方程组的解
1．已知直线 与直线 相交于点 ，那么关于x的方程
的解为（ ）
A． B． C． D．
2．一次函数y＝ax+b与y＝mx+n的图象在同一平面直角坐标系中的位置如图所示，一位同
学根据图象写出以下信息：①ab＜mn；②不等式mx+n≥ax+b的解集是x≤1；③方程组
的解是 ．其中信息正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3．小军用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次
函数图象l、l，如图所示，则这个方程组是（ ）
1 2
A． B．C． D．
4．下列说法正确的有（ ）个．
（1）到y轴的距离是2的点的纵坐标是2；
（2）点（﹣2，3）与点（3，﹣2）关于原点对称；
（3）直线：y＝2x﹣5和y＝﹣x＋1，它们的交点坐标（2，﹣1）就是方程组 的
解 ；
（4）第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数．
A．1 B．2 C．3 D．4
类型二、图象法解二元一次方程组
5．若直线 和 相交于点 ，则方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
6．用图像法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图像
如图所示，则方程组是（ ）
A． B． C． D．
7．下面四条直线，其中直线上的每一个点的坐标都是二元一次方程2x-3y=6的解的是(
)A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，如果一个点的坐标可以用来表示关于x，x的二元一
次方程组
的解，那么这个点是
A．M B．N C．E D．F
类型三、求直线围成的图形的面积
9．在平面直角坐标系中，坐标原点 到直线 的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
10．两直线解析式分别为y＝5x—8与y＝—3x，则两直线与x轴围成的三角形面积为（
）
A．2 B．2.4 C．3 D．4.8
11．已知一次函数y= x+a与y=﹣ x+b的图象都经过点A（﹣2，0），且与y轴分别交
于B，C两点，那么△ABC的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．如图，一次函数 的图象分别交 、 轴于点 、 ，与正比例函数 的
图象交于第一象限内的点 ，则 的面积为（ ）A．12 B．24 C．27 D．48
类型四、求一次函数的解析式
13．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的重量x(kg)间有下面
的关系：
x(kg) 0 1 2 3 4 5
y(cm) 10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法不正确的是（ ）
A． 与 都是变量，且 是自变量， 是因变量
B．物体质量每增加1kg，弹簧长度 增加0.5cm
C．所挂物体质量为7 kg时，弹簧长度为13.5 cm
D． 与 的关系表达式是
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点B的坐标为 ，顶点A在y轴上，
直线 与 交于点D，点E为 的中点，点P为直线 上一动点，当 的周
长最小时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
15．一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣1，1），B（4，0）两点，若点M（2，y）和点N
1（3，y）恰好也是该函数图象上的两点，则y，y 的关系是（ ）
2 1 2
A．y＜y B．y＝y C．y＞y D．无法确定
1 2 1 2 1 2
16．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点（﹣2，﹣3），把正比例函数y＝kx（k≠0）
的图象平移，使它过点（1，﹣1），则平移后的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
类型一、两直线的交点与二元一次方程组的解
17．如图，点A是一次函数 图象上的动点，作AC⊥x轴与C，交一次函数
的图象于B． 设点A的横坐标为 ，当 ____________时，AB=1．
18．如图，根据函数图象回答问题：方程组 的解为_________．19．如图，直线 与直线 相交于点 ，则方程组 的解是
______．
20．在平面直角坐标系 中， ，下面有四种说法：
①一次函数 的图象与线段 有公共点；
②当 时，一次函数 的图象与线段 有公共点；
③当 时，一次函数 的图象与线段 有公共点；
④当 时，一次函数 的图象与线段 有公共点．
上述说法中正确的是_____________（填序号）．
类型二、图象法解二元一次方程组
21．如图，在平面直角坐标系中，函数 与 的图像交于点 ，则方
程组 的解为_____________．
22．在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程ax+by=c的图象如图所示.则当x=3时，y的
值为_______.23．如图，直线 与直线 相交于点 ，则关于x，y的方程组
的解为______．
24．在同一直角坐标系内分别作出一次函数y= x+1和y=2x-2的图象，则下面的说法：①
函数y=2x-2的图象与y轴的交点是（-2，0）；②方程组 的解是 ；③函数
y= x+1和y=2x-2的图象交点的坐标为（-2，2）；④两直线与y轴所围成的三角形的面积
为3．其中正确的有__________．（填序号）
类型三、求直线围成的图形的面积
25．如图，已知直线 与直线 都经过 ，直线 交 轴于点
，交 轴于点 ，直线 为 轴交于点 ， 为 轴上任意一点，连接 、 ，
有以下说法：①方程组 的解为 ；
② 为直角三角形；
③ ；
④当 的值最小时，点 的坐标为 ．
其中正确的说法是______．
26．直线y＝kx﹣4与两坐标轴所围成三角形的面积是4，则k＝_____．
27．在平面直角坐标系 中，若直线 ， 围成的四边形面积是
，则 ___________________ ；
28．已知直线 与两坐标轴围成的三角形面积为9，则 __________．
类型四、求一次函数的解析式
29．甲、乙两人相约周末登全旺饭甄山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x
（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）b＝___米；
（2）若乙提速后，乙登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，则甲、乙两人相遇后，再经
过 ___分钟，他们俩距离地面的高度差为70米．30．已知在平面直角坐标系中，点 ， ，设过点 的直线 的解析式为
，作点 关于 轴的对称点 ．若直线 与线段 （包含两个端点）有交点，则
的取值范围是________．
31．在平面坐标系内，A（﹣1，﹣1）、B（2，3），M是x轴上一点，使MB+MA的值最
小，则M的坐标为_________．
32．如图，直线 ： 与直线 ： 相交于点 ，直线 与 轴交于
点 ，直线 与 轴交于点 与 轴交于点 ， 交 轴于点 ．直线 上有一
点 （ 在 轴上方）且 ，则点 的坐标为________．
三、解答题
类型一、两直线的交点与二元一次方程组的解
33．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y x+1交y轴于点A，直线l2：y x+t分别
交y轴，x轴，直线l1于点B，C，D．
（1）求点A的坐标，并用含t的代数式表示B，C，D的坐标；
（2）当t＞0时，若S ＝S ，求t的值；
△OBC △OBD
（3）P是x轴上的一点，连结AP，DP，若AP＝DP，且∠APD＝Rt∠，求t的值．类型二、图象法解二元一次方程组
34．在一次函数的学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，结合图象研究函数
的性质并对其性质进行应用的过程．小朱对函数 的图象和性质进行如下
探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：
（1）小朱列出如下表格，请同学们求出 ， ，并在平面直角坐标系中画出该函数图象；
…… 0 1 2 3 ……
___ ____
…… 5 3 1 ……
__ _
（2）根据函数图象，以下判断该函数性质的说法，正确的有________；
①函数图象关于 轴对称； ②此函数无最大值；③此函数有最小值，且最小值为 ；
④当 时， 随 的增大而增大；
（3）若直线 与函数 的图象始终有两个交点，请你结合所画函
数图象，直接写出 的取值范围．类型三、求直线围成的图形的面积
35．如图1，在平面直角坐标 中，直线 ： 与 抽交于点 ，直线 ：
与 轴交于点 ，与 相交于 点．
（1）请直接写出点 ，点 ，点 的坐标： _________， ________， _______．
（2）如图2，动直线 分别与直线 、 交于 、 两点．
①若 ，求 的值；②若存在 ，求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由．
类型四、求一次函数的解析式
36．如图，直线y＝kx+6与x轴y轴分别相交于点E，F．点E的坐标为(﹣6，0)，点A的
坐标为(﹣4，0)．点P(x，y)是第二象限内的直线上的一个动点．
（1）求k的值；
（2）当点P运动过程中，试写出 OPA的面积S与x的函数关系式．
参考答案
1．C【分析】首先把 代入直线 ，求出a的值，从而得到P点坐标，再把点P代
入直线 得出 ，代入方程即可求解．
解： 直线 经过点 ，
，
解得 ，
，
把点P代入直线 ，
，即 ，
方程 ，（ ）
，
，
．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，解题关键是求出P点坐标．
2．B
【分析】根据两直线经过的象限判断系数的符号即可判断①；直线y＝ax+b在y＝mx+n下
方的部分对应的x的取值范围就是不等式mx+n≥ax+b的解集，由此判断②；直线y＝ax+b
在y＝mx+n的交点坐标就是方程组 的解，由此判断③．
解：如图，∵直线y＝ax+b经过一、二、三象限，
∴a＞0，b＞0，
∴ab＞0
∵直线y＝mx+n经过一、二、四象限，
∴m＜0，n＞0，
∴mn＜0，
∴ab＞mn，故①错误；∵当x≤1时，直线y＝ax+b在y＝mx+n下方，
∴不等式mx+n≥ax+b的解集是x≤1，故②正确；
∵直线y＝ax+b与y＝mx+n的交点坐标为（1，3），
∴方程组 的解是 ，故③正确．
故选：B．
【点拨】考核知识点：一次函数．理解一次函数的性质，特别是一次函数与方程组的关系
是解题关键．
3．D
【分析】两个一次函数的交点为两个一次函数解析式所组方程组的解．因此本题需根据图
中直线所经过的点的坐标，用待定系数法求出两个一次函数的解析式．然后联立两个函数
的解析式，即可得出所求的方程组．
解：由图可知：
直线l 过（2，﹣2），（0，2），因此直线l 的函数解析式为：y＝﹣2x+2；
1 1
直线l 过（0，﹣1），（2，﹣2），因此直线l 的函数解析式为：y x﹣1；
2 2
因此所求的二元一次方程组为 ；
故选：D．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组与一次函数的关系．函数图象交点坐标为两函数解
析式组成的方程组的解．
4．B
【分析】依据点的坐标的概念，关于原点对称的点的特征，一次函数与二元一次方程组的
关系以及不同象限内点的坐标特征，即可得到正确结论．
解：（1）到y轴的距离是2的点的横坐标是 2，该选项错误，不符合题意；
（2）点（﹣2，3）与点（2，﹣3）关于原点对称，该选项错误，不符合题意；
（3）直线：y＝2x﹣5和y＝﹣x＋1，它们的交点坐标（2，﹣1）就是方程组 的解 ，正确，符合题意；
（4）第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数，正确，符合题意．
综上，正确的有（3）（4），共2个，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了点的坐标的概念，关于坐标轴对称的点的特征以及不同象限内点
的坐标特征，解题时注意：关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反
数．关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
5．D
【分析】求得直线 和直线 关于原点对称的直线，由题意得出点P的对应
点，根据方程组的解和直线交点的关系即可求得．
解：直线 和 关于原点对称的直线为y=mx+3和 ，
∵直线 和 相交于点P（ 2，3），
∴直线y=mx+3和y=2x n相交于点（2， 3），
∴方程组 的解为 ；
故选：D．
【点拨】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，题目比较典型，
求得直线关于原点的对称直线是解题的关键．
6．D
【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应先用待定
系数法求出两条直线的解析式，联立两个函数解析式所组成的方程组即为所求的方程组．
解：设经过一、三、四象限的函数解析式为：y=kx+b，其经过点(1，1)和点(0，-1)，
代入解析式中：1=k+b，-1=b，解得：k=2，
所以其解析式为：y=2x-1，
设经过一、二、四象限的函数解析式为：y=mx+n，其经过点(1，1)和点(2，0)，
代入解析式中：1=m+n，0=2m+n，解得：m=-1，n=2，
所以其解析式为：y=-x+2，因此所解得二元一次方程组为： ，
故选：D．
【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方
程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，
因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
7．D
【分析】根据两点确定一条直线，当x=0，求出y的值，再利用y=0，求出x的值，即可得
出一次函数图象与坐标轴交点，即可得出图象．
解：∵2x-3y=6，
∴y= x-2，
∴当x=0，y=-2；当y=0，x=3，
∴一次函数y= x-2，与y轴交于点（0，-2），与x轴交于点（3，0），
即可得出选项D符合要求，
故选：D．
【点拨】此题考查了一次函数与二元一次方程的关系，将方程转化为函数关系进而得出与
坐标轴交点坐标是解题关键．
8．C
【分析】本题可以通过直线与方程的关系得到两直线都过定点E，得到本题结论．
解：两直线都过定点E，
所以点E表示关于x、y的二元一次方程组 的解，
故选C．
【点拨】本题考查的是直线与方程的关系，还可以用解方程组的方法加以解决．
9．D
【分析】根据一次函数的坐标轴上的点的特点，利用两点间的距离求出斜边的长度，再结
合面积公式解答即可求出答案．解：∵ ，如图：
令 ，则 ，
∴直线与y轴的交点坐标为（0， 3）；
令 ，则 ，
∴直线与x轴的交点坐标为（4，0）；
∴直线与坐标轴围成的三角形的面积为： ；
∵斜边的长度为： ，
设斜边上的高为h，则
，
∴ ；
∴坐标原点 到直线 的距离为 ；
故选：D．
【点拨】本题考查了一次函数的图像和性质，勾股定理求两点之间的距离，以及点到直线
的距离，解题的关键是掌握一次函数的性质进行解题．
10．B
【分析】先求出y＝5x—8与y轴的交点于点A，再求出两个直线的交点于点B，即可得出
底OA与高BD，从而求出所要求三角形的面积．
解：令 ，即 ，
解得： ，
则交点为 ，
∵两条直线有交点，∴有 ，
解得： ，
则交点为 ，
过点B作x轴的垂线交于点D，
则
可得： ．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点以及一次函数与二元一次方程组的关系，
清楚函数的坐标特征并能找到对应图形是解题的关键．
11．C
【分析】可先根据点A的坐标用待定系数法求出a，b的值，即求出两个一次函数的解析式，
进而求出它们与y轴的交点，即B，C的坐标．那么△ABC中，底边的长应该是B，C纵坐
标差的绝对值，高就应该是A点横坐标的绝对值，因此可根据三角形的面积公式求出三角
形的面积．
解：把点A（-2，0）代入y= x+a，
得：a=3，
∴点B（0，3）．
把点A（-2，0）代入y=- x+b，得：b=-1，
∴点C（0，-1）．
∴BC=|3-（-1）|=4，
∴S = ×2×4=4．
△ABC
故选：C．
【点拨】本题考查了用待定系数法求函数解析式以及一次函数与方程的关系，通过已知点
的坐标来得出两函数的解析式是解题的关键．
12．A
【分析】因直线 交y轴于点B，故可求得点B的坐标，从而可得OB的长，又
直线 与直线 相交，故可求得点C的坐标，从而可得△OBC的边OB上的
高，因此可求得△OBC的面积．
解：对于直线 ，令 ，得：
∴
解方程组 ，得：
即点 的坐标为
∴点 到y轴的距离为4
∴
故选：
【点拨】本题主要考查了求两直线交点坐标、平面直角坐标系中求直线围成的三角形面积，
关键分别求得点B、点C的坐标，而求两直线的交点坐标体现了数形结合的思想．
13．D
【分析】由表中的数据进行分析发现 与 满足一次函数关系，根据图表求出表达式，然
后逐个分析四个选项，可得出最终结果．
解： 根据图表观察 与 满足一次函数关系，
设 ，代入（0,10）和（2,11）两点，
得： ，
解得： ，
y与x的关系表达式是y= 0.5x+ 10，
A、y随x的增加而增加，x是自变量，y是因变量，故A选项正确，不符合题意；
B、由图表知，物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，故B选项正确，不符合题意；
C、由表达式知，当x= 7时，y = 13.5，即所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm，故
C选项正确，不符合题意；
D、y与x的关系表达式是y= 0.5x+ 10，D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了一次函数的概念，属于基础题，能够根据所给的表进行分析变量的值
的变化情况，同时求出表达式是解题的关键．
14．A
【分析】连接 ，与直线 的交点即为P点，此时， 的周长最小，最小值为
，根据待定系数法求得直线 的解析式，即可求得P的坐标．
解：连接 ，与直线 的交点即为P点，此时， ，则 的周长最小，最
小值为 ，
∵正方形 的顶点B的坐标为 ，顶点A在y轴上，
∴ ，
∴O、C关于直线 对称，则 ，
∴ ，∴ 的周长的最小值为 ，
∵ ，点E为 的中点，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，解得
∴直线 的解析式为 ，
把 代入得 ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，待定系数法求一次函数的解析
式，一次函数图象上点的坐标特征，求得P的位置是解题的关键．
15．C
【分析】先用待定系数法求出一次函数的解析式，再根据一次函数的性质即可得出结论．
解：∵一次函数y=kx+b的图象经过A（-1，1），B（4，0）两点，
∴ ， 解得 ，
∴一次函数的解析式为y= x+ ，
∵k= ＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵2＜3，
∴y＞y．
1 2故选C．
【点拨】本题主要考查的是一次函数图象上点的坐标特点，解决本题的关键是要熟练掌握
一次函数图象的性质．
16．C
【分析】利用待定系数法，确定正比例函数的解析式，设出一般式，确定一次函数的解析
式即可．
解：把点（﹣2，﹣3）代入y＝kx（k≠0）得﹣2k＝﹣3，
解得k＝ ，
∴正比例函数解析式为y＝ x，
设正比例函数平移后函数解析式为y＝ x+b，
把点（1，﹣1）代入y＝ x+b得﹣1＝ +b，
∴b＝﹣ ，
∴平移后函数解析式为y＝ x﹣ ，
∴故函数图象大致为：
．
故选：C．
【点拨】本题考查了正比例函数解析式的确定，一次函数解析式的确定，平移的特点，熟
练掌握平移的规律，灵活运用待定系数法是解题的关键．
17． 或
【分析】
分别用m表示出点A和点B的纵坐标，用点A的纵坐标减去点B的纵坐标或用点B的纵坐
标减去点A的纵坐标得到以m为未知数的方程，求解即可．解：∵点A是一次函数 图象上的动点，且点A的横坐标为 ，
∴
∵AC⊥x轴与C，
∴
∴
∵
∴
解得， 或
故答案为 或
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据A点横坐标和点的坐标特征求得
A、B点纵坐标是解题的关键．
18．
【分析】首先观察函数的图象y=kx+3经过点（-3，0），然后求得k值确定函数的解析式，
最后求得两图象的交点求方程组的解即可；
解：根据图象知：y=kx+3经过点（-3，0），
所以-3k+3=0， 解得：k=1，
所以解析式为y=x+3，
当x=-1时，y=2，
所以两个函数图象均经过（-1，2），
所以方程组 的解为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查一次函数与二元一次方程组，关键是能根据函数图象的交点解方程
组．
19．【分析】把M（1，b）代入直线 可求出b值，可得M点坐标，根据两函数图象的交
点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解即可得答案．
解：∵直线y=x+1经过点M（1，b），
∴b=1+1，
解得：b=2，
∴M（1，2），
∴方程组 的解是 ．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交
点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解．
20．②④
【分析】根据题意求解交点问题，列出方程组解方程组，求得交点坐标对比，逐项判断即
可
解： ，
线段 为：
①一次函数 与线段 的交点即为：
的解，
解得： （舍去， ）
线段 无交点，
故此说法不正确
②一次函数 ，当
当 或者 都与 有交点时即 或者
解得 或者
即交点为点 或者点
一次函数 ，当 与线段 有公共点
故说法②正确；
③当 时
解得：
即点 ，
，设
则
解得：
（舍去， ）
所以无交点
故当 ，一次函数 的图象与线段 无公共点
故说法③不正确；
④当 时，一次函数 的图象与线段 有公共点
当 或者 时
或者解得： 或者
即交点为点 或者点
当 时，一次函数 的图象与线段 有公共点
故说法④正确
综上所述：说法②④正确
故答案为②④
【点拨】本题考查了一次函数图像的性质，一次函数交点问题，本质是解方程组求交点，
理解题意解方程组是解题的关键．
21．
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点的坐标进行判断即可得解．
解：∵函数 与 的图像交于点
∴方程组 即 的解为： ．
故答案是：
【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程中两个方程
同时成立的一对未知数的值，而这对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数，因此方
程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
22．
【分析】从给出图象中得到二元一次方程的两组解，进而确定具体的二元一次方程为x＋
2y＝2，再代入x=3即可求出y的值．
解：从图象可以得到， 和 是二元一次方程ax＋by＝c的两组解，
∴2a＝c，b＝c，
∴x＋2y＝2，当x＝3时，y＝ ，
故答案为 ．
【点拨】本题考查二元一次方程的解与一次函数图象的关系；能够从一次函数图象上获取
二元一次方程的解，代入求出具体的二元一次方程是解题的关键．
23．
【分析】先根据点P的坐标，求得参数m、k的值，然后解二元一次方程组即可．
解：由题意可知，
，
解得： ，
所以原方程组为 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查一次函数求参数与解二元一次方程组，根据P点求得参数的值并掌
握解二元一次方程组的方法是关键．
24．②④．
解：①当x=0时,y=−2,所以函数y=2x−2的图象与y轴的交点是(0,−2)，故①不正确；
② ,化简得： ，
（2）+（3）得：3y=6，y=2，∴x=2，
∴方程组{2y−x=22x−y=2的解是 ；故②正确；③ , 解得 ,
∴函数y= x+1和y=2x−2的图象交点的坐标为(2,2)；故③不正确；
④如图所示，过A作AD⊥x轴于D，
当x=0时, 0−2=y, y= -2, 则C(0,-2)，0 +1=y, y=1,则B(0,1)，∴BC=3，
由③得A(2,2)，则AD=2，∴ = BC⋅AD= ×3×2=3，故④正确；
故答案为②④．
25．①②④
【分析】由题意①直线的交点即为该直线组成方程组时，该方程的解；
②通过已知条件，求解直线的未知数，通过判断两直线k的乘积是否为-1，即可；
③由②知两直线的表达式，进而可得点A，B，D的坐标，进一步即可求出△ABD的面积；
④求点C关于y轴的对称点，然后连接A，C ，与y轴的交点即为PA+PC的值最小的点；
1
解：①由于直线的交点即为该直线组成方程组时的解；
∴ 的解，即为两条直线的交点，为： ，故①正确；
②将点C的坐标和点B的坐标分别代入直线 和 ；
可得： 、 、 ；
∴ 直线 和 ；又两直线的k分别为： 和 ；
又 ；∴ ；
∴ △BCD为直角三角形；故②正确；③由②知， ， ， ；∴ ， ；
∴ △ABD的面积为： ；故③不正确；
④由题，对点 作关于y轴的对称点 ，又 ；
∴ 连接A，C 与y轴的交点即为最小值点；
1
设过点A，C 的直线为： ；
1
将点A，C 的坐标代入 ，可得： ， ；∴过点A，C 的直线为：
1 1
；
又 与y轴的交点坐标为： ；∴ 点P的坐标为： ；故④正确；
故填：①②④；
【点拨】本题考查一次函数的性质，关键在理解一次函数交点、垂直和对称问题，需要仔
细审题．
26．±2．
【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征求出直线y=kx-4与坐标轴的交点坐标，然后根据三
角形面积公式得到 ，再解绝对值方程即可得到k的值．
解：当x=0时，y=kx-4=-4，则直线与y轴的交点坐标为（0，-4），
当y=0时，kx-4=0，解得x= ，则直线与x轴的交点坐标为（ ，0），所以 ，解得k=±2．
故答案为：±2．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为
常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（- ，0）；与y轴的交点坐标是（0，
b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
27．1
【分析】根据题意可知四条直线围成的图形是梯形，先分别求出 与 的
交点坐标，再用含k的代数式表示梯形的两底边长和高，代入面积公式即可求解．
解：解:如图，四边形ABCD是梯形，
当x=﹣1时， =﹣k﹣2，当x=3时， =3k﹣2
∴A(﹣1,﹣k﹣2)，D(3, 3k﹣2)
∴AB=3+k+2=5+k，CD=3-3k+2=5-3k
∴
∴k=1
故答案为：1
【点拨】本题考查了一次函数的图象和性质，梯形的面积等知识，熟练掌握这些知识是解
题的关键．
28．±2
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线y＝−2x−3b与两坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式即可得出关于b的方程，解之即可得出结论．
解：当x＝0时，y＝−2x−3b＝−3b，
∴直线y＝−2x−3b与y轴交于点（0，−3b），
当y＝0时，即−2x−3b＝0，
解得：x＝ ，
∴直线y＝−2x−3b与x轴的交点坐标为（ ，0），
∵直线y＝−2x−3b与两坐标轴围成的三角形面积为9，
∴ ，
解得：b＝±2，
故答案为：±2．
【点拨】本题考查了一次函数的图象和性质以及三角形的面积计算，利用一次函数图象上
点的坐标特征求出与两坐标轴的交点坐标是解题的关键．
29．30； 3.5或6.5．
【分析】（1）根据路程与时间求出乙登山速度，再求2分钟路程即可；
（2）先求甲速度，再求出乙提速后得速度，再用待定系数法求AB与CD解析式，根据解
析式组成方程组求出相遇时间，利用两函数之差=70建构方程求出相遇后相差70米的时间
或乙到终点相距70米的时间即可．
解：（1）乙开始登山速度为：15÷1=15米/分，
∴b=15×2=30米，
故答案为30；
（2）甲登山速度为（300-100）÷20=10米/分，
∴乙速度为10×3=30米/分，
乙到300米时间t=2+（300-30）÷30=2+9=11分，
设AB解析式为 ，代入坐标得，
，
解得 ，∴AB解析式为 ，
设CD解析式为 ，代入坐标得，
，
解得 ，
CD解析式为 ，
∴甲、乙两人相遇时间满足方程组 ，
解得 ，
∴他们俩距离地面的高度差为70米列方程得： 或300-
=70
解得 ，
分，
300- =70
解得
13-6.5=6.5分
甲、乙两人相遇后，再经过3.5或6.5分钟，他们俩距离地面的高度差为70米
故答案为3.5或6.5．
【点拨】本题考查一次函数图像获取信息，待定系数法求函数解析式，方程组解法，利用
两者间距离建构方程，掌握一次函数图像获取信息，待定系数法求函数解析式，方程组解
法，利用两者间距离建构方程是解题关键．
30．【分析】先求出特殊位置时 的值，即可求解．
解： 点 ，点 关于 轴对称，点 ，
点 坐标为 ，
当直线 过点 时，由题意可得 ，
解得： ，
当直线 过点 时，由题意可得 ，
解得： ，
直线 与线段 （包含两个端点）有交点，
，
故答案为： ．
【点拨】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，轴对称
的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
31．（﹣ ，0）
【分析】连接AB与x轴的交点即为M，利用待定系数法求出AB的解析式即可．
解：设过A、B两点的直线解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解之得 ，
∴y＝ ，
根据两点之间线段最短可知：直线AB与x轴的交点即为所求的点M，
∴当y＝0时， ＝0，∴x＝﹣ ，
∴M坐标为（﹣ ，0）．
故答案为：（﹣ ，0）．
【点拨】本题主要考查了两点之间线段最短问题，解决问题的关键是利用待定系数法求出
AB的解析式．
32．
【分析】分别解得直线 、 与坐标轴的交点即点 、 、 ，根据平
行线的性质解得直线AE的解析式，再解得点 ，最后由三角形面积公式解题．
解：令 ，直线 与 轴的交点 ，
令 ，直线 与 轴的交点 ，
直线 与直线 的交点为：
即
解得 ，
把 代入 得，令 ，直线 与 轴的交点 ，
设直线AE的解析式为 ，将点 代入得，
当 时，
把 代入直线 ： ，得
故答案为： ．
【点拨】本题考查一次函数的图象与性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数与二
元一次方程组、三角形面积等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
33．（1）A ； ；C ；D （2） 或 （3） 或
【分析】（1）根据一次函数与坐标轴得交点，分别令 和 时即可得出与坐标轴交
点，联立两直线解析式可得两直线交点坐标；
（2）根据题意以及（1）中的坐标关系，列式求解即可；
（3）过点D作 轴于H，设 ，则可证明 ，即可得出
， ，分情况讨论 的值，求解即可．
解：（1）∵直线l1：y x+1交y轴于点A，令 ，则 ，
故点A的坐标为： ，
∵直线l2：y x+t分别交y轴，x轴交于B，C，
令 ，则 ，
∴ 点的坐标为： ，
令 ，则 ，
解得： ，
∴点C的坐标为： ，
∵直线l2：y x+t与直线l1交于点D，
则 ，
解得： ，
故点D的坐标为： ；
（2）连接 ,
∵当t＞0时， S ＝S ，
△OBC △OBD
∴ ，∴ ，
解得： 或 ；
（3）过点D作 轴于H，
设 ，
∵∠APD＝Rt∠，
∴ ,
∴ ,
∵ , ,
∴ ,
∴ ，
，
当 时，
，
解得： 或 ( 重合舍去)，
故 ，
当 时，
，
解得： 或 (舍)，故 ，
综上： 或 ．
【点拨】本题考查了一次函数综合，一次函数与坐标轴交点问题，两直线交点问题，全等
三角形的判定与性质，结合数形结合的思想解题，建立方程时解题的关键，注意分类讨论．
34．
（1） ，图象见详解；（2）②③；（3）
【分析】
（1）先求出 ， ，再列表，描点、连线画出函数图象即可；
（2）观察图象即可得解；
（3）根据题意，由图象可知直线 过点（0，-2），且在 到
范围内，分析可得解.
解：（1） ，因为 ，所以 ；因为 ，所以
，
列表：
…… 0 1 2 3 ……
…… 5 3 1 -1 -3 ……
描点、连线，画出函数图象如图：（2）观察图象可知，
函数图象不关于 轴对称.故①不正确；
此函数无最大值.故②正确；
此函数有最小值，且最小值为 .故③正确;
当 时， 随 的增大而减小.故④不正确
故答案为：②③；
（3） .
根据题意，由图象可知直线 过点（0，-2），
如图， ，所以 .
直线 过点（2，-3），所以 ，所以 ，
结合图象可知，直线 过点（0，-2），且在 到 范围内.
所以，当 时，直线 与函数 的图象始终有两个交点．
【点拨】本题考查了函数的图象和性质，一次函数与分段函数的交点问题，数形结合是解
题的关键．
35．（1）（-1，0）、（1，0）、（2，3）；（2）①t=1或3；②（0，-3）或（4，9）【分析】
（1）根据一次函数与x轴的交点纵坐标为0即可求出AB坐标，联立两个一次函数即可求
出C点坐标；
（2）①设点P（t，t+1），同理点Q（t，3t-3），则PQ=|t+1-3t+3|=2，即可求解；
②在y轴负半轴取点M使NM=NK，过点M作直线m∥AC交l 于点Q，则点Q为所求点，
2
进而求解；当点M在x轴上方时，同理可得点M（0，5），进而求解．
解：（1）对于直线l：y=3x-3①，
2
令y=3x-3=0，解得x=1，故点B（1，0），
对于l：y=x+1，同理可得：点A（-1，0），
1
则 ，解得 ，
故点C的坐标为（2，3），
故答案为：（-1，0）、（1，0）、（2，3）；
（2）①点P在直线l 上，则设点P（t，t+1），同理点Q（t，3t-3），
1
则PQ=|t+1-3t+3|=2，
解得t=1或3；
②当点Q在x轴下方时，如下图，设直线l 交y轴于点K，过点B作直线n∥AC交y轴于点N，
1
在y轴负半轴取点M使NM=2NK，过点M作直线m∥AC交l 于点Q，则点Q为所求点，
2
理由：∵M、Q在直线m上，且m∥AC，
∴S =S ，
△MAC △QAC
同理S =S ，
△NAC △BAC
∵MN=2KN，则m、l 之间的距离等于2倍n、l 之间的距离，
1 1
∴S =2S ，
△AQC △ABC
由直线l 的表达式知点K（0，1），
1
设直线n的表达式为y=x+b，将点B的坐标代入上式并解得b=-1，
∴ N（0，-1），
∵NK=1-（-1）=2，
∴MN=NK=2，
∴M（0，-3），
在直线m的表达式为y=x-3②，
联立①② 解得 ，
∴Q（0，-3）；
②当点M在x轴上方时，同理可得点M（0，5），
同理可得，过点M且平行于AC的直线表达式为y=x+5③，联立①③ 解得 ，
∴ Q的坐标为（4，9）；
综上，点Q的坐标为（0，-3）或（4，9）．
【点拨】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行线的性质、绝对值的
应用、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
36．（1）1；（2）S＝2x+12
【分析】
（1）由E点坐标代入可求得k的值；
（2）由P点坐标可表示出P到x轴的距离，则可表示出S与x之间的函数关系式，由P在
第二象限可求得x的取值范围；
解：（1）把E（﹣6，0）代入直线解析式得：
0＝﹣6k+6，
解得：k＝1；
（2）根据题意得：S＝ OA•|y |＝ ×4×y＝2y，
P纵坐标
把P（x，y）代入解析式得：y＝x+6，
则S＝2x+12
【点拨】本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点的坐标特征、三角
形的面积等知识．在（1）中注意利用函数图象点的点的坐标满足函数解析式可得到关于k
的方程，在（2）中用x表示出P到x轴的距离是解题的关键，难度适中．
